Mécanique de la rupture Etude des fissures macroscopiques, id est dont la géométrie doit être explicitement prise en compte dans la structure. Typiquement, 1mm. Observations Si la longueur de fissure augmente, la résistance de la pièce diminue Propagation/arrêt de fissure Rupture ductile vs rupture fragile, température de transition, résilience Plan : Mécanique linéaire de la rupture Taux de restitution d énergie Etude des champs de contrainte et déformation Facteur d intensité de contrainte Fissures en tridimensionnel Propagation en fatigue
Quelques dates 1920, Griffith rupture d un milieu élastique-fragile, bilan énergétique 1956, Irwin, singularité du champ de contraintes en pointe de fissure 1968, intégrale de Rice-Cherepanov années 70, développement des méthodes numériques, éléments finis années 70, fissuration en fatigue, chargements complexes années 80, aspects 3D approche locale de la fissuration
Taux de restitution d énergie «La puissance mécanique disponible pour ouvrir une fissure de surface A est égale à la variation de l énergie potentielle totale V, appelée taux de restitution d énergie» (unité : joule/ m 2 ) : G = V A propagation si : G 2 γ s 0 arrêt si : 0 G 2 γ s avec γ s énergie spécifique de rupture par unité de surface
Evaluation du taux de restitution d énergie Forces de volume négligées, quasi-statique, solide de volume V, force F d imposée sur S F ) : V = 1 σ 2 : ε dv F d. u ds V S F Et (théorème de la divergence) : 1 σ 2 : ε dv = 1 F. u ds = 1 F d. u ds + 1 F. u d ds V 2 S 2 S F 2 S u V = 1 F. u d ds 1 F d. u ds 2 S u 2 G = 1 2 S F F d. u A ds 1 F 2 S u A. ud ds S F
Cas d une charge ponctuelle, signification physique Avec R, raideur de la structure, C sa souplesse, F la force et U le déplacement : F = R U ; U = C F, avancée à déplacement imposé ou à force imposée : F F F M 0 a. Force imposée U H U 0 U d b. Déplacement imposé Evaluation de l énergie mise en jeu lors d une avancée de fissure
Cas d une charge ponctuelle, expression de G à déplacement imposé, comme F = R U d : G = 1 F 2 S u A. ud ds = 1 ( ) d R 2 d A U d. U d = 1 ( ) F 2 d R 2 R 2 d A à force imposée, comme U = C F d : G = 1 F. u 2 S F A ds = 1 ( ) d C 2 F d. d A F d G = 1 2 F 2 dc da
Quelques valeurs critiques de G matériau valeur (J/m 2 ) verre, céramiques 10 résines fragiles 100 500 composites verre résine 7000 alliages d aluminium 20000 aciers > T trans 100000 métaux purs 10 5 à 10 6
Essai Charpy : le montage
Charpy le professeur X/EMP le film
Essais Charpy sur l acier du Titanic Acier du Titanic Acier A36 actuel
Autres éprouvettes
Solution de Muskhelishvili A A Plaque infinie en traction selon x 2 contenant une fissure de longueur 2a Solution exacte sur l axe x 1 Si x 1 a σ 22 = σ / ( 1 (a/x 1 ) 2) 1/2 σ 11 = σ 22 σ ( σ ) ( ) 1 ν ε 22 = ν + E (1 (a/x 1 ) 2 ) 1/2 ( ) 4 a σ (1 Si 0 x 1 a [u 2 ] = 2u 2 = (x1 /a) 2) 1/2 E
Solution asymptotique de Westergaard x 2 r M Singularité en r 1/2 lorsque r tend vers 0 (on pose x 1 = a + r) : θ x 1 σ 22 σ (a/2r) 1/2 A (a,0) Fissure linéaire chargée perpendiculairement à son axe : mode I Facteur d intensité de contrainte en mode I, K I : ( ) K I = lim σ 22 2 π r r 0
Les 3 modes de sollicitation Mode I Mode II Mode III charge normale cisaillement cisaillement perpendiculaire perpendiculaire parallèle au front au front au front
Mode I σ 11 = σ 22 = σ 12 = u 1 = K I 2µ u 2 = K I 2µ K I cos θ 2πr 2 (1 sin θ 3θ sin 2 2 ) K I cos θ 2πr 2 (1+sin θ 3θ sin 2 2 ) K I cos θ 2πr 2 sin θ 3θ sin 2 2 r 2π cos θ 2 (κ 1+2 θ sin2 2 ) r 2π cos θ 2 (κ+1+2 θ cos2 2 ) avec : κ = 3 4ν en déformations planes et : κ = 3 ν 1 ν en contraintes planes
Calculs par éléments finis d une plaque en traction x 2 σ 22 x 1 Fissure de 2 4mm dans une plaque 40mm 40mm. σ 22 = 100 MPa Par raison de symétrie, on calcule 1/4 de plaque Calculs en contrainte plane et en déformation plane
Champs de contrainte (von Mises) dans une plaque en traction Déformation plane Contrainte plane
Ouverture de fissure dans une plaque en traction 0.012 0.01 U1, EF U2, EF U2, Mushkelishvili 0.008 U (mm) 0.006 0.004 0.002 0-0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 x (mm)
Contrainte devant la fissure dans une plaque en traction 1800 1600 1400 sig22 sig11 sig22, Mushkelishvili sig11, Mushkelishvili Westergaard, sig22 1200 stress (MPa) 1000 800 600 400 200 0-200 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 x (mm)
Contrainte devant la fissure dans une plaque en traction 10000 sig22, EF sig11, EF sig22, Mushkelishvili sig11, Mushkelishvili Westergaard, sig22 stress (MPa) 1000 100 4 4.1 4.2 4.3 4.4 4.5 x (mm)
Mode II K II σ 11 = sin θ 2πr 2 (2+cos θ 2 σ 22 = σ 12 = K II sin θ 2πr 2 cos θ 3θ cos 2 2 cos 3θ 2 ) K II cos θ 2πr 2 (1 sin θ 3θ sin 2 2 ) u 1 = K II r 2µ u 2 = K II 2µ 2π sin θ 2 (κ+1+2 θ cos2 2 ) r 2π cos θ 2 (κ 1 2 θ sin2 2 )
Mode III σ 13 = K III 2πr sin θ 2 σ 23 = K III 2πr cos θ 2 u 3 = 2K II r µ 2π sin θ 2
Remarques L unité de K est le N.m 3/2. On utilise couramment le MPa. m. L énergie de déformation élastique reste finie en pointe de fissure : W e = 1 σ 2 : εdv 1 1 1 r r dr dθ V 2 V r En comparant la solution précédente en θ = 0 et la solution de Muskhelishvili lorsque r tend vers 0 Westergaard : σ 22 K I 2 π r ; Muskhelishvili : σ 22 σ a 2 r K I = σ π a
Remarques (suite) Ne pas confondre K I avec K t, facteur de concentration de contrainte, sans dimension, Au voisinage d un défaut elliptique de longueur 2a et de rayon de courbure ρ : Matériaux anisotropes : K t = σ 22max /σ = 2 a/ρ K ij = lim r 0 σ ij 2 π r (couplage possible entre les modes) - Exemple
Relation entre K et G en mode I x 2 0 0 x Travail nécessaire pour refermer une fissure de longueur 1 a + a a a La densité d effort sur le segment OO passe de 0 (fissure en O ) à σ 22 (fissure est en O) pendant que l ouverture passe de u 2 à 0 il vient en déf.plane : k = 3 4ν G = K I 2 (k + 1) /8 µ en contr.plane : k = 3 ν 1 ν
Relation entre K et G Mode I Contraintes planes : G = K 2 I /E Déformations planes : G = (1 ν 2 )K 2 I /E Plusieurs modes Contraintes planes : Déformations planes : G = 1 E (K I 2 + K II 2 ) + 1 + ν E K III 2 G = 1 ν2 E (K I 2 + K 2 II ) + 1 + ν E K III 2
Etat de contrainte tridimensionnel x2 x 3 x 1 Structures épaisses 0 < σ 11 < σ 33 < σ 22. Glissement dans x 1 x 2 Structures minces 0 < σ 33 0 < σ 11 < σ 22 glissement dans x 2 x 3,
Propagation de fissure en fatigue da/dn (mm/cycle) 1 10-3 10-6 10-9 Fissures "courtes" Fissures "longues" Pas de propagation -3 10 1 a (mm)
Diagramme de Kitagawa σ σ σ u l 1/2 K=KIc a K= K s
Loi de Paris da/dn (mm/cycle) 10 10 10 1-3 -6-9 K S K 1C K da m = C. K dn
Valeur critique et valeur seuil du facteur d intensité de contrainte Matériau K Ic MPa m K s MPa m acier haute résistance (ex : 35NCD16) 60 1 à 4 acier moyenne.résistance (ex : 15MND6)......(basse température) 40 3...(palier ductile) 200 8 alliages d aluminium (ex : 7075) 30 1,5 à 4 alliages de titane (ex : TA6V) 80 2 à 8 composite verre-résine 7 polyéthylène 6,5 polystyrène 0,4 résine époxyde 0,1 verre 0,01