Le nombre au C2 Partie III : problèmes additifs, soustractifs et multiplicatifs 1/ Les problèmes additifs et soustractifs Pbs simples, à une opération Amener les E à automatiser le processus de reconnaissance de l opération A) Passage à l énoncé écrit : -Premiers problèmes sont des représentations des situations proches de la vie courante En GS : passer de la situation aux représentations (verbales, dessinées, schématiques, numériques) En CP : énoncé = habillage particulier d une situation que l on aurait pu vivre -Travailler spécifiquement sur l énoncé écrit : reformuler pour prendre de la distance (compléter des énoncés lacunaires, remettre les événements dans l ordre de leur survenue B) Une variété maîtrisée : -Progression indispensable -Ecriture collective d affiches de référence pour construire la notion et structurer les connaissances : Support = affiche avec l énoncé du problème + la ou les procédures de résolution -Amener les élèves à repérer les procédures employées ou le problème référent pour un meilleur réinvestissement C) Les aides à la résolution : -Clarifier le contexte et les références culturelles (jeux de rôle, dessin, échanges verbaux, question en début d énoncé ) -Favoriser les habiletés calculatoires (une représentation correcte du problème ne garantit pas une procédure de résolution adaptée) -Replacer le problème dans une catégorie pour mettre en œuvre une procédure adaptée : proposer des activités préparatoires pour mettre en relation énoncé/croquis/procédure de résolution -Construire l apprentissage à la schématisation progressive : dessin figuratif/schéma épuré/écriture plus formalisée (introduction du signe opératoire : pour lever l ambigüité de l écriture (2+3 et pas 2 3) ou pour traduire la situation en écriture mathématique (ex : addition à trou) mais ne pas l attendre de tous les E en situation problème) D) GS : problèmes de quantité et de nombres : Comparer des quantités, résoudre des problèmes portant sur des quantités Mémoriser la suite des nombres au moins jusqu à 30 Dénombrer une quantité en utilisant la suite orale des nombres connus Associer le nom des nombres connus avec leur écriture chiffrée Approche des quantités et des nombres : Nombre = représentation de la quantité ET moyen de repérer une position (anticiper et désigner) Les situations proposées visent à dépasser la perception globale et à l appropriation de la suite des nombres pour dénombrer Les problèmes constituent une entrée dans l univers du calcul (différent du dénombrement!) mais c est le CP qui installera le symbolisme Travail dans des situations concrètes et porteuses de sens Première correspondance entre désignation orale et écriture chiffrée Apprentissage du tracé des chiffres avec rigueur Progression : Distinguer l usage des mots-nombres/ symboles et constellations/chiffres Mais utiliser cette désignation ou être capable d anticipation n est pas connaître le système décimal (au CP : 12, c est 10+2) Il faudra donc faire évoluer les manipulations vers une part de symbolisme pour donner du sens aux signes La manipulation a pour but de devenir un outil d aide ou de validation p 54-55 Exemple d une situation du type : 2 pour 1 (construction du nombre pour mémoriser une quantité) 2 grands types de procédure : n+n OU 2+2+2+2 Situations de réinvestissement : Transposition en jouant sur les variables : Changement de forme du travail : oral, écrit Changement de la situation : un pour un, 3 pour 1 Changement de contexte : clowns/ballons, arbres/pommes, gommettes/enfants
: Sur le champ numérique, donc sur ces variables : nombre de nids, nombre d arbres Conclusion : une situation d apprentissage 1 : notion et fonction Usage du nombre comme un besoin, élaboration d opérations mentales directement sur les nombres, construction de la pensée symbolique 2 : numération orale/numération écrite Suite des nombres apparaît spontanément dans le langage courant MAIS créer un besoin de communication pour installer le nombre écrit (préparation à l abstraction) 3 : calcul Travail des habiletés et de la mémorisation : 2 et 2 font 4, décompositions de 5, décompositions de 10 en cours en GS. 4 : papier/crayon L exercice a une place au moment ou l abstraction a été raisonnablement anticipée, quand la pratique de référence peut-être transposée, ceci pour accompagner l abstraction progressive E) CP/CE1 : problèmes additifs et soustractifs CP : résoudre des problèmes simples à une opération CE1 : résoudre des problèmes relevant de l addition, de la soustraction et de la multiplication Progression : -L automatisation du processus de reconnaissance de l opération n est effective que si l E associe l opération à n importe quelle situation nécessitant cette opération. Ceci implique le travail en amont de diverses situations additives regroupant les problèmes d addition et de soustraction -Tous les problèmes ne sont pas résolus avec le même succès : une catégorisation est utile (un exemplaire de chaque catégorie est conservé pour servir de référence) Catégories de problèmes additifs et soustractifs (pas une progression) Cf. p 57-58, typologie de Vergnaud Situation d apprentissage : ex, le jeu des enveloppes (p58) (Retrouver un état initial à partir d une transformation positive) -Objectif = automatiser l utilisation de la soustraction pour un problème de cette structure = continuer à construire le sens de la soustraction en l associant à un nouveau type de situation -Des obstacles sont repérables : Compréhension de la situation Précaution prises = objets familiers, représentation facile, manipulation indispensable avant d en arriver à l énoncé. Ici, évocation de la situation, possibilité de mimer l action. Dissocier la situation d autres déjà rencontrées Comprendre qu il faut «inventer» l opération à utiliser Se méfier du terme «ajouter», qui fait utiliser l addition Besoin d évoquer la différence entre les problèmes et le but à atteindre (état initial ici) : comparaison avec les «affiches-type» Inventer une terminologie pour catégoriser qui soit compréhensible par tous Elaborer une première procédure Si on sait que la solution n est pas automatique, on s autorise à tâtonner. Les E retournent à des procédures qui les sécurisent (dessin, addition à trou) Identifier une nouvelle catégorie de problèmes Construction d une affiche de référence pour voir les particularités du problème et pour recenser les procédures possibles et la construction de leurs équivalences (association de la soustraction ici) Nécessité d automatiser la procédure découverte Situations de réinvestissement : d autres obstacles sont repérables : Passage de la situation à l énoncé Pour cette catégorie, parler de l état initial, ne pas le rendre lacunaire Automatisation de la soustraction Difficile car transformation positive donc faire faire le lien avec l affiche-référence (médiation entre l automatisation assistée et l automatisation autonome) Aide possible = création d énoncés de même catégorie
Traiter le contexte ordinal Les E doivent faire l analogie entre le contexte ordinal et le contexte cardinal (proposer différents problèmes, identifier ce qu on cherche pour les rapprocher) Situation d évaluation : Problème relevant de cette catégorie, à présenter parmi d autres de plusieurs catégories Critères de réussite si réponses erronées ou incomplètes : p 61 Conclusion : Même démarche pour les autres catégories additives Entretien régulier des connaissances Varier les contextes pour un ancrage à long terme Transposition au champ multiplicatif 2/ Les problèmes de multiplication et de division A) Cadre du socle commun : fin CE1, champ multiplicatif Calculer une multiplication Diviser par 2 et 5 des nombres < 100 Restituer et utiliser les tables jusqu à 5 Calculer mentalement en utilisant des multiplications simples Résoudre des problèmes très simples B) Différentes catégories de problèmes Progressivité selon 2 axes : identification des catégories ET choix des variables pour un même type de problèmes Problèmes de multiplication et division (Distribution, partage, groupement) -Multiplication : addition réitérée OU produit de mesures (représentation rectangulaire) -Division : problèmes de division/quotition (nombre de paquets identiques) OU division/partition (valeur d un paquet) Identification et choix des variables -Taille des nombres -Relation entre les nombres (doubles moitiés) -Habillage de la situation -Présentation de l énoncé L évolution progressive de ces paramètres favorise la construction de compétences chez l E (ex : passer à des nombres plus grands rend inefficace certaines procédures et justifie le recours à l écriture symbolique) C) Problèmes de distribution/partage en GS (Résoudre de problèmes portant sur des quantités) Se saisir d activités vécues dans la classe GS = progressivité : en début d année scolaire, situations de découvertes vécues et auto-validantes puis énoncés représentés et traités ; évaluation individuelle en fin d année scolaire Besoin de traces écrites garantes des apprentissages des E, et que l on interrogera tout au long de l année. Situation de découverte : Ex : combien de jetons? (p66) problème d addition réitérée (chaque E doit avoir 3 jetons) Présentation orale en début de GS, exemples de procédure L enseignant doit identifier ces procédures pour envisager de bloquer certaines d entre ellles A l issue de la recherche, on demandera aux enfants de représenter la situation traitée sur l ardoise, pour s assurer de la bonne compréhension + du degré de symbolisation PUIS élaboration d une trace écrite collective. Autres exemples de situations de découvertes pour les autres types de problèmes (p66-67) Situations d entraînement Même type de problèmes mais habillage et présentation différents pour faire rentrer l enfant pas à pas dans la symbolisation graphique La manipulation qui était un objet d enseignement devient un outil d aide ET les situations vécues font place aux situations fictives (qui font sens pour l E) Les traces écrites collectives sont amenées à évoluer Difficultés = Capacité à dénombrer (grande hétérogénéité : les enfants avec de bonnes procédures mentales peuvent déjà calculer (doubles) et anticiper) = Compréhension du problème dans son contexte
Démarche d aide = choix de nombres plus petits si E en difficulté, mais même problème = étayage autour d activités de comptage décontextualisées) = identification des grandeurs en jeu = reformulation = manipulation = mise en scène = référence aux traces collectives L objectif est d amener l E à dépasser la tâche (action) pour aller vers l activité (anticipation), ceci afin qu il n oublie pas ce qu il doit chercher! Vers l école élémentaire En maternelle différentes structures de problèmes de multiplication et division doivent être abordées, mais sans exigence de systématisation En CP/CE1, la systématisation devient incontournable (formalisation sous forme de schéma, installation du symbolisme à l aide des signes). Ceci implique pour ces 2 années, un cheminement progressif de la multiplication vers la division. au CP : on privilégie les problèmes d addition réitérée ou de produit de mesure qui permettent une approche de la multiplication, qui sera consolidée au CE1 au CE1 : on propose des situations de groupements et de partage qui permettent d approcher le sens de la division, qui sera automatisée au C3 D) CP : des problèmes de multiplication Résolution de pb dans tous les domaines et à tous les stades Résolution de pb : apprentissage progressif, vise à construire le sens des opérations C est le CP qui installe le symbolisme et les techniques Dans le champ multiplicatif, en fin de CP : Doubles des nb < 10 Moitiés des nb pairs < 20 Table de multiplication par 2 Pb simples à une opération On privilégie les pb multiplicatifs : addition réitérée / produit de mesures Situation de découverte (combien de stylos? p 69, addition réitérée) Choix des nombres pour que le nombre d itérations (additions) soit élevé (8), ceci afin que l E prenne conscience de la limite de l addition réitérée Suppose que l addition ait déjà été traitée (pb du second semestre) (4x8 = 4 que je répète 8 fois) Exemples de procédures sont donnés Elaboration d une trace collective Situations d entrainement (p70) Pour remobiliser les savoirs et identifier les structures de ces pb afin de réinvestir les procédures de résolution Enrichissement des traces collectives Difficultés : Aides : l E associe souvent résolution de pb et calcul (démarche techniciste) : il prend les nombres de l énoncé et les soumet à l opération qu il maîtrise le mieux nécessité de reposer le contrat didactique idem GS + outils d aide au calcul (bande numérique, répertoires additifs, doubles et moitiés )) +démarches d aide au calcul (compter de 2 en 2 ) E) CE1 : des problèmes de groupement et de partage Résolution de pb dans tous les domaines et à tous les stades Résolution de pb : apprentissage progressif, vise à construire le sens des opérations Champ multiplicatif, fin CE1 : Doubles et moitiés des nb d usage courant Tables de multiplication par 2, 3, 4 et 5
Calcul mental pour calculer des produits Technique de la multiplication à un chiffre Diviser par 2 ou 5 des nb < 100 (quotient exact) Problèmes multiplicatifs Approcher la division de 2 nb à partir d un pb Jusqu à présent, les pb de groupements ou de partage ont été résolus par un dessin, une addition ou une multiplication à trou (référence aux traces collectives qui existent) Au second semestre du CE1, ces pb vont permettre de découvrir la division (première approche). Les E doivent donc comprendre le sens et repérer dans quels types de pb ils vont pouvoir l utiliser. Situation de découverte (combien de paquets de billes? p 71, division/quotition) Choix de la taille des nb pour que le nb d itérations (+ ou -) soit élevé : représentation systématique fastidieuse et trop de temps dépensé. Ce choix constitue donc un obstacle qui va obliger l E à dépasser ses procédures initiales Pour les E qui utilisent correctement la multiplication à trou, l objectif est de leur faire découvrir une écriture équivalente, en introduisant le signe «:» Cette capacité à exprimer des formulations différentes et équivalentes fonde le concept opératoire Exemples de procédures p 72 Elaboration d une trace écrite collective Situations d entrainement Commencer par des pb de division ou le reste est nul Il faudra aussi aborder des situations qui génèrent des restes (groupements particuliers, partages non équitables) Faire évoluer les traces collectives Difficultés : procédures erronées du CP s ancrent au CE1 Aides : -Explicitation régulière du raisonnement pour dépasser l idée d une «magie du résultat» et pour déceler des erreurs de raisonnement masquées par un résultat juste -Pour dépasser le recours à l addition/soustraction réitérée : Entrainement régulier à l écriture de séries d additions sous la forme de produits Augmenter la taille des nombres pour rendre fastidieuses les opérations réitérées Comparer les procédures de résolution en termes d efficacité et de simplicité -Pour dépasser le recours à la multiplication à trou : Entrainement à passer de la multiplication à trou à la division -Automatisation des tables de multiplication= indispensable, manipulation sous toutes les formes : 4 fois 3? ; en 12 combien de fois 3? F) Conclusion -Référence à la théorie des champs conceptuels (structures additives et multiplicatives) -Inscription d une démarche dans la durée -Assurer cohérence et continuité en proposant un «parcours résolution de pb» (programmation d école) sur toute la durée de la scolarité, avec mise en place d outils communs qui évolueront d une classe à l autre -Travailler la typologie de pb, donner aux E les clés pour les reconnaître permettra de s engager dans une démarche de recherche (pour chercher, les E ont besoin d outils disponibles à tout moment et doivent donc les mémoriser, cet enjeu doit être expliqué pour faire accepter l effort) -L apprentissage doit être ponctué de moments spécifiques identifiés : Découverte Entrainement en contexte puis hors contexte Elaboration d une trace écrite qui enrichit le recensement des types de pb et des procédures Réinvestissement pour entretenir la compétence -Apport d aides spécifiques en fonction des besoins repérés grâce à des outils d évaluation construits en équipe. L évaluation individuelle reste fondamentale pour s assurer des acquisitions réelles et réguler les modalités d aide pour le suivi des E les + fragiles