Physique statistique (PHY433) Électrons dans les solides R = ρ L S Amphi 7 Résistivité Les électrons dans les solides - - + - - + - + Gilles Montambaux 13 mars 2017 1 au moins 25 ordres de grandeurs entre un bon métal et un bon isolant 2 Électrons dans les solides Rappels facteur d occupation d un état quantique d énergie k B T Plan du cours I. Rappel sur le gaz parfait de fermions Fermi-Dirac II. Électrons dans un cristal, effet du réseau périodique III. Conducteurs et isolants IV. Semiconducteurs Les propriétés physiques dépendent de la structure du spectre au voisinage du niveau de Fermi Les électrons situés loin du niveau de Fermi ne peuvent pas échanger d énergie C = γt 3 4
Rappels Nombre de particules Pour caractériser un gaz d électrons, il faut d abord évaluer son énergie (ou sa température) de Fermi nombre d électrons Z ²F nombre d états d énergie inférieure à ² F densité d états D(²) ² Énergie interne facteur de Fermi N = N = 2 V 4π (2π) 3 0 3 k3 F D(²)d² = N < (² F ) = 2 V µ 3/2 4π 2m²F (2π) 3 3 h 2 ²( ~ k)= h2 k 2 2m d =3 k B T F = ² F =(3π 2 ) 2/3 h2 ρ 2/3 2m ρ = N V D(²) =2 V 4π 2 (2m) 3/2 h 3 ² ² Dans un métal (sodium), ρ 2.510 28 m 3 ² F 3 ev T F 36 000K ev k B T 1 ev 11600 K ²( ~ k)= h2 k 2 2m D(²) ² d/2 1 en dimension d 5 T T F A température ambiante, les électrons d un métal forment un gaz fortement dégénéré Électrons dans un solide Électrons dans un solide Électrons libres? NON! Cette approximation est-elle valable? Difficile! Hamiltonien des électrons Interaction entre les électrons «Problème à N corps» Interaction entre les électrons Électrons libres hamiltonien à 1 corps : «facile» Difficile! Interaction avec les noyaux fixés aux points d un réseau périodique Conducteurs, isolants, semiconducteurs, transistors, magnétisme, (supraconducteurs)! 7 8
Électrons dans un solide Électrons dans un solide Difficile! Difficile! «Problème à N corps» Interaction entre les électrons «Problème à N corps» Interaction entre les électrons hamiltonien à 1 corps : «facile» Difficile! Ordres de grandeur : L interaction coulombienne (écrantée) augmente avec la densité a distance moyenne entre électrons Dans beaucoup de situations, on peut négliger l interaction entre électrons ou l intégrer dans un problème à un corps effectif (champ moyen) L énergie cinétique typique augmente encore plus vite Il existe des situations où l interaction e-e joue un rôle essentiel : «physique des électrons fortement corrélés», un des grands challenges de la physique moderne 9 L interaction coulombienne devient négligeable dans la limite de haute densité 10 Électrons dans un solide Électrons dans un solide : potentiel effectif périodique Difficile! Approximation de champ moyen On remplace le potentiel vu par l électron i de la part de tous les autres, par un potentiel moyen, le même pour tous les électrons. Ce potentiel effectif dépend lui-même de la densité des autres électrons «Problème à un corps» potentiel périodique cf: physique statistique 2 Chaque électron se déplace dans le potentiel moyen dû aux atomes et aux autres électrons 12
Un électron dans un potentiel périodique Un électron dans un potentiel périodique Deux approches possibles Exemple 1D faible cf. PHY430, amphi 2 électron presque libre fort électron fortement lié la méthode des liaisons fortes la méthode des liaisons fortes 13 14 Un électron dans un potentiel périodique Un électron dans un potentiel périodique N atomes N atomes Spectre de si on connait les solutions de? 15 On diagonalise h dans le sous-espace des états fondamentaux Combinaison linéaire d orbitales atomiques 16
Retour sur le double puits cf. PHY311, amphi 4 Retour sur le double puits On diagonalise h dans le sous-espace des états fondamentaux h est une matrice 2x2 17 amplitude tunnel intégrale de transfert intégrale de saut dépend de la distance a entre les atomes On diagonalise h dans le sous-espace des états fondamentaux h est une matrice 2x2 18 Éléments de matrice Retour sur le double puits cf. PHY311, amphi 4 h 11 = hr 1 h R 1 i = ² ' ² 0 h 21 = hr 2 h R 1 i = t Le couplage tunnel lève la dégénérescence des niveaux atomiques 20
Retour sur le double puits cf. PHY311, amphi 4 Un électron dans un potentiel périodique, d=1 E Évolution typique des niveaux en fonction de la distance entre atomes a 21 On diagonalise h dans le sous-espace des états fondamentaux Hamiltonien = matrice N x N 22 Éléments de matrice Un électron dans un potentiel périodique, d=1 cal périodiques généralise t nl décroit très vite avec la distance n l, supposé nul au-delà 1 er voisins cf. molécule de benzène PHY430, amphi 3 hr l h R l i = ² ' ² 0 hr n h R l i = t si n = l ± 1 24
Un électron dans un potentiel périodique, d=1 Un électron dans un potentiel périodique cal périodiques généralise Vecteurs propres généralise le cas de deux atomes (solutions symétrique et antisymétrique) et satisfait la périodicité du réseau (Théorème de Bloch ) + Quantification par les cal périodiques 25 26 Un électron dans un potentiel périodique Un électron dans un potentiel périodique, d=1 E ² k = ² 2t cos ka (Première zone de Brillouin) a + Quantification par les cal périodiques ² k = ² 2t cos ka N valeurs de k 27 Quasi-continuum de 2 N états dans une bande de largeur 4 t(a) SPIN 28
Un électron dans un potentiel périodique, d=1 E E Un électron dans un potentiel périodique, en dimension d ² k = ² 2t cos ka a Généralisation : Un électron dans un potentiel périodique, dimension d réseau cubique Bande interdite ou «Gap» a a dx ² ~k = ² 2t cos k ν a ν=1 Plusieurs états atomiques plusieurs bandes 2 (2l+1) N états dans chaque bande 29 30 Électrons sur un réseau carré Électrons sur un réseau carré ² ~k = ² 2t(cos a +cos a) surface de Fermi ² ~k = ² 2t(cos a +cos a) surface de Fermi ² ~k ² ~k 2N états dans une bande d énergie (s) 2N états dans une bande d énergie (s) Le nombre d électrons fixe le niveau de Fermi Le nombre d électrons fixe le niveau de Fermi 31 32
Électrons sur un réseau carré Électrons sur un réseau carré ² ~k = ² 2t(cos a +cos a) surface de Fermi ² ~k = ² 2t(cos a +cos a) ² ~k ² ~k 2N états dans une bande d énergie (s) Le nombre d électrons fixe le niveau de Fermi Pour une bande demi-remplie, la surface de Fermi est un carré! 33 Pour une bande peu remplie, la surface de Fermi est isotrope ² ~k = ² 4t + ta 2 k 2 = ² min + h2 k 2 m eff = 2m eff Masse effective h2 2ta 2 34 Électrons sur un réseau cubique Électrons sur un réseau cubique ² ~k = ² 2t(cos a +cos a +cosk z a) ² ~k = ² 2t(cos a +cos a +cosk z a) surface de Fermi surface de Fermi Pour une bande peu remplie, la surface de Fermi est isotrope ² ~k = ² min + h2 k 2 2m eff k z k z La masse effective peut être très différente de la masse «nue» de l électron Métaux ~ 0,5-20 Semiconducteurs ~ 0.001-1 «Fermions lourds» ~ 1000 m eff = h2 2ta 2 35 Métaux ~ 0,5-20 Semiconducteurs ~ 0.001-1 «Fermions lourds» ~ 1000 Bande demi-remplie 36
La surface de Fermi du cuivre Densité d états (liaisons fortes) D(²) D(²) D(²) d=1 d=2 d=3 1 ²/t ²/t ²/t Cte ² ² ² ~k = ² max h2 k 2 2m eff 37 ² ~k = ² min + h2 k 2 2m eff 38 Conclusions importantes E E Bande interdite ou «Gap» a métaux et isolants Dans un cristal (potentiel périodique), les états électroniques permis sont répartis en bandes d énergies séparées par des gaps. Ces bandes sont d autant plus larges que les états atomiques se recouvrent Le spectre en bord de bande est quadratique avec une masse effective 2 (2l+1) N états dans chaque bande 39 40
Bandes d énergie dans un métal : l exemple du sodium Z=11 Bandes d énergie dans un isolant : l exemple du néon Z=10 N atomes N atomes 11 N électrons Bande de valence 10 N électrons Bande de valence Bande de conduction Bande de conduction Les bandes pleines ne conduisent pas Les bandes pleines ne conduisent pas Bas de la bande de conduction N électrons libres de masse effective La bande de conduction est vide Isolant Gap ~20 ev ~240 000 K Si le gap est de l ordre de 1eV «Semiconducteur» 42 Électrons dans les solides * L approximation de particules libres (qui néglige les interactions entre électrons) est souvent une bonne approximation. * Le potentiel périodique du réseau modifie radicalement la dynamique des électrons «bandes» d énergies séparées par des «gaps». ²( ~ k)= h2 k 2 2m e ²( ~ k) non isotrope * Les bandes pleines ne conduisent pas. * Isolant : la bande de conduction est vide (toutes les bandes sont pleines) Les semiconducteurs * Métal : la bande de conduction est partiellement remplie. * En extrema de bande, ²( ~ k)=² min + h2 k 2 2m eff les électrons se comportent comme des fermions libres de masse m eff 44
Un semiconducteur est un isolant à petit gap Ge: gap = 0,7 ev Si : gap = 1,1 ev Résistivité Résistivité 46 Porteurs de charge dans un semiconducteur Porteurs de charge dans un semiconducteur T=0K isolant T finie Bande de valence pleine Bande de conduction vide bande pleine - p(t) électrons (-e) = BV bande pleine + p(t) «trous» (+e) BC Gap ~1eV 47 «trous» dans la b. valence électrons dans la b. conduction
Électrons dans la bande de conduction Électrons dans la b. de conduction et trous dans la b. de valence BV BC On procède de même pour calculer en posant 49 50 Trous dans la bande de valence Nombre de porteurs BV BC Loi d action de masse (indépendante de ) neutralité électrique BV BC 51 Le niveau de Fermi est au milieu du gap
Nombre de porteurs Nombre de porteurs dans un semiconducteur «intrinsèque» * Variation rapide en température silicium silicium silicium * Pente impuretés impuretés Applications : thermistors Concentration de porteurs «intrinsèques» par atome 10 12 Une faible concentration d impuretés change complètement le nombre de porteurs semiconducteurs «extrinsèques» Dopage «n» : impuretés donneuses Dopage «p» : impuretés acceptrices Niveau «donneur» L atome de phosphore apporte un électron supplémentaire très faiblement lié autour de l ion P+ Niveau «accepteur» L atome de bore piège un électron de la bande de valence atomes de phospore libèrent électrons dans la BC N a atomes de bore libèrent trous dans la BV BV BC n(t ) ' N d BV BC p(t ) ' N a Semiconducteur «n» 55 Semiconducteur «p»
Les semiconducteurs dopés, briques de base pour l électronique La LED : recombinaison des trous et des électrons La diode np p : trous libres n : électrons libres p + +++ - + n bloque le passage du courant le courant ne passe pas le courant passe 57 58 Les semiconducteurs dopés, briques de base pour l électronique Le transistor à effet de champ Prochain amphi V < 0 V > 0 8. Thermodynamique du rayonnement, gaz de photons Rayonnement du corps noir, loi de Planck Equilibre thermique soleil terre, effet de serre Rayonnement fossile de l univers La tension de grille V (gate voltage) contrôle le passage du courant 60