I MISE EN SITUATION : LA TORSION SIMPLE On donne le dessin d ensemble partiel ci dessous à l échelle 1:3 de la boite des vitesses d un tour (L 180). 35 1 4 2 3 6 34 64 7 32 30 21 5 23 9 10 NB: En négligeant les forces normales à l axe, l arbre (1) est modélisé comme suit : S0 Ligne moyenne S MA MB Fig.1 II.1 Déduire le type de la sollicitation à la quelle est soumis l arbre (1) :.................................. ; II DEFORMATION ANGULAIRE DUE A LA TORSION : II.1 Expérience : Placer une éprouvette à travers les éléments de fixation et la bloquée dans la porté fixe. Fixer l autre bout au levier monté dans des roulements à billes (à la longueur désirée). Régler le dispositif de mesure de telle sorte que le palpeur du comparateur est exactement en face de l entaille du levier. Baisser le comparateur et régler l aiguille à zéro. Remar que: 1 tour de l aiguille de comparateur correspond à 1. Pour une charge donnée (10N) ; Compléter le tableau ci dessous : II.2 Constatation : l (en mm) α (en degr é) 600.......... 500.......... 400.......... Sous l action de la torsion, les fibres d un cylindre, parallèle à son axe géométrique, s enroulent suivant des hélices autour de cet axe. Seule la fibre axiale reste droite : c est la fibre neutre. COURS GENIE MECANIQ UE (12 13) Page 1/8 FLEXIO N PLANE SIMPLE
l1 m0 x F 1 l S0 O0 F' 1 δ α S m O F' m1 α 1 O1 S1 F Fig 1 x' L épr ouvette est un cylindr e d axe xx, de section constante S. Soient S 0 et S deux sections dr oites distantes de l et [m 0 m] une génér atr ice. Sous l action des couples ( F, F ) ( F 1, F 1 ) de sens contr air es S a tour né d un angle α par r appor t à S 0 pr ise comme r éfér ence. L expér ience montr e que pour un moment et une section donnés : α = 1 = θ en [ rd/mm ] : Angle unitaire de torsion l l α = 1 α en (r d) (angle de r otation entr e deux sections) II.3 Etude des contraintes : y Section droite S z M G0 G0 (2) x df 1/2 G1 Mt (1) x Considér ons le tr onçon (2) de la poutr e r epr ésentée ci contr e; l équilibr e de se tr onçon implique que les effor ts de cohésions déduisent un moment M tx. z ds M r df 1/2 G y Au point M, l effor t élémentair e df, r elatif à l élément de sur face ds est dans le plan de la section (S) et per pendiculair e au r ayon GM = ρ :(r ho). Le r appor t : τ df = (1) ds (Taux) est la contr ainte tangentiel au point M. II.4 Relation contrainte défor mation : On démontr e que la contr ainte de tor sion en un point M d une section est per pendiculair e à la distance ρ du point m à l axe de cylindr e et de l angle unitair e de tor sion θ. τ = G ρθ (2) G étant le module d élasticité tr ansver sal. Y La contr ainteτ est maximale pour ρ = r. ρ M τ max = Gr θ (3) Z τmaxi G τmaxi Diagr amme de r épar tition des contr aintes dans une section dr oite. Répartition des contraintes COURS GENIE MECANIQ UE (12 13) Page 2/8 FLEXIO N PLANE SIMPLE
II.5 Relation contrainte moment de torsion : Mt Mt τmax = v = I I 0 0 v (I 0 / v ) est le module de tor sion de la section considér ée en (mm 3 ) Dans l hypothèse d une défor mation élastique, le moment du couple de tor sion est donné par la r elation : Avec : M t : le moment du couple de tor sion en (N.mm). G : le module d élasticité tr ansver sale en (N/mm²). I 0 : le moment quadr atique polair e d une section dr oite en (mm 4 ). M t = GθI o (4) En utilisant les r elations (2) et (4) l expr ession de la contr ainte de glissement en un point d une section dr oite située à une distance ρ de la fibr e neutr e a pour expr ession : Cette contr ainte est maximale pour un point de la fibr e la plus éloignée de la fibr e neutr e ; soit en désignant ρ Mai par v sa distance à cet axe : II.6 La condition de résistance à la tor sion : Pour qu un cylindr e r ésiste en toute sécur ité à un couple de tor sion donné, il faut que la r elation suivante soit vér ifiée : II.7 Moment quadratique polaire : τ max R pg avec R pg : la r ésistance pr atique au glissement en (N/mm²) Re g Avec Rpg = s Rpg : r ésistance pr atique au glissement........en [MPa] Reg : limite appar ente d élasticité au glissement en [MPa] s : coefficient de sécur ité................ [sans unité] VALEUR DU MOMENT QUADRATIQUE POLAIRE DE SURFACES ÉLEMENTAIRES SURFACES IO V Mt τ = ρ Io v I 0 (5) Avec: Mt en (N.mm), I 0 en (mm 4 ) et ρ en (mm) π. d 4 32 d 2 π. d 3 16 4 4 π.( D d ) 32 D 2 4 4 π.( D d ) 16. D A retenir: α θ = L τ Maxi = G.θ. r Mt = G.θ.Io τ Maxi = Mt avec v=r Io v Condition de r ésistance τ Maxi Rpg Condition de r igidité Mt θ θ lim avec θ = G. Io COURS GENIE MECANIQ UE (12 13) Page 3/8 FLEXIO N PLANE SIMPLE
III APPLICATION : III.1 Agitateur pour peintur e 700 Une tige d agitateur pour peinture est montée en bout de mandrin sur une perceuse de bricolage. La longueur de la tige est de 700mm. La puissance transmise est de 500watts à 1500tr /mn. La résistance pratique au glissement du matériau de la tige est de R pg = 5daN/mm². 1 Déterminer le diamètre minimal de la tige. d min : 2 Calculer l angle de tor sion entre les deux extrémités de la tige (G = 8000daN/mm²) : α 3 Calculer le diamètr e de la tige dans le cas ou l angle unitaire de torsion ne doit pas dépasser la valeur de 0,1 degr é par mètr e. COURS GENIE MECANIQ UE (12 13) Page 4/8 FLEXIO N PLANE SIMPLE
III.2 Ar br e Inter médiair e : Moteur A d B Recepteur L = 2000 Un ar br e plein de diamètr e d et de longueur L égale à 2m transmet une puissance de 20kw à la vitesse de 1500tr /mn entre un récepteur et un moteur. L arbre repose sur deux palier s A et B. La résistance pratique au glissement du matériau de l arbre est de R pg = 8daN/mm². 1 Calculer le couple de torsion agissant sur l arbre (Mt) 2 Déterminer le diamètr e mini de l arbre et calculer l angle de tor sion entre A et B sachant que G = 8000 dan/mm². 3 Si l on impose à l angle de tor sion la valeur maximale de 0,1 degr é par mètr e, déterminer le diamètre d dans ce cas. COURS GENIE MECANIQ UE (12 13) Page 5/8 FLEXIO N PLANE SIMPLE
AUTRES APPLICATIONS EXERCICE.1 Un arbre moteur tête est assimilé à une poutre cylindrique pleine de diamètre ( d ), est sollicité à la torsion simple sous l action des couples CA et C B appliqués aux extrémités d intensité C = A Données La résistance élastique au glissement : Reg = 180 N/mm 2. Le coefficient de sécurité s = 3. C = 10 m.n. B C A a Déterminer le diamètr e minimal de l arbre pour qu il résiste en toute sécurité. b Calculer l angle de tor sion unitair eθ, sachant que d = 12 mm et G = 80000 N/mm 2. c Déduire l angle de tor sion α en degr é entre les sections extrêmes A et B. A 68 Diamètre d B C B EXERCICE.2 Un arbre AB de longueur L, de diamètr e constant d, doit transmettre une puissance P d un moteur électrique à un manchon d accouplement à la vitesse N tr /mn. Re On donne : Reg = et un coefficient de sécurité s = 5 (par rapport à Reg) 2 a Calculer son diamètr e minimal. b Calculer sa déformation angulaire de A à B (G = 8 10 4 N/mm 2 ). c Calculer d pour que la défor mation angulair e unitair e θ ne dépasse pas 0,25 /m. A L B Application numérique : L = 1 m ; P = 22 KW ; N = 1500 tr /mn ; Re = 400 N/mm 2 EXERCICE.3 Un arbre de sortie d un réducteur est supposé sollicité à la torsion simple. Il est considéré cylindrique plein de diamètr e 28 mm et supporte un couple de tor sion de 160 m.n. a Calculer la valeur de la contrainte tangentielle maximale de torsion τ en N/mm 2. b Indiquer pour chaque nuance de matériau du tableau ci dessous la valeur de la r ésistance pr atique au glissement Rpg correspondante sachant que Reg = 0,5.Re et s = 3. On donne : Reg : limite apparente d élasticité au glissement. Re : limite apparente d élasticité à l extension. s: coefficient de sécurité. NUANCE DE MATERIAU S185 S235 C25 C55 16 Cr Ni 6 Re N/mm 2 185 235 285 420 650 Rpg N/mm 2............................................. c En déduire toutes les nuances de matériau du tableau précédent qui garantissent la résistance de l arbre de sortie du réducteur. COURS GENIE MECANIQ UE (12 13) Page 6/8 FLEXIO N PLANE SIMPLE
EXERCICE.4 Une poutr e cylindr ique cr euse de diamètre extérieur D= 30 mm et de diamètre intérieur d=20 mm, est sollicitée à la torsion simple par un couple de moment Mt. Déterminer la contrainte de torsion maximale. Application numérique : Mt = 25 Nm EXERCICE.5 Un arbre est assimilé à une poutre à section cir culair e pleine de longueur L = 0,160 m et de diamètr e d. Il est sollicité à la torsion simple de moment de torsion Mt = 12,8 Nm. Cet arbre est en acier de r ésistance pr atique au glissement Rpg = 20 N/mm 2 et de module d élasticité tr ansver sale G = 80000 N/mm 2. a Calculer le diamètr e minimum (d) pour qu il résiste en toute sécurité. b Calculer l angle r elatif de tor sion α des sections extrêmes de l arbre. EXERCICE.6 Le schéma ci dessous représente un réducteur d une chaîne d entraînement d un tapis roulant. d3 Arbre du cylindre 3 2 T3/4 d4 Arbre moteur 1 4 1 On donne : Z 1 = 20 dents ; Z 2 = 50 dents ; Z 3 = 30 dents ; Z 4 = 40 dents (avec m = 2mm) et N moteur = 730 tr /mn 1.a Calculer le r appor t de r éduction r entre l arbre moteur et l arbre du cylindre. 1.b Calculer la vitesse de r otation N 4 de l arbre du cylindre. 2 L effort tangentiel T 3 / 4 est de 1000 N. Calculer le moment de tor sion Mt appliqué à l arbre du cylindre. 3 Cet arbre de diamètre d =18 mm, est en acier C 45. Sa résistance à la limite élastique par extension est Re = 350 N/mm 2. 3.a Calculer la contrainte maximale de torsion τ Max sur cet arbre. 3.b Vérifier si l arbre résiste en toute sécurité sachant que : Reg = Re/2 et le coefficient de sécurité adopté est s = 4. COURS GENIE MECANIQ UE (12 13) Page 7/8 FLEXIO N PLANE SIMPLE
EXERCICE.7 Une poutr e cylindr ique pleine de diamètr e d est sollicitée à la torsion simple par un couple de moment Mt. Déterminer la contr ainte de tor sion maximale. Application numérique: d = 20 mm ; Mt = 20 Nm EXERCICE.8 Un ar br e cr eux de diamètr e D = 50 mm et de diamètr e d = 40 mm a une longueur L = 1,5 m. a Calculer le module de tor sion de la section dr oite. b Sachant que la contr ainte tangentielle est de 30 N/mm 2, calculer le couple moteur tr ansmis par cet arbre. c Déduire du résultat précédent la puissance tr ansmise sachant que la vitesse de r otation est de 1200 tr /mn. d De quel angle tournent les sections extr êmes, l un par rapport à l autre? (On prendra G = 80000 N/mm 2 ) EXERCICE.9 Un ar br e de tr ansmission cylindr ique en acier est sollicité à la torsion simple par un couple de moment Mt. L angle unitair e de tor sion θ de cet arbre ne doit pas dépasser θ Maxi. Calculer le diamètre de cet arbre. Application numériqu : G = 80000 N/mm 2, Mt = 20Nm, θ Maxi = 1,6 10 5 r d/mm EXERCICE.9 L ar br e de tr ansmission d un camion est principalement constitué d un arbre télescopique et de deux joints de cardan (Fig.1) L ensemble est assimilé à un ar br e cr eux supportant deux couples de tor sion à ses deux extrémités. On donne : Diamètre intérieur de l arbre d = 24 mm Diamètre extérieur de l arbre D = 28 mm Couple transmissible Ct = 230 m.n Module d élasticité transversale G = 80000 N/mm 2 a Modéliser l arbre. Fig.1 b Calculer la valeur de la contrainte de torsion maximale. c Calculer la valeur de l angle unitaire de torsion. COURS GENIE MECANIQ UE (12 13) Page 8/8 FLEXIO N PLANE SIMPLE