Partiel novembre 2004 - Exercice I 1-1 - A quelle condition sur la nature de la variable X peut-on définir sa moyenne? X doit être numérique. 1-2 - Qu appelle-t-on premier décile d une distribution? La valeur x telle que F(x)=0,1 ou la plus grande valeur des 10% plus petits individus de l'échantillon 1-3 - 12 étant une valeur de X et F sa fonction de répartition (fréquences cumulées), que désigne la notation F(12)? La proportion des individus de l'échantillon pour laquelle la valeur de X est 12 1-4 - Que représentent les notations nij et n.j? Donner une expression ou une formule qui les lie. nij est l'effectif de la modalité ij ; n.j est la somme de la jème colonne ; n.j = n1j+..+nkj = i=1,k nij 1-5 - Dans un tableau de contingence XxY, les sommes des effectifs des distributions marginales de X et de Y sont égales : quel est ce nombre? La taille de l'échantillon. 1-6 - XxY étant une distribution conjointe, combien X a-t-elle de distributions conditonnelles? Autant que Y a de modalités. Cours de statistiques II - Correction du premier partiel eol - 2 décembre 2004 - Page 1
1-7 - Si les distributions conditionnelles en fréquences de X sont égales, les distributions conditionnelles en fréquences de Y sont identiques : vrai ou faux? Vrai car X et Y sont indépendantes. 1-8 - Si m est une modalité de X, que représente E/m? L'ensemble des individus de l'échantillon pour lesquels la mesure de X est m. 1-9 - m est une modalité de X, m une modalité de Y ; l effectif marginal de m est égal à 78 et la fréquence de la modalité m de X/m est 28,2% : quel est l effectif de la modalité conjointe (m, m )? 28,2 pour cent de 78 arrondis à la plus proche valeur entière : 22 1-10 - Qu'entend-on par «effectif d'une modalité conjointe (m, m') sous hypothèse d'indépendance»? Comment le calcule-t-on? L'effectif qu'on devrait observer pour cette modalité si X et Y étaient indépendantes, à distributions de X et Y constantes. 1-11 - Comment calcule-t-on le Khi2 d'indépendance d'un tableau de contingence? Peut-il être négatif? On fait la somme des contributions au Khi2 des modalités conjointes. Non : c'est une somme de nombres positifs ou nuls. Cours de statistiques II - Correction du premier partiel eol - 2 décembre 2004 - Page 2
1-12 - Quelle est la différence entre indépendance et indépendance statistique? X et Y sont indépendantes si le Khi2 est nul ; elles sont statistiquement indépendantes si le Khi2 est petit et peut être considéré comme un effet du choix de l'échantillon. Cours de statistiques II - Correction du premier partiel eol - 2 décembre 2004 - Page 3
Exercice II - X est le nombre d habitants d une commune. La mesure de X sur un échantillon de 1000 communes a donné les résultats suivants : [1-100[ [100-200[ [200-500[ [500-1000[ [1000-2000] 127 217 343 199 114 Tableaux de résultats Modalités [1-100[ [100-200[ [200-500[ [500-1000[[1000-2000] Total Effectifs 127 217 343 199 114 1000 Amplitude 99 100 300 500 1000 Densité 1,28 2,17 1,14 0,40 0,11 Centre 50,5 150 350 750 1500 ni*ci 6413,5 32550 120050 149250 171000 479263,5 2-1 - Déterminer le mode de X Le tableau indique que la seconde modalité [100-200[ est la plus dense (effectif par unité d'amplitude) : c'est donc le mode. 2-2 - Calculez sa moyenne On prend le centre comme représentation numérique d'une modalité ; la moyenne est la somme pondéré des centres ; on la calcule ici par la formule ( i=1,k ni.*ci)/n = 479263,5/1000 = 479,26 Cours de statistiques II - Correction du premier partiel eol - 2 décembre 2004 - Page 4
2-3 - Evaluer sa médiane La modalité [200-500[ contient la médiane puisque F(200)=34,4<0,5 et F(500)=68,7>0,5 ; on peut l'estimer par la formule : Me = 200 + 300*(50-34,4)/34,3 = 336,4 2-4 - Construire proprement l'histogramme de de la distribution de X, en plaçant la médiane. On place les bornes des modalités ; au-dessus de chaque intervalle on trace un rectangle de hauteur égal à la densité (proportionnel à l'effectif). 2,33 2 1,66 1,33 1 0,66 0,33 0 Me 1 100 200 500 1000 2000 2-5 - Quelle est la surface de la portion de l histogramme située à droite de la médiane? 0,5 par définition de la médiane. Cours de statistiques II - Correction du premier partiel eol - 2 décembre 2004 - Page 5
Exercice III - Distribution des notes à une épreuve (X) selon l appartenance à un groupe (Y). X-Note / Y-Groupe G1 G2 G3 de 0 à 4 exclu 6 1 21 de 4 à 8 exclu 21 38 24 de 8 à 12 exclu 39 33 24 de 12 à 16 exclu 54 60 42 de 16 à 20 30 18 39 3-1 Combien vaut n23 et n.1? n23 vaut 24 et n.1 150 (somme de la première colonne). 3-2 Calculer, en pourcentages, la distribution de X conditionnée par la modalité G1 et la distribution marginale de X. Ces deux distributions suffisent-elles à établir l'indépendance de X et Y? Le pourcentage de la modalité i pour X/Y=j est par définition le nombre nij/n.j On trouve : Modalités [0-4[ [4-8[ [8-12[ [12-16[ [16-20] Total X/G1-eff 6 21 39 54 30 150 X/G1-% 4% 14% 26% 36% 20% 100 X-eff 28 83 96 156 87 450 X-% 6,2% 18,5% 21,3% 34,7% 19,3% 100 Cours de statistiques II - Correction du premier partiel eol - 2 décembre 2004 - Page 6
Non car elles sont différentes ; mais X et Y sont peut-être statistiqument indépendantes. 3-3 Calculer la distribution de Y conditionnée par la modalité 8 à 12, en pourcentages. De même duale on trouve : Modalités G1 G2 G3 Total Y/8-12-eff 39 33 24 96 Y/8-12-% 40,6% 34,4% 25,0% 100 3-4 Calculer puis tracer sur un même graphique les fonctions de répartition conditionnelles de X ; placer les médianes conditionnelles. Bornes 0 4 8 12 16 20 X/G1-% 0 4 18 44 80 100 X/G2-% 0 1 26 48 88 100 X/G3-% 0 14 30 46 74 100 Cours de statistiques II - Correction du premier partiel eol - 2 décembre 2004 - Page 7
100 90 80 70 X/G2 60 50 40 30 20 X/G3 X/G1 10 0 0 4 8 12 16 20 3-4 Pour la modalité conjointe (12à16, G3), calculer l'effectif sous hypothèse d'indépendance de X et Y, puis la contribution au Khi2. ñij est donné par la formule ni. * n.j / n On trouve : ñ43 = 150*156/450 = 52 La contribution au khi2 de la modalité ij est donné par la formule (nij-ñij) 2 /ñij On trouve pourla modalité 43 : (52-42)*(52-42)/52 = 1,92 Cours de statistiques II - Correction du premier partiel eol - 2 décembre 2004 - Page 8