- Chapitre 3 : Fonction Filtrage analogique - - Synthèse de iltres : méthode d élaboration de iltres - ) Principe de réalisation de iltres analogiques réels par la méthode de la synthèse. La problématique qui se pose, au utur ingénieur, est la réalisation pratique d un iltre (architecture du circuit (basée sur les études de iltres du er et 2 nd ordre vues au chapitre 2) et valeurs des composants constituant cette architecture) à partir d un gabarit donné (cahier des charges + type de réponse désirée : Butterworth, Tchebychev, Bessel, Cauer, ). On propose, ici, une méthode (parmi d autres) permettant de résoudre cette problématique, à partir d abaques et de tables issues de la théorie des iltres dits polynomiaux. On s intéressera, ici, plus à l aspect pratique (réalisation) que théorique de la méthode dite : Synthèse de iltres. Méthode : Phase : Cahier des charges donné sous orme de gabarit Passe-Bas (Low Pass) Passe-Haut (High Pass) Passe-Bande (Band Pass) Coupe-Bande (Notch) Phase 2 : Normalisation Phase «2» : «Symétrisation» des iltres Phase 3 : Recherche d une onction d approximation Phase 4 : Transposition - Dénormalisation Passe-Bas (Low Pass) Passe-Haut (High Pass) Passe-Bande (Band Pass) Coupe-Bande (Notch) Phase 5 : Recherche d une structure de iltre Filtre synthétisé!! 2) Phases et 2. 2.) Phase : Notion de gabarit d atténuation. Un iltre idéal présente : une atténuation constante A (donc un gain constant G = -A) dans la bande de réquences que l on désire conserver (Bande passante dite Bande conservée). une ampliication nulle dans la bande que l on désire éliminer (Bande atténuée). Il est impossible pratiquement de réaliser de tels iltres. Aussi se contente-t-on d approcher cette réponse idéale en : conservant l atténuation A < A max (c.à.d G > G min ) dans la Bande conservée ; conservant l atténuation A > (c.à.d G < G max )dans la Bande atténuée ; aisant évoluer l atténuation entre A max et dans la Bande de transition (la largeur de la Bande de transition ixant la sélectivité Se de la réponse). Cela conduit ainsi à déinir un gabarit déinissant des zones interdites et des zones dans lesquelles devront impérativement se situer les graphes représentant le gain du iltre en réquence (respect du gabarit). Suivant le type de iltrage que l on désire obtenir, on est amené à déinir 4 onctions : Filtre Passe - Bas Bande de transition Filtre Passe - Haut A max Bande de transition A max Bande conservée p a Bande atténuée (Hz) Bande atténuée a p Bande conservée (Hz) Module EPU-E6-EA Chapitre 3 Synthèse de Filtres analogiques /8
Bandes de transition Filtre Passe - Bande Bandes de transition Filtre Coupe - Bande A max A max Bande Bande atténuée (Hz) Bande atténuée a conservée a + Bande atténuée Bande conservée p p + a a + p 0 0 2.2) Déinitions. limites de la bande atténuée : [ a ; [ (Low Pass) ; [ 0 ; a ] (High Pass) ; [ 0 ; a ] U [ a + ; [ (Band Pass) ; [ a ; a + ] (Notch) limites de la bande conservée : [ 0 ; p ] (Low Pass) ; [ p ; [ (High Pass) ; [ p ; p + ] (Band Pass) ; [ 0 ; p ] U [ p + ; [ (Notch) inesse de la (des) bande(s) de transition : Pour évaluer les perormances du iltre, on évalue la(les) inesse(s), notée k, de sa(ses) bande(s) de p a transition : k = (Low Pass) ; k = (High Pass) ; a k low = a p et k high = p + a+ (Band Pass) ; k low = p p a et k high = a+ p+ (Notch) Plus k est proche de, plus le iltre est dit sévère en réquence. > A max?? Ce qu il aut comprendre : Dans la bande conservée (c.à.d la bande passante), la courbe d atténuation ne doit pas être trop élevée car on conserve ici les basses réquences, donc l atténuation doit être inérieure à un seuil maximum. Dans la bande atténuée, l atténuation doit être suisamment élevée pour atténuer les hautes réquences indésirables, donc l atténuation doit être supérieure à un seuil minimum. Applications : Représenter les gabarits d atténuation des 3 iltres suivants. Réponses Filtre : Passe bas. Gain minimum dans la bande passante = -3 db Gain maximum dans la bande atténuée = -50 db Fréquence limite de la bande passante = 50 khz Fréquence limite de la bande atténuée = 250 khz 50 db 3 db 50 khz A max (Hz) Bande conservée p + 250 khz Filtre (Hz) Filtre 2 : Passe haut. Gain minimum dans la bande passante = - 3 db Gain maximum dans la bande atténuée = - 67 db Fréquence limite de la bande passante = 300 khz Fréquence limite de la bande atténuée = 00 khz 67 db 3 db 00 khz Filtre 2 300 khz (Hz) Filtre 3 : Passe bande. Gain minimum dans la bande passante = -3 db Gain maximum dans la bande atténuée = -0 db Fréquence centrale = 250 khz Bande passante 20 khz (centrée sur la réquence centrale) Fréquences limites de la bande atténuée = 250kHz ± 35 khz 0 db 3 db 25 khz 240 khz 285 khz 260 khz Filtre 3 (Hz) Module EPU-E6-EA Chapitre 3 Synthèse de Filtres analogiques 2/8
2.3) Phase 2 : «Symétrisation» préalable éventuelle (pour les iltres à bande(s) étroite(s)). Pour les iltres à bande(s) étroite(s) (Passe-Bande et Coupe-Bande), il est nécessaire d utiliser des gabarits symétriques avant l étape de normalisation, en gardant le gabarit le plus sévère (dans les bandes de transition) : Symétrie pour l atténuation : On garde le coe. le plus grand pour le Passe-Bande. On garde le coe. A max le plus petit pour le Coupe-Bande. «Symétrie» en réquence : Ain d évaluer la symétrie des inesses des 2 bandes de transition, pour les 2 amilles de iltres, on doit vériier l égalité suivante : k low = k high Si les inesses des 2 bandes de transition sont identiques l égalité est vériiée le iltre est symétrique (on ne modiie rien sur les valeurs de a et de p ). Si les inesses des 2 de bandes de transition sont diérentes l égalité est non-vériiée on doit «symétrisé» le iltre, en modiiant la valeur de la réquence a ou la valeur de la réquence a + (celle qui rendra le iltre plus sévère en réquence ; a qui va augmenté pour un Passe-Bande, qui va diminué pour un Coupe- Bande ; a + qui va diminué pour un Passe-Bande, qui va augmenté pour un Coupe-Bande), en maintenant les valeurs de la bande conservée ( p et p + maintenues). Application : Vériier la symétrie du iltre 4 suivant. Eectuer le travail de «symétrisation» éventuelle. 2.4) Phase 2 : Normalisation des iltres, dans le cadre de la synthèse. On montre que toute étude de iltre peut se ramener à l étude d un iltre passe-bas appelé iltre passebas prototype (F.P.B.P.). Ainsi l étude se ramène à la recherche d une onction de transert du F.P.B.P. H PB (s) dont le module respect le gabarit prototype suivant : Filtre 4 : Passe bande. retenu Bande de 0 db transition la + sévère k low = Bande conservée A max 5 db 3 db a p Bande de transition 500 Hz 800 Hz = 0,625 et k high = Valeurs maintenues /Se Bande atténuée,5 khz Avec : Se : sélectivité du iltre (0 < Se < ). (son expression dépend de la onction du iltre initial si Se est proche de, la largeur de la bande de transition sera plus étroite) u : réquence normalisée du iltre prototype. (son expression dépend de la onction du iltre initial) F.P.B.P. : Filtre Passe-Bas Prototype. Passe-Bas Passe-Haut Passe-Bande Coupe-Bande / 2.. / réquence de normalisation 0 = ( ) ( ) 2 a+ = u : réquence normalisée u = / p u = / 0 s : Variable de Laplace normalisée s = p / ω p s = p / ω 0 Se :Sélectivité du iltre Se = p + a+ F.P.B.P. u 2,5 khz Filtre 4 p a Module EPU-E6-EA Chapitre 3 Synthèse de Filtres analogiques 3/8 Se = a p Se = B.P. relative = B B = (Hz) 0 db 3 db 500 Hz 800 Hz p+ a+ a- p a Réponse = 0,600 k low = k high ssi a + = p + / 0,625 =,5k / 0,625 = 2,4 khz p+ 2,4 khz,5 khz p- Se = 0 p p+ a+ p+ Filtre 4 symétrisé a p (Hz)
Applications : Rechercher les paramètres du F.P.B.P. des 3 iltres étudiés page 2. Réponses Phase 2 : Symétrisation réquence de normalisation Filtre Passe-Bas Filtre 2 Passe-Haut Filtre 3 Passe-Bande Modiication de a- = 28,94 khz 0 = 249,80 khz u : réquence normalisée u = / (5.0 4 ) u = / (3.0 5 ) u = / (249,80.0 3 ) s : Variable de Laplace normalisée s = p / (π.0 5 ) s = p / (6.π.0 5 ) s = p / (5,006.π.0 5 ) A max 3 db 3 db 3 db 50 db 67 db 0 db Se :Sélectivité du iltre Se = 0,2000 Se = 0,3333 Se = 0,3027 B.P. relative = B B = 80,064.0-3 3) Type de réponse désirée dans le gabarit d atténuation. 3.) Phase 3 : Fonction d approximation du F.P.B.P. : A(u) On constate qu il est donc possible, dans un même gabarit (celui du F.P.B.P.), de privilégier un type de réponse (Butterworth, Tchebychev, Bessel, Cauer, ) suivant l application allouée au iltre à réaliser. C est la phase de la synthèse que l on nomme : Recherche de la onction d approximation A(u). Le choix d une onction d approximation dépend des perormances désirées : Comportement de la courbe de réponse dans la B.P. (régularité du gain ou bien au contraire ondulation du gain (entre 0 db et db par exemple), ampliication statique = ou, introduction d une ampliication ou non ) ; Bande(s) de transition, Bande(s) atténuée(s) (pente de la réponse permettant d atteindre la sélectivité demandée) ; Contraintes sur le déphasage (régularité du temps de propagation de groupe dans la B.P. garantissant l absence de distorsion de phase) Le choix de la onction d approximation se ait à partir du gabarit du F.P.B.P. L objecti est donc de trouver la onction de transert normalisée H PB (s) d un iltre, dont la réponse «s inscrit» dans le gabarit d atténuation. Remarque : C est en ait l atténuation A(u), inverse de H PB (ju), qui doit s inscrire (après conversion en db) dans le gabarit d atténuation du F.P.B.P. A(u) = / H PB (ju) On distingue, suivant la orme de H PB (ju), 2 amilles de iltres : les iltres polynomiaux : H PB (s) = (iltres à réponse de Butterworth, Tchebychev de type, Bessel) les iltres non-polynomiaux : H PB (s) = (iltres à réponse de Tchebychev de type 2, Cauer) 3.2) Filtres à réponse de Butterworth. Objecti : L amplitude de la réponse en B.P. n ondule pas : c est la réponse «maximallement» plate. (maximally lat) Fonction de transert normalisée : On distingue 2 cas, suivant la valeur de A max du F.P.B.P. Si A max = 3 db (cas classique), H PB (s) est telle que : 20.log H PB (ju) H PB (s) = (N = ordre du iltre) + (s) 2N On démontre alors que l ordre du iltre N se détermine par : N = log[0 (Amin/0) ] 2.log(/Se) (le résultat peut être ractionnaire ; l ordre N choisi est alors l entier supérieur). La réquence de coupure du F.P.B.P. correspond à : u = + Σ b k.(s) k + Σ a i.(s) i i = Module EPU-E6-EA Chapitre 3 Synthèse de Filtres analogiques 4/8 m k = N - A max = -3 db N + Σ a i.(s) i i = u
Si A max < 3 db, H PB (s) est telle que : H PB (s) = avec ε = 0 (Amax/0) + ε 2.(s) 2N (0 < ε < ) log[0 (Amin/0) ] 2.log(ε) On démontre alors que l ordre du iltre N se détermine par : N = 2.log(/Se) (le résultat peut être ractionnaire ; l ordre N choisi est alors l entier supérieur). On démontre alors que la réquence de coupure du F.P.B.P. correspond à : u = Utilisation d abaque : (voir Annexe : Abaque de Butterworth + exemple de construction) Elle permet de déterminer l ordre N du F.P.B.P., et donc du iltre à réaliser, en onction des paramètres, A max et Se. Forme polynomiale de H PB (s) (voir Annexe 2 : Polynômes de Butterworth en onction de l ordre désiré) N - On montre que : H PB (s) = = Π N = + Σ a i.(s) i i = 0 (s s i ) (s s 0 ). (s s ).. (s s N- ) i = (orme polynomiale que l on peut encore simpliiée sous orme actorisée de polynômes d ordre et d ordre 2) avec : s i = [ sin ( 2.i +. π ) + jcos ( 2.i +. π )] 2.N 2.N 3.3) Filtres à réponse de Tchebychev de type. Objectis : Ondulations régulières du gain en B.P. entre 0 db et - A max ; Le nombre d ondulations est égal à l ordre du iltre (l ordre est inérieur à celui du iltre de Butterworth équivalent) ; Coupure très raide (les iltres de Tchebychev sont les iltres ayant la coupure la plus raide des iltres polynomiaux pour un ordre donné) ; La courbe de gain est plus raide que l asymptote autour de la réquence de coupure ; La constitution du iltre se ait par association de cellules de réquence propres diérentes (plus l ordre est élevé plus les cellules sont «nerveuses»). Fonction de transert normalisée : H PB (s) est telle que : H PB (s) = (N = ordre du iltre) + (ε.t N (s)) 2 20.log H PB (ju) (ε) (/N) les oscillations dans la bande passante : u u Utilisation d abaque : (voir Annexe 3 : Abaque de Tchebychev + exemple de construction) Elle permet de déterminer l ordre N du F.P.B.P., et donc du iltre à réaliser, en onction des paramètres, A max et Se. Forme polynomiale de H PB (s) (voir Annexes 4 et 4bis: Polynômes de Tchebychev en onction de l ordre désiré et de ε) On montre que : H PB (s) = 2 (N ) N -. ε. Π (s s i ) i = 0 A(s) (orme polynomiale que l on peut encore simpliiée sous orme actorisée de polynômes d ordre et d ordre 2) Module EPU-E6-EA Chapitre 3 Synthèse de Filtres analogiques 5/8
3.4) Filtres à réponse de Bessel. Objecti : Les iltres de Bessel sont basés sur le critère de la plus grande linéarité possible de la phase (en onction de la réquence). On rappelle l intérêt d avoir une phase linéaire : le signal n est pas déormé par le iltre. Si la phase est linéaire, le temps de propagation de groupe T PG est constant. Fonction de transert normalisée : H PB (s) est telle que : H PB (s) = e -s = En eectuant un développement limité pour chaque onction sh(s) et ch(s), on obtient Ici en se limitant au 3 ème ordre (N = 3) : H PB (s) = Pour le N ème ordre : H PB (s) s s s 2 s N s Utilisation d abaque : (voir Annexe 5 : Abaque de Bessel) Elle permet de déterminer l ordre N du F.P.B.P., et donc du iltre à réaliser, en onction des paramètres et Se. 3.5) Filtres à réponse de Cauer. Objecti : Ils permettent d augmenter les pentes de variation du gain, par rapport aux iltres polynomiaux. Utilisation d abaque : (voir Annexe 6 : Abaques de Cauer) Elle permet de déterminer l ordre N du F.P.B.P., et donc du iltre à réaliser, en onction des paramètres A max, et Se. 4) Phase 4 : Transposition du F.P.B.Pvers le iltre étudié - Dénormalisation. 4.) Transposition. Une ois la onction du F.P.B.P. H PB (s) déterminée, il suit d eectuer un simple changement de variable sur «s», suivant le iltre à réaliser : Si iltre Passe-Bas à réaliser : H PB (s) devient H(s) (aucun changement de variable à eectuer) Si iltre Passe-Haut à réaliser : H PB (s) devient H(/s) s /s Si iltre Passe-Bande à réaliser : H PB (s) devient H(. s + B ) s s Si iltre Coupe-Bande à réaliser : H PB (s) devient H( B. s + ) s s Remarque : Seul le iltre à réponse de Bessel n est pas transposable. 4.2) Dénormalisation. Une ois la transposition eectuée, on «dénormalise» la onction de transert, pour revenir en «réquentiel». Il suit d eectuer un simple changement de variable sur «s», suivant le iltre à réaliser : Si iltre Passe-Bas à réaliser : H(s) devient H(p) s p / ω p Si iltre Passe-Haut à réaliser : H(/s) devient H(p) s p / ω p s s s s 2 s. s + B s B. s + s Module EPU-E6-EA Chapitre 3 Synthèse de Filtres analogiques 6/8
Si iltre Passe-Bande à réaliser : H(. s + B ) devient H(p) s p / s ω0 Si iltre Coupe-Bande à réaliser : H( B. s + ) devient H(p) s p / ω 0 s 5) Phase 5 : Recherche d une structure de iltre. La construction du iltre se ait, au inal, en identiiant H(p) trouvé, à des structures du er et 2 nd ordre mises en cascade (pour N > 2) voir chapitre 2. Des tables et structures existent (voir annexe 7) pour gagner en eicacité de réalisation. Module EPU-E6-EA Chapitre 3 Synthèse de Filtres analogiques 7/8
Annexe : Abaque de Butterworth en onction de l ordre désiré N A max 3 db 50 db /Se Exemple du iltre (page 4) : A max = 3 db = 50 db Tracé Se = 0,2 /Se = 5 Tracé Construction Point positionné entre la courbe N = 3 et la courbe N = 4 On retient l ordre supérieur : N = 4 Module EPU-E6-EA Chapitre 3 Synthèse de Filtres analogiques 8/8
Annexe 2 : Polynômes de Butterworth en onction de l ordre désiré N (limité aux 9 premiers ordres) Valeur des Coeicients s i : Ordre N Cas où A max = 3 db (cas classique) ε = Ordre N i 0 -+ 0j 2 0-0,707 + 0,707j -0,707-0,707j s0 s s2 s3 s4 s5 s6 s7 s8 3 0 2-0,5000 + 0,8660j -+ 0j -0,5-0,8660j 4 0 2 3-0,3827+ 0,9239j -0,9238 + 3,8268j -0,9239-0,3827j -0,3827-0,9239j 5 0 2 3 4-0,3090 + 0,95j -0,8090 + 0,5878j - + 0j -0,8090-0,5878j 0,3090-0,95j 6 0 2 3 4 5-0,2588 + 0,9659j -0,707 + 0,707j -0,9659 + 0,2588j -0,9659-0,2588j -0,707-0,707j -0,2588-0,9689j 7 0 2 3 4 5 6-0,2225 + 0,9749j -0,6235 + 0,788j -0,900 + 0,4339j - + 0j -0,900-0,4339j -0,6235-0,788j -0,2225-0,9749j 8 0 2 6 4 5 6 7-0,95 + 0,9808j -0,5556 + 0,835j -0,835 + 0,5556j -0,9808 + 0,95j -0,9808-0,95j -0,835-0,5556j -0,5556-0,835j -0,95-0,9808j 9 0 2 3 4 5 6 7 8-0,736 + 0,9849j -0,5000 + 0,8660j -0,7660 + 0,6428j -0,9394 + 0,3420j - + 0j -0,9397-0,3420j -0,7660-0,6428j -0,5000-0,8660j -0,736-0,9848j Forme actorisée de H PB (s) en onctions du er et 2 nd ordre /[s + ] 2 /[s 2 +,442.s + ] 3 /[(s + ).(s 2 + s + )] 4 /[(s 2 + 0,7653.s + ).(s 2 +,8478.s + )] 5 /[(s + ).(s 2 +,680.s + ).(s 2 + 0,680.s + )] 6 /[(s 2 +,938.s + ).(s 2 +,442.s + ).(s 2 + 0,576.s + )] 7 /[(s + ).(s 2 +,809.s + ).(s 2 +,2469.s + ).(s 2 + 0,4450.s + )] 8 /[(s 2 +,965.s + ).(s 2 +,6629.s + ).(s 2 +,.s + ).(s 2 + 0,390.s + )] 9 /[(s + ).(s 2 +,8793.s + ).(s 2 +,5320.s + ).(s 2 + s + ).(s 2 + 0,3472.s + )] Cas où A max < 3 db ε = 0 (Amax/0) Valeurs des coeicients s i (ci-dessus) conservés mais : N - H PB (s) = N = Π + Σ a i.((ε) (/N).s) i i = 0 ((ε) (/N).s s i ) i = Forme actorisée à rechercher sous orme de produits de onctions du er et 2 nd ordre. (repérer les produits de (s - s i ).(s - s * i ) s * i = conjugué de s i ) Module EPU-E6-EA Chapitre 3 Synthèse de Filtres analogiques 9/8
A max Annexe 3 : Abaque de Tchebychev en onction de l ordre désiré N 3 db 50 db /Se Exemple du iltre (page 4) : A max = 3 db = 50 db Tracé Se = 0,2 /Se = 5 Tracé Construction Point positionné entre la courbe N = 2 et la courbe N = 3 On retient l ordre supérieur : N = 3 Module EPU-E6-EA Chapitre 3 Synthèse de Filtres analogiques 0/8
Annexe 4 : Polynômes de Tchebychev en onction de l ordre désiré N et de A max (ondulation dans la B.P.) (limité aux 9 premiers ordres) Ordre N Forme actorisée de «A(s)» en onctions du er et 2 nd ordre - Cas où A max = 0,5 db (ε = 0,3493) - Ordre N Forme actorisée de «A(s)» en onctions du er et 2 nd ordre - Cas où A max = db (ε = 0,5089) - Module EPU-E6-EA Chapitre 3 Synthèse de Filtres analogiques /8
Annexe 4-bis : Polynômes de Tchebychev en onction de l ordre désiré N et de A max (ondulation dans la B.P.) (limité aux 9 premiers ordres) Ordre N Forme actorisée de «A(s)» en onctions du er et 2 nd ordre - Cas où A max = 2 db (ε = 0,7648) - Annexe 5 : Abaque de Bessel en onction de l ordre désiré N /Se Module EPU-E6-EA Chapitre 3 Synthèse de Filtres analogiques 2/8
Annexe 6 : Abaques de Cauer en onction de l ordre désiré N /Se /Se Module EPU-E6-EA Chapitre 3 Synthèse de Filtres analogiques 3/8
Annexe 6 - suite : Abaques de Cauer en onction de l ordre désiré N /Se /Se Module EPU-E6-EA Chapitre 3 Synthèse de Filtres analogiques 4/8
Annexe 7 : Filtres Passe-Bas et Passe-Haut Valeurs des éléments de réglages des iltres à réaliser (voir tableaux pages suivantes pour choix des valeurs Cas des Passe-Bas et Passe-Haut) Module EPU-E6-EA Chapitre 3 Synthèse de Filtres analogiques 5/8
Eléments de réglage des Filtres Passe-Bas et Passe-Haut de Butterworth Eléments de réglage des Filtres Passe-Bas et Passe-Haut de Tchebychev (A max = db) Module EPU-E6-EA Chapitre 3 Synthèse de Filtres analogiques 6/8
Eléments de réglage des Filtres Passe-Bas de Bessel Module EPU-E6-EA Chapitre 3 Synthèse de Filtres analogiques 7/8
Eléments de réglage des Filtres Passe-Bas et Passe-Haut de Cauer Module EPU-E6-EA Chapitre 3 Synthèse de Filtres analogiques 8/8