Lycée CONORCET Belfort Révisons les diffusions : Modes de transfert thermique. éfinir le vecteur densité de flux thermique ; donner son unité. éfinir le flux thermique, donner son unité. Enoncer la loi de Fourier ; justifier le signe - ; donner l unité de la conductivité thermique et des ordres de grandeur. émontrer l équation de conservation de l énergie dans un cas unidimensionnel ( coordonnées cartésiennes). En déduire l équation «de la chaleur» ; définition de la diffusivité. Cas particulier du régime stationnaire sans production interne d énergie : grandeur conservée? éfinition de la résistance thermique ; sa forme pour un barreau rectiligne. Analogies avec les circuits électriques en régime stationnaire : analogues de T, j, P, Rth. Plus poussé : émonstration de l équation de conservation de l énergie dans une géométrie cylindrique ou sphérique avec T = T(r,t). Formes générales de l équation de conservation de l énergie et de la chaleur. iffusion de particules : Modes de transfert de particules. éfinir le vecteur densité de courant de particules ; donner son unité. éfinir le flux de particules, donner son unité. Enoncer la loi de Fick ; justifier le signe - ; donner l unité du coefficient de diffusion et des ordres de grandeur. émontrer l équation de conservation des particules dans un cas unidimensionnel ( coordonnées cartésiennes). En déduire l équation de la diffusion. Cas particulier du régime stationnaire sans production de particules : grandeur conservée?
IFFUSION E PARTICULES On considère sauf mention contraire des grandeurs unidirectionnelles, soit f(x,t). La diffusion est une migration de particules sans déplacement macroscopique ( sans convection ). 1. Conservation du nombre de particules : 1.1. éfinitions : éfinition : le vecteur densité de courant de particules j n = j n ( x,t ) u x est un vecteur dirigé dans le sens du flux de particules, et dont le module est égale au nombre de particules traversant une surface unité perpendiculaire à j par unité de temps. J s exprime en m -.s -1. éfinition : Unité : s -1. j. ds est appelé flux de particules. éfinition : la densité volumique de particules n(x,t) est le nombre de particules par unité de volume. Unité : m -3. 1.. Equation de conservation des particules : S j(x, t) j(x dx, t) dx On considère une longueur dx d un barreau de section S entre les instants t et t+dt, contenant des particules en concentration n(x,t). ans ce barreau existe une densité de courant de particules j n = j n ( x,t ) u x et un nombre de particules «créées» par unité de temps et de volume, exemple : réactions nucléaires. Le nombre de particules franchissant S à l abscisse x pendant dt est dn 1 = S.j(x, t).dt Le nombre de particules franchissant S à l abscisse x+dx pendant dt est dn = S.j(x + dx, t).dt Le nombre de particules apparaissant pendant dt est dn 3 =.S.dx.dt La variation du nombre total de particules entre x et x+ dx est pendant dt : [n(t+dt,x) n(t,x) ].S.dx = dn 1 dn + dn 3 n(x, t) jn (x,t) S.dx..dt -S..dx.dt.S.dx.dt t x n(x, t) j(x, t) t x x n( r, t) divj( r, t) t 0 Conséquence : en régime stationnaire, avec = 0, le flux de particules se conserve.
Lycée CONORCET Belfort. Loi de FICK ; équation de la diffusion.1. Loi de Fick : On constate expérimentalement que la diffusion de particules s effectue des zones de forte concentration vers les zones de concentration plus faible ; de plus, Fick ( 1856 ) établit une relation de proportionnalité entre j et le gradient de concentration. Loi de Fick ( phénoménologique ) : j =-.grad(n) n ( positive ) est le coefficient de diffusion, en m.s -1. dépend de la nature des particules qui diffusent, de celles du milieu, de la température et de la pression... Ordres de grandeurs des coefficients de diffusion ( m.s -1 ) ans l air (T = 73 K ; P = 1 bar ) ans l eau ( T = 5 C) CO O CH 4 H O H 0,138.10-4 0,178.10-4 0,196.10-4 0,19.10-4 0,611.10-4 NaCl Eau Sucre 1,9.10-9 3,0.10-9 0,5.10-9 Il y a analogie entre la loi de Fick, la loi de Fourier et la loi d Ohm j.e.grad(v).3. Equation de la diffusion : n n = + t x Remarques : Cette équation est linéaire. Le fait que t ne puisse être remplacé par -t montre que la diffusion est un phénomène irréversible. En ordre de grandeur, la longueur de diffusion L est telle que : L =.t. n =Δn+ t 4. Cas particulier : régime stationnaire : On considère un barreau homogène de longueur L et de section S dont les deux extrémités sont reliées à des réservoirs assurant des concentration constantes : n(0) = n 0 ; n(l) = n 1 < n 0. On considère = 0. En régime stationnaire n 0 d où n(x, t) = n(x). t n n1-n o n1-n 0 On calcule n(x)=n o+ x j n=- L L = cte n 0 En régime permanent, est constant et uniforme dans le barreau. Le profil de concentration est linéaire. n 1 0 L x
CO dans l air ( t =15 C) P ( mmhg ) Argon dans Argon ( P = 1 bar ) T ( K ) 751 364 309 0,163.10-4 0,337.10-4 0,413.10-4 37 95 73 195 0,1.10-4 0,180.10-4 0,158.10-4 0,083.10-4
Lycée CONORCET Belfort CONUCTION THERMIQUE On considère sauf mention contraire des grandeurs unidirectionnelles, soit f(x,t). 1. Modes de transfert thermique : Les transferts thermiques peuvent se faire : par rayonnement : l énergie est véhiculée par une onde, exemple : four à micro-ondes, feu de cheminée. par convection : l énergie s échange par déplacement de fluide, exemple : radiateur soufflant ( convecteur!), Gulf Stream. par conduction : l énergie s échange par chocs, sans déplacement de matière, exemple : transfert à travers murs et fenetres.. Equation de conservation de l énergie :.3. éfinitions : éfinition : le vecteur densité de courant thermique j( r,t ) est un vecteur dirigé dans le sens du flux thermique, et dont le module est égal à la quantité d énergie traversant une surface unité perpendiculaire à j par unité de temps. J s exprime en W.m -. éfinition : Unité : W. j. ds est appelé flux thermique ou puissance thermique..4. Equation de conservation : ans un matériau de masse volumique et de chaleur massique C, dans lequel on produit une puissance p par unité de volume, : T j ρc = - p t x T(r,t) divj(r,t)+ρc - p(r,t) =0 t Conséquence : en régime stationnaire, si p = 0 le flux thermique se conserve. 3. Conduction thermique : loi de Fourier. 3.1. Loi de Fourier : Loi de Fourier ( phénoménologique ) : j=-λ.gradt ( positive )est la conductivité thermique, en W.m -1 K -1. Ordres de grandeurs : métaux 100 W.m -1 K -1 ; liquide 0.1 W.m -1 K -1 ; gaz 0.01 W.m -1 K -1. 3..Equation de la chaleur :
T T p t C x C Cette équation est linéaire. Le fait que t ne puisse être remplacé par -t montre que la conduction est un phénomène irréversible. Remarque : = C est appelé diffusivité. Unité : m.s -1. T p T t C C 4. Transfert convectif à l interface entre un solide et un fluide : On considère le transfert thermique d un matériau en général solide dont la paroi est à température T p vers un fluide à son contact, à température T f. Le flux de chaleur échangé du matériau vers le fluide est donné par la loi phénoménologique : = h.(t p -T f ).S h est le coefficient de convection en W.m - K -1. Il dépend du matériau, du fluide et de sa vitesse. Exemple : Air le long d une paroi métallique : v < 5 m.s -1 : h = 5,8 + 4v v > 5 m.s -1 : h = 7,14 (v) 0,78 5. Régime forcé continu : résistance thermique : 5.1. éfinition : On considère un barreau homogène de longueur L et de section S dont les deux extrémités sont maintenues aux températures T 1 et T > T 1. On suppose p = 0. T T1 éfinition : R th est la résistance thermique du barreau. Unité : K.W-1. Les résistances ( resp. conductances ) thermiques s ajoutent en série ( resp. parallèle ). R th = L / S. 5.. cas de la conduction : 5.3. Cas de la convection : R th = 1/hS. 6. Autres phénomènes de diffusion ; analogies : Nous avons rencontré au cours de l année deux autres exemples de phénomènes diffusifs : la viscosité, l effet de peau. Intensité I Flux thermique Potentiel V Température T Résistance R Résistance R th Loi de Fourier Loi d Ohm
Lycée CONORCET Belfort CONUCTIBILITES THERMIQUES ( W.m -1.K -1 ) Métal Liquide Aluminium Argent Cuivre Fer Plomb 37 430 401 80 353 Eau Glycérine Ether Huile de graissage 0.60 0.9 0.13 0.13 Gaz ivers Air sec Hélium Méthane Argon 0.05 0.143 0.030 0.016 Tourbe Laine Fonte Sciure de bois 0.08 0.039 5800 0.06 Construction Chêne Sapin Vitre Laine de verre Brique Béton armé 0.17 0.14 0.81 0.04 1 0.39 1.6