Académie de Nantes ÉCOLE DOCTORALE DE L UNIVERSITÉ DU MAINE LE MANS, FRANCE THÈSE DE DOCTORAT Spécialité : ACOUSTIQUE présentée par Manuel ETCHESSAHAR pour obtenir le titre de Docteur d Université CARACTÉRISATION MÉCANIQUE EN BASSES FRÉQUENCES DES MATÉRIAUX ACOUSTIQUES. Soutenue le 24 juin 22 devant le jury composé de : Y. CHEVALIER Professeur, ISMCM, Saint-Ouen Rapporteur J.L. IZBICKI Professeur, LAUE, Université du Havre Rapporteur J.F. ALLARD Professeur émérite, LAUM, Université du Maine Examinateur B. BROUARD Maître de Conférences, LAUM, Université du Maine Examinateur J.L. GUYADER Professeur, LAV, INSA Lyon Examinateur M.P. LUONG Directeur de Recherche, CNRS, LMS, École Polytechnique Examinateur S. SAHRAOUI Professeur, LAUM, Université du Maine Directeur de Thèse
Caractérisation mécanique en basses fréquence des matériaux acoustiques Résumé - L objectif de ce travail est développer des techniques de caractérisation mécanique aux basses fréquences des matériaux poreux, tels que les mousse polyméres et les matériaux fibreux, courament utilisés pour réduire les nuisances sonores. Dans un permier temps un banc de caractérisation quasistatique en traction compression permettant de mesurer le module d Young et le coefficient de Poisson de ces matériaux sur la plage de fréquence 1-1 Hz est présenté. Une attention particulière est portée à la recherche su domaine linéaire de mesure, à la dépendence en fréquence, à l anisotropie et aux effets dynamiques et de couplage. La deuxième partie est consacrée à la validation d une technique pour étendre la bande de fréquence de mesure aux hautes fréquence mieux adaptée à l utilisation industrielle de ces matériaux. Cette technique, basée sur le principe de superposition fréquence-température, est validée pour les mousses polyuréthane. De plus, on montre que la caractérisation d un seul module d élasticité sur une large plage de fréquence est suffisante pour décrire la dépendance en fréquence de tous les modules d élasticité du matériau. Ces matériaux étant souvent utilisés sous forme de plaque, la dernière partie présente un nouveau système expérimental pour la mesure dynamique du module de rigidité en flexion des plaques poroélastiques. L inversion repose sur une analyse modale basée sur la méthode de Prony et sur un modèle de plaque basé sur la théorie de Biot, incluant les interactions fluide-structure dans la plaque. Les résultats obtenus sur un matériau fibreux sont satisfaisants alors que les résultats obrenus sur une mousse polyuréthane montrent clairement les limites du modèle développé. Mots clés - acoustique, matériaux poreux, modèle de Biot, propriétés mécaniques, viscoélasticité, superposition temps-température, plaques poroélastiques, analyse modale expérimentale Mechanical characterisation of acoustic materials in the low frequency range Abstract - This work deals with new caracterisation technics of the mechanical properties of poreous materials, such as plolymeric foams and fibroux materials, currently used in sound absorbing applications. First, a quasistatic traction-compression experimental technic used to measure Young s modulus and Poisson s ratio of such materials on the frequency range 1-1 Hz is described. A special attention is paid on linear domain, frequency dependence, anisotropy and dynamical and coupling effects. Next a most adapted to industrial context technic allowing a large frequency range carcterisation is presented. This technic, based on the frequency-temperature superposition principle, is validated on polyurethan foams. Moreover, it is shown that the knowledge of the frequency dependence of one modulus is enougth to predict the frequency dependance of all moduli. These materials being usually plate like, the final part presents un new experimental device to measure the bending modulus of poroelastic plates. The inversion is based on modal analysis with the Prony method and on a analytical model of bending behaviour of poroelastic plates. This model is based on the Biot model in order to take into account the fluid-strucure coupling effects. Results obtained on a fibroux material are satisfying while results obtained on a polymeric foam show clearly the limits of this new model. Keywords - acoustics, porous materials, Biot theory, mechanical properties, viscoelasticity, timetemperature superposition, poroélastic plates, expérimental modal analysis
Table des matières Table des matières......................................... i Introduction générale 1 1 Description du comportement acoustique des milieux poreux 5 1.1 Considérations géométriques................................... 5 1.2 Hypothèses et description des paramètres du milieu poreux................... 7 1.3 Propagation dans un milieu poreux à structure rigide...................... 1 1.3.1 Équation de propagation................................. 1 1.3.2 Modèles empiriques................................... 1 1.3.3 Modèles phénoménologiques............................... 11 1.4 Propagation dans un milieu poreux à structure élastique : modèle de Biot............ 12 1.4.1 Comportement poroélastique............................... 12 1.4.2 Équations du mouvement d un milieu poreux...................... 13 1.4.3 Milieu isotrope et isotrope transverse.......................... 14 1.4.4 Remarques sur le couplage élastique........................... 15 1.5 Importance des paramètres mécaniques sur le comportement acoustique............ 16 1.6 Conclusion............................................ 19 2 Évaluation des paramètres mécaniques 21 2.1 Généralités sur la viscoélasticité................................. 21 2.2 Évaluation par des modèles structuraux............................. 22 2.2.1 Premiers modèles : modèle de Gent et Thomas et modèle de Ko............ 23 2.2.2 Modèle isotrope avancé : modèle de Gibson....................... 25 2.2.3 Modèle de Warren et Kraynik.............................. 26 2.2.4 Modèle isotrope-transverse................................ 28 2.2.5 Synthèse......................................... 3 2.3 Évaluation par des méthodes expérimentales........................... 31 2.3.1 Matériaux viscoélastiques................................ 31 2.3.2 Matériaux poreux..................................... 32 2.4 Caractérisation expérimentale des constantes élastiques des matériaux poreux......... 32 2.4.1 Banc de mesure...................................... 34 2.4.2 Inversion isotrope..................................... 37 2.4.3 Caractérisation d une mousse polyuréthane....................... 37 i
ii Table des matières 2.4.4 Caractérisation d une laine minérale........................... 43 2.4.5 Etude des effets dynamiques et de l influence de l air.................. 46 2.5 Conclusion du chapitre 2..................................... 49 3 Mesures des constantes élastiques sur une large plage de fréquence 51 3.1 Introduction............................................ 51 3.2 Mesure du module de cisaillement et de la rigidité en compression sur une large plage de fréquence 52 3.3 Conclusion du chapitre 3..................................... 67 4 Mesure du module de rigidité en flexion 69 4.1 Introduction............................................ 69 4.2 Etude du comportement vibratoire d une plaque poreuse.................... 7 4.3 Estimation du module de rigidité en flexion........................... 91 4.3.1 Méthode de Prony.................................... 91 4.3.2 Estimation........................................ 92 4.4 Conclusion du chapitre 4..................................... 97 Conclusion générale 99 Annexe 1 11 Annexe 2 13 Annexe 3 15 Bibliographie 17
Introduction générale Le confort acoustique est de plus en plus pris en compte dans les projets industriels des secteurs de l automobile, de l aéronautique ou du bâtiment et dans une moindre mesure de l électroménager. Les solutions pour la réduction des nuisances sonores peuvent être envisagées à différents stades du développement : en amont, lors de la conception du produit. Ces solutions portent généralement sur une étude approfondie des sources de bruit (par exemple l aérodynamique ou les vibrations du produit). en aval, lorsque les sources sont connues. Les solutions envisagées sont alors souvent de type actives ou passives. Par un contrôle des ondes se propageant dans les structures, les méthodes actives visent à générer par une source extérieure des ondes atténuant le champ acoustique ou vibratoire. Bien adaptées en basses fréquences, de telles solutions se heurtent cependant à des problèmes de maintenance et de mise au point délicats. Les méthodes passives sont plus couramment utilisées car moins coûteuses et plus simples à mettre en oeuvre. Elles consistent à réduire le champ sonore par l ajout de matériaux absorbants et sont particulièrement adaptées aux hautes fréquences. Inefficaces en basses fréquences, ces solutions font encore l objet de recherches importantes. Les matériaux couramment utilisés comme absorbants phoniques sont les fibreux (laines minérales, tissus), les mousses polymères (à porosité ouverte ou fermée) ou les agglomérats (recyclages de chutes de fibreux et/ou de mousses). Les qualités d absorption des matériaux acoustiques résident dans leur nature poreuse. En effet, un matériau poreux est un milieu diphasique constitué d une structure saturée d un fluide (dans notre cas ce sera l air) remplissant totalement les espaces vides qui, lors de la propagation d une onde acoustique dans ce milieu, est le siège de nombreuses interactions entre ce fluide et la structure. La dissipation acoustique provient alors de pertes par effets visqueux et thermiques. Lorsque le squelette est immobile, les ondes acoustiques se propagent simplement dans la phase fluide et dans ce cas le milieu poreux est décrit comme un fluide dit équivalent [2]. Lorsque le squelette est mis en mouvement par l onde incidente ou par une vibration de structure externe (cas d un poreux collé sur une structure), les ondes se propagent à la fois dans les phases fluide et solide. Le comportement du matériau doit alors être décrit par un modèle complet tenant compte du mouvement du squelette, du fluide et de leurs interactions de type inertiel, élastique, visqueux et thermique : le modèle de Biot [9]. A la dissipation de nature visqueuse et thermique vient alors s ajouter une dissipation d origine structurale. Le modèle de Biot est indispensable pour traiter efficacement un nombre de cas complexes de l aéronautique (garnissage de carlingue, habitacle pilote) et de l automobile (capot, plafonnier, tablier,...). L avènement 1
2 Introduction des méthodes numériques, et plus particulièrement l introduction des éléments finis poroélastiques, basées sur la théorie de Biot peuvent aborder ces cas complexes. S ils ne permettent pas encore de les résoudre totalement, des cas types tels que la transmission à travers une double paroi garnie de matériau poreux [37] [59] ou encore l effet d un traitement poroélastique sur une plaque couplée à une cavité [58] ont pu être étudiés (figure 1). Les résultats montrent que la mise en vibration du squelette induit un fort amortissement vibratoire et une absorption acoustique importante. En fait, ces deux effets sont intimement liés. Le développement de tels outils laisse penser que de bonnes prédictions des niveaux vibratoires et acoustiques de structures complexes traitées seront bientôt réalisables. gap d air cavité paroi poreux paroi plaque poreux FIG. 1: Double paroi traitée et plaque traitée couplée à une cavité Pour pouvoir optimiser l utilisation de ces matériaux poreux, des méthodes de caractérisation robustes doivent être mises en place. Si les techniques de mesure des paramètres acoustiques (porosité, résistivité au passage de l air, tortuosité, longueurs caractéristiques visqueuses et thermiques) sont maintenant bien maîtrisées[32][4][24], les techniques de mesures des paramètres mécaniques sont par contre très peu développées. Ce travail est donc une contribution au développement de techniques de mesure des paramètres mécaniques des matériaux poreux couramment utilisés dans les applications d absorption phonique. Les travaux publiés sur ce sujet montrent trois points principaux : les constantes élastiques de certains matériaux comme les mousses polymères dépendent de la fréquence [47][67], leur comportement mécanique est non-linéaire [66][67] et présente souvent une anisotropie [46][31][61]. Ce dernier point, entraînant un nombre important de mesures et rendant les calculs d inversion difficiles [49], ne fera pas l objet d une attention approfondie. Dans ce document, nous nous proposons de développer un système expérimental permettant une mesure fine des constantes élastiques des matériaux poreux sur une large plage de fréquence tout en gardant à l esprit les difficultés liées à l anisotropie. De plus, nous proposons de développer une méthode de mesure adaptée aux situations dans lesquelles ces matériaux sont souvent sollicités : la flexion. Ce mémoire est composé de quatre parties. La première partie présente le modèle du fluide équivalent et la théorie de Biot. Une étude numérique succincte
Introduction 3 portant sur une configuration type plaque-poreux permettant de mesurer l influence des paramètres mécaniques sur l absorption acoustique est réalisée. La deuxième partie est consacrée à la mesure du module d Young et du coefficient de Poisson des matériaux poreux. Nous insisterons particulièrement sur le domaine linéaire de mesure et la dépendance en fréquence des constantes élastiques en accordant une attention particulière aux effets dynamiques et de couplage. La troisième partie traite de la mesure des constantes élastiques sur une large plage de fréquence. Pour cela nous utiliserons le principe de superposition temps-température. Dans un premier temps, l expérience est menée sur un échantillon cylindrique de mousse polyuréthane en cisaillement. Ce principe est validé par une expérience quasistatique. Dans un deuxième temps la dépendance en fréquence du module de cisaillement est utilisée pour construire le module complexe de rigidité en compression à partir d une mesure à 1 Hz. Cette expérience est validée par une mesure de transmissibilité du système échantillon+masse. Cette partie est présentée sous la forme d un article soumis à Journal of the Acoustical Society of America [21]. Enfin la quatrième et dernière partie présente un nouveau système expérimental pour la mesure dynamique du module de rigidité en flexion de plaques poreuses. Un modèle, basé sur une formulation mixte déplacementpression des équations de Biot, permettant de tenir compte de la nature diphasique de la plaque est présenté. Deux expériences, permettant de fixer les limites de ce modèle, sont réalisées. Enfin, une inversion basée sur une extraction des paramètres modaux par la méthode de Prony est entreprise. La première partie de ce chapitre est sous la forme d un article soumis à Journal of the Acoustical Society of America [23].
Chapitre 1 Description du comportement acoustique des milieux poreux Le but de ce chapitre est de mettre en évidence le rôle joué par les vibrations de structure d un matériau poreux sur ses qualités d absorption acoustique. Ce chapitre débute par une description de la géométrie microscopique des milieux poreux et des hypothèses nécessaires à la modélisation de la propagation du son dans ces milieux. Les différentes modèles développées dans la littérature (modèle du fluide équivalent, modèle de Biot) pour décrire la propagation dans un milieu poreux sont rappelées. Enfin, des simulations numériques du coefficient d absorption d une plaque poreuse collée à un fond rigide sont présentées, le matériau étant successivement décrit par le modèle du fluide équivalent et le modèle de Biot. 1.1 Considérations géométriques Les matériaux poreux couramment utilisés pour la réduction sonore sont les mousses plastiques et les matériaux fibreux, chacune de ces deux familles contenant elles mêmes de nombreuses variétés. Ces variétés se distinguent suivant deux axes principaux : le matériau constituant la structure et l arrangement de la structure, conférant à chaque famille un comportement acoustique et mécanique unique. Dans cette étude nous nous concentrons surtout sur les mousses de polymères réticulés, avec ou sans membranes résiduelles, à porosité ouverte. Par ailleurs, nous avons été amenés à étudier le comportement poroélastique de différents matériaux fibreux. En examinant au microscope des échantillons de mousse de polyuréthane et une laine de roche (figure 1.1) nous sommes amenés à faire les remarques suivantes : le squelette de la mousse peut être assimilé à un assemblage de poutres encastrées entre elles formant une structure tridimensionnelle. Ces poutres forment un ensemble de cellules élémentaires dont la forme est discutée dans la littérature [3]. Le squelette de la laine de roche est un arrangement de longues fibres élémentaires entrelacées les unes aux autres dans un plan donnant souvent lieu à des matériaux stratifiés. les différentes cellules élémentaires de la mousse possèdent des tailles variables. Les différentes fibres de la laine de roche sont de diamètres variables, la distance inter-fibre étant aléatoire. 5
6 1 Description du comportement acoustique des milieux poreux F IG. 1.1: Photos au microscope de matériaux poreux : laine de roche (en haut à gauche), mousse polyuréthane à grandes cellules (en haut à droite), mousse polyuréthane à petites cellules sans membranes résiduelles (au milieu), mousse polyuréthane à petites cellules avec membranes résiduelles (en bas).
1.2 Hypothèses et description des paramètres du milieu poreux 7 lors de la fabrication de la mousse, le dégagement gazeux important issu de la réticulation a un double effet. A l origine fermées, les cellules augmentent de volume jusqu à éclatement total ou partiel. Ce phénomène laisse des traces de jonction le long des poutres donc la section s assimile à la section de Plateau. Le gaz dégagé étant plus léger que l air, une direction privilégiée d expansion des cellules vers le haut est observée, donnant lieu à des cellules étirées. Ces remarques montrent la complexité et la diversité des micro-structures des matériaux poreux utilisés pour l acoustique et suggèrent que toute description de la propagation acoustique à l échelle microscopique est rendue très difficile. Ainsi, l étude du comportement acoustique de tels matériaux sur une échelle macroscopique nécessite la définition d un volume d homogénéisation englobant plusieurs unités microscopiques. 1.2 Hypothèses et description des paramètres du milieu poreux L étude de la propagation acoustique dans les milieux poreux nécessite la prise en compte des hypothèses d homogénéisation suivantes : l échelle est dite macroscopique lorsque les caractéristiques du matériau (masse volumique par exemple) définies statistiquement dans un volume élémentaire V el sont indépendantes de la position et de la taille de ce volume (figure 1.2). Les différentes variables (déplacement solide u, déplacement fluide U et pression fluide p) décrivant le comportement du matériau sont alors définies comme la moyenne de leurs quantités microscopiques dans le volume d homogénéisation. Par exemple le déplacement macroscopique de la phase solide u s écrit : u el 1 u micro u micro dv (1.1) V el V el phase fluide phase solide PSfrag replacements volume V el FIG. 1.2: Volume d homogénéisation V el
8 1 Description du comportement acoustique des milieux poreux la longueur d onde doit être grande devant le volume d homogénéisation pour négliger d une part les effets de la diffusion et pour pouvoir d autre part utiliser les lois de la mécanique des milieux continus. volume d homogénéisation PSfrag replacements longueur d onde FIG. 1.3: hypothèse de grande longueur d onde Lors de la propagation d une onde acoustique dans un milieu poreux, le fluide saturant et le squelette apportent tous les deux une contribution à la propagation. Ainsi, pour pouvoir modéliser la propagation au sein du milieu poreux il faut décrire : (i) le fluide saturant, (ii) le squelette ainsi que (iii) les interactions fluide structure : (i) A la température au repos T 18 C et à la pression au repos P 1 1321 5 Pa, l air est défini par sa masse volumique ρ 1 213 kg.m 3, la célérité du son C 342 2 m.s 1, sa viscosité µ 1 841 5 kg.m 1.s 1, son module d incompressibilité adiabatique K a 1 42 1 5 Pa, son nombre de Prandlt Pr 71 et le rapport des chaleurs spécifiques γ 1 4. (ii) Le squelette est caractérisé par sa masse volumique ρ 1, et son tenseur d élasticité C µν i j. Si le squelette est orthotrope neuf paramètres sont nécessaires pour le décrire complètement, s il est isotrope-transverse (ou orthotrope de révolution) 5 paramètres sont nécessaires (2 modules de rigidité, 2 coefficients de Poisson, 1 module de cisaillement), enfin s il est isotrope seuls deux paramètres indépendants suffisent à décrire son comportement mécanique : le module d Young E et le coefficient de Poisson ν. La caractérisation du tenseur d élasticité du squelette d un matériau poreux fait l objet du chapitre 2. (iii) Largement discutées dans la littérature [2] les interactions fluide-structure sont de type : inertiel, la répartition des inerties entre les 2 phases dépend de la porosité φ définie par le rapport : φ V f V t où V f et V t représentent respectivement le volume fluide et le volume total. Elle est souvent proche de 1 pour les mousses plastiques et les fibreux ( 9 φ 99). La tortuosité α rend compte de l irrégularité de géométrie des pores du matériau : la masse apparente du fluide en est modifiée. La tortuosité est définie par l égalité des énergies cinétiques calculées à partir des vitesses microscopiques U m et macroscopiques U du fluide [2], (1.2) 1 2 ρ U 2 m 1 2 ρ α U 2 (1.3)
1.2 Hypothèses et description des paramètres du milieu poreux 9 La tortuosité est une grandeur adimentionelle toujours supérieure à 1. Pour les matériaux fibreux elle prend généralement les valeurs 1 α 1 4, elle peut être supérieure pour les mousses plastiques 1 α 3. élastique, les interactions de ce type seront discutées section 1.4.4. visqueux, deux régimes sont à distinguer. Ils sont gouvernés par le rapport du diamètre des pores et de l épaisseur de couche limite visqueuse, le régime est dit hautes fréquences si le diamètre des pores est grand devant l épaisseur de couche limite et il est dit basses fréquences si l épaisseur de couche limite est supérieure aux dimensions des pores. Dans ce dernier cas, les effets visqueux sont gouvernés par le paramètre perméabilité visqueuse k défini par la loi de Darcy : U k µ p 2 p 1 l (1.4) où l est l épaisseur de l échantillon soumis à la différence de pression statique p 2 p 1. La perméabilité visqueuse est une mesure de la section effective des pores pour le passage d un fluide visqueux, exprimée en m 2. Plus souvent utilisée car aisément mesurable [32], la résistivité au passage de l air σ est reliée à la perméabilité visqueuse par la relation : σ µ k (1.5) Pour les matériaux acoustiques, les valeurs de σ sont généralement comprises entre 1 3 N.m 4.s et 1 6 N.m 4.s. Les couplages visqueux hautes fréquences sont gouvernés par la longueur caractéristique visqueuse Λ introduite par Johnson [35]. thermique, par analogie avec les interactions de type visqueux, elles sont définies par deux paramètres : la perméabilité thermique k et la longueur caractéristique thermique Λ. Aux basses fréquences, les échanges thermiques sont gouvernés par le paramètre k représentant la section effective des pores pour les échanges thermiques. La perméabilité thermique peut être définie par une loi de type Darcy [41] : T k p ξ t (1.6) où T est une température excédentaire apparaissant dans le fluide et ξ est le coefficient de conduction thermique. Les couplages thermiques hautes fréquences ont été introduits par Champoux et coll. [14] par la longueur caractéristique thermique Λ dimensionnant la région proche des parois lieux des échanges thermiques.
1 1 Description du comportement acoustique des milieux poreux 1.3 Propagation dans un milieu poreux à structure rigide : modèles du fluide équivalent La propagation d une onde acoustique de pression p et de vitesse v dans un fluide libre, homogène et isotrope, de masse volumique ρ et de module d incompressibilité adiabatique K a, est régit par les équations [13] : v ρ t 1 p K a t p (1.7) v (1.8) L équation 1.7 est l équation d Euler linéarisée, l équation 1.8 est une composition de l équation de conservation de la masse et de l équation constitutive du milieu. En supposant une dépendance harmonique de la pression et de la vitesse, la composition des équations 1.7 et 1.8 donne l équation de propagation : p k 2 a p avec k 2 a ω 2 c 2 et c 2 k a est le nombre d onde et c est la célérité du son dans le milieu fluide. K a ρ (1.9) 1.3.1 Équation de propagation Aux hautes fréquences, les couplages élastiques et inertiels entre l air et la structure sont généralement faibles. Le squelette reste donc immobile et la propagation s effectue seulement au sein du fluide. L équation de propagation dans le matériau reste donc semblable à celle dans un fluide libre dont la masse volumique et le coefficient d incompressibilité sont modifiés par la présence du solide [2] : p ke 2 p avec ke 2 c 2 et c 2 e (1.1) e ρ e où ρ e et K e sont la masse volumique et l incompressibilité du fluide équivalent. Les dissipations par effets visqueux et thermiques sont à l origine de l amortissement de l onde acoustique au passage dans le matériaux. Elles dépendent de la présence du solide et donc des paramètres de couplage définis dans la section précédente. 1.3.2 Modèles empiriques Souvent utilisé pour sa simplicité, le modèle de Delany et Bazley [2] a été établi en 197 à partir de nombreuses mesures acoustiques sur des matériaux fibreux. Il permet de déterminer l impédance caractéristique du milieu Z e et le nombre d onde k e à la fréquence f à partir de la résistivité au passage de l air σ : ρ f σ ω 2 Z e ρ c 1 571X 754 j 87X 732 k e K e 2π f c 1 978X 7 j 189X 595 (1.11) (1.12) pour X compris entre 1 et 1. Il permet de définir complètement la propagation dans le matériau puisque l impédance caractéristique du milieu et la constante de propagation sont reliées au module d incompressibilité K e et à la masse volumique ρ e par les relations :
1.3 Propagation dans un milieu poreux à structure rigide 11 Z e K e ρ e et k e ω Il est généralisé par Mikki [51] en 1991 qui y ajoute la porosité et la tortuosité. ρ e K e (1.13) 1.3.3 Modèles phénoménologiques En 1949, Zwikker et Kosten [83] définissent la masse volumique apparente ρ e et l incompressibilité du fluide K e en séparant les effets visqueux des effets thermiques pour un matériau possédant des pores cylindriques parallèles. La masse volumique est corrigée par une fonction dépendant de la fréquence introduisant un facteur correctif tenant compte de l écart par rapport à un écoulement de Poiseuille aux hautes fréquences. Par analogie, le module d incompressibilité est corrigé par une fonction dépendant de la fréquence. Ce modèle est généralisé aux matériaux poreux quelconques par Attenborough en 1983 et par Allard et coll. en 1986 [3] à l aide d un facteur de forme visqueux. En 1991, par analogie avec les travaux de Johnson en 1987 [35] qui introduit la longueur caractéristique visqueuse Λ et une fonction d interpolation reliant les effets visqueux hautes fréquences aux effets visqueux basses fréquences, Champoux et Allard [14] introduisent une longueur caractéristique thermique Λ ainsi qu une fonction d interpolation reliant les effets thermiques hautes fréquences aux effets thermiques basses fréquences. La masse volumique apparente intégrant les effets visqueux est alors définie comme : ρ e ρ α 1 1 j ˆω G j ω ωα ρ avec ˆω (1.14) σφ La fonction G j ω définie par Johnson pour relier les régimes visqueux haute et basse fréquence s écrit : G j ω 1 j M 2 ˆω et M 8α k φλ 2 (1.15) où les termes ˆω et M sont respectivement une pulsation adimentionnée et un facteur de forme visqueux. La fréquence de transition entre des deux régimes est définie par [57] : φ 2 λ 2 σ 2 f Tv 8πµα 2 ρ (1.16) Le nouveau module d incompressibilité du fluide intégrant les effets thermiques est défini comme : K e K a γ γ 1 1 1 1 j ˆω G j ω avec ˆω ωρ k Pr µφ La fonction Gj ω reliant les régimes thermiques haute et basse fréquence s écrit : (1.17) G j ω 1 j M 2 ˆω et M 8k φλ 2 (1.18) où les termes ˆω et M sont respectivement une pulsation adimentionnée et un facteur de forme thermique. Par analogie avec les effets visqueux, la fréquence de transition thermique f Tt est définie par [57] : f Tv µφ 2 λ 2 8πk ρ Pr (1.19)
12 1 Description du comportement acoustique des milieux poreux Deux modèles plus affinés pour les fonctions G j ω et Gj ω existent dans la littérature [63][4]. 1.4 Propagation dans un milieu poreux à structure élastique : modèle de Biot Lorsque la déformation du squelette ne peut être négligée (aux basses fréquences lorsque les couplages fluide structure sont importants ou lorsque le squelette est soumis à des excitations mécaniques extérieures), la propagation d une onde acoustique dans le milieu poreux doit être décrite par un modèle tenant également compte du mouvement du solide. Les premiers travaux sur la propagation acoustique dans un milieu poroélastique ont été réalisés par Zwikker et Kosten [83] en 1949 d une part, et par Beranek [5] en 1947 d autre part. En 1963, Gent et Rush [26] reprennent les travaux de Zwikker et Kosten et modélisent le milieu poreux comme un matériau viscoélastique. Toutefois la modélisation de la propagation d une onde acoustique dans un milieu poreux à structure élastique a incontestablement été marquée par les travaux de Biot de 1951 à 1964. A partir de ses travaux sur la consolidation [7], généralisation de la théorie de l élasticité aux matériaux poreux déformables saturés par un fluide visqueux, Biot écrit les équations du mouvement d un milieu poreux isotrope, le fluide est dissipatif et la viscosité est de type Poiseuille [9]. Il montre que deux ondes de compression et une onde de cisaillement se propagent dans le milieu ; ces travaux théoriques ont été vérifiés expérimentalement en 198 par Plona [62]. 1.4.1 Comportement poroélastique Sous les hypothèses définies section 1.2, le tenseur des contraintes totale σ t s écrit : σ t σ s σ f σ s 11 φp σ s 12 σ s 13 σ s 21 σ s 22 φp σ s 23 $ (1.2) σ s 31 σ s 32 σ s 33 φp!#" où les contraintes agissant sur les phases solide et fluide sont respectivement indicées s et f et p représente la pression du fluide. Le tenseur σ s est symétrique et le tenseur σ f est diagonal. u1 u2 U 3 les déplacements de la phase solide et de la phase fluide U1 U2 En notant u u 3 et U respectivement, les déformations de chacune de ces phases s écrivent [7] : ε s 11 u 1 x 1 ε s 12 u 1 x 2 u 2 x 1 ε f U 1 11 ε f U 1 U 12 2 x 1 x 2 x 1 La loi de comportement poroélastique est décrite par les relations [8] : etc... (1.21) etc... (1.22) σ s i j C µν i j εs µν Q i j ε φp Q µν ε s µν Rε (1.23) où les coefficients C µν i j sont les constantes élastiques de la phase solide, les coefficients Q µν sont des coefficients de couplage élastique et R est la constante élastique de la phase fluide. Le paramètre ε ε f 11 ε f 22 ε f 33 représente la dilatation totale de la phase fluide.
1.4 Propagation dans un milieu poreux à structure élastique : modèle de Biot 13 1.4.2 Équations du mouvement d un milieu poreux Les équations du mouvement des phases solide et fluide sont obtenues en utilisant les relations de Lagrange avec fonction de dissipation. Les énergies cinétique T, de déformation W et de dissipation D définies, les équations de Lagrange donnent 6 équations dont les 6 inconnues sont les 3 déplacements solide u i et les 3 déplacements fluide U i : d T dt u i d T dt U i D u i D U i q si q f i pour i 1 pour i 1 2 2 3 (1.24) 3 (1.25) où q s i et q f i sont respectivement les forces totales agissant sur les phases solide et fluide. Elles sont calculées à partir de l énergie de déformation W : q s i d W dx i ε s i j et q f i d W dx i ε f i j pour L énergie de déformation W et l énergie cinétique T sont données par [7][9] : i j 1 2 3 (1.26) 2W σ 11 ε 11 σ 22 ε 22 σ 33 ε 33 σ 23 ε 23 σ 31 ε 31 σ 12 ε 12 σε (1.27) 2T ρ 11 u 2 i 2ρ 12 u i U i ρ 22 U 2 i (1.28) Les paramètres ρ 11, ρ 12 et ρ 22 dépendent de la nature et de la géométrie du milieu poreux ainsi que de la densité du fluide saturant. Ils sont donnés par les relations : ρ 11 1 φ ρ 1 ρa ρ 22 φρ ρ a et ρ 12 ρ a (1.29) où ρ 1 et ρ représentent les masses volumiques solide et fluide et où la masse additive ρ a à la forme [2] : ρ a φρ α 1 (1.3) L énergie de dissipation est une expression quadratique fonction de la vitesse relative fluide structure i u d un paramètre b définit par la loi de Darcy pour une viscosité de type Poiseuille [9] : U i et 2D b u i U i 2 (1.31) Allard [2] montre que le paramètre b dépend de la fréquence et le définit à partir de la fonction de Johnson G j ω (équation 1.17) : b b ω φ 2 σg j ω (1.32) Ainsi définie, la fonction de dissipation ne prend en compte que la dissipation par effets visqueux. Les équations de Biot sont obtenues par substitution des équations 1.27, 1.28 et 1.31 dans les équations 1.24 et 1.25 et en tenant compte de 1.26 : σ s i j% j ρ 11 ü i ρ 12 Ü i b ω u i U i (1.33)
14 1 Description du comportement acoustique des milieux poreux φp% i ρ 12 ü i ρ 22 Ü i b ω U i u i (1.34) Ces équations peuvent être formulées en déplacement en remplaçant les termes du premier membre par les relations 1.23. 1.4.3 Milieu isotrope et isotrope transverse Pour un milieu isotrope, les relations contraintes-déformations (équation 1.23) s expriment en fonction de 4 constantes élastiques : 2 constantes élastiques du squelette A et N, 1 coefficient de couplage élastique Q et le coefficient élastique du fluide R : σ s i j Ae Nε s i j δ i j Nε s i j Qεδ i j (1.35) σ Qe (1.36) Rε où e ε s 11 ε s 22 ε s 33 est la dilatation de la phase solide. Le module de cisaillement N et le coefficient A peuvent être directement reliés au module d Young E et au coefficient de Poisson ν : N E 2 1 ν νe et A 1 ν 1 2ν (1.37) Si le squelette du matériau est isotrope transverse d axe e L & e 1, le tenseur des constantes élastiques du milieu poreux s exprime en fonction de 8 coefficients : 5 coefficients élastiques du squelette, 2 coefficients de couplage élastique et le coefficient élastique du fluide. Les termes non nuls du tenseur d élasticité du squelette sont 1 : C 11 EL 2 1 ν T T E L E L ν TT 2E T ν 2 LT C 22 C 33 E T E L E T ν 2 LT 1 ν T T E L E L ν T T 2E T ν 2 LT C 23 C 12 C 13 E L E T ν LT E L E L ν T T 2E T ν 2 LT E T E L ν 2 T T E T ν 2 LT 1 ν TT E L E L ν TT 2E T ν 2 LT (1.38) (1.39) (1.4) (1.41) C 55 C 66 G LT et C 44 E T 2 1 ν T T (1.42) où E L et E T sont respectivement les modules d élasticité dans les directions longitudinale (& e 1 ) et transverses ('(e 1 ) ; G LT est le module de cisaillement dans le plan engendré par ( e T ). Le coefficient de Poisson ν LT est el proportionnel à la déformation dans le plan transverse engendrée par une déformation dans le plan longitudinal, ν TT est le coefficient de Poisson dans le plan transverse. Enfin, les éléments non nuls de la matrice de couplage élastique sont : Q 11 Q L et Q 22 Q 33 Q T (1.43) La détermination du coefficient élastique du fluide saturant et des coefficients de couplage élastique dans les cas isotrope et isotrope-transverse fait l objet de la sous-section suivante. 1 La convention de contraction des indices suivante est utilisée : 11 ) 1, 22 ) 2, 33 ) 3, 31 ) 4, 12 ) 5, 23 ) 6
1.4 Propagation dans un milieu poreux à structure élastique : modèle de Biot 15 1.4.4 Remarques sur le couplage élastique Suite aux travaux de Biot sur la consolidation et sur la propagation acoustique dans les milieux poreux, Biot et Willis [1] ont cherché à donner une interprétation physique aux coefficients d élasticité présents équation 1.23 : Q i j et R. Initialement au nombre de quatre, les expériences par la pensée ( gedanken experiments ) ont été imaginées pour définir et interpréter ces coefficients d élasticité. Seules deux expériences sont nécessaires pour déterminer les coefficients d élasticité de couplage et de l air : * 1 ère expérience : il s agit d un test dans lequel le matériau poreux est couvert d un manteau imperméable flexible soumis à une pression extérieure p 1. La pression p à l intérieur du manteau est maintenue constante. Le squelette se dilate alors d une quantité e s 1 et le module d incompressibilité de la structure K b est défini par la relation : K b p 1+ e s 1 (1.44) * 2 ème expérience : le matériau est soumis à une augmentation de pression p 2. Sous cette condition le squelette du matériau se dilate d une quantité e s 2 et le fluide saturant de ef 2. Cette expérience permet de définir le module d incompressibilité K s de la matrice et le module d incompressibilité de l air K f : K s p 2+ e s 2 et K f p 2+ e f 2 (1.45) Les relations 1.23 se simplifient et les coefficients élastiques de l air R et de couplage Q ii s expriment à partir des modules d incompressibilité K b, K s et K f. Pour un matériau isotrope, les coefficients de couplage élastique Q ii sont équivalents : Q ii et le coefficient élastique de l air est défini par : R φk s 1 φ K+ K s 1 φ K b+ K s φk s+ K f (1.46) φ 2 K s E avec K 1 φ K+ K s b φk s+ K f 3 1 2ν (1.47) Dans le cas d un solide isotrope transverse, les coefficients de couplage élastique Q ii diffèrent suivant les directions longitudinale et transverses. Ils s expriment en fonction des trois modules d incompressibilité précédents et des constantes élastiques du squelette [15] : 2C 13, C 33 3K s φk s 1 φ Q L 1 φ K b+ K s φk s+ K f C 11, C 12, C 13 3K s (1.48) φk s 1 φ Q T (1.49) 1 φ K b+ K s φk s+ K f La constante élastique de l air R garde la même expression que dans le cas isotrope, seule l expression du module d incompressibilité du squelette change : K b 1 9 2C 11 C 13 2C 12 4C 13 (1.5)
16 1 Description du comportement acoustique des milieux poreux Enfin, la dissipation par effets thermiques est prise en compte dans le module d incompressibilité K f de l air [2]. Il est défini par l équation 1.17 précédemment établie dans le cas de la théorie du fluide équivalent. 1.5 Importance des paramètres mécaniques sur le comportement acoustique Les sections précédentes se sont attachées à décrire les différents modèles disponibles dans la littérature pour la propagation acoustique dans un milieu poreux, respectivement le modèle de fluide équivalent lorsque le squelette est immobile et le modèle de Biot lorsque le squelette est en mouvement. Cette section a donc pour but de montrer l importance de la vibration de structure d un matériau poreux sur ses propriétés d absorption et d aborder la sensibilité de ces propriétés à des variations des paramètres mécaniques. Cette étude numérique est réalisée à l aide du code de calcul MAINE [12] (code de calcul multicouche) et porte sur l absorption acoustique d une plaque poreuse infinie (voir propriétés au tableau 1.1) d épaisseur 1 mm accolée à un fond rigide et excitée par une onde plane d incidence normale (figure 1.4). Matériau φ σ α Λ Λ ρ 1 E η s ν N m 4 s µm µm kg m 3 kpa mousse M1.97 1655 1.8 6 18 39.5 26.11.3 TAB. 1.1: Paramètres acoustiques et mécaniques de la mousse polyuréthane M1 onde plane cements poreux fond rigide FIG. 1.4: Plaque poreuse infinie accolée à un fond rigide excitée par une onde plane d incidence normale Dans un premier temps les modèles du fluide équivalent et de Biot sont successivement utilisés pour décrire la propagation au sein du matériau poreux. Les simulations du coefficient d absorption dans ces deux cas (figure 1.5) montrent que le modèle de fluide équivalent décrit bien la tendance générale du coefficient d absorption mais ne prédit pas les deux maximum prévus par le modèle de Biot. Ces deux pics d absorption sont dus aux deux premières résonances du squelette en λ 4 et en 3λ 4. Une valeur approchée de la première fréquence de résonance d un tel système est donnée par [2] :
1.5 Importance des paramètres mécaniques sur le comportement acoustique 17 f 1 1 4h K E 1 ν avec K ρ 1 1 ν 1 2ν (1.51) De cette simulation il ressort que la description basses fréquences du comportement acoustique d un matériau poreux dont la structure est en mouvement par le modèle du fluide équivalent est très insuffisante. A plus hautes fréquences, les résonances sont très amorties et les deux modèles sont équivalents. Dans un deuxième temps, le poreux est décrit par le modèle de Biot et l influence d une variation des paramètres mécaniques sur les résultats de simulation est évaluée. Ainsi, plusieurs simulations sont effectuées en faisant varier chaque paramètre indépendamment d un intervalle de 2% (figures 1.6). Une variation du module d Young E ou du coefficient de Poisson ν a pour conséquence un déplacement fréquentiel du maximum d absorption, conformément à l équation 1.51, et ne modifie ni les amplitudes ni le facteur de qualité des résonances. Le coefficient d amortissement η structural a ici un rôle mineur et joue sur le facteur de qualité de la résonance. En ce qui concerne l influence des paramètres de couplage, le matériau étudié étant dans son régime basses fréquences, les fréquences de transition visqueuse f T v (équation 1.16) et thermique f Tt (équation 1.19) sont évaluées à 9 4MHz et 168Hz respectivement, seule la résistivité au passage de l air σ va jouer un rôle sur l absorption [19]. Une variation de la résistivité au passage de l air a pour conséquence de modifier les couplages visqueux fluide-strucutre. Ce paramètre à une influence importante hors des pics d absorption où la vitesse relative fluide-structure est importante. 1 Coefficient d bsorption.5 Biot Fluide équivalent 2 4 6 8 1 Fréquence (Hz) FIG. 1.5: Coefficient d absorption d une plaque poreuse infinie accolée à un fond rigide : comparaison modèle fluide équivalent - modèle de Biot.
18 1 Description du comportement acoustique des milieux poreux 1 E - 26kPa 1 ν -. 3 Coefficient d absorption.5 +2 2 Coefficient d absorption.5 +2 2 2 4 6 Fréquence (Hz) 1 η -. 11 8 1 1 2 4 6 Fréquence (Hz) σ - 1655N. m/ 4. s 8 1 cements Coefficient d absorption.5 +2 2 Coefficient d absorption.5 +2 2 2 4 6 8 1 Fréquence (Hz) 2 4 6 8 1 Fréquence (Hz) FIG. 1.6: Coefficient d absorption d une plaque poreuse infinie accolée à un fond rigide : étude paramétrique.
1.6 Conclusion 19 1.6 Conclusion Ces simulations montrent que la détermination des paramètres mécaniques d un poreux est indispensable pour prédire ses propriétés acoustiques. Notamment on retiendra que dans la configuration particulière étudiée, une incertidude d un facteur α sur la valeur du module d Young se propagera en une incertitude de α sur la fréquence de résonance et que les effets d une incertitude sur le coefficient de Poisson seront d autant plus importants qu il est proche de.5. Ces tendances sont observées dans un grand nombre de configurations où le squelette du matériau est mis en mouvement. S il joue un rôle mineur dans la configuration simulée, le coefficient d amortissement structral a généralement une influence importante sur l amplitude à la résonance.
Chapitre 2 Évaluation des paramètres mécaniques des matériaux poreux aux basses fréquences Jusqu à présent, les études acoustiques mettant en jeu des matériaux poreux ont été réalisées majoritairement sous l hypothèse de fluide équivalent. Par conséquent, les nombreux travaux expérimentaux sur la caractérisation des matériaux acoustiques ont principalement porté sur les paramètres de couplage : porosité, résistivité au passage de l air, tortuosité et longueurs caractéristiques, et très peu sur les constantes élastiques. La littérature est riche sur la description du comportement statique des mousses polymères avec des modèles structuraux de comportement à faible déformation [33][3], à forte déformation [52], de plasticité [77] ou encore de relaxation [82] motivés par des applications d emballage et de mobilier mais seules quelques références existent sur la caractérisation dynamique des propriétés mécaniques des matériaux acoustiques. Le but de ce chapitre est de présenter le dispositif expérimental mis en place au laboratoire pour la caractérisation dynamique basse fréquence des constantes élastiques des matériaux acoustiques pour la théorie de Biot et de détailler les résultats obtenus sur une mousse de polyuréthane et une laine de roche. Auparavant, quelques généralités sur la viscoélasticité sont rappelées et les modèles structuraux marquants ainsi que les méthodes expérimentales mises en oeuvre dans la littérature sont présentées. 2.1 Généralités sur la viscoélasticité Un matériau présentant un comportement viscoélastique est un matériau dont la réponse à une sollicitation mécanique est intermédiaire entre celle d un solide parfait, pour lequel la contrainte σ est proportionnelle à la déformation ε imposée (loi de Hooke) : σ Eε (2.1) et celle d un liquide visqueux idéal, pour lequel la contrainte σ est proportionnelle à la vitesse de déformation (loi de Newton) : σ dε t µ dt 21 (2.2)
22 2 Évaluation des paramètres mécaniques où E et µ désignent respectivement le module d Young et la viscosité newtonienne du fluide. Le comportement viscoélastique se traduit donc par une réponse dépendante du temps. Le cadre habituel des études du comportement de tels matériaux est souvent limité au domaine de la viscoélasticité linéaire, défini par le principe de superposition de Boltzmann [25] : la contrainte totale σ appliquée au matériau est la somme des contraintes élémentaires σ i engendrées par les déformations élémentaires ε i. En pratique ce principe est satisfait dans le cas de très faibles déformations ; les mesures présentées dans la section 2.4 sont réalisées sous cette hypothèse. Dans le domaine linéaire, la réponse d un tel matériau à une sollicitation mécanique peut être décomposée suivant deux composantes : une première en phase traduisant la propriété de solide parfait, et une deuxième hors phase traduisant la réponse du fluide visqueux. Dans le domaine de Fourier, le comportement viscoélastique est donné par : σ12 ω E12 ω ε13 ω (2.3) où E1 est le module d Young complexe issu de la transformée de Fourrier de la fonction de relaxation, le symbole 1 désignant une quantité complexe. La partie réelle de ce module représente la partie élastique tandis que la partie imaginaire représente la partie visqueuse. Il est souvent noté E1 ω E ω je ω E 1 jη ω 4 avec η ω E ω E ω E ω est le module d Young et η ω est le coefficient d amortissement structural. La relation 2.3 évoque la loi de Hooke relative à la théorie d un solide élastique. Cette similarité généralement dénommée principe de correspondance dans la littérature [9], est utilisée pour écrire les lois de comportement d un solide viscoélastique : les relations sont les mêmes que celles rencontrées en élasticité et les variables contrainte et déformation sont complexes et dépendent de la fréquence. Cette analogie est très utilisée en acoustique et en vibrations puisque ce sont les réponses en fréquence qui sont le plus souvent étudiées. Les polymères, constituants des mousses étudiées, sont des matériaux présentant un comportement fortement viscoélastique aux températures ambiantes sur la gamme de fréquence audible 2Hz-2KHz. Ils ont donné lieu à de nombreux travaux dont la monographie de référence de Ferry [25]. En fait, pour les polymères les lois de comportement ne dépendent pas seulement de la fréquence mais aussi de la température, les deux variables étant intiment liées ; un polymère présentant généralement une rigidité d autant plus élevée que la température est basse ou que la fréquence est élevée. Dans les domaines de l acoustique et des vibrations, pour une bonne lisibilité, les propriétés mécaniques des matériaux viscoélastiques sont souvent présentées à une température donnée sur une large plage de fréquence. (2.4) 2.2 Évaluation par des modèles structuraux Cette section est une revue bibliographique sur les travaux réalisés sur les modèles structuraux des matériaux cellulaires de faible densité, elle est non exhaustive et se concentre sur les travaux marquants. Les modèles structuraux établissent une correspondance entre la loi de comportement mécanique du squelette (échelle macroscopique) et la loi de comportement du matériau constituant le squelette (échelle microscopique).
2.2 Évaluation par des modèles structuraux 23 Le fluide saturant et les différents couplages fluide structure ne sont pas pris en compte. Historiquement, les premiers modèles sont apparus dans les années 6 par les travaux de Gent et Thomas [27][28] et de Ko [39] suite au développement important de l utilisation de nouveaux matériaux comme les mousses plastiques. Ces premiers travaux ont décrit le comportement statique des mousses isotropes et ont donné lieu par la suite à de nombreuses recherches sur les matériaux isotropes [5][29][16][78] ou isotropes transverses [16][34][7]. La monographie de Gibson et Ashby [3] constitue une excellente référence de synthèse. Tous ces auteurs représentent les mousses comme un réseau de cellules élémentaires dont le constituant est supposé élastique, l étude du comportement mécanique de l ensemble découlant du comportement mécanique d une cellule. Les travaux diffèrent dans le choix des cellules élémentaires et dans le choix des mécanismes de déformations privilégiées de cette cellule, ils essaient cependant tous de satisfaire les quatre critères suivants : 1. la cellule élémentaire choisie doit paver l espace tridimensionnel, 2. la cellule soit être la plus représentative de la micro-géométrie du squelette (figure 1.1) : géométrie globale, poutres, sections,..., 3. la cellule doit permettre les calculs les plus simples possibles, 4. dans le cas d un solide isotrope (macroscopiquement), la cellule doit être la plus régulière possible. Les deux aspects isotrope et isotrope-transverse sont abordés dans cette section. Dans un premier temps le modèle de Gent et Thomas [27][28] est étudié pour sa connotation historique et sa simplicité. Parmi les nombreux modèles qui ont donné suite à ces travaux, les modèles de Gibson [3] et de Warren et Kraynik [78] ont été choisis pour leur choix de cellule élémentaire différent. Enfin, une extension de ce dernier modèle au cas d un solide isotrope transverse est présentée. 2.2.1 Premiers modèles : modèle de Gent et Thomas et modèle de Ko Le modèle de Gent et Thomas [27][28] est basé sur une cellule élémentaire cubique constitué de fines poutres rectangulaires de longueur L et de section t 2 (figure 2.1). Remarquons que cette cellule répond parfaitement aux hypothèses 1,3 et 4 mais très mal à l hypothèse 2. La cellule est chargée en compression ou en traction axiale suivant la direction z, pour de faibles déformations les auteurs obtiennent alors un module d Young équivalent macroscopique E proportionnel au module d Young du matériau constituant la structure E s E E s β 2 1 β où β t + L est un paramètre mesurable représentatif de la densité de la structure. Gent et Thomas introduisent le paramètre porosité solide φ s, complément du paramètre porosité fluide défini équation 1.2 avec φ s φ 1, à partir du paramètre β : (2.5) φ s 3β 2 β 3 1 β 3 (2.6) Sous l hypothèse de matériaux à faible densité φ s 5 1 (ou forte porosité) traduit par la relation t 6 L, les auteurs arrivent à une relation simple pour le module d Young macroscopique E E s φ s 3 avec φ s (7 3 2 t L8 7 t L8 2 (2.7)