Statistique Biosciences Licence 1

Statistique Biosciences Licence 1 Richard Emilion February 14, 2012

2 / 36 Indications sur le Cours Chapitre I : Statistique Descriptive Univariée

Horaires Contenu du Cours Chapitre I : Statistique descriptive univariée Indications sur le Cours 3 / 36

Horaires Contenu du Cours Chapitre I : Statistique descriptive univariée Horaires 4 / 36 4 cours de 2h Mardi 24/01, 14/02, 06/03, 13/03, 15h45-17h45 (Orléans) Jeudi 26/01, 16/02, 08/03, 15/03, 15h30-17h30 (Chartres) richard.emilion@univ-orleans.fr http://www.univ-orleans.fr/mapmo/membres/emilion 4 séances de TD de 2h

Horaires Contenu du Cours Chapitre I : Statistique descriptive univariée Contenu du Cours 5 / 36 Chapitre I : Statistique descriptive univariée Chapitre II : Régression linéaire simple

Horaires Contenu du Cours Chapitre I : Statistique descriptive univariée Contenu du Cours 5 / 36 Chapitre I : Statistique descriptive univariée Chapitre II : Régression linéaire simple Chapitre III : Test de Student

Horaires Contenu du Cours Chapitre I : Statistique descriptive univariée Chapitre I : Statistique descriptive univariée 6 / 36

Bref Historique 7 / 36 Status (latin), Stato (Italien) : État Statistique Statista (1500), Statistica (1633)

Bref Historique 7 / 36 Status (latin), Stato (Italien) : État Statistique Statista (1500), Statistica (1633) Statistik (1746), Statistics (1798), Statistique (1868)

Bref Historique 7 / 36 Status (latin), Stato (Italien) : État Statistique Statista (1500), Statistica (1633) Statistik (1746), Statistics (1798), Statistique (1868) John Graunt (1620-1674) : tables de naissance/mortalité, estimation de la population d une ville

Bref Historique 7 / 36 Status (latin), Stato (Italien) : État Statistique Statista (1500), Statistica (1633) Statistik (1746), Statistics (1798), Statistique (1868) John Graunt (1620-1674) : tables de naissance/mortalité, estimation de la population d une ville A l origine : Statistique Démographie

Bref Historique 7 / 36 Status (latin), Stato (Italien) : État Statistique Statista (1500), Statistica (1633) Statistik (1746), Statistics (1798), Statistique (1868) John Graunt (1620-1674) : tables de naissance/mortalité, estimation de la population d une ville A l origine : Statistique Démographie Biologie Statistique

Bref Historique 7 / 36 Status (latin), Stato (Italien) : État Statistique Statista (1500), Statistica (1633) Statistik (1746), Statistics (1798), Statistique (1868) John Graunt (1620-1674) : tables de naissance/mortalité, estimation de la population d une ville A l origine : Statistique Démographie Biologie Statistique Sir R.A. Fisher : Biologie, Génétique, Statistique

Bref Historique 7 / 36 Status (latin), Stato (Italien) : État Statistique Statista (1500), Statistica (1633) Statistik (1746), Statistics (1798), Statistique (1868) John Graunt (1620-1674) : tables de naissance/mortalité, estimation de la population d une ville A l origine : Statistique Démographie Biologie Statistique Sir R.A. Fisher : Biologie, Génétique, Statistique Interaction : biostatistique, biotechnologies, bioinformatique

Bref Historique 7 / 36 Status (latin), Stato (Italien) : État Statistique Statista (1500), Statistica (1633) Statistik (1746), Statistics (1798), Statistique (1868) John Graunt (1620-1674) : tables de naissance/mortalité, estimation de la population d une ville A l origine : Statistique Démographie Biologie Statistique Sir R.A. Fisher : Biologie, Génétique, Statistique Interaction : biostatistique, biotechnologies, bioinformatique Biologie Statistique Informatique

Population, Individus, Unité, Échantillon Objectif Échantillonnage Table de nombres au hasard 12 / 36 Caractère, Domaine, Modalités Typologie des Variables Observations, Notation : x i, Distribution Effectif, Notation : (x i, N i ) 8 / 36

Population, Individus, Unité, Population, Individus, Unité, Échantillon Objectif Échantillonnage Table de nombres au hasard 12 / 36 Caractère, Domaine, Modalités Typologie des Variables Observations, Notation : x i, Distribution Effectif, Notation : (x i, N i ) Échantillon 9 / 36 Ensemble que l on veut étudier : Population, Ω Exemples : Ω = {baleines}, Ω = {cellules du foie}, Ω = Sang de Claude...

Population, Individus, Unité, Population, Individus, Unité, Échantillon Objectif Échantillonnage Table de nombres au hasard 12 / 36 Caractère, Domaine, Modalités Typologie des Variables Observations, Notation : x i, Distribution Effectif, Notation : (x i, N i ) Échantillon 9 / 36 Ensemble que l on veut étudier : Population, Ω Exemples : Ω = {baleines}, Ω = {cellules du foie}, Ω = Sang de Claude... Élément ω de Ω : individu ou unité statistique

Population, Individus, Unité, Population, Individus, Unité, Échantillon Objectif Échantillonnage Table de nombres au hasard 12 / 36 Caractère, Domaine, Modalités Typologie des Variables Observations, Notation : x i, Distribution Effectif, Notation : (x i, N i ) Échantillon 9 / 36 Ensemble que l on veut étudier : Population, Ω Exemples : Ω = {baleines}, Ω = {cellules du foie}, Ω = Sang de Claude... Élément ω de Ω : individu ou unité statistique Ex : ω = une baleine, ω = une cellule, ω = une goutte

Population, Individus, Unité, Population, Individus, Unité, Échantillon Objectif Échantillonnage Table de nombres au hasard 12 / 36 Caractère, Domaine, Modalités Typologie des Variables Observations, Notation : x i, Distribution Effectif, Notation : (x i, N i ) Échantillon 9 / 36 Ensemble que l on veut étudier : Population, Ω Exemples : Ω = {baleines}, Ω = {cellules du foie}, Ω = Sang de Claude... Élément ω de Ω : individu ou unité statistique Ex : ω = une baleine, ω = une cellule, ω = une goutte Échantillon de Ω : sous-ensemble fini de Ω : ω 1,..., ω N Exemples : 30 baleines, 100 cellules, 1000 gouttes

Population, Individus, Unité, Population, Individus, Unité, Échantillon Objectif Échantillonnage Table de nombres au hasard 12 / 36 Caractère, Domaine, Modalités Typologie des Variables Observations, Notation : x i, Distribution Effectif, Notation : (x i, N i ) Échantillon 9 / 36 Ensemble que l on veut étudier : Population, Ω Exemples : Ω = {baleines}, Ω = {cellules du foie}, Ω = Sang de Claude... Élément ω de Ω : individu ou unité statistique Ex : ω = une baleine, ω = une cellule, ω = une goutte Échantillon de Ω : sous-ensemble fini de Ω : ω 1,..., ω N Exemples : 30 baleines, 100 cellules, 1000 gouttes Taille N de l Échantillon : nombre d éléments de l échantillon. Ex : N = 30, 100, 1000.

Population, Individus, Unité, Population, Individus, Unité, Échantillon Objectif Échantillonnage Table de nombres au hasard 12 / 36 Caractère, Domaine, Modalités Typologie des Variables Observations, Notation : x i, Distribution Effectif, Notation : (x i, N i ) Échantillon 9 / 36 Ensemble que l on veut étudier : Population, Ω Exemples : Ω = {baleines}, Ω = {cellules du foie}, Ω = Sang de Claude... Élément ω de Ω : individu ou unité statistique Ex : ω = une baleine, ω = une cellule, ω = une goutte Échantillon de Ω : sous-ensemble fini de Ω : ω 1,..., ω N Exemples : 30 baleines, 100 cellules, 1000 gouttes Taille N de l Échantillon : nombre d éléments de l échantillon. Ex : N = 30, 100, 1000. Échantillonnage : techniques de choix judicieux et réaliste de l échantillon

Population, Individus, Unité, Échantillon Objectif Échantillonnage Table de nombres au hasard 12 / 36 Caractère, Domaine, Modalités Typologie des Variables Observations, Notation : x i, Distribution Effectif, Notation : (x i, N i ) Objectif 10 / 36 Objectif : A partir de l échantillon observé, inférer (déduire) des propriétés sur Ω Intérêts pratiques : décrire, contrôler, prédire, apporter une aide à la décision

Population, Individus, Unité, Échantillon Objectif Échantillonnage Table de nombres au hasard 12 / 36 Caractère, Domaine, Modalités Typologie des Variables Observations, Notation : x i, Distribution Effectif, Notation : (x i, N i ) Échantillonnage, Strates 11 / 36 L échantillonnage peut être Probabiliste : toute unité a une chance d être choisie Non probabiliste : choix arbitraire des sondés

Population, Individus, Unité, Échantillon Objectif Échantillonnage Table de nombres au hasard 12 / 36 Caractère, Domaine, Modalités Typologie des Variables Observations, Notation : x i, Distribution Effectif, Notation : (x i, N i ) Échantillonnage, Strates 11 / 36 L échantillonnage peut être Probabiliste : toute unité a une chance d être choisie Non probabiliste : choix arbitraire des sondés Stratifié : Ω est partitionné en strates (groupes) homogènes disjoints, sélection dans chaque strate d un petit échantilllon. Exemple : strates d âges, de profession,...

Table de nombres au hasard

Population, Individus, Unité, Échantillon Objectif Échantillonnage Table de nombres au hasard 12 / 36 Caractère, Domaine, Modalités Typologie des Variables Observations, Notation : x i, Distribution Effectif, Notation : (x i, N i ) Caractère, Domaine, Modalites 13 / 36 Caractère ou Variable X : Application de Ω dans un ensemble connu V appelé Domaine. Les éléments de V sont appelés Modalités Caractère, Variable, Descripteur

Population, Individus, Unité, Échantillon Objectif Échantillonnage Table de nombres au hasard 12 / 36 Caractère, Domaine, Modalités Typologie des Variables Observations, Notation : x i, Distribution Effectif, Notation : (x i, N i ) Caractère, Domaine, Modalites 13 / 36 Caractère ou Variable X : Application de Ω dans un ensemble connu V appelé Domaine. Les éléments de V sont appelés Modalités Caractère, Variable, Descripteur Exemple : Ω = {baleines}, X : Ω [0, + [ X (ω) : poids de la baleine ω. Donc ici V = [0, + [.

Population, Individus, Unité, Échantillon Objectif Échantillonnage Table de nombres au hasard 12 / 36 Caractère, Domaine, Modalités Typologie des Variables Observations, Notation : x i, Distribution Effectif, Notation : (x i, N i ) Caractère, Domaine, Modalites 13 / 36 Caractère ou Variable X : Application de Ω dans un ensemble connu V appelé Domaine. Les éléments de V sont appelés Modalités Caractère, Variable, Descripteur Exemple : Ω = {baleines}, X : Ω [0, + [ X (ω) : poids de la baleine ω. Donc ici V = [0, + [. Exemple : Ω = {cellules}, X : Ω V = {cancéreuse, non cancéreuse }

Population, Individus, Unité, Échantillon Objectif Échantillonnage Table de nombres au hasard 12 / 36 Caractère, Domaine, Modalités Typologie des Variables Observations, Notation : x i, Distribution Effectif, Notation : (x i, N i ) Typologie des Variables 14 / 36 Caractère Quantitatif : on peut faire des opérations arithmétiques sur V. En général V = N, Z, R, R 2,... Exemples : Poids, Taille, Durée

Population, Individus, Unité, Échantillon Objectif Échantillonnage Table de nombres au hasard 12 / 36 Caractère, Domaine, Modalités Typologie des Variables Observations, Notation : x i, Distribution Effectif, Notation : (x i, N i ) Typologie des Variables 14 / 36 Caractère Quantitatif : on peut faire des opérations arithmétiques sur V. En général V = N, Z, R, R 2,... Exemples : Poids, Taille, Durée Quantitatif discret : V est dénombrable. Ex : X (ω) = Nombre de feuilles de ω.

Population, Individus, Unité, Échantillon Objectif Échantillonnage Table de nombres au hasard 12 / 36 Caractère, Domaine, Modalités Typologie des Variables Observations, Notation : x i, Distribution Effectif, Notation : (x i, N i ) Typologie des Variables 14 / 36 Caractère Quantitatif : on peut faire des opérations arithmétiques sur V. En général V = N, Z, R, R 2,... Exemples : Poids, Taille, Durée Quantitatif discret : V est dénombrable. Ex : X (ω) = Nombre de feuilles de ω. Quantitatif continu : V non dénombrable. Ex : Temps de réaction.

Population, Individus, Unité, Échantillon Objectif Échantillonnage Table de nombres au hasard 12 / 36 Caractère, Domaine, Modalités Typologie des Variables Observations, Notation : x i, Distribution Effectif, Notation : (x i, N i ) Typologie des Variables 14 / 36 Caractère Quantitatif : on peut faire des opérations arithmétiques sur V. En général V = N, Z, R, R 2,... Exemples : Poids, Taille, Durée Quantitatif discret : V est dénombrable. Ex : X (ω) = Nombre de feuilles de ω. Quantitatif continu : V non dénombrable. Ex : Temps de réaction. Caractère Qualitatif : type, couleur, profession

Population, Individus, Unité, Échantillon Objectif Échantillonnage Table de nombres au hasard 12 / 36 Caractère, Domaine, Modalités Typologie des Variables Observations, Notation : x i, Distribution Effectif, Notation : (x i, N i ) Typologie des Variables 14 / 36 Caractère Quantitatif : on peut faire des opérations arithmétiques sur V. En général V = N, Z, R, R 2,... Exemples : Poids, Taille, Durée Quantitatif discret : V est dénombrable. Ex : X (ω) = Nombre de feuilles de ω. Quantitatif continu : V non dénombrable. Ex : Temps de réaction. Caractère Qualitatif : type, couleur, profession Qualitatif ordinal. Ex. V = {Blanc, Gris, Noir} peut être ordonné

Population, Individus, Unité, Échantillon Objectif Échantillonnage Table de nombres au hasard 12 / 36 Caractère, Domaine, Modalités Typologie des Variables Observations, Notation : x i, Distribution Effectif, Notation : (x i, N i ) Typologie des Variables 14 / 36 Caractère Quantitatif : on peut faire des opérations arithmétiques sur V. En général V = N, Z, R, R 2,... Exemples : Poids, Taille, Durée Quantitatif discret : V est dénombrable. Ex : X (ω) = Nombre de feuilles de ω. Quantitatif continu : V non dénombrable. Ex : Temps de réaction. Caractère Qualitatif : type, couleur, profession Qualitatif ordinal. Ex. V = {Blanc, Gris, Noir} peut être ordonné Qualitatif nominal. Ex. V = {Homme, Femme}

Population, Individus, Unité, Échantillon Objectif Échantillonnage Table de nombres au hasard 12 / 36 Caractère, Domaine, Modalités Typologie des Variables Observations, Notation : x i, Distribution Effectif, Notation : (x i, N i ) Observations, Notation : x i 15 / 36 Si l échantillon a N éléments : ω 1,..., ω N on note x 1 l observation X (ω 1 ),..., x N l observation X (ω N ).

Population, Individus, Unité, Échantillon Objectif Échantillonnage Table de nombres au hasard 12 / 36 Caractère, Domaine, Modalités Typologie des Variables Observations, Notation : x i, Distribution Effectif, Notation : (x i, N i ) Observations, Notation : x i 15 / 36 Si l échantillon a N éléments : ω 1,..., ω N on note x 1 l observation X (ω 1 ),..., x N l observation X (ω N ). Exemple : N = 30 baleines, X : Poids en Kg x i =167.446, 153.526, 150.396, 167.047 163.550 155.365, 163.267, 159.660, 165.748, 165.574, 159.962, 160.164, 151.824, 165.327, 157.652, 162.033, 166.092, 160.608, 162.841, 167.416, 167.685, 167.041, 153.067, 150.644, 157.343, 157.836, 156.868, 163.500, 154.077, 161.737.

Population, Individus, Unité, Échantillon Objectif Échantillonnage Table de nombres au hasard 12 / 36 Caractère, Domaine, Modalités Typologie des Variables Observations, Notation : x i, Distribution Effectif, Notation : (x i, N i ) Observations, Notation : x i 15 / 36 Si l échantillon a N éléments : ω 1,..., ω N on note x 1 l observation X (ω 1 ),..., x N l observation X (ω N ). Exemple : N = 30 baleines, X : Poids en Kg x i =167.446, 153.526, 150.396, 167.047 163.550 155.365, 163.267, 159.660, 165.748, 165.574, 159.962, 160.164, 151.824, 165.327, 157.652, 162.033, 166.092, 160.608, 162.841, 167.416, 167.685, 167.041, 153.067, 150.644, 157.343, 157.836, 156.868, 163.500, 154.077, 161.737. On dit aussi qu on a observé une distribution de N nombres.

Population, Individus, Unité, Échantillon Objectif Échantillonnage Table de nombres au hasard 12 / 36 Caractère, Domaine, Modalités Typologie des Variables Observations, Notation : x i, Distribution Effectif, Notation : (x i, N i ) Effectif, Notation : (x i, N i ) 16 / 36 Pour simplifier l affichage, si une donnée (une observation) x i se répète N i fois on affiche simplement (x i, N i ). Exemple : x i = 5, 3, 4, 3, 7, 5, 4, 3, 9, 7, 3, 4, 5, 7, 4, 8, 4, 9 se notera (x i, N i ) = (3,4), (4,5), (5,3), (7,3), (8,1), (9,2). Ces dernières valeurs sont distinctes. N i s appelle l effectif de la valeur x i Ici la taille de l échantillon est N = 18. Noter que la somme des effectifs 4 + 5 + 3 + 3 + 1 + 2 vaut 18, la taille de l échantillon. De manière générale, on a N i = N i

Moyenne Propriétés de la Moyenne Variance avec biais Variance : Démonstration Variance sans biais Ecart-type Erreur standard, coefficient de variation Graphique moyenne, Erreur-Standard Exemple de calcul 17 / 36

Moyenne Propriétés de la Moyenne Variance avec biais Variance : Démonstration Variance sans biais Ecart-type Erreur standard, coefficient de variation Graphique moyenne, Erreur-Standard Exemple de calcul Moyenne 18 / 36 Variable quantitative. On appelle moyenne m de l échantillon observé la moyenne arithmétique des observations: m = x 1+...+x N N Si les observations distinctes sont exprimées avec des effectifs, en remarquant que 5+5+5 = 3x5, on a x 1 +... + x N = i N i x i et donc m = i N i x i N

Moyenne Propriétés de la Moyenne Variance avec biais Variance : Démonstration Variance sans biais Ecart-type Erreur standard, coefficient de variation Graphique moyenne, Erreur-Standard Exemple de calcul Propriétés de la Moyenne 19 / 36 la moyenne résume la distribution de N nombres en un seul nombre on peut montrer que c est le meilleur, en un certain sens, résumé

Moyenne Propriétés de la Moyenne Variance avec biais Variance : Démonstration Variance sans biais Ecart-type Erreur standard, coefficient de variation Graphique moyenne, Erreur-Standard Exemple de calcul Propriétés de la Moyenne 19 / 36 la moyenne résume la distribution de N nombres en un seul nombre on peut montrer que c est le meilleur, en un certain sens, résumé la moyenne indique une tendance générale de la distribution.

Moyenne Propriétés de la Moyenne Variance avec biais Variance : Démonstration Variance sans biais Ecart-type Erreur standard, coefficient de variation Graphique moyenne, Erreur-Standard Exemple de calcul Propriétés de la Moyenne 19 / 36 la moyenne résume la distribution de N nombres en un seul nombre on peut montrer que c est le meilleur, en un certain sens, résumé la moyenne indique une tendance générale de la distribution. Quand N est assez grand, on montre que la moyenne m est une bonne estimation (approximation) de la moyenne inconnue, notée µ, de la population Ω x x est de moyenne nulle : on a centré x

Moyenne Propriétés de la Moyenne Variance avec biais Variance : Démonstration Variance sans biais Ecart-type Erreur standard, coefficient de variation Graphique moyenne, Erreur-Standard Exemple de calcul Variance avec biais 20 / 36 Variance, var : moyenne des carrés des écarts entre observations et m. var 0, On pose s = var, soit var = s 2. Donc s 0 et s 2 = (x 1 m) 2 +... + (x N m) 2. N On va montrer que s 2 = x2 1 +...+x2 N N m 2 s 2 = moyenne des carrés moins carré de la moyenne. Si les observations distinctes sont exprimées avec des effectifs, on a s 2 = i N i x 2 i N m 2

Moyenne Propriétés de la Moyenne Variance avec biais Variance : Démonstration Variance sans biais Ecart-type Erreur standard, coefficient de variation Graphique moyenne, Erreur-Standard Exemple de calcul Variance : Démonstration 21 / 36 On part de (x i m) 2 = xi 2 2x i m + m 2 On a (x i m) 2 = xi 2 2m x i + m 2 i i i i = xi 2 2mNm + Nm 2 car i i x i = Nm = i x 2 i Nm 2 en divisant les deux membres par N on obtient donc s 2 = x 2 1 +... + x 2 N N m 2

Moyenne Propriétés de la Moyenne Variance avec biais Variance : Démonstration Variance sans biais Ecart-type Erreur standard, coefficient de variation Graphique moyenne, Erreur-Standard Exemple de calcul Variance sans biais 22 / 36 si les observations sont en mètres, variance : en mètres carrés variance petite : distribution concentrée autour de m

Moyenne Propriétés de la Moyenne Variance avec biais Variance : Démonstration Variance sans biais Ecart-type Erreur standard, coefficient de variation Graphique moyenne, Erreur-Standard Exemple de calcul Variance sans biais 22 / 36 si les observations sont en mètres, variance : en mètres carrés variance petite : distribution concentrée autour de m variance grande : distribution dispersée par rapport à m

Moyenne Propriétés de la Moyenne Variance avec biais Variance : Démonstration Variance sans biais Ecart-type Erreur standard, coefficient de variation Graphique moyenne, Erreur-Standard Exemple de calcul Variance sans biais 22 / 36 si les observations sont en mètres, variance : en mètres carrés variance petite : distribution concentrée autour de m variance grande : distribution dispersée par rapport à m s 2 : estimation de la variance inconnue de la population, s écarte de celle-ci : estimation avec biais.

Moyenne Propriétés de la Moyenne Variance avec biais Variance : Démonstration Variance sans biais Ecart-type Erreur standard, coefficient de variation Graphique moyenne, Erreur-Standard Exemple de calcul Variance sans biais 22 / 36 si les observations sont en mètres, variance : en mètres carrés variance petite : distribution concentrée autour de m variance grande : distribution dispersée par rapport à m s 2 : estimation de la variance inconnue de la population, s écarte de celle-ci : estimation avec biais. N On pose σ = N 1 s soit σ2 = N N 1 s2

Moyenne Propriétés de la Moyenne Variance avec biais Variance : Démonstration Variance sans biais Ecart-type Erreur standard, coefficient de variation Graphique moyenne, Erreur-Standard Exemple de calcul Variance sans biais 22 / 36 si les observations sont en mètres, variance : en mètres carrés variance petite : distribution concentrée autour de m variance grande : distribution dispersée par rapport à m s 2 : estimation de la variance inconnue de la population, s écarte de celle-ci : estimation avec biais. N On pose σ = N 1 s soit σ2 = N N 1 s2 σ 2 : estimation sans biais de la variance inconnue de la population

Moyenne Propriétés de la Moyenne Variance avec biais Variance : Démonstration Variance sans biais Ecart-type Erreur standard, coefficient de variation Graphique moyenne, Erreur-Standard Exemple de calcul Ecart-type 23 / 36 On appelle écart-type le nombre s = var s est dans la même unité que les observations

Moyenne Propriétés de la Moyenne Variance avec biais Variance : Démonstration Variance sans biais Ecart-type Erreur standard, coefficient de variation Graphique moyenne, Erreur-Standard Exemple de calcul Ecart-type 23 / 36 On appelle écart-type le nombre s = var s est dans la même unité que les observations s exprime une distance entre la distribution et la moyenne m

Moyenne Propriétés de la Moyenne Variance avec biais Variance : Démonstration Variance sans biais Ecart-type Erreur standard, coefficient de variation Graphique moyenne, Erreur-Standard Exemple de calcul Ecart-type 23 / 36 On appelle écart-type le nombre s = var s est dans la même unité que les observations s exprime une distance entre la distribution et la moyenne m plus s est petit plus la distribution est concentrée autour de la moyenne m

Moyenne Propriétés de la Moyenne Variance avec biais Variance : Démonstration Variance sans biais Ecart-type Erreur standard, coefficient de variation Graphique moyenne, Erreur-Standard Exemple de calcul Ecart-type 23 / 36 On appelle écart-type le nombre s = var s est dans la même unité que les observations s exprime une distance entre la distribution et la moyenne m plus s est petit plus la distribution est concentrée autour de la moyenne m σ est l écart-type correspondant à une variance sans biais.

Moyenne Propriétés de la Moyenne Variance avec biais Variance : Démonstration Variance sans biais Ecart-type Erreur standard, coefficient de variation Graphique moyenne, Erreur-Standard Exemple de calcul Erreur standard, coefficient de variation 24 / 36 On appelle Erreur standard (e.s.) le nombre s N ou dans le cas sans biais σ N s m : Coefficient de Variation. Indicateur de turbulence en physique, de volatilité en finance

Moyenne Propriétés de la Moyenne Variance avec biais Variance : Démonstration Variance sans biais Ecart-type Erreur standard, coefficient de variation Graphique moyenne, Erreur-Standard Exemple de calcul Graphique moyenne, Erreur-Standard 25 / 36 L intervalle [m s N,m + s N ] centré en m : souvent choisi comme intervalle qui contient la vraie moyenne µ de la population avec une grande confiance. Richard Emilion sstatistique Biosciences s Licence 1

Moyenne Propriétés de la Moyenne Variance avec biais Variance : Démonstration Variance sans biais Ecart-type Erreur standard, coefficient de variation Graphique moyenne, Erreur-Standard Exemple de calcul Exemple de calcul 26 / 36 Temps de réaction (secondes) par ordre croissant Σ x i 7 8 9 10 11 N i 35 102 154 124 50 N = 465 N i x i 245 816 1386 1240 550 4237 N i xi 2 1715 6528 12474 12400 6050 39167 N i cum 35 137 291 415 465 m = 9,11, s 2 = 1,205, s = 1,098. e.s. = s 465 = 0, 051

Mode Médiane (1) Médiane (2) Médiane (3) Quartiles Mode 27 / 36 Temps de réaction (secondes). Σ x i 7 8 9 10 11 N i 35 102 154 124 50 N = 465 N i x i 245 816 1386 1240 550 4237 N i xi 2 1715 6528 12474 12400 6050 39167 N i cum 35 137 291 415 465 Mode = 9. Valeur pour laquelle l effectif est le plus grand. Ici il n y a qu un seul mode. Distribution monomodale. Il se peut qu il y ait deux modes : distribution bimodale, ou plusieurs modes : distribution multimodale.

Mode Médiane (1) Médiane (2) Médiane (3) Quartiles Médiane, N impair 28 / 36 N = 11 longueurs de pétales d iris (Fisher) x i = 5.1 1.7 5.1 1.5 4.4 4.4 5.4 5.6 6.1 1.5 4.1 Ranger par ordre croissant

Mode Médiane (1) Médiane (2) Médiane (3) Quartiles Médiane, N impair 28 / 36 N = 11 longueurs de pétales d iris (Fisher) x i = 5.1 1.7 5.1 1.5 4.4 4.4 5.4 5.6 6.1 1.5 4.1 Ranger par ordre croissant x (1) = 1.5, x (2) = 1.5, x (3) = 1.7, x (4) = 4.1, x (5) = 4.4, x (6) = 4.4, x (7) = 5.1, x (8) = 5.1, x (9) = 5.4, x (10) = 5.6, x (11) = 6.1

Mode Médiane (1) Médiane (2) Médiane (3) Quartiles Médiane, N impair 28 / 36 N = 11 longueurs de pétales d iris (Fisher) x i = 5.1 1.7 5.1 1.5 4.4 4.4 5.4 5.6 6.1 1.5 4.1 Ranger par ordre croissant x (1) = 1.5, x (2) = 1.5, x (3) = 1.7, x (4) = 4.1, x (5) = 4.4, x (6) = 4.4, x (7) = 5.1, x (8) = 5.1, x (9) = 5.4, x (10) = 5.6, x (11) = 6.1 Médiane : valeur centrale, 50% de l échantillon est au dessous de cette valeur, 50% au dessus.

Mode Médiane (1) Médiane (2) Médiane (3) Quartiles Médiane, N impair 28 / 36 N = 11 longueurs de pétales d iris (Fisher) x i = 5.1 1.7 5.1 1.5 4.4 4.4 5.4 5.6 6.1 1.5 4.1 Ranger par ordre croissant x (1) = 1.5, x (2) = 1.5, x (3) = 1.7, x (4) = 4.1, x (5) = 4.4, x (6) = 4.4, x (7) = 5.1, x (8) = 5.1, x (9) = 5.4, x (10) = 5.6, x (11) = 6.1 Médiane : valeur centrale, 50% de l échantillon est au dessous de cette valeur, 50% au dessus. Dans ce cas-ci : Médiane = x (6) = 4.4. Il y a 6 observations en dessous de cette valeur et 6 au dessus (en comptant la médiane).

Mode Médiane (1) Médiane (2) Médiane (3) Quartiles Médiane, N pair 29 / 36 N = 10 longueurs de pétales d iris x i = 5.1 1.7 5.1 1.5 4.4 4.4 5.4 5.6 6.1 1.5 Ranger par ordre croissant

Mode Médiane (1) Médiane (2) Médiane (3) Quartiles Médiane, N pair 29 / 36 N = 10 longueurs de pétales d iris x i = 5.1 1.7 5.1 1.5 4.4 4.4 5.4 5.6 6.1 1.5 Ranger par ordre croissant x (1) = 1.5, x (2) = 1.5, x (3) = 1.7, x (4) = 4.4, x (5) = 4.4, x (6) = 5.1, x (7) = 5.1, x (8) = 5.4, x (9) = 5.6, x (10) = 6.1

Mode Médiane (1) Médiane (2) Médiane (3) Quartiles Médiane, N pair 29 / 36 N = 10 longueurs de pétales d iris x i = 5.1 1.7 5.1 1.5 4.4 4.4 5.4 5.6 6.1 1.5 Ranger par ordre croissant x (1) = 1.5, x (2) = 1.5, x (3) = 1.7, x (4) = 4.4, x (5) = 4.4, x (6) = 5.1, x (7) = 5.1, x (8) = 5.4, x (9) = 5.6, x (10) = 6.1 Médiane : valeur centrale, 50% de l échantillon est au dessous de cette valeur, 50% au dessus dessus.

Mode Médiane (1) Médiane (2) Médiane (3) Quartiles Médiane, N pair 29 / 36 N = 10 longueurs de pétales d iris x i = 5.1 1.7 5.1 1.5 4.4 4.4 5.4 5.6 6.1 1.5 Ranger par ordre croissant x (1) = 1.5, x (2) = 1.5, x (3) = 1.7, x (4) = 4.4, x (5) = 4.4, x (6) = 5.1, x (7) = 5.1, x (8) = 5.4, x (9) = 5.6, x (10) = 6.1 Médiane : valeur centrale, 50% de l échantillon est au dessous de cette valeur, 50% au dessus dessus. Dans ce cas-ci : Médiane = x (5)+x (6) 2 = 9.5 2 = 4.75.

Mode Médiane (1) Médiane (2) Médiane (3) Quartiles Médiane, N pair 29 / 36 N = 10 longueurs de pétales d iris x i = 5.1 1.7 5.1 1.5 4.4 4.4 5.4 5.6 6.1 1.5 Ranger par ordre croissant x (1) = 1.5, x (2) = 1.5, x (3) = 1.7, x (4) = 4.4, x (5) = 4.4, x (6) = 5.1, x (7) = 5.1, x (8) = 5.4, x (9) = 5.6, x (10) = 6.1 Médiane : valeur centrale, 50% de l échantillon est au dessous de cette valeur, 50% au dessus dessus. Dans ce cas-ci : Médiane = x (5)+x (6) 2 = 9.5 2 = 4.75. Il y a 5 observations en dessous et 5 au dessus de cette valeur.

Mode Médiane (1) Médiane (2) Médiane (3) Quartiles Médiane 30 / 36 Obrservations x 1,..., x N Ranger par ordre croissant

Mode Médiane (1) Médiane (2) Médiane (3) Quartiles Médiane 30 / 36 Obrservations x 1,..., x N Ranger par ordre croissant x (1)... x (i)... x (N)

Mode Médiane (1) Médiane (2) Médiane (3) Quartiles Médiane 30 / 36 Obrservations x 1,..., x N Ranger par ordre croissant x (1)... x (i)... x (N) Médiane : valeur centrale, 50% de l échantillon est au dessous de cette valeur, 50% au dessus dessus.

Mode Médiane (1) Médiane (2) Médiane (3) Quartiles Médiane 30 / 36 Obrservations x 1,..., x N Ranger par ordre croissant x (1)... x (i)... x (N) Médiane : valeur centrale, 50% de l échantillon est au dessous de cette valeur, 50% au dessus dessus. Médiane = x ( N+1 ) si N est impair 2 x ( N 2 ) +x ( N 2 +1) 2 si N est pair

Mode Médiane (1) Médiane (2) Médiane (3) Quartiles Quartiles 31 / 36 Temps de réaction (secondes). Ranger par ordre croissant. Σ x i 7 8 9 10 11 N i 35 102 154 124 50 N = 465 N i x i 245 816 1386 1240 550 4237 N i xi 2 1715 6528 12474 12400 6050 39167 N i cum 35 137 291 415 465 1er quartile Q 1 = 8, plus petite valeur de x i où le cumul des N i dépasse 25% de 465 = 116,25. 2ème quartile = Médiane, Q 2 = 9 (cum dépasse 50% 465 = 232,5). 3ème quartile Q 3 = 10 (cumul dépasse 75% 465 = 348,75).

Boîte à moustache Diagramme sectoriel Histogramme Fonction de Répartition Fonction de Répartition Boîte à moustache 32 / 36 Figure: Min, Q 1, Q 2, Q 3, Max Max - Min : Étendue, Q 3 Q 1 : Écart interquartile

Boîte à moustache Diagramme sectoriel Histogramme Fonction de Répartition Fonction de Répartition Diagramme sectoriel 33 / 36 Variable Qualitative. Séquence ADN. x i = A, C, G, C, A, T, C, G, A, A, C, T, T, G, A, A, A, A, G, A, G, G, A, A, C, T, C, C, A, A. Figure: A (43.3%), C (23.3%) G(20%) T(13.3%)

Boîte à moustache Diagramme sectoriel Histogramme Fonction de Répartition Fonction de Répartition Histogramme de fréquence 34 / 36 N = 100, m = 150.45, s 2 = 43.03, s = 6.56, σ 2 = 43.46, σ = 6.59 Poids de 100 Baleines (Tonnes) Densité 0.00 0.02 0.04 0.06 0.08 <---------------Surface S3 = 0.75-------------------> <---------Surface S2 = 0.50-------------> <--Surface S1 = 0.25------> q1 = 145.7 q2 = 150.5 q3 = 155 Surface Totale des rectangles = 1 135 140 145 150 155 160 165 Poids (Tonnes) Figure: Histogramme de fréquence et quartiles

Boîte à moustache Diagramme sectoriel Histogramme Fonction de Répartition Fonction de Répartition Fonction de Répartition 35 / 36 Variable Quantitative Discrète. Nombre de fourmis (50 feuilles). (x i, N i ) = (1, 5), (2, 9), (3, 15), (4, 10), (5, 6), (6, 3), (8, 2). Figure: Cumul des fréquences 1 (0.1), 2 (0.18), 3 (0.3), 4 (0.2), 5 (0.12), 6 (0.06), 8 (0.04)

Boîte à moustache Diagramme sectoriel Histogramme Fonction de Répartition Fonction de Répartition Fonction de Répartition 36 / 36 Variable Quantitative Continue. Longueur de pétale de 50 Iris Ventosa (Fisher). (x i, N i ) = (]4.5 5], 9), (]5 5.5], 16), (]5.5 6], 16), (]6 6.5], 5), (]6.5 7], 4) Fréquences : 0.18, 0.32, 0.32, 0.10, 0.08 50 Iris Vetosa Fréquence cumulée 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 0.75 0.5 0.25 Q1=5.12 Q2=5.5 Q3=5.9 4.5 5.0 5.5 6.0 6.5 7.0 Longueur de Pétale Figure: Fonction de Répartition, Quartiles