PC - Lycée Dumont D Urville TD 2 s mécaniques I. Pour appliquer le cours 1. Ecrire les surpressions associées aux s de vitesse pour un son qui se propage à la vitesse c dans un milieu de masse volumique ρ 0 : V 1 (x,t) = V m cos(ωt+kx) V 2 (y,t) = V a cos(ωt kx)+v b cos(ωt+kx) V 3 (x,t) = V m sin(kx ωt) V 4 (x,t) = V m cos(ωt)sin(kx) 2. Ecrire les vitesses associées aux s de surpression pour un son qui se propage à la vitesse c dans un milieu de masse volumique ρ 0 : p 1 (x,t) = p m sin(ωt+kx) p 2 (y,t) = p a sin(ωt+kx)+p b cos(ωt+kx) p 3 (x,t) = p m cos(ωt)cos(kx) 3. Calculer la vitesse de propagation du son dans l air de masse molaire M = 29 g/mol avec γ = 1,4 pour une température de 40 0 C. 4. On considère deux tuyaux de longueur L, le premier est ouvert des deux cotes et le second est ouvert d un coté et fermé de l autre. Représenter les s de surpression et de vitesse dans le mode fondamental. Lequel de ces deux tuyaux émet un son à l octave supérieure (une octave est un intervalle de fréquence de la forme [f 0,2f 0 ])? 5. Un tube de Kundt (composé d un haut-parleur à une extrémité et d un microphone à l autre extrémité) permet d obtenir un système d s stationnaires. On déplace le micro de L = 51,5±1 cm entre 7 noeuds consécutifs dans l air à 20 0 C. La fréquence d émission du haut-parleur est f = 2000±5 Hz. En déduire la vitesse du son dans l air en précisant l incertitude relative et absolue de la mesure. 6. En un point de l espace, on reçoit deux sons, l un de niveau acoustique 80 db et l autre de niveau acoustique 60 db. On suppose que les intensités acoustiques s additionnent. Calculer le niveau acoustique résultant (en db). Commentaire. 7. On reçoit deux sons de même niveau acoustique L (en db). Que peut-on dire du niveau acoustique L (en db) du son résultant? Calculer L pour L = 60 db. 8. On considère une sonore plane harmonique progressive ( fréquence f) d intensité I qui se propage dans l air dont les caractéristiques au repos sont : T 0 = 293 K, P 0 = 1 bar. M = 29 g/mol et γ = 1,4. Déterminer la surpression maximale au passage de l pour une fréquence f = 1000 Hz et une intensité I = 10 2 W/m 2. L approximation acoustique est elle justifiée? 9. On considère une sonore plane harmonique progressive ( fréquence f) d intensité I qui se propage dans l air. Les caractéristiques de l air au repos : T 0 = 293 K, P 0 = 1 bar, M = 29 g/mol, et γ = 1,4. Quelle est la température maximale de l air au passage de l sonore pour une fréquence f = 2000 Hz et une intensité I = 1 W/m 2. L approximation acoustique est elle justifiée? 10. Une explosion émet un son de puissance acoustique estimée à 12,5 W. On suppose les s sonores de forme sphérique. 10.a. Calculer l intensité acoustique(en W/m 2 ) à une distance de 100mètres. Vérifierque le niveau acoustique correspondant est de 80 décibels. 10.b. A quelle distance le niveau acoustique est-il de 60 db? 1
10.c. En réalité, le niveau acoustique est plus faible à cause du phénomène d absorption du son par l air (environ 1 db/km). Calculer le niveau acoustique réel à un kilomètre de l explosion. 10.d. L explosion est considérée comme audible tant que son niveau est supérieur à 30 db. Jusqu à quelle distance peut-on entendre l explosion? 11. Sur le trottoir à une intersection, vous percevez une fréquence de 510 Hz provenant de la sirène d une voiture de police qui s approche. Après le passage de la voiture, vous ne percevez plus le son de la sirène qu à une fréquence de 430 Hz. Déterminer la vitesse de la voiture de police (en m/s puis en km/h) d après ces observations. Quelle est la fréquence de la sirène? II. Influence de la viscosité On étudie la propagation du son dans un fluide de masse volumique ρ 0 au repos et de compressibilité isentropique χ s. On tient compte ici des effets de la viscosité du fluide en ajoutant la force volumique où est la direction de propagation. fv = 4 3 η 2 v x 2 Ux 1. η désigne la viscosité du fluide, préciser son unité. 2. On considère le volume élémentairede fluide au repos compris entre les abscisses x et x+dx et de section S. Dans le milieu perturbé, les tranches de fluide en x et x+dx se sont déplacés de ξ(x,t) et ξ(x+dx,t) à l instant t. On note p(x,t) et V(x,t), la surpression et la vitesse de la tranche de fluide en x à l instant t. On néglige les effets de la pesanteur. 2.a. Appliquer la RFD au volume élémentaire de fluide considéré et en déduire l équation reliant v t, p x, ρ 0, η et 2 v x 2. 2.b. Montrer que p(x,t) = 1 ξ χ s x. 2.c. En déduire l équation de propagation 2 v x 2 1 2 v c 2 t 2 + 4η 3 v 3ρ 0 c 2 x 2 = 0. Exprimer c et donner t sa signification. 3. On suppose que la vitesse particulaire a une représentation complexe de la forme v = v 0 e j(ωt kx). ω 2 3.a. Montrer que la relation de dispersion s écrit k 2 c = 2 1+j 4ηω. 3ρ 0c 2 3.b. On étudie la propagation du son dans l air à 300 K sous 1 atm pour une fréquence de 1 khz. On donne M = 29 g/mol et η(air) = 2.10 5 SI. L air est assimilé à un GP diatomique (γ = 7 ). Calculer c 5 et ρ puis 4ηω 3ρ 0 c 2. 3.c. L effet de la viscosité et très faible. Donner l expression approchée de k en faisant un DL à l ordre 1 en η (concrètement il faut utiliser (1+ǫ) α = 1+αǫ pour ǫ petit). En déduire l expression de v(x,t) sous la forme v 0 e x/δ cos(ωt k x). Exprimer δ et k et interpréter l expression de v(x,t). 3.d. AN calculer les longueurs caractéristiques sur lesquelles le son dans l air est amorti à 20 Hz et à 20 khz. v Réponses : 2a- ρ 0 t = p x + 4 V 3 η 2 x 2, 3b- c = 348 m/s et ρ 0 = 1,18 kg/m 3, 3c- k = ω 2ηω (1 j c 3ρ 0 c 2), k = ω c et δ = 3ρ 0c 3 2ηω 2 2
III. Utilisation de l intensité acoustique Soit une acoustique plane qui se propage dans l eau avec une vitesse de 1480m/s. Elle véhicule une puissance moyenne de 1 W uniformément répartie sur une section circulaire de 40 cm de diamètre, normale à la direction de propagation. La fréquence de l est égale à 24 khz. 1. Calculer l intensité acoustique; quel est en db le niveau de l intensité acoustique relativement à un niveau de référence 10 12 W/m 2 qui correspond à un seuil à peine audible? 2. Calculer l amplitude de la pression acoustique, l amplitude de la vitesse de particules et l amplitude du déplacement de particules. 3. Comparer aux résultats que l on aurait obtenus si cette se propageait dans l air. IV. Discontinuité entre deux milieux : transmission et réflexion des s sonores On étudie la propagation d une plane progressive harmonique suivant les x croissants. Le plan x = 0 sépare les deux milieux d impédances caractéristiques ρ 1 c 1 et ρ 2 c 2. On note α = ρ 2c 2 ρ 1 c 1. milieu 1 ρ1,c1 incidente milieu 2 ρ2,c2 transmise reflechie x=0 On écrit la surpression de l incidente p i = p 0 e j(ωt k1x). On note les coefficients de réflexion et de transmission pour la surpression r = p r(0,t) p i (0,t) et t = p t(0,t) p i (0,t). 1. Ecrire les surpressions p r et p t, associées aux s réfléchie et transmise. Ecrire également les vitesses particulaires V i, V r, et V t. 2. Quelles relations peut-on écrire en x = 0? En déduire les expressions de r et de t en fonction de α. 3. Ecrire les intensités acoustiques moyennes I i, I r et I t liées à chaque. On définit les coefficients de réflexion R et de transmission T en énergie par R = I r et T = I t. Exprimer R et T en fonction de α. I i I i Vérifier que R+T = 1. Que traduit cette égalité? 4. On considère le cas où α << 1 (réflexion sur une surface souple). Calculer r, t, R et T. AN:calculerT en décibel (soitt db = 10logT) pourl interfacecuivre (ρ = 8,96.10 3 kg/m 3 et c = 1500m/s) - air (ρ = 1,2 kg/m 3 et c = 340 m/s). Donner pour x < 0, les expressions de p(x,t) et V(x,t). Commenter. 5. On considère le cas où α >> 1 (réflexion sur une surface dure). Calculer r, t, R et T. AN : calculer T en décibel (soit T db = 10logT) pour l interface air (ρ = 1,2 kg/m 3 et c = 340 m/s) - eau (ρ = 10 3 kg/m 3 et c = 1400 m/s). Donner pour x < 0, les expressions de p(x,t) et V(x,t). Commenter. 3
V. Adaptation d impédance 1. Les impédances caractéristiques des muscles et de l air pour les s sonores utilisées en échographie valent Z a = 440 SI et Z m = 1,7.10 6 SI. 1.a. Préciser les unités des impédances. 1.b. On rappelle les coefficients de transmission et de réflexion en puissance des s sonores d un milieu d impédance Z 1 vers le milieu d impédance Z 2 : T = 4Z 1Z 2 (Z 1 +Z 2 ) 2 et R = (Z 1 Z 2 ) 2. Calculer les Z 1 +Z 2 coefficients R et T pour une interface air-muscle. Conclure. 2. Pour supprimer l réfléchie dans l air, on utilise un gel comme contact entre l appareil et la peau. Ce gel permet de réaliser une couche anti-reflet d épaisseur e et d impédance Z g. On note C a, C g et C m, les vitesses des s dans l air, dans le gel et dans le muscle et k a, k g et k m les vecteurs d associés. On cherche des solutions complexes sous la forme: V a = A a e j(ωt kax) V g = A g e j(ωt kgx) +B g e j(ωt+kgx) V m = A m e j(ωt kmx) air gel muscle Za Zg Zm 0 e 2.a. Ecrire les surpressions dans les trois milieux en utilisant les impédances Z a, Z g et Z m. 2.b. Ecrire la continuité de la surpression aux interfaces et la continuité du débit volumique S.V aux interfaces. 2.c. La résolution du système d équations donne (Z g Z a )(Z g +Z m ) (Z g +Z a )(Z g Z m ) = e 2jkge. Quelles valeurs faut-il choisir pour e et Z g afin d avoir la meilleure transmission possible? VI. Propagation dans un tuyau de section variable section S1 incidente reflechie transmise section S2>S1 x=0 On note la surpression de l incidente en représentation complexe p i = p 0 e j(ωt kx). Les amplitudes des s de surpression réfléchie et transmise sont respectivement: rp 0 et tp 0. 1. Exprimer les surpressions p r et p t 2. En déduire les vitesses v i, v r et v t en fonction de ρ 0, c s, p 0, r, t, ω, t, k et x. 3. Ecrire la continuité de la surpression en x = 0, en déduire une première équation entre r et t. 4. Ecrire la continuité du débit volumique en x = 0 (le débit volumique est le produit de la section par la vitesse particulaire soit S.v). En déduire une sec équation entre r et t. 5. En déduire r et t en fonction de S 1 et S 2. 6. On définit les coefficients de réflexion et de transmission en puissance par R = P r et T = P t. P i P i Exprimer les coefficients de réflexion R et de transmission T en puissance. Vérifier que R + T = 1. Que traduit cette égalité? 7. Commenter les cas : S 1 = S 2, S 1 << S 2 et S 1 >> S 2. 8. Pourquoi la trompette possède-t-elle un pavillon? Réponses : r = S 1 S 2 S 1 +S 2 et t = 2S 1 S 2 +S 1, R = ( S 1 S 2 S 1 +S 2 ) 2 et T = 4S 1S 2 S 1 +S 2 4
VII. Isolation phonique On souhaite étudier l atténuation sonore résultant de la traversée d une vitre d épaisseur e, d aire S et constituée de masse volumique ρ v. L sonore se propage à la célérité c s dans l air de masse volumique ρ 0 au repos. incidente reflechie e transmise vitre L est partiellement réfléchie sur la vitre alors qu un est transmise et se propage dans l air après traversée de la vitre. On note les vitesses en représentation complexe: V i = Ae j(ωt kx) pour x < 0 V r = Be j(ωt+kx) pour x < 0 V t = De j(ωt kx+ke) pour x > e 1. Ecrire les surpressions complexes p i, p r et p t associées aux s incidente, réfléchie et transmise. 2. On considère que la vitre se comporte comme un solide. Elle est donc indéformable mais susceptible de se déplacer. 2.a. Montrer que A+B = D. 2.b. Exprimer l accélération de la vitre de deux façons différentes : en fonction de j, ω, A et B ou en fonction de j, ω, et D. 2.c. Appliquer la RFD à la portion de vitre de surface S et en déduire que jωρ v ed = 2ρ 0 c s (A D). 2.d. En déduire que D A = 1 1+j ωρve. 2ρ 0c s 2.e. Exprimer le coefficient de transmission en puissance T. Calculer T à BF et à HF. En déduire la nature du filtre ainsi constitué. 2.f. Déterminer l atténuation en décibel (10 logt) obtenue pour une vitre d épaisseur e = 2 cm, de masse volumique ρ v = 2 000 kg.m 3 à une fréquence de 100 Hz, puis de 1 khz. La masse volumique de l air est ρ 0 = 1,3 kg.m 3 et la célérité du son c s = 340 m/s. Réponses : 1- p = ρ 0 c s v pour une OPPH + et p = ρ 0 c s v pour une OPPH, 2a- continuité de la vitesse 1 v(0,t) = v i (0,t)+v r (0,t) = v t (0,t), 2e- T = 1+( ρveω 2ρ 0c s ) 2, filtre passe-bas VIII. Onde acoustique dans un pavillon sonore On considère un pavillon de révolution à section circulaire variable notée S(x). A l équilibre, la tranche de fluide comprise entre x et x+dx a une masse volumique ρ 0 et une pression P 0. A l instant t cette même tranche de fluide est comprise entre les x+ξ(x,t) et x+dx +ξ(x+dx,t). On note p(x,t) la surpression, p(x,t) et ξ(x,t) sont des infiniment petits d ordre 1. On néglige tout terme d ordre supérieure ou égale à 2. section S(x) ξ(x,t) ξ(x+dx,t) 0 x x+dx 5
1. Montrer que le coefficient de dilatation du fluide défini par δ = dv s écrit δ = 1 V 0 S(x) déduire l expression de p en fonction de χ s, S(x) et ξ(x,t). (S(x)ξ(x, t). En x 2. On admet que l équation mécanique (déduite de la RFD appliquée à la tranche de fluide étudiée) s écrit 2 ξ encore ρ 0 t2(x,t) = p(x,t). Montrer que l équation de propagation de la surpression est: x 2 p x 2 1 2 p c 2 t 2 + 1 S(x) ds(x) dx p x = 0 3. Application 1 : On considère un pavillon à section exponentielle S(x) = S 0 e ax où S 0 et a sont des réels positifs. 3.a. Ecrire l équation de propagation associée au pavillon exponentiel. 3.b. On cherche une solution en plane de la forme p(x,t) = p 0 e j(ωt kx). Ecrire la relation de dispersion. En toute rigueur, les s qui se propagent dans le pavillon ne sont pas planes. Lorsque le pavillon est très peu évasé (soit 1 << λ), on peut assimiler ses s à des s planes. a 3.c. On pose k = k jk. Exprimer k et k en fonction de ω, c et a. En déduire qu il existe une fréquence de coupure f c au delà de laquelle les s ne se propagent pas. Exprimer f c. 3.d. A l entrée, la section du pavillon est S 0 = 3 cm 2 et sa longueur est x 0 = 6 cm. On veut transmettre les fréquences audibles supérieures à 1 khz. En déduire la section maximale S 1 du pavillon à la sortie. Calculer le rapport de l amplitude de l à la sortie du pavillon sur l amplitude de l à l entrée dans ce cas. On prend c = 340 m/s. 4. Application 2: Le saxophone soprano est modélisé par un tube approximativement conique, ouvert du côté du pavillon et quasiment fermé à l embouchure. Ce tuyau a pour longueur L, pour angle au sommet α et pour sommet O. α r(x) 0 x L 4.a. Exprimer le rayon r(x) en fonction de α et x et en déduire S(x). 4.b. Montrerquelafonctionπ(x,t) définieparπ(x,t) = xp(x,t) vérifiel équation 2 π 1 2 π x 2 c 2 t 2 = 0. 4.c. Déterminer les valeurs de π(x,t) pour x = 0 et x = L. 4.d. On cherche une solution sous la forme d stationnaire, justifier ce choix. En déduire l expression de π(x,t) et déterminer la fréquence f 1 du fondamental. 6