1 CHAPITRE 1 Systèmes de numération
2 Représentation des nombres Nombres cardinaux Un symbole étalon Un nombre est l appariement d une suite de symbole étalon I Symbole étalon IIIIIIII Représente le nombre 8
3 Représentation des nombres Nombres ordinaux Une valeur de base (0) On définit les principes de succession succ(0) est le nombre suivant 0 et de correspondance À chaque valeur est associée un symbole (:=) 0, succ(0) := 1, succ(succ(0)) := 2, succ(succ(succ(0))) := 3, etc. Un nombre ordinal indique un rang dans un ensemble ordonné
4 Représentation des nombres Système de numération (η) Un couple composé D un ensemble de symbole (S) D un ensemble de règles (R) S = (I, V, X, L, C, D, M) R = ensemble des règles d écriture des chiffres romains IV = 4, LXVI = 66 La valeur d un symbole ne dépend pas de sa position
5 Représentation des nombres Système de numération positionnel Ajout d une base (B) au système de numération précédent Le nombre d élément dans l ensemble des symboles est B La valeur maximale d un symbole est B-1 Un symbole «a» à la i ème position vaut a * B i Système décimal: B = 10 S = { 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 } R = Somme de puissances de 10
6 Représentation des nombres Système de numération positionnel Système décimal: B = 10 S = { 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 } R = Somme de puissances de 10 10 0, 10 1, 10 2, 10 3 Unité, dizaine, centaine, millier 545 = 5 100 + 4 10 + 5 1 La valeur associée à un chiffre dépend de sa position
7 Représentation des nombres Système de numération positionnel Système décimal: B = 10 S = { 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 } R = Somme de puissances de 10 10-1, 10-2, 10-3, 10-4 Permet de représenter les fractions 0,85 = 8 0,1 + 5 0,01
8 Représentation des nombres Système de numération positionnel Système binaire: B = 2 S = { 0, 1 } R = Somme de puissances de 2 1011,1101 On fait l expansion, comme en base 10 1 2 3 + 1 2 1 + 1 2 0 + 1 2 1 + 1 2 2 + 1 2 4 = 11,8125 10
9 Représentation des nombres Le système décimal est le plus utilisé par les humains Les ordinateurs fonctionnent à l électricité Le courant passe (1) Le courant ne passe pas (0) Et utilisent le binaire (base 2) pour simplifier les calculs On utilise aussi les bases 8 (octal) et 16 (hexadécimal) Pour simplifier la notation des nombres binaires
10 Représentation des nombres Décimal Binaire Octal Hexadécimal 0 0 0 0 1 1 1 1 2 10 2 2 3 11 3 3 4 100 4 4 5 101 5 5 6 110 6 6 7 111 7 7 8 1000 10 8 9 1001 11 9 10 1010 12 A 11 1011 13 B 12 1100 14 C 13 1101 15 D 14 1110 16 E 15 1111 17 F 16 10000 20 10 17 10001 21 11 18 10010 22 12 19 10011 23 13 20 10100 24 14
11 Représentation des nombres Il est utile de connaître le plus grand entier positif qu un système de numération positionnel peut représenter. La valeur maximale exprimée dans une base «B» à l aide de «n» symboles est : Max (B, n) = B n - 1
12 CONVERSION DE NOMBRES
13 Il y a 6 cas de figures possibles pour convertir un nombre d une base à une autre X B Y 10 Y 10 X B X B1 Y B2 X B Y B m X B m Y B X B m Y B n
14 X B Y 10 X B (s n s 1 s 0,s -1 s -m ) B Y 10 = n i= m s i B i 412 5 = 4 5 2 + 1 5 1 + 2 5 0 = 100 + 5 + 2 = 107 10
15 X B Y 10 Schéma de Horner Y 10 = n i= m s i B i s i = d i + d n B + d n 1 B + d n 2 B + + d 2 B + d 1 B + d 0 d m B 1 + d m+1 B 1 + d m+2 B 1 + + d 2 B 1 + d 1 B 1
16 Y 10 X B On transforme la partie entière, ensuite la partie fractionnaire On peut se baser sur le schéma de Horner pour trouver l algorithme X B = s n s 1 s 0 B
17 Y 10 X B d n B + d n 1 B + d n 2 B + + d 2 B + d 1 B + d 0 a Y 10 = a B + d 0 Divisions (entières) successives et restes (modulo)
18 Y 10 X B avec Y 10 = 314 10 et B = 3 d n B + d n 1 B + d n 2 B + + d 2 B + d 1 B + d 0 314 10 = a 3 + d 0 314 3 = 104 reste 2 104 3 = 34 reste 2 34 3 = 11 reste 1 11 3 = 3 reste 2 3 3 = 1 reste 0 1 3 = 0 reste 1 314 10 = 102122 3
19 Y 10 X B d m B 1 + d m+1 B 1 + d m+2 B 1 + + d 2 B 1 + d 1 B 1 a Y 10 = a B Multiplications successives, avec les parties fractionnaires
20 Y 10 X B avec Y 10 = 0,314 10 et B = 3 d m B 1 + d m+1 B 1 + d m+2 B 1 + + d 2 B 1 + d 1 B 1 0,314 10 = a 3 1 0,314 3 = 0,942 0,942 3 = 2,826 0,826 3 = 2,478 0,478 3 = 1,434 0,434 3 = 1,302 0,302 3 = 0,906 0,314 10 = 0,022110 3
21 X B1 Y B2 On fait l expansion du nombre en base B 1 en effectuant les calculs dans la base B 2 s i B1 = d i B2 B 1 = B 1 B2 Y B2 = n i= m i d i B 1 B2
22 X B1 Y B2 Il faut connaître l arithmétique de chaque base. 4 5 + 3 5 =? 5 4 5 3 5 =? 5
23 X B1 Y B2 avec X = 165 9 et Y 5 9 = 14 5 ; 1 9 = 1 5 ; 6 9 = 11 5 ; 5 9 = 10 5 1 5 14 2 5 + 11 5 14 1 0 5 + 10 5 14 5 1 5 311 5 + 11 5 14 5 + 10 5 311 5 + 204 5 + 10 5 1020 5 + 10 5 1030 5 = 165 9
24 X B1 Y B2 Une autre méthode, plus longue, est de passer par une base intermédiaire (habituellement, la base 10) On fait l expansion du nombre en base B 1 vers la base 10 On fait les divisions et les multiplications successives vers la base B 2 à partir de la base 10
25 X B Y B m On fait des groupes de «m» symboles On part de la droite pour la partie entière On part de la gauche pour la partie fractionnaire On complète les groupes qui ont moins de «m» symboles par des zéros On remplace les groupes par la valeur dans la base B m On appelle cette technique le groupement.
26 X B Y B m avec X B = 100111101,101001 2 et Y B m = Y 16 0001 0011 1101, 1010 0100 2 13D, A8 16
27 X B m Y B On remplace chaque symbole de la base B m par la suite de symboles équivalents dans la base B. On appelle cette technique l éclatement.
28 X B m Y B avec X B m = 6A, C 16 et Y B = Y 2 6A, C 16 0110 1010, 1100 2 1101010,11 2 = 6A, C 16
29 X B m Y B n Chaque symbole de la base B m est éclaté en «m» symboles de la base B. Chaque symbole de la base B est ensuite regroupé en groupes de «n» symboles et transformés en symbole de la base B n
30 X B m Y B n avec X B m = 4F, A3 16 et Y 8 4F, A3 16 0100 1111, 1010 0011 2 001 001 111, 101 000 110 2 117,506 8
31 Nomenclature de nombres Les préfixes du système décimal + Puissance de 10 - Deca 1 Deci Hecto 2 Centi Kilo 3 Milli Mega 6 Micro Giga 9 Nano Tera 12 Pico Peta 15 Femto Exa 18 Atto Zetta 21 Zepto Yotta 24 Yocto
32 Nomenclature de nombres Les préfixes des octets (groupe de 8 bits) en informatique Puissance de 2 Kilo 10 Mega 20 Giga 30 Tera 40 Peta 50 Exa 60