Homologies et réseaux de capteurs L. Decreusefond MAT4NET L. Decreusefond Homologies et réseaux de capteurs 1 / 24
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Couverture 08 THE INTERNATIONAL JOURNAL OF ROBOTICS RESEARCH / December 2006 g. 1. A collection of sensor nodes generates a cover in the workspace [bottom]. The Rips complex of the network is stract simplicial complex which has no localization or coordinate data [top]. In the example illustrated, the Rips comp codes the communication network as one closed 3-simplex, eleven closed 2-simplices, and seven closed 1-simpli nnected as shown. The holes in this Rips complex reflect the holes in the sensor cover, below. L. Decreusefond Homologies et réseaux de capteurs 4 / 24
Complexe simplicial Généralise la notion de graphes Constitué d arêtes, de triangles, de tétrahèdres,... L. Decreusefond Homologies et réseaux de capteurs 5 / 24
Exemple 1208 THE INTERNATIONAL JOURNAL OF ROBOTICS RESEARCH / December 2006 Fig. 1. A collection of sensor nodes generates a cover in the workspace [bottom]. The Rips complex of the network is an abstract simplicial complex which has no localization or coordinate data [top]. In the example illustrated, the Rips complex encodes the communication network as one closed 3-simplex, eleven closed 2-simplices, and seven closed 1-simplices connected as shown. The holes in this Rips complex reflect the holes in the sensor cover, below. L. Decreusefond Homologies et réseaux de capteurs 6 / 24
Complexe de Cech L. Decreusefond Homologies et réseaux de capteurs 7 / 24
d b e a c Sommets : { a, b, c, d, e } = C 0 Arêtes : {ab, bc, ca, be, ec, ed } = C 1 Triangles : {bec} = C 2 Tétrahèdre : = C 3 L. Decreusefond Homologies et réseaux de capteurs 8 / 24
Exemple plus compliqué 4 4 3.5 3.5 3 3 2.5 2.5 2 2 1.5 1.5 1 1 0.5 0.5 0 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 0 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 Figure 3: A sensors network and its associated Cech complex. Definition 9 (Vietoris-Rips complex) Given (X, d) a metric space,! a finite set of points in X, and a real positive number. The Vietoris-Rips complex of parameter of!, denoted R (!), is the abstract simplicial complex whose k-simplices correspond to unordered (k + 1)-tuples of vertices in! which are pairwise within distance less than of each other. L. Decreusefond Homologies et réseaux de capteurs 9 / 24
Opérateur de bord Définition k : C k C k 1 k [v 0,, v k ] ( 1) j [v 0,, ˆv j, ] j=0 Exemple (bec) = ec bc + be 2 (bec) = c e (c b) + e b = 0 L. Decreusefond Homologies et réseaux de capteurs 10 / 24
Théorème k k+1 = 0 Conséquence Im k+1 ker k Définition β k = dim ker k range k+1 L. Decreusefond Homologies et réseaux de capteurs 11 / 24
Interprétation β 0 : nb de composantes connexes β 1 : nb de trous β 2 : nb de «vides»... L. Decreusefond Homologies et réseaux de capteurs 12 / 24
Exemple Rappel : C 0 = {a, b, c, d, e}, C 1 = {ab, bc, ca, be, ec, ed} 0 0, 1 = Nb de composantes connexes dim ker 0 = 5, range 1 = 4 donc β 0 = 1 1 0 1 1 0 0 1 1 0 0 0 1 0 1 1 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1 1 0 L. Decreusefond Homologies et réseaux de capteurs 13 / 24
Nombre de trous Rappel : C 1 = {ab, bc, ca, be, ec, ed}, C 2 = {bec} 0 1 0 2 = 1 1 0 dim ker 1 = 2, range 2 = 1 donc β 1 = 1 L. Decreusefond Homologies et réseaux de capteurs 14 / 24
Caractéristique d Euler Définition d χ = ( 1) j β j = ( 1) j C k j=0 j=0 Inégalité de Morse C k 1 + C k C k+1 β k C k L. Decreusefond Homologies et réseaux de capteurs 15 / 24
Algorithme centralisé Nécessite de connaître les positions exactes Complexe de Rips [x 0,,, x k ] R k (ɛ) x i x j ɛ L. Decreusefond Homologies et réseaux de capteurs 16 / 24
Propriétés Si distance =l, C k (ɛ) = R k (ɛ) Pour la distance euclidienne d + 1 R k (ɛ 2d ) C k(ɛ) R k (2ɛ) L. Decreusefond Homologies et réseaux de capteurs 17 / 24
Quelques résultats (D-Ferraz-Randriam-Vergne) n points, uniformément répartis sur un d-tore d arête a k simplexes E[ C k (n) ] = ( ) ( n 2ɛ (k + 1) d k + 1 a ) dk Caractéristique d Euler E[χ(n)] = n k=0 ( ) ( n 2ɛ ( 1) k (k + 1) d k + 1 a ) dk L. Decreusefond Homologies et réseaux de capteurs 18 / 24
Dimension 5 L. Decreusefond Homologies et réseaux de capteurs 19 / 24
Mise en œuvre Calculs algébriques classiques Base «minimale» des e.v. quotients donne les bords des trous L. Decreusefond Homologies et réseaux de capteurs 20 / 24
Autre application (D.- Martins- Vergne) Green networking Eteindre des capteurs en maintenant la couverture Hauteur d une arête Ordre du plus grand simplexe auquel elle appartient Indice d un sommet Minimum des hauteurs des arêtes adjacentes L. Decreusefond Homologies et réseaux de capteurs 21 / 24
Exemple We can see in Figure 5 the realisation of the coverage algorithm on a Vietoris- Rips complex of parameter =1based on a Poisson point process of intensity =4.2 on a square of side length 2, with a fixed boundary of vertices on the square perimeter. The boundary vertices are circled in red. 2 1.8 1.6 1.4 1.2 1 0.8 0.6 0.4 0.2 2 1.8 1.6 1.4 1.2 1 0.8 0.6 0.4 0.2 0 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2 0 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2 Figure 5: A Vietoris-Rips complex before and after the coverage reduction algorithm. For this configuration, on average on 200 runs, the algorithm removed 69.22% of the non-boundary vertices, and computed in 206.01 seconds. We can see in Figure 6 the realisation of the connectivity algorithm on a Erdös-Rényi complex of parameter n = 15 and p =0.3, with random active vertices. We chose a small number of vertices for the figure to be readable. L. Decreusefond Homologies et réseaux de capteurs 22 / 24
Complexité (D.-Vergne) Régime sous-critique Si k 1+η d k 1 n k k 1 ( ) d ɛn < θ := < a 1+η+d k k n k+1 k alors la hauteur tend vers k quand n tend vers l infini. Régime critique Si nθ n 1 alors Régime sur-critique Si nθ n alors hauteur nθ n. (ln n) 1 η < hauteur < ln n, η > 0. L. Decreusefond Homologies et réseaux de capteurs 23 / 24
Rips-Cech (D-Feng-Martins Norme euclidienne Rayon de couverture R S Rayon de communication R C p 2d (λ)(%) 9 8 7 6 5 4 3 2 simulation γ = 2.0 lower bound γ = 2.0 simulation γ = 2.2 lower bound γ = 2.2 simulation γ = 2.4 lower bound γ = 2.4 simulation γ = 2.6 lower bound γ = 2.6 simulation γ = 2.8 lower bound γ = 2.8 simulation γ = 3.0 lower bound γ = 3.0 1 0 0 0.002 0.004 0.006 0.008 0.01 0.012 0.014 0.016 0.018 0.02 intensity λ L. Decreusefond Homologies et réseaux de capteurs 24 / 24
L. Decreusefond, E. Ferraz, H. Randriambololona, and A. Vergne. Simplicial homology of random configurations. Advances in Applied Probability., 2013. A. Vergne, L. Decreusefond, and Ph. Martins. Reduction algorithm for simplicial complexes. In Infocom, April 2013. F. Yan, Ph. Martins, and L. Decreusefond. Connectivity-based distributed coverage hole detection in wireless sensor networks. In Globecom 11, Houston, Texas, USA, August 2011. F. Yan, Ph. Martins, and L. Decreusefond. Accuracy of homology based approaches for coverage hole detection in wireless sensor networks. In ICC 2012, June 2012. L. Decreusefond Homologies et réseaux de capteurs 24 / 24