Chapitre n 4: Statistiques. Rappels

1/20 - Chapitre n 4 : Statistiques Chapitre n 4: Statistiques Objectifs. O10- Représenter graphiquement un nuage de points associés à une série statistique à deux variables. [On accompagne ce travail d'un entretien des capacités sur les statistiques à une variable de la classe de première] O11- Trouver une fonction affine qui exprime de façon approchée y en fonction x.[l'ajustemetn affine est réalisé graphiquement ou par la méthode des moindres carrés à l'aide de la calculatrice ou du tableur] O12- Utiliser un ajustement affine pour interpoler ou extrapoler.[aucun développement théorique n'est attendu. D'autres types d'ajustement peuvent être rencontrés dans des exemples] Rappels - Les exercices sans étoile et une étoile sont obligatoires. - Parmi les exercices deux étoiles, il faut au moins en faire un «préparation au bac». - Au moins un exercice à la maison après chaque heure de cours. - En cas de travail différent par rapport aux autres élèves de la classe, fournir un papier (cf fin du polycopié) Activité d'approche n 1 1/20

2/20 - Chapitre n 4 : Statistiques Activité n 1 Histoire de climat - Ordinateur nécessaire. Voici le relevé des températures maximales à Londres, Stuttgart et Nantes au mois d août 2010 (source : météociel) Londres 23.9 23.4 23.6 20.1 22.3 21.4 21.8 24.5 25.1 19.1 Stuttgart 26.5 21.5 24.1 22.8 22 23.5 25.6 21.4 23.6 28.3 Nantes 21.7 22 21.6 18.9 20.5 22.8 21.5 21.4 22 19.9 Londres 23 20.4 18.1 18.4 22.7 25.4 21 21.3 21.7 21.7 Stuttgart 24.2 22.1 20.7 25.5 17.3 19.9 16.5 21.1 22.6 28.4 Nantes 20.9 20.2 20.3 19.3 20.5 20.1 20.5 19.9 22.7 21.8 Londres 24.3 23.1 21.4 20.5 18.2 21.3 18.5 20.6 19.3 19.2 20.5 Stuttgart 29.2 26.5 23.8 22.2 23 21.6 21.4 17.4 17 16.7 19.2 Nantes 22.5 22.2 19.6 19.9 17.9 19.4 22.9 22.8 19.1 24 24.8 On souhaite déterminer la ville dans laquelle le climat a été le plus tempéré (i.e. la ville où les différences de température ne sont pas excessives : doux en hivers, et modérément chaud en été). On a introduit en troisième et en seconde une mesure de la dispersion : l étendue de la série statistique, c est-à-dire la différence entre la plus grande et la plus petite valeur prises par la série. Cet indicateur est-il efficace pour comparer ces trois villes? Ou au moins deux? Pourquoi?............ 2/20

3/20 - Chapitre n 4 : Statistiques Cours n 1 Chapitre n 4: Statistiques. I) Caractéristiques de position d'une série statistique Définition n 1 : Médianes Dans une série statistique ordonnée, une médiane partage les valeurs prises par le caractère en deux groupes de... effectif. Définition n 2 : Moyenne Soit x 1, x 2, x 3,...., x N une série statistique quantitative de N valeurs. Si n 1, n 2, n 3,...., n N sont les pondérations des valeurs x 1, x 2, x 3,...., x N, la moyenne pondérée de la série, notée x, est le quotient : x = On peut aussi utiliser les fréquences : x = f 1 x 1 + f 2 x 2 + f 3 x 3 +...+ f N x N 3/20

4/20 - Chapitre n 4 : Statistiques 4/20

5/20 - Chapitre n 4 : Statistiques Définition n 3 : Quartiles Le premier quartile d'une série statistique numérique est la plus petite valeur prise par le caractère telle qu'au moins... % des valeurs lui soient inférieures ou égales. Le troisième quartile d'une série statistiques numérique est la plus petite valeur prise par le caractère telle qu'au moins... % des valeurs lui soient inférieures ou égales. Remarque : De nombreuses calculatrices considèrent les quartiles comme les médianes des deux séries obtenues après avoir partagé la série initiale par sa médiane ce qui explique les différences constatées. Dans la pratique, ces différences ont peu d importance vu la taille des séries. De la même façon, on peut définir les déciles d une série statistique. Exemple n 1 : Calculez la moyenne, la médiane, le premier quartile, et le troisième quartile de la série suivante : 3 ; 4 ; 5 ; 4 ; 4 ; 6 ; 9 ; 17 moyenne :... médiane :... premier quartile :... troisième quartile :... Quelle grandeur est la plus influencée par la valeur 17, la moyenne ou la médiane?... II) Caractéristiques de dispersion d'une série statistique. Définition n 4 : intervalle interquartile Soit Q 1 et Q 3 les premier et troisième quartiles d'une série statistique. L'intervalle interquartile de cette série est l'intervalle... Exemple n 2 Reprenez l'exemple n 1. Quel est l'intervalle interquartile de cette série?... 5/20

7/20 - Chapitre n 4 : Statistiques Définition n 5 : écart interquartile Soit Q 1 et Q 3 les premier et troisième quartiles d'une série statistique. L'écart interquartile de cette série est la différence... Exemple n 3 Reprenez l'exemple n 1. Quel est l'écart interquartile de cette série?... Remarque : L écart interquartile mesure la dispersion des valeurs autour de la médiane ; plus l écart est petit, plus les valeurs de la série appartenant à l intervalle interquartile sont concentrées autour de la médiane. Contrairement à l étendue ( notée e ) qui mesure l écart entre la plus grande et la plus petite valeur, l écart interquartile élimine les valeurs extrêmes qui peuvent être douteuses, cependant il ne tient compte que de 50% de l effectif On peut correctement résumer une série statistique par le couple : ( médiane ; intervalle interquartile ) Définition n 6 : diagrammes en boîte Un diagramme en boite est un rectangle délimité par le premier quartile et le troisième quartile. Pour l obtenir, on trace un axe horizontal ( ou vertical ) sur lequel on place les valeurs de Q 1, Q 3 et Me. L un des côtés du rectangle a pour longueur l écart interquartile, l autre est quelconque. On complète ce diagramme en traçant deux traits horizontaux : l un joignant Q 1 au minimun de la série et l autre joignant Q 3 au maximun de la série. Min......... Max Exemple n 4 Reprenez l'exemple n 1. Faites le diagramme en boite de cette série....... 7/20

9/20 - Chapitre n 4 : Statistiques...... Définition n 7 : Variance et écart-type Soit x 1, x 2, x 3,...., x N une série statistique quantitative de N valeurs, pondérée par les valeurs n 1, n 2, n 3,...., n N. La variance V est la moyenne des carrés des écarts des valeurs x 1, x 2, x 3,...., x N à la moyenne x : V = 1 n 1 +n 2 +...+n N ( n 1 (x 1 x ) 2 + n 2 (x 2 x ) 2 + n N (x N x ) 2 ) L'écart-type vaut la racine carrée de la variance : = V. Exemple n 5 On reprend l'exemple n 1 : 3 ; 4 ; 5 ; 4 ; 4 ; 6 ; 9 ; 12 calculez la variance et l'écart-type de cette série.......... Exercice n 1 Ex.1 et 3 p.130 Exercice n 2 Ex.7 et 8 p.130 Exercice n 3 Ex.5 et 6 p.130 Exercice n 4 Ex.21 p.132 Exercice n 5 Ex.22 p.132 Exercice n 6 Ex.24 p.132 Exercice n 7 Ex.25 p.132 9/20

10/20 - Chapitre n 4 : Statistiques Exercice n 8 Ex.30 p.133 Exercice n 9 Ex.31 p.133 Activité d'approche n 2 Activité n 2 : températures suite Voici la liste des températures moyennes au mois d'août relevées dans Londres (latitude : 52 ) différentes villes du monde : Paris 49 ) Madrid 40 ) Lisbonne 39 ) Rabat 33 ) Alger 37 ) 23 C 24 C 32 C 28 C 28 C 29 C 32 C Nouakchott 20 ) Moscou (latitude : 56 ) Varsovie 52 ) Kampala 0 ) Niamey 39 ) Minsk 53 ) Talinn 59 ) 21 C 23 C 26 C 28 C 22 C 20 C 13 C Reykjavik 64 ) Oslo (latitude : 60 ) Nuuk 64 ) Qaanaaq 77 ) Sisimiuth 66 ) Bromont 45 ) Alert 82 ) 20 C 10 C 5 C 10 C 25 C 3 C 7 C Longyearbyen 78 ) 1. Utilisez le tableur de Géogebra et construisez un graphique contenant la température moyenne en août en fonction de la latitude. 2. On obtient un nuage de points. Calculez la moyenne des latitudes et la moyenne des températures. Placez le point obtenu sur le graphique : on appelle ce point le point moyen. 3. En faisant éventuellement des calculs, tracez la droite qui approche le mieux ce nuage de points. Donnez son coefficient directeur et son ordonnée à l'origine. 10/20

11/20 - Chapitre n 4 : Statistiques 4. La méthode des moindres carrés : pour avoir une méthode plus rigoureuse, on calcule, pour chaque point du tableau de valeur, l'écart de l'ordonnée de ce point avec l'ordonnée du point de même abscissede la droite. On additionne ensuite les carrés des valeurs obtenues. Et on cherche à minimiser ces valeurs. a. Chargez le fichier T_2014_CHAP4_Activite_2.ggb b. 'a' et 'b' désignent respectivement le coefficient directeur et l'ordonnée à l'origine de la droite d'équation y=ax+b. 'Ecart' désigne la somme des carrés des écarts des ordonnées des points avec les ordonnées des points de la droite de même abscisse. Faites varier a et b (en sélectionnant les curseurs et en utilisant les flèches du clavier) et cherchez à minimiser 'Ecart'. c. Quelle serait la température moyenne en Août pour une ville située à 5 de latitude Nord? 5. Cette droite est-elle valable pour une latitude négative? Cours n 2 III) Série statistique à deux variables Définition n 8 : série à deux variables Sur une population donnée, on peut étudier plusieurs caractéristiques. Une série statistique à deux variables est une liste de deux caractéristiques de cette population. On peut reporter ces deux séries dans un graphique, l'une des caractéristiques étant en abscisse, l'autre en ordonnée. On obtient ainsi un nuage de points. On appelle point moyen le point ayant pour coordonnées les moyennes des deux caractéristiques. Exemple n 6 : En France, le coût horaire de la main d'oeuvre, en euros, était de 24,4 en 2000, 28,7 en 2004, 32,2 en 2008, et 35,3 en 2012. On note x le rang de l'année, sachant que l'année 2000 sera de rang 0. 1. Donnez le rang de l'année 2012 :... 2. Dressez le tableau de la série à deux variables : x le rang de l'année et y le coût horaire correspondant : 11/20

13/20 - Chapitre n 4 : Statistiques... 3. Construire un graphique avec le nuage de points correspondant à cette série à deux variables : 40 y 35 30 25 20 15 10 5 x 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 4. Calculez et placez le point moyen de cette série statistique. Exercice n 10 Ex.35 p.134 Exercice n 11 Ex.36 p.134 13/20

15/20 - Chapitre n 4 : Statistiques Cours n 3 IV) Ajustement affine d'un nuage de point Définition n 9 : ajustement affine La droite qui passe au plus près des points d'un nuage de points est appelée ajustement affine. Propriété n 1 : utilisation de la calculatrice Cf p.129 Exemple n 7 a. Reprenez l'exemple n 6 et calculez, à l'aide de la calculatrice, le coefficient directeur et l'ordonnée à l'origine de la droite d'ajustement du coût horaire de la main d'oeuvre.... b. Calculez le coût horaire que l'on peut prévoir en 2020. Exercice n 12* Ex.47 p.136 Exercice n 13* Ex.48 p.136 Exercice n 14** Ex.60 p.141 Exercice n 15** Ex.61 p.141 Exercice n 16** (préparation au bac) Sujet B p.144 Exercice n 17** (préparation au bac) Sujet C p.144 15/20

16/20 - Chapitre n 4 : Statistiques Exercice n 18** (préparation au bac) Sujet D p.145 Exercice n 19*** (préparation au bac) Sujet F p.146 16/20

17/20 - Chapitre n 4 : Statistiques Indices ou résultats permettant de savoir si on a juste ou faux. Ex.1 : ex1:a.q 1 =5;Me=17;Q 3 =38 b. Q 1 =24;Me=55;Q 3 =62 ex3: 105 2=... Ex.2 : cf calculatrice (résultats donnés dans l'exercice) Ex.3 : ex5. 1. Q 1 =7;Me=11;Q 3 =12 2. Q 3 Q 1 =5 3. 25 % ex6. Ex.4 : 1. Q 1 =3;Me=6;Q 3 =7 2. Ex.5 : 1. 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 x 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 x 3. Oui. Pression artérielle 12 13 13,5 14 14,5 15 16 17 18 Effectifs 2 4 2 7 6 5 1 1 2 Effectifs cumulés 2. Q 1 =13,5;Me=14,25;Q 3 =15 2 6 8 15 21 26 27 28 30 3. 12 13 14 15 16 17 18 x Ex.6 : 1. Oui 2. La promotion 2012 a un niveau plus hétérogène que la promotion 2013. Ex.7 : 1. environ 50 % 2. Non 3. probablement issus d'un élevage. Ex.8 : 1. x=3,3 2. n =1,9 Ex.9 : 1. Dans K1 : =MOYENNE(A1:H2) 2. Dans K2 : =ECARTYPEP(A1:H2) Ex.10 : 17/20

Ex.11 : 1. 18/20 - Chapitre n 4 : Statistiques 2. G(15;53,8) Ex.12 : y=204x 10,51 Ex.13 : y=0,5x + 8 Ex.14 : 1. y= -3,25x + 344,5 3. a. r'(x)= - 6,5x + 344,5 b. x 35 53 70 Signe de r' + 0 - r 9129,25 8076,25 8190 Ex.15 : 1. y= -0,14x + 599,2 2.a. B(x)= - 0,14x² + 599,20x 50000 b. B'(x)= - 0,28x + 599,20 x 0 2140 4000 Signe de B' + 0 - B 591144-50000 106800 Ex.16 : (correction non donnée : DM) Ex.17 : (correction non donnée : DM) Ex.18 : (correction non donnée : DM) Ex.19 : (correction non donnée : DM) 18/20

19/20 - Chapitre n 4 : Statistiques Rayez les lignes inutiles. Si un cours n'est pas validé, NE PAS FAIRE de travail au-delà. Date :... Nom, prénom et classe :... * Je veux repasser l'interrogation n... du chap. n... * Je veux repasser le contrôle n... Travail fait en classe : Travail à faire pour la prochaine fois : Rayez les lignes inutiles. Si un cours n'est pas validé, NE PAS FAIRE de travail au-delà. Date :... Nom, prénom et classe :... * Je veux repasser l'interrogation n... du chap. n... * Je veux repasser le contrôle n... Travail fait en classe : Travail à faire pour la prochaine fois : Rayez les lignes inutiles. Si un cours n'est pas validé, NE PAS FAIRE de travail au-delà. Date :... Nom, prénom et classe :... * Je veux repasser l'interrogation n... du chap. n... * Je veux repasser le contrôle n... Travail fait en classe : Travail à faire pour la prochaine fois : Rayez les lignes inutiles. Si un cours n'est pas validé, NE PAS FAIRE de travail au-delà. Date :... Nom, prénom et classe :... * Je veux repasser l'interrogation n... du chap. n... * Je veux repasser le contrôle n... Travail fait en classe : Travail à faire pour la prochaine fois : Rayez les lignes inutiles. Si un cours n'est pas validé, NE PAS FAIRE de travail au-delà. Date :... Nom, prénom et classe :... * Je veux repasser l'interrogation n... du chap. n... * Je veux repasser le contrôle n... Travail fait en classe : Travail à faire pour la prochaine fois : Rayez les lignes inutiles. Si un cours n'est pas validé, NE PAS FAIRE de travail au-delà. Date :... Nom, prénom et classe :... * Je veux repasser l'interrogation n... du chap. n... * Je veux repasser le contrôle n... Travail fait en classe : Travail à faire pour la prochaine fois : Rayez les lignes inutiles. Si un cours n'est pas validé, NE PAS FAIRE de travail au-delà. Date :... Nom, prénom et classe :... * Je veux repasser l'interrogation n... du chap. n... * Je veux repasser le contrôle n... Travail fait en classe : Travail à faire pour la prochaine fois : Rayez les lignes inutiles. Si un cours n'est pas validé, NE PAS FAIRE de travail au-delà. Date :... Nom, prénom et classe :... * Je veux repasser l'interrogation n... du chap. n... * Je veux repasser le contrôle n... Travail fait en classe : Travail à faire pour la prochaine fois : 19/20