Exercices : Évolutions et pourcentages Exercice 1 : Dans le livre «Voici venu le temps du monde fini» d ALBERT JACQUARD on a l affirmation suivante : Un accroissement d une population de 2% par an peut sembler bien faible, il correspond pourtant à un doublement en 35 ans, donc à un quadruplement en 70 ans, à une multiplication par 7 en moins d un siècle. Les affirmations de l auteur sont-elles exactes? Justifier la réponse Exercice 2 : Exercice 3 : Le tableau ci-dessous donne l évolution de la population mondiale en millions d habitants : 1960 1970 1980 1990 2000 2010 2015 3 018,3 3 682,5 4 439,6 5 309,7 6 126,6 6 929,7 7 349,5 Source : ONU (World Population Prospects : The 2015 revision). 1) Déterminer la période de 10 ans connaissant le plus fort taux d évolution. 2) Donner une estimation de la population mondiale en 2020. (Argumenter les calculs) 3) Et en 2030? Traduire par un coefficient multiplicateur : 1) augmenter de 7% 2) augmenter de 0,5% Exercice 4 : 3) diminuer de 95% 4) diminuer de 1,2% 5) le double 6) augmenter de 300% Le tableau suivant donne les résultats au bac dans un lycée rennais : Année 2009 2010 2011 Nombre de candidats 246 258 271 Nombre de reçu 221 224 249 1) Calculer le taux de réussite au bac chaque année pour ce lycée. 2) Calculer le taux d évolution du pourcentage de réussite au bac sur la période 2009-2010 puis sur la période 2010-2011. Exercice 5 : Recopier et compléter le tableau suivant : Ancien prix en =C 148 345 465 Nouveau prix en =C 369,15 399 Coefficient multiplicateur 1,2 Évolution +15% 8% Exercice 6 : Le taux de TVA sur les articles suivants est 20%. 1) Un article coûte 280 =C HT ; calculer son prix TTC. 2) Un article coûte 203,32 =C TTC ; calculer son prix HT et le montant de la TVA. 3) Le montant de la TVA sur un article est 41,16 =C ; calculer son prix TTC.
Exercice 7 : En début de marché, deux marchands vendent une même variété de pomme de terre au même prix. En fin de marché, un premier vendeur de pommes de terre propose «Ici, 20% de produit en plus». Son voisin, pour la même variété de pommes de terre propose «Ici, 20% de remise». Vaut-il mieux acheter chez le premier vendeur ou chez son voisin? Exercice 8 : Le prix du m 3 de gaz a subi en France, en 2005, une augmentation de 7,5% au mois de Mai et de 2,5% au mois de Décembre. De quel pourcentage le prix du gaz a-t-il augmenté en France en 2005? Exercice 9 : Le nombre d adhérents d une médiathèque a diminué de 7% entre le 1 er Janvier 2009 et le 31 Décembre 2009 et a augmenté de 8% entre le 1 er Janvier 2010 et le 31 Décembre 2010. Le nombre d adhérents a-t-il augmenté ou diminué entre le entre le 1 er Janvier 2009 et le 31 Décembre 2010? Exercice 10 : Un propriétaire augmente un loyer de 4% chaque année. 1) Calculer le loyer au bout de 5 augmentations successives, connaissant le loyer initial de 165=C 2) En combien d années le loyer aura-t-il plus que doublé? Exercice 11 : Dans une entreprise, le prix de vente d un objet manufacturé est égal à 98=C au 1 er janvier 2010. En cours d année, le prix de cet objet augmente successivement de 15%, puis de 7%. Il diminue ensuite de 9% et augmente de 3% en fin d année. Quel est le prix de cet objet le 1 er janvier 2011? Exercice 12 : Le graphique ci-dessous l évolution des températures moyennes à la surface de la Terre depuis 1880 : Source : http ://ecologie.blog.lemonde.fr 1) Déterminer le taux d évolution des températures entre 1880 et 2010. 2) Déterminer le taux d évolution des températures entre 1980 et 2010. 3) Déterminer le taux d évolution des températures entre 2000 et 2010. 4) Proposer une estimation de la température moyenne pour 2020 puis 2050. (Argumenter cette estimation.)
Exercices : Les suites Activité 13 : On se sert la main! Activité 14 : Et ensuite... Lors d une soirée d inauguration, 756 personnes se retrouvent pour manger. 1) Si tous les invités doivent se serrer la main, combien cela ferait-il de poignées de mains? 2) Une 757 eme personne arrive à la fin de la soirée. Comment recalculer simplement le nombre total de poignées de mains? 3) Soit n N. On considère la fonction u qui, au nombre n d invités, associe le nombre de poignées de mains totale de la soirée. Comment pouvez-vous définir simplement la fonction u? On considère les suites de nombres suivantes : SUITE A : 5 8 11 14 17... SUITE B : 4 2 1 0,5 0,25... SUITE C : 1 1 2 3 5 8... 1) Pour chaque suite de nombres, donner les deux nombres suivants. 2) Déterminer le vingtième nombre de chaque suite. 3) Pour chacune des trois suites, afficher les 1000 premiers termes dans un tableur. 4) Pour la suite A, on note le n-ième terme a n ainsi on a a 1 = 5, a 2 = 8... a) Donner a 4. b) Représenter les 5 premiers termes de la suite en construisant les points de coordonnées (n ; a n ) dans un repère orthogonal. 5) De la même façon, pour la suite B, on note le n-ième terme b n ainsi on a b 1 = 4, b 2 = 2... a) Donner b 4. b) Représenter les 5 premiers termes de la suite en construisant les points de coordonnées (n ; b n ) dans un repère orthogonal. Activité 15 : Quel est le meilleur contrat? Au moment de l embauche, une entreprise propose à ses futurs employés deux types de contrat relatifs aux primes. Les primes sont versées une fois par an en fin d année. Contrat 1 : La première année, l entreprise verse 1 500 =C. Le montant de la prime augmente de 100 =C chaque année. Contrat 2 : La première année, l entreprise verse 1 500 =C. Le montant de la prime augmente de 5 % chaque année. 1) À l aide d un tableur ou d une calculatrice, représenter graphiquement le montant des primes reçues année après année pour chaque contrat. 2) Comparer graphiquement les évolutions de ces deux types de contrats. 3) Quel est le meilleur contrat?
Exercice 16 : 1) Quel est le nombre de balles dans la pyramide ci-contre? 2) Quel devrait être le nombre d étages pour que la pyramide contienne 20000 balles? 3) Quel devrait être le nombre d étages pour que la pyramide contienne 1000000 balles? Exercice 17 : On considère une suite (u n ) dont un terme, d indice choisi par l utilisateur, est calculé à l aide de l algorithme ci-dessous : Langage Python : Langage AlgoBox : VARIABLES u EST_DU_TYPE NOMBRE n EST_DU_TYPE NOMBRE i EST_DU_TYPE NOMBRE DEBUT_ALGORITHME LIRE n POUR i ALLANT_DE 1 A n DEBUT_POUR u PREND_LA_VALEUR 5*i-2/i FIN_POUR AFFICHER u FIN_ALGORITHME n=int(input("donner un nombre : ")) for i in range(1,n+1): u=5*i-2/i print(u) 1) Définir la suite (u n ). 2) Modifier cet algorithme pour qu il affiche tous les termes jusqu à un indice choisi par l utilisateur. Exercice 18 : On considère une suite (u n ) dont un terme, d indice choisi par l utilisateur, est calculé à l aide de l algorithme ci-dessous : Langage AlgoBox : Langage Python : VARIABLES u EST_DU_TYPE NOMBRE n EST_DU_TYPE NOMBRE i EST_DU_TYPE NOMBRE DEBUT_ALGORITHME LIRE n u PREND_LA_VALEUR 3 AFFICHER u POUR i ALLANT_DE 1 A n DEBUT_POUR u PREND_LA_VALEUR -2*u+2 AFFICHER u FIN_POUR FIN_ALGORITHME n=int(input("donner un nombre : ")) u=3 print(u) for i in range(0,n): u=-2*u+2 print(u) 1) Calculer à la main les 4 premiers terme de la suite u. 2) Utiliser l ordinateur pour vérifier ces calculs. 3) Définir la suite (u n ). 4) Modifier cet algorithme pour qu il n affiche que le terme dont l indice a été choisi par l utilisateur.
Exercice 19 : Dans chacun des cas suivants, (u n ) est une suite arithmétique de raison r. Écrire (u n ) en fonction de n et donner les variation de la suite. 1) u 0 = 3 r = 1 2 Exercice 20 : 2) u 0 = 20 r = 2 On connaît deux termes d une suite arithmétique (v n ) : v 10000 = 26 et v 20000 = 16. Déterminer v 4000. Exercice 21 : La population de l Allemagne (nombre de personnes résidant sur le territoire allemand) s élevait à 81 751 602 habitants au premier janvier 2011. De plus, on sait qu en 2011, le nombre de naissances en Allemagne ne compensait pas le nombre de décès, et sans tenir compte des flux migratoires, on estime le taux d évolution de la population allemande à 0,22 %. On admet que cette évolution reste constante les années suivantes. 1) Définir une suite u pour modéliser l évolution de la population allemande depuis 2011. 2) Déterminer u 0, u 1 et u 2. 3) Á l aide d un algorithme, d un tableur ou d une calculatrice, déterminer l année à laquelle la population passera en dessous de 10000000 d habitants. Exercice 22 : M. Simon décide de faire des économies et pour cela il avait prévu de déposer, chaque début de mois, 100 euros sur un compte en banque. Le capital total déposé est rémunéré chaque mois à un taux mensuel de 1,019 %. Le 1 er janvier 2015, il dépose 100 euros sur un livret rémunéré à un taux mensuel de 1,019 %. Répondre aux questions suivantes à l aide d un tableur en arrondissant chaque valeur à l euro près. 1) Quelle somme aura-t-il sur son livret au 1 er janvier 2016? En déduire le taux annuel. 2) Dès le 1 er février, il décide de verser chaque mois 100 euros de plus sur son livret. Quelle somme aura-t-il sur son livret au 1 er janvier 2016? Exercice 23 : On remplit une bouteille d eau d un litre de la façon suivante : On verse 1 2 litre, puis 1 4 litre, puis 1 litre et ainsi de suite... 8 1) L eau va-t-elle déborder de la bouteille? 2) Et si la bouteille a une contenance de 0,95 litre? Exercice 24 : Le plutonium 239 est un élément radioactif. On sait que la quantité de plutonium 239 diminue de 0,003 % tous les ans. On s intéresse à un déchet radioactif contenant 1 g de plutonium 239 l année t = 0 et on note t le nombre d années écoulées à partir de ce moment. On note m t la masse de plutonium 239, exprimée en gramme, présente dans le déchet à l instant t. 1) Écrire m t+1 en fonction de m t. 2) Étudier la nature de la suite (m t ) puis écrire m t en fonction de t. 3) Étudier le sens de variations de la suite (m t ). 4) Déterminer, à l aide d un tableur, le nombre d années nécessaires pour diminuer de moitié la masse de plutonium 239 dans ce déchet. Cette durée s appelle demi-vie radioactive du plutonium 239.
Exercice 25 : La pie bavarde est une espèce existant en Alsace. On comptait 270 pies dans une réserve naturelle en 2001. Une étude a révélé que la population de pies diminuait de 10 % chaque année. On notera dans la suite de l exercice p n le nombre de pie l année 2001+n. 1) a) Déterminer la nature de la suite (p n ). b) Écrire p n en fonction de n. c) Dresser une table de valeurs de la suite (p n ) sur la calculatrice. 2) En 2010, il y avait 105 pies dans la réserve. Cette donnée est-elle cohérente avec le modèle proposé? 3) Si cela devait continuer ainsi, dans combien d années la population de pies bavardes passera en dessous de 20 individus? Exercice 26 : Déterminer si les suites (u n ) ci-dessous sont arithmétiques. Si oui, donner le premier terme et la raison. 1) u n = 4n+ 7 2) u n = n 2 + 1 3) u n = n 2 + 5 4) u n = 8 n Exercice 27 : Soient deux termes d une suite arithmétique (u n ). Écrire (u n ) en fonction de n et déterminer u 1. 1) u 5 = 4 r = 1 2 Exercice 28 : 2) u 6 = 17 u 10 = 15 Déterminer si les suites (u n ), définies pour tout n N ci-dessous, sont géométriques. Si oui, donner le premier terme et la raison. 1) u n = 4 3 n 2) u n = 3 3) u n = 3n 2 n+2 4) u n = 8 n+2 Exercice 29 : Dans chacun des cas suivants, (u n ) est une suite géométrique de raison q. Écrire (u n ) en fonction de n et donner le sens de variation. 1) u est définie surnpar u 0 = 3 et sa raison q = 0,02 2) u est définie pour tout entier naturel n 4 par u 4 = 7 et sa raison q = 9 Exercice 30 : Soit (u n ) définie par u n = n 2 + n+ 1. 1) Calculer u 0 et u 10. 2) Exprimer u n+1 en fonction de n. 3) Déterminer les variations de la suite (u n ). Exercice 31 : Soit (u n ) définie par u n = 1 n+ 1. 1) Calculer u 0 et u 10. 2) Exprimer u n+1 u n en fonction de n. En déduire les variations de la suite (u n ). Exercice 32 : Soit (u n ) définie par u n = 2n 1 n+ 3. 1) Calculer les six premiers termes de cette suite. 2) Conjecturer les variations de cette suite. Démontrer cette conjecture.