EVALUATION DE MODÈLES DE TURBULENCE RELATIFS AUX TENSEURS DE PRESSION DÉFORMATION ET DE DISSIPATION DANS LE CADRE D UNE TURBULENCE COMPRESSIBLE NAJIB FAKRAOUI 1 ; HECHMI KHLIFI 2 1. Faculté des sciences de Tunis 2. Laboratoire: Unité de recherche Energétique et environnement ENIT(Tunisie) 3. E-mail: najibfakraoui@yahoo.fr Abstract: La simulation numerique d une turbulence compressible homogène soumise a un cisaillement constant à l aide d un modèle au second ordre de Favre[1] utilisant diffèrents modèles pour la correlation pression-déformation a montré que ces modéles fournissent des résultas relativement satisfaisants et reproduisent en générale les donnés de simulation numérique directe de Sarkar. Nous avons tenté d examiner la contribution de la dissipation dans le cadre d un modèle au second ordre. Dans cette étude on a montré que la modification de l équation modèle standard de la dissipation turbulente peut être à priori un bon issu pour la modélisation des écoulements turbulents compressibles. 1. Introduction La modélisation au second ordre demeure l une des approches les plus importantes utilisées dans la littérature pour prédire les écoulements turbulents notamment les écoulements turbulents compressibles homogènes cisaillés. Nous nous sommes intéressés à l étude d une turbulence compressible homogène cisaillée en examinant la contribution de la dissipation. Nous commençons au paragraphe 2 par présenter les équations générales décrivant l écoulement turbulent étudié. Au paragraphe 3, nous abordons la résolution numérique et nous présenterons les principaux résultats. La partie 4 sera consacrée à la présentation des figures et nous terminerons par une conclusion. 2. Equations décrivant l écoulement équation de continuité (1) équation de la conservation de la quantité de mouvement (2) 1
équation d évolution des tensions de Reynolds 19-21 Mars, 2012, Hammamet, Tunisie (4) équation de d évolution de l énergie cinétique turbulente Equation d évolution du nombre du Mach turbulent équation de transport de la dissipation solénoïdale (7) (5) (6) Pour tenir compte de l influence de la compressibilité dans le processus dissipatif Rubesin et al.[20] proposent l équation suivante : (8) Avec représentent respectivement les termes de production turbulente, de corrélation pression-déformation et de dissipation A ce niveau de travail, une modélisation au second ordre des équations précédentes est abordée. La modélisation concerne essentiellement les termes de corrélation pressiondéformation et de dissipation. un modèle connu dans la littérature est retenus. on appelle modèle Adumitroaie (correction du modèle de Launder et al. [5]) est basée sur la divergence non nulle de la fluctuation de vitesse. 2
Ces auteurs proposent un modèle pour la corrélation pression-déformation paramétré en fonction du nombre de Mach turbulent comme suit : Avec (9) D une manière générale, les paramètres et sont déterminées à l aide des modèles exprimant la corrélation pression-dilatation. Selon le modèle de Sarkar [2]: Il est important d indiquer que la correction proposée par Adumitroaie et al. [3] concerne seulement la partie linéaire du tenseur de la corrélation pression-déformation. 3. Résolution numérique et résultats Nous prenons maintenant l option d étudier la contribution de la dissipation sur une telle turbulence. Dans le cadre de cette étude, nous avons considéré deux cas de simulation numérique A1 et A4, ces deux cas correspondent à deux valeurs initiales différentes du nombre de Mach de gradient : =0.22 et turbulent : =1.32 et a une seule valeur initiale de nombre du Mach 3
Il est bien clair que le cas A1est caractérisé par une compressibilité faible par contre le cas A4 correspond à une turbulence fortement compressible. Pour ceci nous envisageons de tester le modèle décrit par une équation de transport de la dissipation totale(7). Cette équation est déduite de celle décrivant l énergie cinétique turbulente (5). L évaluation de ce modèle a été réalisée dans les cas A1 et A4 avec le modèle de Adumutroie pour la corrélation pression-déformation sous ces deux formes standard et corrigée Ainsi ce modèle de dissipation donne une estimation des valeurs d équilibres des composantes du tenseur d anisotropie et la dissipation plus meilleure que celle fournie par le modèle incompressible (voir tableau 2). cas DNS Ad standard Ad corrigé A1 0.32 0.172 0.237 A4 0.60 0.191 0.223 A1 0.290 0.316 0.112 A4 0.120 0.276 0.119 A1-0.20-0.156-0.249 A4-0.31-0.183-0.237 A1 0.16 0.225 0.043 A4 0.068 0.210 0.0614 Tableau 2 : comparaison des prédictions du modèle d Adumitroie corrigé pour les valeurs d équilibre (St=20) du tenseur de l'anisotropie des cas A1 et A4 avec le DNS de Sarkar [3] et le modèle standard d Adumitroie. 4. Présentation des figures Les figures (1 et 2) présentent l évolution temporelle de composante du tenseur d anisotropie dans les cas A1 et A4. Les résultats obtenus montrent que ces grandeurs caractéristiques de la structure de la turbulence sont affectées par les effets de la compressibilité. En effet une augmentation du nombre de Mach gradient se traduit par une amplification de la composante diagonale. 4
Figure 1 :Evolution temporelle de la composante A1 du tenseur d anisotropie dans le cas Figure 2 :Evolution temporelle de la composante A4 du tenseur d anisotropie dans le cas 5
Figure 3 : Evolution temporelle du taux d accroissement de l énergie cinétique turbulente dans le cas A1 Figure 4 : Evolution temporelle du taux d accroissement de l énergie cinétique turbulente dans le cas A4 6
Figure 5 :Evolution temporelle de la dissipation solénoidale dans le cas A1 Figure 6 :Evolution temporelle de la dissipation solénoidale dans le cas A4 7
D après les figures la modification de l équation modèle de la dissipation turbulente (8) a apporté une amélioration vis à vis du modèle incompressible et ceci Particulièrement dans le cas A4 pour les grandeurs énergétique : le taux d accroissement de l énergie cinétique turbulente et le taux de dissipation. Conclusion Ce travail s inscrit dans le cadre d un sujet de recherche sur la modélisation et la simulation numérique des écoulements turbulents compressibles. Dans ce travail, nous avons étudié l écoulement turbulent compressible homogène cisaillé en abordant une modélisation au second ordre. Le modèle de turbulence d Adumitroie et al. a été retenu. Nous nous sommes intéressés a la terme de corrélation pression déformation et au terme de dissipation. Le modèle compressible de la dissipation turbulente est relativement en accord avec les résultats de DNS dans les régimes fortement compressibles. Ceci est nettement observés particulièrement pour les termes énergétiques.ceci conduit a penser que la modèlisation de la dissipation est à priori un bon issu dans le cadre des écoulements turbulents compressibles Références A. Favre : «Equations des gaz turbulents compressible, Méthode des vitesses moyenne : méthode des vitesses macroscopiques pondérées par la masse volumique» J. Méc, Vol.4, pp.390-421 (1972). O. Zeman, «dilatation dissipation: the concept and application in modeling compressible mixing layers», phys. Fluids A2, 178. S.Sarkar, G.Erlebacher, M.Y, Hussaini and Kreiss HO 1991: «The analysis and modeling of dilatational terms in compressible turbulence» J.Fluid Mech. 227,473. V. Adumitraie, J.R.Ristorcelli, DB.Taulbee, «Progress in Favre Reynolds stress closure for compressible flows» Phys.Fluids A, vol9, p2696 (1999). B.E.Launder, G.J.Reece, W.Rodi: «Progress in the development of Reynolds stress turbulence closure» J.Fluid Mech, vol 68, p537 (1975). [6] M.W.Rubesin: Extra compressibility terms for Favre -Averaged two-equation models of inhomogeneous turbulence flow. NASA contr. 177556(1990). 8