Exercices Mode, classe modale, moyenne, médiane 1 Les résultats d'une enquête réalisée auprès de 300 étudiants sur le nombre de films qu'ils ont vus en salle de cinéma au cours du mois dernier sont donnés dans le tableau suivant. 1. Déterminer le mode de cette série. 2. a) Représenter cette série par un diagramme en bâtons à l'aide d'un tableur. Pour cela suivre les instructions suivantes. - Ouvrir une feuille de calcul et entrer les titres et les valeurs comme dans le tableau précédent. - Sélectionner les cellules B2 à F2. - Cliquer sur le bouton assistant graphique de la barre d'outils. - Dans la boîte de dialogue ʺType de graphiqueʺ, choisir ʺHistogrammeʺ, puis le premier sous-type de graphique ; cliquer sur ʺSuivantʺ, puis sur l'onglet ʺSérieʺ ; placer le curseur dans ʺEtiquette des abscisses Xʺ et sélectionner les cellules B1 à F1 ; cliquer sur ʺTerminerʺ. - Améliorer la présentation en réduisant la largeur des rectangles : ouvrir la boîte de dialogue ʺFormat de la série des donnéesʺ par un double clic sur un bâton du graphique, cliquez sur l'onglet ʺOptionsʺ et entrer 500 dans ʺLargeur de l'intervalleʺ. b) En utilisant le diagramme, confirmer le mode de la série, en expliquant la façon de l'obtenir par lecture graphique. 2 L'âge des pères de 120 élèves de première d'un lycée est donné dans le tableau suivant. 1. Déterminer la classe modale de cette série. 2. a) Représenter cette série par un histogramme à l'aide d'un tableur. Pour cela, suivre les instructions suivantes. - Ouvrir une feuille de calcul et entrer les titres et les valeurs comme dans le tableau précédent. - Sélectionner les cellules B2 à F2. - Cliquer sur le bouton assistant graphique de la barre d'outils. - Dans la boîte de dialogue ʺType de graphiqueʺ, choisir ʺHistogrammeʺ, puis le premier sous-type de graphique ; cliquer sur ʺSuivantʺ, puis sur l'onglet ʺSérieʺ ; placer le curseur dans ʺEtiquettes des abscisses Xʺ et sélectionner les cellules B1 à F1; cliquer sur ʺTerminerʺ. - Améliorer la présentation en augmentant la largeur des rectangles : ouvrir la bonne dialogue ʺFormat de la série de donnéesʺ par un double clic sur un bâton du graphique, cliquer sur l'onglet ʺOptionsʺ et entrer 0 dans ʺLargeur de l'intervalleʺ. b) En utilisant l'histogramme, confirmer la classe modale de la série, en expliquant la façon de l'obtenir par lecture graphique.
3 Une société de transport réalise sur une de ses plateformes un contrôle des durées, en minutes, de déchargement de ses 150 camions. Les durées relevées sont illustrées par le diagramme en bâtons suivant. Durée de téléchargement (en min) Nombre de camions 25 2 26.......... 32.......... Total.......... 1. Déterminer graphiquement les deux modes de cette série. 2. a) À l'aide du diagramme, compléter le tableau ci-dessus. b) Utiliser ce tableau pour confirmer la réponse obtenue à la question 1. 4 La fabrication d'un produit nécessite l'exécution de différentes tâches, dont la répartition en fonction de la durée, en minutes, est illustrée par l'histogramme suivant. Durée (en min) Nombre de tâches à exécuter [0 ; 20 [ 2 [80 ; 100 [.......... Total.......... 1. Déterminer graphiquement la classe modale de cette série. 2. a) À l'aide du diagramme, compléter le tableau ci-dessus. b) Utiliser ce tableau pour confirmer la réponse obtenue à la question 1.
5 Les températures (en degrés Celsius) relevées chaque jour à midi lors d'un mois de septembre à VilleSoleil sont les suivantes : 20,4 19,6 19,3 19,2 18,7 18 18,5 18,5 18,3 18,2 18,1 18 17,9 17,8 17,8 17,9 17,6 17,9 17,1 17,2 17,3 17,4 17,2 17 17,2 16,9 16,5 16,4 16 16,1 À l'aide d'une calculatrice ou d'un tableur, traiter les questions suivantes. 1. Trier en ordre croissant les valeurs de cette série statistique. 2. Déterminer les deux modes, puis à l'aide d'une calculatrice ou d'un tableur, la moyenne et la médiane de cette série statistique. 6 Le tableau suivant donne la répartition des notes obtenues à un test sportif par 30 lycéens. Note x i Nombre de lycéens n i 3 4 4 2 5 7 6 4 7 7 8 5 9 1 Déterminer les deux modes puis, à l'aide d'une calculatrice ou d'un tableur, la moyenne et la médiane de cette série statistique. 7 Sur chaque lave-linge se trouve une ʺétiquette énergieʺ qui indique la consommation d'énergie électrique, en kwh, par cycle de lavage. On donne cette consommation pour 60 lave-linge d'un magasin. Classe de consommation électrique Centre de classe Nombre de lave-linge 1. Compléter le tableau précédent. 2. Donner la classe modale. [0,7 ; 0,9[.......... 8 [0,9 ; 1,1[.......... 15 [1,1 ; 1,3[.......... 24 [1,3 ; 1,5[.......... 9 [1,5 ; 1,7[.......... 4 3. À l'aide d'une calculatrice ou d'un tableur, déterminer la moyenne, arrondie à 0,01près, et la médiane de cette série statistique.
8 Le tableau suivant donne la répartition du nombre de spectateurs ayant assisté aux 30 concerts organisés dans la salle de spectacle d'un lycée cette année. Classe Centre de classe Nombre de concerts [0 ; 20[.......... 1 [20 ; 40[.......... 12 [40 ; 60[.......... 8 [60 ; 80[.......... 7 [80 ; 100[.......... 2 1. Compléter ce tableau. 2. Donner la classe modale. 3. À l'aide d'une calculatrice ou d'un tableur, déterminer la moyenne et la médiane de cette série statistique. Étendue, écart type, écart interquartile 9 Une estimation de la durée de trajet quotidien domicile-établissement, exprimée en minutes, des 200 élèves d'un lycée professionnel est donnée dans le tableau suivant. Durée de trajet x i 5 10 15 20 25 30 35 40 Effectif n i 8 15 18 30 48 39 33 9 1. Calculer l'étendue de cette série statistique. 2. a) À l'aide d'une calculatrice ou d'un tableur, déterminer l'écart type, arrondi à l'unité, le premier quartile et le troisième quartile de la série. b) Calculer son écart interquartile. 10 Des élèves doivent réaliser un modèle de chemisier pour le défilé de mode de fin d'année. Ces chemisiers seront mis en vente à la fin du défilé. Pour se faire une idée des prix, les élèves se sont rendus dans 50 magasins pour relever les prix de vente affichés pour ce type d'articles. Les résultats de leur enquête sont illustrés par le diagramme en boîte suivant (l'axe est gradué en euros). 1. Complétez le tableau suivant. Minimum 1 er quartile Médiane 3 e quartile Maximum.......... 2. Calculer l'étendue et l'écart interquartile.
Problèmes 11 On a demandé à chacun des 35 élèves des classes de 1 ère A et 1 ère B le temps moyen qu'il consacre à naviguer sur Internet pendant le week-end. Les résultats sont résumés par les deux diagrammes en boîte suivants (l'axe est gradué en heures). 1. Pour chacune des deux classes : a) lire les valeurs minimale et maximale, la valeur de la médiane, puis les valeurs du 1 er et du 3 e quartiles ; b) en déduire les valeurs de l'étendue de l'écart interquartile. 2. En utilisant l'écart interquartile, comparer les dispersions des résultats obtenus pour les deux classes. 12 À la fin des délibérations d'un examen comportant deux épreuves, un professeur relève les notes de 30 élèves à l'épreuve 1 et à l'épreuve 2. La répartition de ces notes est donnée dans le tableau ci-après. Notes sur 20 Effectif Épreuve 1 Épreuve 2 5 0 3 6 6 0 7 5 5 8 8 0 9 1 8 10 3 0 11 0 3 12 2 4 13 0 0 14 1 1 15 2 4 16 2 2 1. À l'aide d'une calculatrice ou d'un tableur, déterminer la moyenne et l'écart type des notes, pour chacune des deux épreuves. 2. a) À quelle épreuve la meilleure moyenne est-elle obtenue? b) À quelle épreuve les notes sont-elles les moins dispersées?
13 Une entreprise d'ébénisterie fabrique des tables de différents modèles. On s'intéresse aux diamètres des 180 tables rondes fabriquées l'année dernière. Le diamètre annoncé par l'entreprise pour ces tables est 120 cm. Une étude statistique sur les performances des machines-outils utilisées par cette entreprise a montré que, pour une dimension programmée, les dimensions effectivement obtenues : - ont pour moyenne x=120 cm et pour écart type σ=0,2 cm ; - ont graphiquement l'allure d'une courbe de Gauss. 1. Calculer les valeurs x 2 σ et x+2 σ, puis déterminer l'intervalle [ x 2 σ ; x +2 σ ]. 2. a) Environ quel pourcentage de tables produites ont un diamètre appartenant à cet intervalle? b) À quel nombre de tables produites cela correspond-il? 14 Lors d'une course automobile, on relève les temps d'arrêt, en secondes, des voitures de Formule 1 lors des ravitaillements (les mécaniciens font le plein de carburant et changent les pneumatiques). Pour les 20 voitures engagées, on décompte 47 arrêts. Les résultats sont les suivants. Durée du ravitaillement Effectif [5,5 ; 6[ 1 [6 ; 7[ 4 [7 ; 8[ 19 [8 ; 9[ 18 [9 ; 10[ 3 [10 ; 10,5[ 2 1. À l'aide d'une calculatrice ou d'un tableur, déterminer la moyenne x et l'écart type σ de la série statistique (prendre comme valeurs des temps d'arrêt les centres des classes). Arrondir les résultats à 0,01 seconde près. 2. On considère que les mécaniciens sont efficaces lorsqu'au moins 95 % des arrêts ont leur durée dans l'intervalle [ x 2 σ ; x+2 σ ]. a) Déterminer l'intervalle [ x 2 σ ; x +2 σ ]. Arrondir ses bornes à 0,1 seconde près. b) Calculer le nombre, puis le pourcentage, à 1 % près, des arrêts dont la durée est dans l'intervalle [6 ; 10[. c) En déduire que pour cette course, les mécaniciens n'ont pas été efficaces.
15 Dans une région de France, la pollution atmosphérique est contrôlée quotidiennement, heure par heure, par un réseau de 21 stations de mesures. On considère la station U située en zone urbaine, la station I située en zone industrialisée et la station R située en zone rurale de montagne. Partie A On compare les mesures obtenues aux stations U et I pour le dioxyde de soufre, l'un des polluants mesurés. Les concentrations de ce polluant sont exprimées en millionième de gramme par mètre cube (μg/m 3 ) d'air. Les diagrammes en boîtes suivants concernent les mesures horaires du polluant aux stations U et I, pour la journée du 16 août 2012. 1. Pour chacune des deux stations, indiquer la médiane, puis calculer l'écart interquartile et l'étendue de la série des mesures. 2. Indiquer, par lecture graphique et en précisant les indicateurs statistiques utilisés, pour quelle(s) station(s), ce jour-là : a) la dispersion des mesures a été la plus grande ; b) 50 % des mesures ont été inférieures ou égales à 5 μg/m 3 d'air ; c) au moins 75 % des mesures au moins ont été inférieures ou égales à 6 μg/m 3 d'air. Partie B On s'intéresse maintenant à la station R. Le tableau suivant donne les relevés horaires, pour la même journée du 16 août 2012, en ce qui concerne le polluant ozone. Les concentrations sont exprimées en μg/m 3 d'air. Heure 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 Concentration 78 79 77 59 57 65 65 67 68 67 59 54 64 68 72 74 72 72 76 77 76 74 77 76 1. Déterminer les trois modes de cette série. 2. À l'aide d'une calculatrice ou d'un tableur, déterminer la valeur minimale, la valeur maximale, la médiane, le premier quartile et le troisième quartile. 3. Lequel des deux diagrammes suivants représente les résultats précédents?
16 Une entreprise fabrique des composants électroniques qu'elle vend à des assembleurs. Ils sont conditionnés par sachets. Chaque composant devrait en principe peser 6 grammes, mais les aléas de la fabrication font qu'on ne peut pas obtenir exactement cette masse. 1. La DGCCRF (Direction générale de la concurrence, de la consommation et de la répression des fraudes) veut contrôler si cette masse être respectée. Elle prélève un certain nombre de sachets dans l'entreprise, puis un composant au hasard dans chaque sachet, le pèse, et obtient ainsi une liste de masses. Un statisticien traite cette liste, et résume la situation par un diagramme en boîte. L'axe est gradué en gramme. À la lecture de ce diagramme, préciser, pour chacune des affirmations suivantes, si elle est vraie, fausse, ou si on ne peut pas trancher. Affirmation A : la masse moyenne des composants est 6,10 g. Affirmation B : 50 % de ces composants ont une masse inférieure ou égale à 6,10 g. Affirmation C : les masses des 25 % des composants les plus légers sont comprises entre 3,78 g et 5,50 g. Affirmation D : puisque les services de la répression des fraudes tolèrent que 2 % des composants aient une masse inférieure à la masse annoncée, cette entreprise est en règle. 2. Au vu de ces résultats, l'entreprise qui produit ces composants décide de changer la machine qui les fabrique. Pour examiner la production de la nouvelle machine, on prélève un nouvel échantillons de composants, qui est traité par le statisticien de l'entreprise. Il résume les résultats par un nouveau diagramme (l'axe est toujours gradué en grammes). À la lecture de ce nouveau diagramme, complétez les affirmations suivantes : a) 50 % de ces composants ont une masse inférieure ou égale à........ g. b) Aucun composant n'a une masse inférieure ou égale à........ g, donc l'entreprise est en règle.
17 Partie A On donne le diagramme en boîte des montants, en euros, des achats effectués par les clients d'un magasin lors d'une journée de promotion. Noter les cinq renseignements (valeur minimale, premier quartile, médiane, troisième quartile et valeur maximale) que l'on peut lire sur ce diagramme. Partie B Le tableau suivant donne les montants, en euros, arrondis à l'unité, des achats effectués par les 80 clients qui sont venus au magasin pendant une journée ordinaire. x i 2 3 5 8 10 11 13 14 20 21 24 25 26 30 31 33 35 36 38 39 40 42 43 44 45 46 47 55 60 n i 1 1 3 4 7 1 1 3 6 1 2 1 1 6 1 2 1 1 5 5 9 3 3 2 5 2 1 1 1 1. Déterminer le mode de cette série. 2. a) Déterminer la valeur minimale et la valeur maximale de la série. b) À l'aide d'une calculatrice ou d'un tableur, déterminer la médiane, le premier quartile et le troisième quartile. 3. Le diagramme en boîte de cette série est représenté au-dessus du diagramme en boîte précédent : Le magasin avait annoncé sa journée de promotion par une distribution de tracts sur lesquels était indiqué : ʺGrande journée de promotion! Des prix, des affaires, l'occasion de dépenser moins!ʺ. En comparant les deux diagrammes, peut-on conclure, comme l'affirme le message publicitaire, que les clients ont dépensé moins?