LA SOUSTRACTION : SENS ET CALCUL REFLECHI
LE SENS DES PROBLEMES ADDITIFS-SOUSTRACTIFS (G. Vergnaud) LES TRANSFORMATIONS D'ETAT Les situations évoquent une quantité qui évolue au cours du temps. On cherche alors soit l'état initial, soit la transformation, soit l'état final. LES SITUATION DE COMPOSITIONS Ce sont des situations qui évoquent une collection partagée en deux souscollections. On cherche alors soit la valeur du tout, soit la valeur de l'une des parties. LES SITUATIONS DE COMPARAISON Ce sont des situations qui évoquent deux collections ou mesures différentes, qu'on cherche à comparer. On cherche alors soit l'une des mesures, soit la différence entre les deux mesures.?
UN ACCES AU SENS QUI SE CONSTRUIT DANS LA DUREE Exemple d'étude sur des petits nombres: Riley, Greeno, Heeler (1983)
UN ACCES AU SENS QUI SE CONSTRUIT DANS LA DUREE Exemple d'étude sur des petits nombres: Riley, Greeno, Heeler (1983)
UN ACCES AU SENS QUI SE CONSTRUIT DANS LA DUREE Un regard sur problèmes additifs-soustractifs qui a évolué : - les sens des problèmes additifs et soustractifs sont intimement liés ; - les problèmes soustractifs ne sont pas forcément plus difficiles que les problèmes additifs ; - les problèmes additifs ne sont pas seulement ceux où «on ajoute» ; - les problèmes soustractifs ne sont pas seulement ceux où «on retire» ; - les problèmes les plus faciles sont ceux qui «se miment facilement» (qu'on peut évoquer matériellement, représenter par un schéma...) ; - les progressions sur les problèmes doivent être pensées sur le cycle ; Manuel des années soixante : les signes + et - étaient seulement considérés comme une «abréviation» du langage courant conformément aux I.O de l'époque ( obstacle didactique)
ADDITION A TROUS ET SOUSTRACTION : LE SENS ET LES CALCULS Exemple d'étude en fin de CE1 (R. Brissiaud et E. Sander, à paraître) : Problème 1 : Dans sa tirelire Leila a 27 euros. Elle y ajoute d'autres euros et après elle a 31 euros. Combien a-t-elle ajouté d'euros? (68% de réussite) Problème 2 : Dans sa tirelire, Leila a 31 euros. Elle en sort 27 euros pour s'acheter un jouet. Combien lui reste-t-il d'euros dans sa tirelire? (38% de réussite) Analyse : - le problème 1 évoque l'addition à trous 27+... = 31 qui se calcule facilement par surcomptage sur les doigts par exemple ; - le problème 2 évoque la soustraction 31-27 qui est plus difficile à calculer (que ce soit mentalement ou par une opération posée) ; Conclusion : - beaucoup d'élèves de fin de CE1 ne perçoivent pas encore l'équivalence entre les additions à trous et les soustractions (sinon ils feraient le deuxième calcul «en avançant») ; - les problèmes difficiles sont ceux qui génèrent un conflit «d'économie» entre «sens» et «calcul» (le sens induit une stratégie de calcul coûteuse).
UNE SITUATION FONDAMENTALE AU CYCLE 2: LE JEU DE LA BOITE La situation de base : sur le bureau, on dispose d'une boîte opaque qui comporte un certain nombre de cubes (état initial). On ajoute ou retire des cubes (transformation). A la fin la boîte contient un autre nombre de cubes (état final). On dispose de deux données numériques, on recherche la troisième. La situation, tout au long du cycle 2, peut permettre de : - constituer une situation de référence pour les problèmes de transformations d'état ; le sens de ces problèmes peut se consolider en mimant l'action avec les cubes. - de faire émerger puis faire évoluer les stratégies de calcul de soustractions (en avançant, en reculant) et les moyens de les contrôler; sur les petits nombres : dessin des collections, utilisation des doigts de la main, restitution de résultats mémorisés,... ; sur des plus grands nombres (avec appui éventuel sur la droite numérique) : retraits successifs associés aux décompositions d/u, surcomptage par bonds successifs en prenant appui sur les compléments aux dizaines supérieures,... dans les cas plus généraux : utilisation d'une addition à trous qui pourra se perfectionner, mise en forme d'une technique proche de la technique «par emprunt». Vidéos : le jeu de la boîte CP
UNE SITUATION FONDAMENTALE AU CYCLE 2: LE JEU DE LA BOITE La plupart des manuels actuels intègrent des adaptations du «jeu de la boîte» : Extrait du «euromaths CE1» Extrait du «cap maths CE1» bjectifs visés avec cette situation en début de progression sur la soustraction : construire le sens des problèmes additifs-soustractifs ; résoudre les problèmes par des stratégies de calcul rudimentaires (dessins, aide des doigts,...)
UNE SITUATION FONDAMENTALE AU CYCLE 2: LE JEU DE LA BOITE La plupart des manuels actuels intègrent des adaptations du «jeu de la boîte» : Extrait du «euromaths CE1» Extrait du «cap maths CE1» bjectifs visés avec cette situation en fin de progression sur la soustraction : mettre en oeuvre des stratégies de calcul réfléchi plus élaborées, qui utilisent les onnaissances sur les nombres à deux chiffres (numération, compléments aux dizaines); construire (éventuellement) le sens de la technique de la soustraction posée «par emprunt»
LES REPRESENTATIONS SYMBOLIQUES ASSOCIES A LA SOUSTRACTION DES REPRESENTATIONS VARIEES La fonction de ces outils : - aider les élèves à se représenter un problème ; - aider les élèves à réaliser un calcul réfléchi ; - aider les élèves à communiquer, expliciter une solution. DES OUTILS DIFFICILES A UTILISER «il paraît prématuré, au CE1, de vouloir imposer des schémas pour représenter les problèmes additifs et soustractifs. Il est néanmoins intéressant de les proposer aux élèves, en leur laissant la possibilité de les utiliser ou non» (ERMEL CE1) «dans certains pays comme la Nouvelle Zélande, l'emploi de la droite numérique pour résoudre des problèmes d'addition et de soustraction était au programme officiel des classes correspondant au CE1 et CE2, mais les évaluations menées depuis ont révélé des résultats très décevants» (R. Brissiaud)
UN SUPPORT D'AIDE AU CALCUL REFLECHI DE SOUSTRACTIONS Le principe de la règle Brissiaud et le «calcul sur les objets» Exemple de calcul : 45-8 «à 45 on enlève 5 ça fait 40, puis 3 ça fait 37» Mentalement il faut connaître les décompositions additives des petits nombres Exemple de calcul : 37 pour aller à 45-3 -5 «à 37 on rajoute 3 ça fait 40, puis 5 ça fait 45» +3 +5 Mentalement il faut connaître les compléments aux dizaines supérieures Le support «règle de calcul», proche d'une «boîte de cubes» individuelle : - est plus facile à utiliser qu'une droite numérique (et peut la précéder) ; - favorise la construction du lien entre «addition à trous» et «soustraction». - permet de faire du «calcul sur les objets» avant du «calcul mental» ; - peut être utilisé comme support d'aide différenciée dans les activiés de calcul.
UN EXEMPLE DE REPRESENTATION UTILISEE EN CE2 (classe de MC Chades, école Bourran, Mérignac) Phase 1 : le jeu de la boîte. Le jeu de la boîte est utilisé collectivement et régulièrement dans des activités de calcul réfléchi. Les élèves mettent progressivement au point des stratégies de calcul réfléchi de d'additions, de soustractions ou d'additions à trous. Phase 2 : l'introduction du schéma. Lors des phases de correction collective, la maîtresse introduit les schématisations associées aux problèmes résolus. A terme, on dispose d'une affiche qui comporte 6 schémas pêle mêle. On va organiser ces schémas pour pouvoir les utiliser plus facilement si on en a besoin. Phase 3 : l'utilisation du schéma. Lors des séances de résolution de problèmes additifssoustractifs, les élèves peuvent se servir de l'affiche comme aide à la résolution. L'affiche incite les élèves à : - reformuler le problème de façon chronologique ; - identifier la catégorie de problème sous-jacente ; -repérer la «taille» de l'inconnue ; Ces indices orientent vers le choix de l'opération adéquate.
UN EXEMPLE DE JEU SUR LES COMPLEMENTS LE MISTIGRI A 100 Principe du jeu : on enlève une carte du jeu sans la regarder (c'est le «mistigri»). On distribue l'ensemble des cartes. A tour de rôle on récupère dans le jeu de leur voisin de droite une carte. Si on a une paire (la somme fait 100) on la pose sur la table. Le perdant est celui qui conserve la dernière carte. Variante possible : on distribue 5 cartes à chaque joueur, le reste constitue la pioche. A tour de rôle on annonce un nombre qu'on souhaite récupérer (il doit réaliser le complément d'une carte qu'on possède). Si un joueur possède la carte associée, il doit la donner, sinon on pioche une carte. Dès qu'on a une paire on la pose devant soi. Le premier qui a posé toutes ses cartes a gagné. Activités d'accompagnement : on écrit un nombre cible au tableau et on accroche une liste de cartes issues du jeu. Il faut écrire sur l'ardoise (ou piocher dans le jeu) la liste des compléments.