Dilatation 1 DÉFINITION C'est l'augmentation de volume d'un corps quand sa température augmente. Cette dilatation s'explique par l'augmentation de l'agitation thermique des particules qui constituent le corps. Si le corps est long, sa dilatation sera surtout visible dans le sens de la longueur : on a une dilatation linéaire. 2 DILATATION DES SOLIDES Si V est le volume du solide à la température T C et V 0 le volume à 0 C, on a la relation suivante pour la dilatation volumique : V = V 0(1 + kt) k est le coefficient de dilatation cubique et la quantité 1 + kt s'appelle le binôme de dilatation cubique. Si on exprime T en C, k s'exprime alors en C -1. De même pour une plaque, la dilatation se fait surtout sentir suivant sa surface. On a : S = S 0(1 + σt) σ étant le coefficient de dilatation surfacique moyen. Pour une tige, la dilatation linéaire est importante. Elle obéit à la loi : l = l 0(1 + λt) λ étant le coefficient de dilatation linéaire et 1 + λt le binôme de dilatation linéaire. λ n'est qu'une valeur moyenne entre les températures 0 C et T C. Corps λ corps λ Plomb 2,95.10-5 Laiton 1,85.10-5 Zinc 2,90.10-5 Invar 1,00.10-6 Aluminium 2,33.10-5 Verre 7,00.10-6 Cuivre 1,70.10-5 Pyrex 3,00.10-6 Fer 1,22.10-5 Quartz 5,50.10-7 Pratiquement, le coefficient de dilatation cubique est égal à trois fois le coefficient de dilatation linéaire (k = 3λ ), le coefficient de dilatation surfacique valant 2λ. Le λ des métaux est voisin de 2.10-5 C -1. Exercices : 1) Une tige de zinc a deux mètres de longueur à 30 C. Quelle est sa longueur à 800 C? 2) Une tige cylindrique de fer a un rayon de R 0= 1 cm et une longueur l 0 = 1 m à 0 C. Physique page 1
Calculer sa longueur à 90 C et la variation de son volume. Cas des corps creux : ils se dilatent de la même façon que les solides pleins de mêmes dimensions et de même substance. Quand on chauffe un solide, son volume augmente mais sa masse reste constante. Sa masse volumique µ va donc diminuer quand la température s'élève. A 0 C et à T C, on a : d'où : Exercices : La masse volumique du mercure est égale à 13600 kg.m -3 à 0 C. Sa dilatabilité est égale à 172.10-6 C -1. Quelle est sa masse volumique à 60 C? 3 DILATATION DES LIQUIDES Pour les liquides, nous avons les relations équivalentes : V = V0(1 + at) Corps a Mercure 1,72.10-4 Alcool 1,10.10-3 Ether 1,60.10-3 Acétone 1,43.10-3 a s'appelle le coefficient de dilatation absolue du liquide et 1 + at le binôme de dilatation absolue. a est souvent de l'ordre de 10-3 C -1, les liquides se dilatent donc environ 20 fois plus qu'un solide. Le mercure, qui est un métal, a un coefficient de dilatation environ 5 fois plus faible que celui de la majorité des liquides. Pour l eau, on a une anomalie : son volume n est pas minimum pour 0 C mais pour 4 C. Ceci est dû à un réarrangement moléculaire. Exercice : Soit 1 l d alcool à - 40 C. Quel est son volume à 70 C? Quand on mesure la dilatation d'un liquide dans un récipient, on prend en compte la dilatation du liquide (dilatation absolue), mais aussi la dilatation du solide constituant le récipient : on observe la dilatation apparente du liquide. Si V 0' et V' sont les volumes apparents de ce liquide à 0 C et T C, on appelle coefficient de dilatation apparente a' la quantité :
d'où: V' = V(1 + a T) Le coefficient a' est plus petit que le coefficient a. On a la relation, si k est le coefficient de dilatation volumique du récipient : a = a' + k Exercice : Un ballon de verre de 50000 cm 3 est rempli de mercure à 18 C. Quel volume de mercure débordera du ballon si la température est portée à 38 C? λ verre = 7.10-6 C -1 ; a mercure = 17.10-5 C -1. Pour l'eau, on a une anomalie : son volume n'est pas minimum pour 0 C mais pour 4 C. Ceci est dû à un réarrangement moléculaire. 4 DILATATION DES GAZ Pour un gaz, comme son volume dépend de la température mais aussi de sa pression, quand on le chauffe, on peut garder sa pression constante : on a alors sa dilatation, mais on peut aussi garder son volume constant : on a alors augmentation de sa pression. Pour la dilatation, on définit le coefficient moyen de dilatation entre 0 C et T C : V = V0(1 + αt) 1 + αt est le binôme de dilatation à pression constante. La loi de Gay-Lussac est la loi de dilatation des gaz à pression constante. Elle dit que le coefficient est indépendant de la température, de la pression et de la nature du gaz. Sa valeur vaut : D'après cette valeur, on voit donc qu'un gaz se dilate environ mille fois plus facilement qu'un solide. On pourra donc négliger la dilatation du récipient. 5 INCONVÉNIENTS ET APPLICATIONS DE LA DILATATION L'inconvénient est que, si la dilatation à une petite amplitude (un barre de fer de 1 m de longueur se dilate de 1,2 mm si on la chauffe de 0 C à 100 C), elle a une très grande force (pour obtenir le même allongement de la barre, il faudrait exercer une traction de 25 000 N.cm-2) Il faudra donc lutter souvent contre la dilatation : - les rails ne sont pas soudés les uns contre les autres ou alors ils sont taillés à leurs extrémités en biais. - les deux extrémités d'un pont ne sont pas scellées dans la maçonnerie mais reposent sur des galets de roulement. - entre les bâtiments existent des joints de dilatation.- lorsque des conduites sont soumises à des échauffements importants, il faut prévoir des raccords souples en forme de U (col de cygne). Physique page 3
- dans une installation de chauffage central ou dans le circuit de refroidissement du moteur d'une voiture, il faut prévoir un vase d'expansion. - pour un gaz, on peut avoir risque d'explosion (bouteille de gaz au soleil, aérosol jeté dans un feu) On peut aussi mettre à profit cette dilatation, le meilleur exemple étant le thermomètre. - On rivette deux plaques à chaud, on cercle ou on met en place l'axe des roues à chaud. - les thermostats, les vannes ou robinets thermostatiques. - Dans les thermostats d'ambiance, de fer à repasser, dans des disjoncteurs électriques, on utilise ce qu'on appelle un bilame : ce sont deux lames métalliques de natures différentes soudées l'une à l'autre. Quand il est froid, elles sont rectilignes mais quand on le chauffe, une lame se dilate plus que l'autre et le bilame se courbe entraînant, en général, un contact électrique ce qui interrompt le passage du courant dans le radiateur, le fer, le circuit.
EXERCICES I : Une tige de fer mesure 2 m à 0 C. Quelle est sa longueur à 200 C? Coefficient de dilatation linéaire du fer : 1,22.10-5 C -1. Une tige de cuivre mesure 1 m à 800 C. Quelle est sa longueur à 200 C? λ Cu = 1,70.10-5 C -1. II : Une règle mesure 503,5 mm à 100 C et 505 mm à 200 C. Calculer le coefficient de dilatation linéaire du métal et la longueur de la règle à 0 C. III : Le circuit de refroidissement d'une automobile contient 8 litres de mélange eau-antigel.1 litre de ce mélange se dilate de 12 cm 3 quand il passe de 0 C à 50 C. Quelle est, en cm3 l'augmentation de volume du liquide du circuit lorsque sa température passe de 10 C à 90 C? IV : Quelle erreur systématique fait-on en mesurant à 0 C des longueurs de 1 m avec un mètre en duralumin gradué à 20 C? (λ = 2,3.10-5 C -1 ). V : Une citerne en fer a une contenance de 100 l à 20 C. Quelle est sa contenance à 10 C? (coefficient de dilatation linéaire du fer : 1,2.10-5 C -1 ). VI : Un tube de verre cylindrique renferme une colonne de mercure de 20 cm à 0 C. Quelle est sa longueur quand on porte le tout à 50 C? ((coefficient de dilatation linéaire du verre : 1,2.10-5 C -1. Coefficient de dilatation absolue du mercure : 1,8.10-4 C -1 ). VII : Le réservoir d'un thermomètre à mercure a un volume de 0,75 cm 3 à 0 C. Quel doit être le diamètre intérieur du canal de la tige pour que sur cette tige, un degré soit représenté par 2 cm? (on ne tiendra pas compte de la dilatation du verre). Physique page 5