Le calcul au cycle 3 21 janvier 2015 Robert Doisneau Valentina Celi Sylvie Perez ESPE d Aquitaine
Le calcul sous ses diverses facettes Calcul mental Automatisé (ou mémorisé) Réfléchi (raisonné) Calcul instrumenté Calcul posé Tables de multiplication Multiplication par 10, 100, 1000 43 + 280 + 60 + 57 + 20 =43+57+280+20+60 =100+300+60 =400+60 138 + 27 = 138 + 2 + 25 = 140 + 25 = 165 135 + 3 + 27 = 135 + 30 = 165 L apprentissage de chacun de ces types de calcul doit être pensé dans sa complémentarité avec l apprentissage des autres
LE CALCUL INSTRUMENTÉ LA CALCULATRICE
Du côté des programmes Cycle 2 CE1«Utiliser les fonctions de base de la calculatrice» Cycle 3 «la calculatrice fait l objet d une utilisation raisonnée en fonction de la complexité des calculs auxquels sont confrontés les élèves» CE2 «Utiliser les touches des opérations de la calculatrice. Organiser ses calculs pour trouver un résultat par calcul mental, posé,ouàl aidedelacalculatrice» CM1 «Connaître quelques fonctionnalités de la calculatrice utiles pour effectuer une suite de calculs» CM2«Utilisersacalculatriceàbonescient»
La calculatrice comme... outil de calcul Problèmes classiques, problèmes ouverts instrument dont on cherche à comprendre certaines fonctionnalités support pour explorer des faits numériques source de problèmes et d exercices outil pour développer des automatismes
La calculatrice comme... outil de calcul Problèmes classiques, problèmes ouverts instrument dont on cherche à comprendre certaines fonctionnalités support pour explorer des faits numériques source de problèmes et d exercices outil pour développer des automatismes
Outil de calcul Distinguer les cas où la calculatrice peut être une aide pour les élèves des cas où son usage n est pas nécessaire ou doit être décidé avec prudence. Dans la résolution de problèmes, la calculatrice évite que la reconnaissance de l opération pertinente dépende des capacités de calcul de l élève est un outil de différenciation qui peut éviter la peur du calcul est un outil d investigation : par exemple, pour faciliter le recours à une procédure par essais et ajustements peut constituer une entrave au raisonnement des élèves lorsque l on veut qu ils recourent à des procédures personnelles doit être utilisée avec modération : dans une situation donnée, savoir choisir le moyen de calcul le plus approprié
La calculatrice comme... outil de calcul Problèmes classiques, problèmes ouverts instrument dont on cherche à comprendre certaines fonctionnalités support pour explorer des faits numériques source de problèmes et d exercices outil pour développer des automatismes
Source de problèmes et d exercices Dictée de nombres avec la calculatrice Afficher un nombre dit ou écrit en toutes lettres au tableau «affichez trois cent quarante-sept et neuf centièmes» en donnant son chiffre des centaines, des dizaines, des unités, des dixièmes (dans l ordre puis dans le désordre) décrit «il contient quatre dizaines et vingt-sept unités» «il contient quatre dixièmes, sept millièmes et vingt-sept unités»
Source de problèmes et d exercices Passer d un nombre à un autre (sans effacer!) Le maître demande aux élèves d afficher un nombre cité oralement, par exemple 5,82. Puis, il leur demande d afficher le nombre 15,82 sans effacer l écran. Une mise en commun permettra de verbaliser les procédures suivies. On recommence ensuite avec les cas suivants: Affichez 127, 6. Sans effacer, affichez 247,6. Affichez 3,2. Sans effacer, affichez 3,7. Affichez 9,37. Sans effacer, affichez 9,47. Affichez 1,24. Sans effacer, affichez 1,29. Affichez1200427.Sanseffacer,affichez1260427. Affichez 567 et, sans l effacer, affichez 589 Affichez2,8;puis2,9;puis3; Affichez 14,6. Comment afficher l entier supérieur, soit 15.
Source de problèmes et d exercices Affichez 345 257. Sans effacer, affichez 34 525 700. Affichez 2 760 400. Sans effacer, affichez 276 040. Affichez 456. Sans effacer, affichez 4,56. Affichez 670,04. Sans effacer, affichez 6 700,4. Affichez 85,007. Sans effacer, affichez 850,07. Affichez 85,007. Sans effacer, affichez 850,007.
Source de problèmes et d exercices Affichages sous contraintes Afficher 15 sans taper ni 1 ni 5 Afficher 2222 sans taper sur 2 Afficher 42 sans taper sur 4, [+], [-] Calculer des produits sans utiliser la touche [ ] : «64 3 ; 64 11 ; 64 99» Passer d un nombre à un autre en au plus nétapes : «On affiche 85. Sans effacer, obtenir 812 en au plus trois étapes»
A partir d un nombre décimal affiché, faire disparaître la partie décimale, en un minimum de coups et en utilisant seulement les touches [+] et [=] Par exemple 307,408 On interdit des touches et on en impose d autres 13
Source de problèmes et d exercices Le joueur A affiche un nombre entier (à 4 ou 5 chiffres) ; sans effacer et en utilisant seulement les touches [+] et [=], le joueur B doit afficher un nombre ayant le même nombre de chiffres et contenant un 0 de plus ; etc. 47 058 + 2 = 47 060 47 060 + 3 000 = 50 060 50 060+ 9 940 = 60 000 47 058
Source de problèmes et d exercices Intérêt de ces activités : l'aspect ludique, la calculatrice n'est pas utilisée, ici, pour fournir une réponse, mais pour valider une réponse élaborée par l'élève, travailler la numération et les opérations autrement
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Pour développer des automatismes Tables d addition et de multiplication (jeux à deux) Jeu 1 : Un élève propose au second un calcul de la table d addition ou de la table de multiplication et le tape à la calculette. Le second donne le résultat oralement que l on vérifie avec la touche «=». Le but du jeu est par exemple de réussir dix calculs successifs.
Pour développer des automatismes Tables d addition et de multiplication (jeux à deux) Jeu 2 : Un élève A tape un nombre et annonce oralement un deuxième nombre. Il passe la calculatrice à l autre joueur B qui, en une seule fois, doit taper une séquence dutype[+]n[=]pouratteindreledeuxièmenombre. Si le nombre attendu s affiche, le joueur B marque 1 point,sinonc estlejoueuraquimarque1point.lesrôles sont ensuite inversés. Le premier joueur qui atteint par exemple 10 points gagne la partie.
LE CALCUL MENTAL CALCUL RÉFLÉCHI CALCUL AUTOMATISÉ
Calcul réfléchi Ce qu il faut être capable de reconstruire : idée de rendre plus simpleun calcul en s appuyant sur ce qui est connu (bien que les étapes pour y parvenir soit souvent nombreuses) On renonce à utiliser toute opération posée (techniques opératoires usuelles) On ne s interdit pas forcément un support écrit (dans la consigne, dans la formulation du résultat, pendant le calcul) Il dépend des connaissances dont on dispose Il évolue dans le temps, avec la pratique Calcul automatisé Ce qu il faut automatiser ou mémoriser : le tables, quelques doubles et moitiés, les compléments à la dizaine supérieure,, les produits par les puissances de 10, Nécessaire pour accéder aux techniques opératoires 20
Calcul mental : pourquoi? Tester (et enrichir) les conceptions numériques des élèves et leur disponibilité Rendre les nombres «familiers» aux élèves Envisager chaque nombre sous différents aspects Mettre les nombres en relation les uns avec les autres Entraîner les élèves au calcul Construire, découvrir diverses procédures de calcul, apprendre à choisir la plus adaptée par rapport aux nombres et à ses propres connaissances Faire fonctionner et s approprier les propriétés des opérations Apprendre à évaluer l ordre de grandeur du résultat d un calcul, à vérifier un calcul
Calcul mental : pourquoi? Renforcer le sens des opérations Développer les facultés de raisonnement Accroître les performances des élèves en résolution de problèmes (Butlen& Pézard, 1990-1991) se décharger de la peur du calculou de la surcharge de travail impliquée par un calcul Se donner des moyens pour avancer des hypothèses avant de se lancer dans la résolution effective
Calcul mental : comment? Le rythme doit être soutenu (concentration) Proposition d exercices de difficulté croissante L énoncé peut être : oral, écrit au tableau (toujours présent ou caché au bout de quelques instants) ou écrit sur une feuille L élève écrit la réponse (par exemple sur ardoise) ; peut écrire des résultats intermédiaires ; peut consulter visuellement des supports Certains erreurs peuvent être commentées et analysées En grand groupe, il s agit surtout d activités d apprentissage, d entraînement : on a le droit à l erreur Le travail individuel sur fiche permet par contre une évaluation plus précise des performances des élèves
Calcul mental : comment? Séances de mémorisation : c'est le résultat qui compte Ex : tables de multiplication Séances orientées vers le calcul réfléchi : c'est le procédé qui compte Les procédures utilisées peuvent/doivent être explicitées et comparées
Quelles activités? Quels supports?
Jeux du furet
Jeu des intrus A la recherche des multiples 8 8 27
Jeux de mémoire Pour développer la mémoire à court terme Il s agit de mémoriser plusieurs nombres et les restituer après leur avoir fait subir un traitement Ils requièrent concentration et silence Des exemples : Calculs additifs, soustractifs Calculs multiplicatifs Doubles et moitiés
Observe ces trois nombres 156 143 130 Écris les nombres obtenus lorsqu on ajoute une dizaine à chacun de ces nombres
Observe ces trois nombres 5,20 5,02 0,52 Écris ces nombres dans l ordre croissant
Observe ces trois nombres 2,7 2,3 2 Écris les nombres obtenus lorsqu on enlève un dixième à chacun de ces nombres
Observe ces trois nombres 25 75 30 Écris le double de chacun de ces nombres
Observe ces trois nombres 80 14 22 Écris la moitié de chacun de ces nombres
Les jeux de portraits et de devinettes Si on m ajoute une dizaine, je deviens égal à 135,7. Qui suis-je?
Sur la ligne numérique, sur la droite numérique 35
Sur la ligne numérique, sur la droite numérique 36
Jeux de cartes Quelle est la carte qui emporte la bataille?
Jeux de cartes Quelle est la carte qui emporte la bataille? 38
Difficultés d élèves en calcul mental Les décompositions additives ne sont pas toujours reconnues comme outils et restent encore indisponibles en fin de CE1 Proposer des exercices préalables de calcul rapide, par écrit et individuellement, par exemple 66 + 4 = 63 = 43 + Cf. Butlen& Pézard(1990-1991) et Butlen(2004)
Les décompositions additives 140 10 20 30 40 50 60 70 110
Les décompositions additives Écrire 96 avec TROIS nombres et le signe + Écrire 248 avec TROIS nombres de DEUX chiffres et le signe +
Les décompositions additives Indique les «triangles» qui totalisent 10
Les décompositions additives Retrouvez toutes les combinaisons de quatre nombres alignés dont la somme est égale à 15 5 2 8 3 2 6 4 3 3 7 3 1 2 4 4 4 4 3 9 6 7 3 7 9 6 3 4 3 2 2 8 7 2 6 8 7 2 6 9 7 5 4 6 3 4 4 3 4 9 2 1 4 3 4 8 4 4 3 8 2 9 1 2 9
Chaque case contient la somme des nombres situés au-dessus d'elle. Il s'agit de trouver les nombres qui manquent dans les grilles ci-dessous 7 4 21 19 11
Difficultés d élèves en calcul mental Les décompositions multiplicatives sont très peu disponibles en fin de CM2 (pas d automatismes, il faut «inventer») Pour chaque nombre, récapituler ses décompositions multiplicatives, par exemple 16 = 4 4 = 2 8 = 4 2 8 = 2 2 2 2 12 = 2 6 = 3 4 = 2 3 2 18 = 2 9 = 3 6 = 2 3 3 Cf. Butlen& Pézard(1990-1991) et Butlen(2004)
Les décompositions 18 6 10 3 2 5
Les décompositions Avec trois nombres, en utilisant la multiplication, puis l addition ou la soustraction trouve le nombre cible 38
Le jeu de la cible (1) Zones Chaque zone a une valeur. La valeur peut être représentée par un entier ou un décimal. Le nombre de zones peut varier. Impacts Ils occupent les différentes zones. Score On multiplie le nombres d impacts par la valeur des zones qu ils occupent ; on additionne les différents produits obtenus. Parties Le nombre de parties peut varier. On peut demander de calculer le score à la fin d une partie et/ou de plusieurs parties (score final). On peut donner le score d une partie, le score final et demander de chercher le score de l autre partie.
Le jeu de la cible (2)
Le jeu de la cible (3)
Tout sur Mille deuxcentcinquantequatre Pair 1254