Première L COMPOSITION DE MATHEMATIQUES - INFORMATIQUE Mai 2007 Durée de l épreuve : 1 h 30 Le candidat doit traiter les 2 exercices La qualité de la rédaction, la clarté et la précision des justifications entreront pour une part importante dans l appréciation des copies. L usage de la calculatrice est autorisé. Le sujet comporte 4 pages, y compris celle-ci. 1
Exercice 1 : Fréquences cardiaques (12 points) On a étudié les fréquences cardiaques d un groupe de 60 sportifs amateurs hommes et femmes (appelé groupe I), pratiquant leur sport de 2 à 4 fois par semaine. La fréquence cardiaque est le nombre de pulsations du cœur par minute. Pour chacun de ces sportifs du groupe I, on mesure la fréquence cardiaque au repos (FCR) c'est-àdire la fréquence cardiaque la plus faible rencontrée chez cette personne, mesurée après plusieurs essais après une longue période de calme et de repos. Les résultats de cette étude sont récapitulés dans le tableau ci-dessous où les fréquences cardiaques au repos (FCR) des 60 sportifs du groupe I sont classées par ordre croissant. 1) a) Déterminer la médiane ainsi que les premier et troisième quartiles de la série des FCR. b) Construire sur l axe D 1 de l annexe un diagramme en boîte pour cette série. 2) a) Compléter le tableau de l annexe et tracer, sur la copie, une représentation graphique de la série des FCR des 60 sportifs du groupe I. b) Calculer la moyenne x de cette série. 3) a) On suppose que les FCR des sportifs du groupe I sont des données gaussiennes dont l écart type σ est égal à 4,06. Déterminer l intervalle [52-2σ ;52 + 2σ ]. Comment nomme-t-on cet intervalle? b) Calculer le pourcentage de sportifs dont la FCR est située dans cet intervalle. Etait-il possible de prévoir ce résultat? Expliquer. 4) On souhaite comparer les FCR des sportifs du groupe I aux FCR d un groupe de 60 personnes pratiquant peu d activité physique (appelé groupe II). L étude des FCR des personnes du groupe II a donné les résultats suivants : Moyenne : 59,8 Ecart-type : 6,23 Médiane : 60 Premier quartile : 57 Troisième quartile 63 Valeur minimale : 45 Valeur maximale : 70 a) Sur l axe D 2 de l annexe, tracer un diagramme en boîte pour les FCR des personnes du groupe II. b) Quelle incidence semble avoir la pratique régulière d activités sportives sur la FCR d un individu? Age FCR Age FCR 42 42 37 52 41 43 42 52 61 45 21 52 51 45 40 53 41 46 34 53 27 46 35 53 33 46 28 53 40 48 55 53 55 48 49 53 31 48 31 53 32 48 35 53 35 48 38 54 44 49 53 54 40 50 42 54 36 50 54 54 50 50 41 54 35 50 31 55 24 50 50 55 23 50 32 55 52 50 22 55 36 51 42 55 31 51 52 55 35 51 18 57 60 51 51 59 29 52 22 59 30 52 23 59 49 52 53 59 32 52 50 59 40 52 28 59 47 52 47 61 2
Exercice 2 : Datation par le Carbonne 14 (8 points) La technique de «datation par le Carbone 14» permet, en mesurant la radioactivité naturelle de certains échantillons, d en donner l âge. Par exemple, les peintures des grottes de Lascaux en France ont pu être datées à 13 500 ans avant Jésus-Christ. Cette technique repose sur deux principes : Tout organisme présente, de son vivant, la même radioactivité que le gaz carbonique atmosphérique. Nous l appellerons radioactivité normale. On suppose cette radioactivité constante. A sa mort, sa radioactivité est divisée par 2 tous les 6 000 ans environ. Cette durée de 6 000 ans est appelée une demi-vie. La radioactivité d un échantillon sera exprimée en pourcentage de la radioactivité normale. On définit ainsi le taux de radioactivité de cet échantillon. Par exemple un morceau de bois fraîchement coupé à un taux de radioactivité de 100%. Ce même morceau de bois, 6 000 ans après aura un taux de radioactivité de 50%. Nous utilisons une feuille de calcul d un tableur pour obtenir d autres taux : A B C D E F G H I J 1 Age de l échantillon (en demi-vies) 0 1 2 3 4 5 6 7 8 2 Age de l échantillon (en années) 0 6 000 12 000 18 000 24 000 30 000 36 000 42 000 48 000 3 Taux de radioactivité (en %) 1) Compléter le tableau sur la feuille annexe. Les résultats seront arrondis au dixième. 2) En déduire une formule de calcul qui pourrait être saisie dans la cellule C3. Cette formule devra pouvoir être recopiée vers la droite jusqu à la cellule J3. 3) Représenter la suite des taux de radioactivité en fonction de l âge de l échantillon en années. On prendra comme unités : 1 cm pour 2 000 ans en abscisse et 1 cm pour 10% en ordonnée. 4) A l aide de la courbe constituée des segments de droite joignant les points successifs, déterminer graphiquement, à 1 000 ans près, l âge d un site archéologique, sachant que le taux de radioactivité d un échantillon représentatif de ce site est de 20%. Barème : Ex 1 : 12 points(2+2+1+1+1+1+1+2+1) Ex 2 : 8 points (2 + 2 + 2 + 2) 3
Annexes NOM : Prénom : Exercice 1 Axe D 1 42 50 60 70 Axe D 2 42 50 60 70 FCR 42 43 45 46 48 49 50 51 52 53 54 55 57 59 61 Nombre d individus Exercice 2 A B C D E F G H I J 1 Age de l échantillon (en demi-vies) 0 1 2 3 4 5 6 7 8 2 Age de l échantillon (en années) 0 6 000 12 000 18 000 24 000 30 000 36 000 42 000 48 000 3 Taux de radioactivité (en %) 4
CORRECTION Exercice 1 : Fréquences cardiaques (10 points) 1. a. Pour un effectif de 60 : Le premier quartile est la valeur de rang 15 : Q1 = 50 La médiane est la moyenne des valeurs de rangs 30 et 31 : Med = 52 Le troisième quartile est la valeur de rang 45 : Q3 = 54 b. Voir graphique 2. a. FCR 42 43 44 45 46 48 49 50 51 52 53 54 55 57 59 61 Nombre d individus 1 1 2 2 3 5 1 7 4 9 8 5 6 1 6 1 On peut représenter les FCR du groupe 1 par un diagramme en barres : FCR du groupe 1 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 FCR ou par un histogramme : 28 12 9 7 4 40 44 48 52 56 60 64 5
CORRECTION 2. b. La moyenne de la série vaut : 3120 / 60 = 52 pulsations par minute. Remarque : l utilisation d une calculatrice (voir page 90) s impose. 3. a. L intervalle donné est appelé la plage de normalité à 95%. µ 2 σ ; µ + 2σ = 43,88 ; 60,12 Annexe : On obtient : [ ] [ ] b. Il y a trois individus hors de cet intervalle, donc dans cet intervalle : 57 sur 60 soit 19 sur 20 ou 95% Ce résultat était prévisible car il est commun à toutes les données gaussiennes. Axe D1 38 42 46 50 54 58 62 Axe D2 38 42 46 50 54 58 62 66 70 4. a. Diagrammes b. Tous les paramètres ainsi que les diagrammes montrent que la pratique régulière d activités sportives semble faire baisser la FCR. Exercice 2 : Datation par le Carbonne 14 (8 points) 1. Age de l'échantillon (en demi-vies) Age de l'échantillon (en années) Taux de radioactivité(en %) 0 1 2 3 4 5 6 7 8 0 6000 12000 18000 24000 30000 36000 42000 48000 100,0 50,0 25,0 12,5 6,3 3,1 1,6 0,8 0,4 2.En C3 on a la formule «=B3/2» 3. 6
CORRECTION taux 120,0 100,0 80,0 60,0 40,0 20,0 0,0 Taux de radioactivité(en %) 0 10000 20000 30000 40000 50000 60000 années 1. D après le graphique l âge A du site est environ 14 000. A l aide d une interpolation linéaire : A 12000 = 18000 12000 donc A = 12000 + 6000 5= 14400 20 25 12.5 25 12.5 7