Exercice 1: «Suis-je normal?» Exercices d application sur la loi normale 2011/2012 IREM Aix-Marseille Groupe Stat Proba «L'individu ne peut savoir s'il est normal que s'il se compare aux autres individus dans une population et c est grâce aux outils mathématiques statistiques que la comparaison sera possible.» Voici la courbe de poids de 0 à 22 ans (version 1975) du carnet de santé éditée par le Ministère de la Santé.
1) Sur la courbe ci-dessus, lire la taille moyenne d un garçon de 16 ans. Pour x = 16, on lit y =58 kg sur la courbe des moyennes. Donc M = 58 kg 2) On s intéresse toujours au poids d un garçon de 16 ans. Comment peut-on lire l écart type de cette série? Pour x = 16, on fait la différence des ordonnées correspondant aux courbes de M et celle de M- 1, cette différence correspond à un peu plus de 2 carreaux soit 6kg. 3) On admet que le poids d une population de garçons de 16 ans est une variable normalement répartie. Précisez la loi de probabilité suivie. La loi normale N(58,6²) où la moyenne m = 58 kg et l écart type = 6 kg. 4) On choisit au hasard un garçon de 16 ans. a. Calculer la probabilité qu il pèse moins de 50 kg? P(X<50) 0,0912 b. Calculer la probabilité qu il pèse plus 60 kg. P(X>60) = 1-P(X 60) 1-0.6293 0,3707 c. Calculer la probabilité qu il pèse entre 52 et 64 kg. P(52<X<64) 0, 6827 On retrouve le résultat suivant : «Dans une population normalement distribuée, environ 68 % de la population se trouvent dans l'intervalle [m ; m + ]. 50 5) En statistique, la plage de normalité correspond à l intervalle [m 2 ; m + 2 ]. Au dehors de cet intervalle, on définit deux plages dites de rejet c'est-à-dire «hors-norme». a. A quel intervalle, cette zone de rejet correspond t elle dans notre situation? m 2 = 58 2 6 = 46 kg ; m + 2 = 70 kg. D après l étude statistique, le poids d un garçon de 16 ans compris entre 46 et 70 kg sera dit normal et «hors norme» au delà de ces valeurs b. Comment peut-on retrouver cet intervalle sur le graphique ci-dessus? Sur le graphique, on lit les ordonnées correspondantes aux points d abscisse 16 et situé sur les courbes en noir de M 2 et celle de M+2, on lit environ 46 kg et 70 kg. c. Pensez vous que ces critères soient représentatifs du poids de la population de garçons de 16 ans en 2012? Expliquez votre réponse. Ces courbes sont le fruit de mesures effectuées en 1975. Le poids de la population 25 ans plus tard a évolué. C est pourquoi les courbes de croissances présentées par le ministère de la santé sont revues régulièrement.
Exercice 2 : Un câble et ses défauts Dans l ingénierie, il faut détecter les défauts et tester l usure des câbles afin de décider du moment pour les changer. Pour tester un câble, on mesure au laser le diamètre du câble à espace réguliers (par exemple un millions de fois). Après avoir classé et représenté ces données, on observe qu elles peuvent être approchées par une courbe en cloche. Ci-contre, sont représentées les mesures effectuées la première semaine d utilisation et celles effectuées après trois mois d utilisation intensive. Diamètre du câble 1) A votre avis, quelle courbe représente les mesures effectuées la première semaine? Expliquez votre réponse. La courbe rouge, la plus serrée, correspond aux mesures effectuées lors de la première semaine d utilisation. En effet les valeurs sont très regroupées autour de la valeur moyenne et il y a peu de «défauts». En revanche, après trois mois d utilisation, la moyenne reste identique mais l écart type a augmenté, la courbe est donc moins resserrée. Au fil de temps, la courbe va s aplanir car les mesures vont être de plus en plus dispersées, son diamètre n est plus du tout constant, c est le signe que le câble est bien plus abimé. 2) On change le câble lorsque l écart type initial est multiplié par 5. Lorsque l on décide de changer le câble, les diamètres du câble, exprimés en mm, suivent une loi normale N(45,5²). a. Le câble casse lorsque son diamètre est inférieur ou égal à 38 mm. Quelle est la probabilité que le câble casse la première semaine? lorsque l on se décide à remplacer le câble? au bout d une semaine : X suit une loi normale de paramètre m=45 et = 1 : P(X 38) 1,29 10-12 c'est-à-dire que la probabilité est quasi nulle. Lorsque l on se décide à remplacer le câble : X suit une loi de paramètre m = 45 et = 5 P(X 38) 0,0807 c'est-à-dire que la probabilité que le câble casse est importante. b. Le câble endommage sérieusement le treuil lorsque son diamètre excède 50 mm. Quelle est la probabilité d abimer le treuil au bout d une semaine d utilisation? lorsque l on se décide à changer le câble? au bout d une semaine : X suit une loi normale de paramètre m=45 et = 1 : P(X 50 ) =1- P(X<50) 2,87 10-7 c'est-à-dire que la probabilité est quasi nulle. Lorsque l on se décide à remplacer le câble : X suit une loi de paramètre m = 45 et = 5 P(X 50 ) =1- P(X<50) 0,158 c'est-à-dire que la probabilité que le câble abime le treuil est importante.
Exercice 3 : Sécurité dans l exploitation pétrolière en haute mer. Sur des installations pétrolières, des organes de sécurité sont placés prés de la tête de puits sous-marine. Ils permettent d isoler la zone de production en cas de surpression. Cette organe de sécurité est réglé pour se déclencher à 730 bars ± 3 bars via un disque de rupture qui déclenchera un système de sas. Les essais ont montré que, pour un déclenchement entre 727 et 733 bars, l épaisseur du disque devait être de 3 mm ± 20 microns (1 micron = 0.001mm). De ce disque en céramique dépendra la sécurité d une centaine de personnes ainsi que la non-détérioration de la plateforme (plusieurs millions d euro) Les normes de fiabilité imposées par les compagnies d assurance nécessite un taux de rebut (pourcentage de pièces non conformes) pour l épaisseur du disque de un sur un milliard. 1) L industrie courante permet de nos jours d atteindre des tolérances de l ordre du centième de mm. Dans un repère du plan, tracer la courbe représentative de la loi normale de moyenne 3 mm et d écart type 0.01 mm sur l intervalle [2,96 ; 3,04]. (On pourra prendre pour échelle : 1 cm = 0.01mm pour l axe des abscisses et 1 cm = 10 sur l axe des ordonnées, prévoir environ 15 cm sur l axe des ordonnées) 2) Représenter sur votre graphique la proportion de pièces non conformes. Calculer le taux de rebus. L industrie courante est-elle compatible avec le niveau de sécurité requis est pourquoi? Les pièces conformes sont celles dont l épaisseur est de 3 mm ± 20 microns, c'est-à-dire dont l épaisseur est comprise entre 2.98 mm et 3.02 mm P(2,98<X<3,02) = 0,9545 donc 1 0.9545 = 0,0455 soit un taux de rebus d environ 4.6%. Beaucoup trop grand comparé au 1/10 9 requis. L industrie courante ne peut fabriquer ce type de pièce. 3) A l aide du logiciel Excel, déterminer une valeur approchée à 10-4 de l écart type nécessaire qui permet d obtenir le taux de rebus requis par les assurances pour la fabrication de ces disques par les compagnies d assurances. On pourra utiliser la fonction LOI.NORMALE(k; moyenne; écart type; VRAI) qui calculera P(X<k) On pourra mettre en forme le contenu des cellules suivant la valeur de leur contenu.
On trouve un écart type d environ 0,0032 4) Sur le même graphique, tracer la nouvelle loi normale avec l écart type trouvé dans la question précédente. 5) Seules quelques machines au monde sont actuellement capables de tenir cette précision. Pour ne prendre aucun risque seuls les disques contrôlés entre 2.995 mm et 3.005 mm seront livrés. Quel est le % de pièces produites finalement acceptées de cette machine? (Seule la NASA a été qualifiée pour produire de tels disques de rupture )
1 - P(2,995<X<3,005) 0,118 soit environ 12 % de la production.
Exercice 4 : Gérer un portefeuille! Les études des statisticiens ont montré que la loi normale est la loi qui modélise le mieux les variations relatives des prix des actions. (En mathématique financière, la moyenne est le cours à terme, et l'écart-type est appelée volatilité.) Un particulier hésite entre plusieurs fonds d'investissement ayant les caractéristiques suivantes: «Accelerator» dont le gain moyen est de +15% et l écart type 8% «France investissement» dont le gain moyen est de +10% et l écart type de 2% 1) Sur un critère de 95% de confiance, a. Quel est l'investissement maximisant son gain? b. Quelle est la valeur de ce gain maximal? c. Sur ce même fond d investissement, quelle serait sa perte maximum sur un intervalle à 95%? d. L'autre fond d'investissement permettrait t'il de réduire sa perte? 2) Quel serait la probabilité d'avoir un gain supérieur à 20% pour les 2 fonds? 3) L'investisseur est prêt de la retraite et préfère minimiser ses pertes, quel sera son choix?