4.4. Consommation Moyennes Le tableau suivant donne la répartition de la consommation globale des ménages dans 19 pays de l O.C.D.E. Centrer et réduire chacune des 8 variables et commenter le tableau qui en résulte. Utiliser un tableur pour les calculs. Loyer Santé Alimentation Habillement Ameublement Transport Allemagne 0,5 7,9 1,1 9,4 3,5 17,8 10,5 9,3 100 Australie 0,7 5,5 0,3 6,6 7,3 14,8 9,8 15,0 100 Autriche 19,4 8,8 17,9 7,7 5,6 16,8 7,5 16,3 100 Belgique 17,8 7,7 16,8 10,6 11,7 13,1 6, 16,1 100 Canada 15,8 5,3 4,5 8,8 4,7 14,3 11,1 15,5 100 Danemark 1, 5,3 8, 6,,3 15,3 10,1 11,4 100 Espagne 0,4 8,6 1,5 6,5 4,4 15,5 6,6 5,5 100 États-Unis 1,0 6,1 18,3 5,8 17,5 13,6 10, 16,5 100 Finlande 4,0 4,9,7 6, 5,1 14,3 9,5 13,3 100 France 18,6 6,1 0,0 7,7 9,8 16,1 7,6 14,1 100 Gr-Bretagne 1,6 5,7 19,4 6,5 1,6 16,8 10, 18, 100 Grèce 36,7 8,0 1,6 7,6 3,9 15,0 5,6 10,6 100 Irlande 35,0 6,9 1,4 7,1 4,0 1,8 1,1 9,7 100 Islande 6,1 8,0 16, 8,,3 15, 11,7 1,3 100 Italie 0,0 9,8 15,9 9,3 6,8 1,1 8,9 17, 100 Japon 0,1 6, 0, 6,1 11,0 9,8 10,3 16,3 100 Pays-Bas 14,9 6,7 18,5 7,0 13,1 13,4 10,1 16,3 100 Suède 19,8 6,5 31,4 5,8 3,1 16,1 9,8 7,5 100 Suisse 6,5 4, 0,5 4,7 11,1 11,7 10, 11,1 100 Loisirs Divers 4.5. Farenheit Votre oncle d Amérique se plaint du climat. Il doit supporter une température moyenne de 41 degrés Fahrenheit avec un écart-type de 7 degrés. Traduire ces caractéristiques en degré Celsius et interpréter les résultats, On sait que 0 C (température de fusion de la glace) correspond à 3 F et que 100 C (ébullition de l eau) correspondent à 1 F (soit un écart de 180 degrés, comme pour les angles sur un rapporteur). 5
4.6. Moments Moyennes Calculer les moments centrés jusqu à l ordre 4 ainsi que les paramètres de forme a 3 et a 4 pour les 5 séries qui suivent. Tracer ensuite les diagrammes en bâtons pour vérifier que la forme des distributions correspond bien aux résultats trouvés. X i n i X i n i X i n i X i n i X i n i - 1-5 - - 0-0 -1-1 0-1 -1 1-1 4 0 6 0 0 0 0 8 0 3 1 1 0 1 1 1 1 1 5 5 0 1 S 1 S 10 S 10 S 10 S 10 4.7. Revenus Les revenus des clients d une agence immobilière ont caractéristiques suivantes : Moyenne : 5.000 Euros Écart-type : 1.000 Euros a 3 = 0,5 a 4 = a) Interpréter a 3 et a 4. b) Calculer les moments centrés d ordre 1 à 4. c) Donner un histogramme plausible pour la distribution des revenus. les 4.8. Garçons et filles Une promotion d étudiants comporte 50 garçons et 150 filles. Les garçons ont obtenu 1 de moyenne avec un écart-type de 3 points. Les filles ont obtenu une moyenne de 14 avec un écart-type de points. Commenter ces résultats et calculer la moyenne et l écart-type pour l ensemble de la promotion. 4.9. Cadences infernales a) Une machine est lancée pour la fabrication d une série de 1.000 pièces. La cadence de production est de 00 pièces à l'heure. Au bout de 600 pièces, un incident technique survient qui oblige à terminer la série à la cadence réduite de 100 pièces à l heure. Calculer la cadence moyenne de production pour la série entière. De quel type de moyenne s agit-il? 6
b) Une machine travaille 8 heures par jour. Pendant la moitié du temps, la cadence de production est de 600 pièces à l heure et ensuite de 00 pièces à l heure pendant la deuxième moitié du temps. Calculer la cadence moyenne de production pour la série entière. De quel type de moyenne s agit-il? 4.10. Petits pois Il y a deux modèles de boîtes de petits pois : les grandes, avec un diamètre de 10 cm, et les petites, avec un diamètre de 7,1 cm. Les hauteurs sont les mêmes. a) Quel est le diamètre moyen? b) Pourquoi les petites boîtes font-elles 7,1 cm de diamètre? 4.11. Coquilles La première moitié d'un livre comporte en moyenne une coquille toutes les 10 pages. La deuxième moitié a été corrigée plus attentivement et ne comporte plus qu'une coquille toutes les 30 pages. Calculer la fréquence moyenne des coquilles pour l'ensemble de l'ouvrage. 4.1. En voiture Un automobiliste a calculé qu il arriverait à destination à 13 heures s il roulait à 60 km/h et qu il pouvait arriver à 11 heures en roulant à 90 km/h. À quelle vitesse doit-il rouler pour arriver à midi pile? Ce problème a-t-il quelque chose à voir avec un calcul de moyenne? 4.13. Torrent Un torrent descend la montagne. Son débit est, au printemps de 8 m 3 /s, en été de m 3 /s, en automne de 6 m 3 /s et en hiver de 1 m 3 /s. Quel est le débit moyen sur l année? 4.14. Monnaie Deux monnaies d argent de diamètres respectifs 0 mm et 30 mm sont retirées de la circulation. L opération permet de récupérer 50.000 petites pièces et 50.000 grandes. On décide de refondre toutes ces pièces pour fabriquer 100.000 nouvelles pièces. Toutes les pièces dont il s agit ont la même épaisseur. Quel sera le diamètre des nouvelles pièces? 4.15. Frères et sœurs Une enquête conduite à l IUT permet de calculer que les étudiants inscrits sont issus de familles de 3 enfants en moyenne. Ce nombre est 7
plus élevé que la moyenne nationale du nombre d enfants par famille. Que peut-on en conclure? 4.16. Fierté légitime Toto rentre chez lui en annonçant fièrement qu il a fait moins de fautes à sa dictée que la moyenne de la classe. Est-ce forcément une bonne nouvelle? Construire un exemple de situation possible mais peu glorieuse pour Toto. 4.17. T.V.A. a) Une facture regroupe achats, le premier d un montant de 00 Euros TTC avec une T.V.A. à 19,6% et le deuxième d un montant de 300 Euros TTC avec une T.V.A. à 5,5%. Calculer le taux moyen de T.V.A. sur cette facture. b) Même question si les montants sont de 00 et 300 Euros hors taxe. Préciser à chaque fois de quelle moyenne il s agit. 4.18. Moitiés Un employé travaille du lundi au vendredi : le mardi, il travaille moitié plus que le lundi, le mercredi, il travaille moitié moins que le mardi, le jeudi, il travaille moitié plus que le mercredi, le vendredi, il travaille moitié moins que le jeudi. Quelle est l évolution moyenne de sa quantité de travail d un jour sur l autre? 4.19. Espérance Pour tester la longévité d une nouvelle génération de piles, on suit un échantillon de 100 piles en notant toutes les 100 heures le nombre de piles encore en fonctionnement. Temps écoulé 400 h 500 h 600h 700 h 800 h 900 h Nombre de piles encore en fonctionnement 100 90 70 40 10 0 On constate que les piles ont toutes duré entre 400 et 900 heures. Calculer la durée de vie moyenne d une pile. Si l échantillon est représentatif,, c est la durée de vie qu on peut attendre d une pile neuve. Cette moyenne s appelle espérance de vie. 4.0. Triangles rectangles Reprendre les deux triangles rectangles envisagés au paragraphe 1.1.1. et calculer des longueurs moyennes appropriées pour que le triangle qui en résulte soit lui aussi rectangle. 8
4.1. Salaires Moyennes Une entreprise emploie 4 personnes avec des salaires mensuels de 1.00, 1.0, 1.80 et 4.300. Calculer le salaire moyen. Peut-on dire que ce salaire résume bien la situation? 4.. Taux de change Un investisseur achète deux maisons aux U.S.A., la première au prix de 300.000 $ avec un cours du dollar à 1 Euro et la deuxième un an plus tard au prix de 100.000 $ avec un cours du dollar à 0,8 Euro. Calculer le cours moyen du dollar pour l ensemble de l opération. Préciser de quelle moyenne il s agit. 4.3. Ratios Pour suivre l évolution relative du prix de la viande et du prix du pain, on forme le ratio du prix du kg de viande sur le prix du kg de pain. Ce ratio est de 5 la première année et 4 l année suivante. a) Calculer la moyenne arithmétique des ratios. b) Calculer la moyenne arithmétique des ratios inverses : prix du pain sur prix de la viande. c) La moyenne arithmétique est elle bien adaptée pour faire une moyenne de ratios? Que penser de la moyenne géométrique? 4.4. Hommes et femmes Dans une entreprise, le salaire annuel moyen est de 15.000 Euros. Le salaire annuel moyen des hommes est de 15.600 Euros et celui des femmes 1.600 Euros. Calculer la proportion d hommes et de femmes employés dans l entreprise. 4.5. Progressions Une entreprise voit son chiffre d affaires chuter de 50% en 5 ans, pendant que celui de l entreprise concurrente augmente au contraire de 50% pendant la même période. Calculer la variation annuelle moyenne du chiffre d affaires pour chaque entreprise. 4.6. Bon vent Un avion assure la liaison régulière Paris-Bécasseville et retour. La distance est de 500 km et la vitesse de croisière 400 km/h. Mais en hiver, il faut souvent compter avec un vent de 100 km/h. À l aller le vent est contraire, de sorte que la vitesse par rapport au sol tombe à 300 km/h et au retour, l avion a le vent dans le dos ce qui lui permet de voler à 500 km/h. Dans ces conditions, calculer la vitesse moyenne de l avion sur un trajet aller-retour complet. 9
5. Un peu de correction s il vous plait! 5.1. Achats La moyenne et l écart-type peuvent se calculer directement à partir des données : Â x i n = 4944,60 = 61,81 s = 80 Â x i n - x = 8,76 En regroupant les données par classes d amplitude 10, 0 ou 30, on peut dresser les tableaux de calculs suivants : achats n i x i n i x i n i x i 0 à 10 3 5 15 75 10 à 0 5 15 75 1.15 0 à 30 4 5 100.500 30 à 40 8 35 80 9.800 40 à 50 7 45 315 14.175 50 à 60 10 55 550 30.50 60 à 70 11 65 715 46.475 70 à 80 9 75 675 50.65 80 à 90 8 85 680 57.800 90 à 100 7 95 665 63.175 100 à 110 5 105 55 55.15 110 à 10 3 115 345 39.675 80 4.940 370.800 x i = 4940 80 = 61,75 s = x i - x = 8,67 achats n i x i n i x i n i x i 0 à 0 8 10 80 800 0 à 40 1 30 360 10.800 40 à 60 17 50 850 4.500 60 à 80 0 70 1.400 98.000 80 à 100 15 90 1.350 11.500 100 à 10 8 110 880 96.800 80 4.90 370.400 x i = 490 80 = 61,50 s = x i - x = 9,1 30
achats n i x i n i x i n i x i 0 à 30 1 15 180.700 30 à 60 5 45 1.15 50.65 60 à 90 8 75.100 157.500 90 à 10 15 105 1.575 165.375 80 4.980 376.00 x i = 4980 80 = 6,5 s = x i - x = 8,77 Les résultats obtenus sont très voisins. Les regroupements par classes fournissent des résumés de la situation très proches de la réalité. 5.. Salaires On peut effectuer le changement de variable Z i = X i -86,5 5 Salaires n i X i Z i n i Z i n i Z i 800 à 85 17 81,5 34 68 85 à 850 8 837,5 1 8 8 850 à 875 5 86,5 0 0 0 875 à 900 18 887,5 1 18 18 900 à 95 1 91,5 4 48 totaux 100 0 16 Ï Z = -0 Ô 100 = -0, Ì Ô s Z = 16 100 - (-0,) = 1,58 =1,6 Ó Ô 31 Ï X = -0, 5+86,5 = 857,5 Ì Ó s X =1,6 5 = 31,4 S il s agit en fait d un échantillon, l estimation de la moyenne est correcte mais l écart-type est biaisé. Il faut le corriger : s n-1 = s n n 100 = 31,4 n-1 99 = 31,6 Évidemment, pour un grand échantillon comme celui-ci, la correction est à peu près négligeable! 5.3. Euros Les salaires ne changent pas, mais les valeurs sont toutes divisées par 6,55957 et la masse salariale aussi. En divisant par le nombre de salariés, on constate que la moyenne est divisée de la même manière. Les écarts, eux aussi, sont divisés. Le salaire moyen est donc maintenant de 1.19,59 Euros avec un écart-type de 15,45 Euros.