PC 13/14 TP COURS : SPECTROSCOPIE A RESEAUX Objectifs du TP - Découvrir un nouvel objet dispersif : le réseau par transmission - Mobiliser les connaissances d optique ondulatoire pour comprendre le fonctionnement d un réseau par transmission - Vérifier expérimentalement les principales propriétés d un réseau par transmission I. DECOUVERTE DU RESEAU PAR TRANSMISSION 1. Description Un réseau plan est une pupille diffractante plane dont la fonction de transparence ne varie que selon une seule direction de l espace et de façon périodique. Concrètement, un réseau est constitué de N motifs diffractants identiques, répartis régulièrement dans le plan du réseau. Un voilage transparent constitue un bon exemple de réseau par transmission. Le réseau par transmission étudié dans ce TP peut être représenté par un plan opaque percé d un grand nombre (N) d ouvertures rectangulaires, parallèles et équidistantes de a. Ces ouvertures, qui sont véritablement des fentes, sont désignées sous le nom de traits du réseau : ils ont une longueur H et une largeur b << H. Le paramètre a est le pas du réseau. La largeur totale L du réseau est alors donnée par la relation L = Na. En pratique, la donnée pertinente est le nombre de traits par unité de longueur : n = N L = 1 a La qualité d un réseau est liée à la périodicité de sa fonction de transparence : les traits doivent être rigoureusement identiques, sous peine d'obtenir une figure de diffraction parasitée. Les réseaux les plus précis sont les réseaux calibrés qui sont obtenus en gravant une surface métallisée avec une fine pointe de diamant. On peut également fabriquer des réseaux dits holographiques, obtenus en enregistrant la figure d'interférence de deux ondes planes. Ces deux types de réseaux sont très coûteux. L'avantage des réseaux calibrés est qu'on peut en fabriquer des répliques : on dépose sur le réseau original une résine que l'on détache et que l'on fixe sur une plaque de verre. Les répliques obtenues sont souvent de très bonne qualité. 2. Premières observations - Observer à l'œil nu la lumière de la salle avec un des réseaux présents sur votre paillasse. 1/6
- Déduire de vos observations la direction des traits du réseau. - Prendre un réseau de pas différent et recommencer l'expérience. Interpréter qualitativement la différence entre les deux observations. - A l'aide d'un laser, éclairer le réseau sous une incidence quasi-normale. Observer, et décrire la figure de diffraction obtenue à l'infini (loin du réseau). 3. Interprétation théorique : Formule des réseaux Démonstration de la formule des réseaux par transmission On suppose que le réseau est éclairé par une onde plane monochromatique, de longueur d'onde λ. La direction du vecteur d'onde de l'onde incidente fait l'angle i 0 avec la normale au réseau. Le réseau ayant de grandes dimensions dans la direction des traits, il ne diffracte pas la lumière dans cette direction. Compte tenu du très grand nombre de fentes constituant un réseau, l'éclairement diffracté à l'infini n'est notable que dans certaines directions faisant l'angle θ i avec la normale au réseau et appelées directions des maxima principaux. Ces maxima résultent d'une interférence exactement constructive entre l'ensemble des ondes diffractées par chacun des traits du réseau dans la direction θ. Les angles sont définis à partir de la normale au réseau orientée dans le sens de propagation de la lumière. Ils sont comptés positivement autour de l'axe (Oy), parallèle aux traits du réseau. θ θ i Retrouver l'expression de la différence de marche δ à l'infini, dans une direction donnée θ, entre les ondes diffractées par les points homologues de deux traits consécutifs du réseau. A quelle condition sur δ observera-t-on, dans la direction θ, un maximum d'éclairement? En déduire la formule des réseaux donnant la direction des maxima principaux : L entier k est appelé ordre de diffraction. sinθ k sinθ i = k λ a, k! Pourquoi les maxima observés sont-ils très fins? Combien d'ordres de diffraction peut-on observer? Exercices d application Un faisceau laser ( λ = 632,8 nm ) est diffracté par un réseau de 300 traits par millimètre. Quel est le nombre maximal d ordres de diffraction observés si le faisceau incident est normal au réseau? On utilise un réseau de pas a = 2,2 µm. Il est éclairé par un faisceau parallèle provenant d une lampe à mercure. On isole une raie verte et on pointe pour différents ordres les faisceaux diffractés. 2/6
On repère les angles par rapport à la normale au réseau et on obtient les résultats suivants : k 1 2 3 θ k 14 09 29 15 47 09 En déduire une estimation de la longueur d onde de la raie et l incidence du faisceau sur le réseau. 4. Complément : Profil d éclairement La formule des réseaux précédente ne donne que la direction des maxima d éclairement derrière le réseau mais elle ne décrit pas précisément les variations d éclairement observés en fonction de l angle θ. Montrer que l'éclairement de l'onde diffractée par le réseau dans la direction θ s'écrit : I(θ) = I 0 sinc 2 ( πb sin( Nϕ 2 λ (sinθ sinθ i )) 2 ) sin( ϕ 2 ) où ϕ = 2πa λ (sinθ sinθ i )représente le déphasage à l infini entre les ondes diffractées par deux traits consécutifs du réseau. Identifier le terme de diffraction et le terme d'interférences dans l'expression de I(θ). On donne ci-après l allure de la courbe représentant les variations d éclairement observées en fonction de α = (sinθ sinθ i ) pour un «réseau» tel que N = 10, b = 5λ et a = 8b. 3/6
Commenter l allure de cette courbe. Dans quelles directions obtient-on des maxima d éclairement? Interpréter les résultats des observations qualitatives effectuées au I.2). II. ETUDE EXPÉRIMENTALE DU RÉSEAU AU GONIOMÈTRE 1. Préambule : Réglage du goniomètre On veut régler le système pour avoir à la fois une source lumineuse à l infini et une lunette afocale pour une visée à l infini. - Décrire le processus de mise au point, en précisant clairement l ordre chronologique des opérations. - Réaliser le réglage du collimateur et de la lunette. 2. Observation qualitative de spectres Lorsqu on éclaire la fente du collimateur par une source polychromatique, chaque radiation émise par la source donne une image d'ordre k : l'ensemble de ces images constitue le spectre d'ordre k. Spectres d une source de lumière blanche - Eclairer la fente par une source de lumière blanche. Régler la largeur de la fente du collimateur pour que son image soit assez fine. - Noter l'ordre des couleurs rencontrées dans le spectre d ordre 1 à partir de la direction du collimateur. Comparer avec le spectre produit par un prisme. - Observer les spectres suivants et noter à partir de quel ordre il y a éventuellement chevauchement. - Déterminer, pour un réseau de pas a éclairé en incidence normale, les conditions pour que les spectres d'ordres k et k + 1 ne se recouvrent pas. On supposera que les radiations visibles de la lampe blanche correspondent à des longueurs d'onde comprises entre 400 nm et 800 nm. Vérifier les conditions précédentes par l observation. Spectres d une lampe à vapeur de Mercure. - Eclairer la fente du collimateur par une lampe au Mercure. Positionner le réseau sur la plateforme du goniomètre et régler son orientation pour que le réseau soit éclairé sous incidence quasi-normale. - Repérer l'image d'ordre 0 (ordre où toutes les radiations sont regroupées). - Quel est le nombre de spectres visibles de part et d'autre de l'ordre 0? Y-a-t-il recouvrement? Les deux raies du doublet jaune sont-elles vues séparées dans le spectre d'ordre 1, 2, etc...? 4/6
L'écartement est-il le même dans les divers ordres? Lorsque les deux raies sont séparées, mesurer l écart angulaire Δθ k entre les deux raies et en déduire la valeur du pouvoir dispersif donné par la relation : P D = Δθ k dans le spectre d ordre k. Δλ - Etudier l influence de la largeur de la fente source pour la séparation des raies. Exercice d application Un réseau comportant N = 800 traits par millimètre est éclairé par une lampe à vapeur atomique en incidence normale. Les longueurs d onde sont comprises entre λ min = 404,7 nm et λ max = 579,1 nm. Les spectres se recouvrent-ils et, si oui, à quel ordre? 3. Etude de la déviation Minimum de déviation Mise en évidence expérimentale d un minimum de déviation On reprend la lampe à vapeur de mercure, et plus précisément avec la raie verte. - Faire varier l'orientation de la plate-forme. - En observant à l'œil nu à travers le réseau, mettre en évidence l'existence d'un minimum de déviation, pour une raie donnée, dans un spectre d'ordre k donné. - Vérifier qu'il existe deux positions symétriques du réseau correspondant à ce minimum de déviation. Interprétation théorique Pour l'image d'ordre k associée à la raie étudiée, on définit l'angle de déviation (angle entre la direction du faisceau incident et la direction d'observation du maximum d'ordre k) par D k = θ k θ i. - Montrer en dérivant la formule des réseaux par rapport à θ i que D k passe par un minimum et que, dans ce cas, le faisceau incident et le faisceau diffracté ont des directions symétriques par rapport à la normale au réseau. - Montrer que la déviation minimale D k,min pour une longueur d'onde donnée, dans le spectre d'ordre k, est donnée par : sin D k,min = kλ 2 2a Vérification expérimentale - Repérer la raie verte intense du mercure dans le spectre d'ordre 1. - Rechercher les deux positions symétriques correspondant au minimum de déviation dans le spectre d'ordre 1 (la recherche sera faite d'abord grossièrement en observant à l'œil nu à travers le réseau). Pointer ces deux positions θ 1,min et θ 1,min. - Calculer Δ = θ 1,min ʹ θ 1,min. En déduire la valeur de D k,min. - Pourquoi mesure-t-on Δ plutôt que D k,min? - A partir de la valeur du minimum de déviation, déterminer la valeur du pas a du réseau. Exercice d application On observe le spectre d ordre 2 d une lampe à vapeur de mercure. Pour la raie violette de 435,8 nm, le minimum de déviation est de 51 40. Pour la raie verte, le minimum de déviation est de 66 12. Déterminer le nombre de traits par millimètre et la longueur d onde de la raie verte. 5/6
5. Pouvoir de résolution théorique On cherche à savoir à quelle condition il est possible de séparer les images associées à deux longueurs d onde voisines (doublet jaune du sodium par exemple) dans un même spectre d ordre k. Les radiations étant incohérentes, on observe par transmission à travers le réseau la superposition des figures de diffraction dues à chacune des longueur d'onde. Les maxima d'ordre 0 pour les deux longueurs d'onde voisines se superposent exactement. Les maxima se décalent l'un par rapport à l'autre quand l'ordre augmente. On peut définir le pouvoir de résolution P R du réseau par : P R = λ m Δλ m d'onde moyenne et Δλ m l'écart entre les deux longueurs d'onde résolues. où λ m désigne la longueur On donne le pouvoir de résolution du réseau dans le spectre d ordre k : P R = kncosθ k (cette relation non exigible se déduit du critère de Rayleigh appliqué à la distance séparant deux pics de deux longueurs d onde voisines par rapport à la largeur d un pic) Le pouvoir de résolution est donc d'autant plus grand que N est grand et que l'ordre est élevé. Exercice d application Un réseau de 500 lignes par mm est éclairé par un faisceau de lumière, sur une largeur utile de 10 cm. La longueur d onde de la vibration quasi-monochromatique est de 630 nm. Trouver son pouvoir de résolution à l ordre 1 et en déduire la plus petite largeur spectrale qu il permet de détecter. Interprétation des observations expérimentales - Rapprocher les valeurs du pouvoir dispersif mesurées au paragraphe II.2) des valeurs théoriques du pouvoir de résolution du réseau dans le spectre d ordre k. En pratique, le pouvoir de résolution est davantage limité par la largeur de la fente d entrée du spectroscope que par le critère de Rayleigh (largeur non nulle des raies). La résolution expérimentale est donc beaucoup plus faible que celle déterminée au paragraphe précédent. Ce constat est-il confirmé ici? 6/6