METHODES A BASE DE DIVERGENCES POUR LES PROBLEMES D ORDONNANCEMENT FLEXIBLE

Abir Ben Hmida 1/6 METHODES A BASE DE DIVERGENCES POUR LES PROBLEMES D ORDONNANCEMENT FLEXIBLE Abir BEN HMIDA 1 Directeur(s) de thèse: Pierre LOPEZ*, Marie-José HUGUET* et Mohamed HAOUARI ** Laboratoire d'accueil: *LAAS-CNRS Groupe MOGISA 7 avenue du Colonel Roche 31077 Toulouse Cedex 4 Laboratoire d'accueil: **ROI Ecole Polytechnique de Tunisie - B.P. 743 2078 La Marsa TUNISIE Etablissement d'inscription: INSA 135 avenue de Rangueil 31077 Toulouse Résumé Cet article propose des variantes de méthodes à divergences limitées pour la résolution de problèmes d ordonnancement ayant une flexibilité sur les ressources, à savoir le Job Shop Flexible et le Flow Shop Hybride. Dans ce type de problèmes, les ressources nécessaires à l exécution d une opération ne sont pas connues a priori mais doivent être choisies parmi un ensemble de ressources possibles. L'objectif de la résolution est la minimisation de la durée totale de l'ordonnancement. Des résultats expérimentaux montrent les atouts et les faiblesses respectifs des méthodes proposées pour la résolution de ces deux types de problèmes. Mots clés Méthodes à divergences limitées, recherche arborescente, Borne inférieure, ordonnancement flexible, Job Shop flexible, Flow Shop Hybride. 1 INTRODUCTION Les problèmes d ordonnancement sont présents dans tous les secteurs de l économie et constituent une fonction importante en gestion de production. Un problème d ordonnancement consiste à allouer dans le temps des jobs à des ressources existantes en quantité limitée tout en satisfaisant un ensemble de contraintes. La résolution optimale des problèmes d ordonnancement flexible, de type Flow Shop Hybrides ou Job Shop Flexible, s avèrent dans la plupart des cas impossible à cause de leur caractère fortement combinatoire. Pour cela, de nombreuses méthodes approchées ont été proposées pour les résoudre en un temps raisonnable. Nos travaux de recherche se situent dans ce cadre des méthodes approchées pour la résolution de problèmes d ordonnancement flexible. Les méthodes développées sont basées sur des recherches arborescentes particulières appelées recherches à divergences limitées. L article est composé de quatre grandes parties. La première est dédiée à la présentation des méthodes à divergences limitées, la deuxième à celle des problèmes d ordonnancement flexible considérés. La partie suivante présente la méthode proposée pour la résolution de ce type de problèmes. Ensuite, une partie expose les expérimentations menées. Enfin, la dernière partie donne quelques conclusions et perspectives à ces travaux. 1 abenhmid@laas.fr

Abir Ben Hmida 2/6 2 METHODES A BASE DE DIVERGENCES Les méthodes à divergences limitées sont des méthodes arborescentes conçues pour la résolution des problèmes combinatoires. Ces méthodes considèrent un schéma de branchement basé sur le concept de divergence afin d élargir peu à peu le domaine de recherche. Ceci peut être considéré comme une alternative de branchement utilisée dans les procédures de retour arrière. La première méthode basée sur ce principe est la recherche à divergences limitées (LDS). 2.1. Limited Discrepancy Search (LDS) La méthode LDS proposée initialement par Harvey [5] s appuie sur des heuristiques de parcours de l arborescence (ordre de prise en compte des variables et ordre pour l instanciation de ces variables). Ces heuristiques sont conçues dans le but de guider la recherche vers des régions prometteuses pour l obtention d une bonne solution. L idée est de se baser sur une solution initiale et d autoriser des divergences par rapport à cette instanciation de base lorsqu elle ne conduit pas à une solution. Ceci revient à dégrader progressivement les choix des heuristiques, et ce, afin d améliorer à chaque itération la qualité de la solution. Cette méthode LDS s arrête dès qu une solution admissible est atteinte. Si le problème est infaisable, elle conduit au développement complet de l arborescence. Le concept de divergence a été initialement introduit pour des variables binaires. Dans notre cas, les problèmes considérés ne sont pas binaires. Deux propositions ont été faites pour adapter la notion de divergence à de tels problèmes. La première proposition considère que la valeur recommandée par l heuristique correspond à 0 divergences et que toutes les autres valeurs correspondent à 1 divergence. La seconde proposition affecte à chaque autre valeur que celle recommandée par l heuristique une divergence qui progresse de manière croissante. L inconvénient principal de LDS est sa redondance dans le parcours de l arborescence. En effet, pour avoir les solutions à k divergences, les solutions de 0 à k-1 divergences sont revisitées. Pour éviter ce problème, ILDS («Improved Limited Discrepancy Search») a été proposée dans [7]. Une autre amélioration de LDS consiste à appliquer les divergences en haut de l arborescence en priorité afin de corriger les premières erreurs dans les instanciations de l heuristique de parcours. Cette méthode, appelée «Depth-bounded Discrepancy Search» (DDS), a été proposée dans [12]. Elle consiste, lorsqu on cherche des solutions à k divergences, à explorer les niveaux 0 à k-1 de l arborescence. Ainsi dans l algorithme DDS, la génération des solutions est limitée par une profondeur donnée. 2.2. Climbing Discrepancy Search (CDS) CDS est une méthode de recherche locale qui adapte la notion de divergence afin de trouver une bonne solution pour les problèmes d'optimisation combinatoires [9]. Elle commence l exploration à partir d'une solution initiale suggérée par une heuristique donnée. Les nœuds ayant une divergence égale à 1 sont ensuite explorés puis ceux ayant une divergence égale 2, et ainsi de suite. Dès qu une solution améliorant la fonction objectif est obtenue, la solution de référence est mise à jour, le nombre de divergences est remis à zéro et le processus d exploration se déclenche de nouveau (cf. algorithme 1). Le but de la méthode CDS n est pas de trouver simplement une solution faisable (comme c est le cas pour la méthode LDS), mais de rechercher une solution de bonne qualité en termes de valeur du critère. La méthode CDS peut ainsi être vue comme une méthode de recherche à voisinage variable («Variable Neighbourhood Search», VNS) [4]. L intérêt de CDS est que le principe de divergence permet de définir les voisinages d une solution donnée.

Abir Ben Hmida 3/6 k 0 -- k est le nombre de divergence k max N -- N est le nombre de variables S ref Solution_Initiale() -- S ref est la solution de référence Tant que (k < k max ) faire k k+1 -- Générer les feuilles à k divergences à partir de S ref S ref Calcul_feuilles(S ref, k) Si Meilleur(S ref, S ref ) alors -- Mise à jour de la solution de référence S ref S ref k 0 Fin si Fin tant que Algorithme 1. CDS 3 LES PROBLEMES D ORDONNANCEMENT FLEXIBLE Les problèmes d ordonnancement flexible sont une généralisation des problèmes d ordonnancement dans lesquels les ressources associées à la réalisation des activités ne sont pas fixées a priori mais doivent être choisies parmi un ensemble de ressources possibles. Nos travaux se sont intéressés à deux types de problèmes d ordonnancement flexible : le flow shop hybride et le job shop flexible dans lesquels les activités sont non interruptibles et les ressources sont des machines disjonctives. Pour ces problèmes nous nous intéressons à minimiser le critère de durée totale de l ordonnancement aussi appelé makespan. 3.1. Les problèmes de Flow Shop Hybride Le Flow Shop Hybride (HFS) est une généralisation du flow shop traditionnel au cas où plusieurs machines sont disponibles dans chacun des étages pour exécuter les tâches. En effet, le flow shop hybride à L étages est un flow shop pour lequel chaque travail doit subir L opérations différentes telles que chaque opération doit se faire sur une unique machine choisie parmi un ensemble, appelé étage, de machines parallèles dédiées à cette opération. Une machine ne peut appartenir qu à un seul étage. A la différence du flow shop classique, pour résoudre ce type de problème, il ne s agit pas de déterminer seulement une date de début d exécution pour chaque opération, mais aussi une affectation à une machine donnée. Le flow shop hybride est NP-difficile s il est constitué d au moins de deux étages et s il y a au moins deux machines disponibles dans l un des étages [3]. Le problème du Flow Shop Hybride se définit formellement comme un ensemble J = {J 1, J 2,, J N } de N jobs où chaque job J i étant constitué de L opérations : {O i1, O i2,, O il } et un ensemble E = {1, 2,, L} de L étages. Une opération O is, doit être traitée par l étage s pendant p is unités de temps. Pour chacun des jobs, l'ordre de passage des opérations dans les L étages est le même : l'opération O is+1 ne peut débuter avant la fin de l'opération O is. La spécificité du FlowShop Hybride est que l étage s dispose de M (s) machines identiques pour traiter les opérations. 3.2. Les problèmes de Job Shop Flexible Le Job Shop Flexible (FJS) est une extension du problème classique de job shop. Dans ce type de problème, une opération nécessite exactement une machine pour être réalisée et cette machine peut être choisie dans un ensemble défini a priori. Le problème d ordonnancement consiste alors à affecter une machine à chaque opération et déterminer la séquence des opérations sur les machines obtenues, afin de minimiser un critère donné. Deux cas principaux sont traités dans la littérature ; le cas où les durées opératoires sont les mêmes (à un facteur proportionnel près) pour toutes les machines pouvant exécuter une opération (machines identiques ou reliées) et le cas où la durée dépend de la machine choisie (machines non reliées). Dans notre étude, nous nous intéressons aux

Abir Ben Hmida 4/6 machines non reliées. Le job shop en étant un cas particulier, la majorité des problèmes d ordonnancement de type job shop flexible sont NP-difficiles à partir de deux ressources et trois jobs [13]. Le problème de Job Shop Flexible est décrit formellement par un ensemble J = {J 1,, J n } de n jobs sur un ensemble M = {1,, m} de m ressources dans la plus petite durée d exécution. Chaque job J i, (i = 1,, n) est composé d une suite de s i opérations ( O j1, O j2, O js ) devant être exécutées i sur les différentes ressources selon un ordre préalablement défini. Cet ordre est appelé gamme opératoire et traduit les contraintes de précédence entre les différentes opérations du job. Chaque opération doit être affectée à une unique ressource R, sélectionnée parmi un ensemble M ji M s i ( j, I M ji Ø) donné, et qui doit exécuter l opération sans interruption durant p R ji unités de i=1 temps. En outre, une ressource ne peut exécuter qu une seule opération à un instant donné. Une solution consiste alors à définir pour chaque opération une date de début et une ressource permettant son exécution tout en minimisant la durée totale C max (i.e., le makespan). 4 MÉTHODE PROPOSÉE : CLIMBING DEPTH-BOUNDED DISCREPANCY SEARCH (CDDS) 4.1. Présentation Générale La méthode développée appelée «Climbing Depth-bounded Discrepancy Search» (CDDS) est une adaptation de la méthode CDS présentée précédemment en utilisant le principe de la méthode DDS pour limiter la profondeur de l exploration. Pour nos problèmes, la feuille initiale, obtenue par application d heuristiques d instanciation, est une solution au problème d ordonnancement puisque nous ne contraignons pas la valeur du makespan. Nous utilisons le principe de divergence pour explorer progressivement le voisinage de cette première solution. Comme pour la méthode DDS, les divergences sont appliquées sur la partie haute de l arborescence. L arrêt de l exploration se produit, soit lorsqu une solution améliorante a été trouvée, soit lorsqu une borne inférieure sur le makespan est atteinte, ou soit par une limite du temps CPU. Lorsqu une solution améliorante est trouvée, elle devient la nouvelle solution de référence et son voisinage est exploré (cf. algorithme 2). k 0 -- k est le nombre de divergence k max N -- N est le nombre des variables S ref Solution_Initiale() -- S ref est la solution de référence UB C0 -- C0 est la valeur du makespan initial Tant que (k k max ) faire k k+1 -- Générer les feuilles à k divergences de S ref -- et ayant une profondeur d dans l arbre avec 1 d k -- Chaque noeud ayant LB(noeud) > UB est élagué S ref Calcul_feuilles (S ref, k, UB) Si meilleur (S ref, S ref ) alors -- Mise à jour de la solution courante S ref S ref k 0 fin si fin tant que Algorithme 2. CDDS (avec bornes inférieures) Afin de résoudre les problèmes considérés, on doit sélectionner une tâche d un job, lui allouer une ressource et fixer sa date de début. Une fois que la tâche est sélectionnée et que sa ressource est fixée, nous la placerons le plus tôt possible dans le temps compte tenu de la disponibilité de la ressource. Ainsi, on considèrera deux types de variables : variable de sélection de la tâche (et/ou du job) et variable de sélection de la ressource. Pour chacun des problèmes considérés nous devons

Abir Ben Hmida 5/6 définir : des heuristiques d instanciation à utiliser ; puis, une stratégie d exploration de l arborescence (i.e., la manière d appliquer les divergences) ; et enfin, les bornes inférieures considérées. 4.2. Adaptation de CDDS au Flow Shop Hybride Pour la résolution du HFS, nous allons instancier, étage par étage, tout d abord la variable de sélection de job, puis la variable d allocation de ressources. Nous avons défini les heuristiques d instanciation suivantes pour chacune de ces variables. Instanciation de la variable de sélection du job. Un choix judicieux de l ordre d examen des jobs s avère d un très grand intérêt pour l obtention d une solution de bonne qualité. Ainsi, la priorité est donnée au job ayant la plus petite date de début au plus tôt (EST) et en cas d égalité entre jobs, nous proposons d instancier avec les trois règles suivantes : sélection du job ayant la plus petite durée d exécution (SPT) ou la plus longue (LPT) ou sélection du job critique (CJ). Nous disposons ainsi de trois heuristiques d instanciation notées respectivement EST-SPT ; EST-LPT et EST-CJ. Cette heuristique peut être identique à tous les étages du HFS ou être variable. Instanciation de la variable d allocation de ressources. La ressource sélectionnée pour la réalisation d un job donné est celle conduisant à la plus petite date de fin d exécution du job (ECT). Bien que l on ait deux types de variables, nous appliquerons des divergences seulement sur les variables de sélection du job. En effet, toutes les ressources dans un étage donné étant identiques, le choix d une autre ressource pour la réalisation d un job ne modifiera pas le critère de la durée totale. Ainsi, faire une divergence consiste à sélectionner un job autre que celui recommandé par l heuristique. Les bornes inférieures que nous avons intégrées sont celles connues de la littérature pour le HFS [7][23]. 4.3. Adaptation de CDDS au Job Shop Flexible Pour la résolution du Job Shop Flexible, nous avons considéré les mêmes heuristiques d instanciation pour les variables de sélection de tâche et de sélection de ressources. En revanche, la stratégie d exploration de l arborescence mise en œuvre est différente de la précédente. En effet, ici nous allons considérer les divergences sur les deux types de variables (car les ressources possibles pour la réalisation des tâches ne sont pas identiques). Pour ce type de problème, nous n avons pas actuellement intégré de bornes inférieures à la procédure de résolution CDDS. 5 EXPERIMENTATIONS Pour le flow shop hybride, nous expérimentons notre méthode sur 77 exemples issus de [10]. Dans [10], tous ces problèmes ont été résolus en utilisant une procédure de «Branch and Bound» (B&B). Des bornes inférieures (LB) sont calculées et le temps pour la recherche est limité à 1800 sec (ainsi, plusieurs exemples n'ont pas été optimalement résolus). Nous proposons de comparer la qualité de nos solutions avec ces bornes inférieures. Nous comparons également CDDS à l heuristique basée sur l idée des systèmes immunitaires artificiels (AIS) [2] qui, à notre connaissance, fournit les meilleurs résultats pour ce type de problème. La profondeur d varie entre 3 et 8 à partir de la racine de l arborescence. Les méthodes CDDS et AIS donnent des solutions optimales pour 61 exemples parmi 75. Pour les exemples restants, CDDS surpasse AIS pour 3 exemples, alors qu AIS surpasse CDDS pour seulement un exemple. Pour les problèmes faciles et difficiles, CDDS fournit de meilleurs résultats que le B&B et AIS. Si on considère tous les problèmes, la déviation moyenne par rapport aux LB de B&B est de 3,68% pour le B&B, de 1,679% pour AIS et seulement de 1,627% pour CDDS.

Abir Ben Hmida 6/6 Intégrer le calcul des bornes inférieures au sein de CDDS s avère d un grand intérêt. En effet, la méthode CDDS sans intégration de LB a été développée dans un travail précédent [1] et la déviation moyenne était alors de 2,32%. Nous avons évalué notre méthode CDDS pour le job shop flexible sur 10 exemples de [14]. Dans [14], tous les problèmes ont été résolus en utilisant une méthode Tabou. Nous avons remarqué que CDDS produit des solutions optimales pour 50% des dix exemples et s'approche des solutions optimales pour les autres. Mais CDDS ne s avère pas aussi performante que la méthode Tabou de [14]. L intégration de bornes inférieures dans CDDS devrait permettre d améliorer les performances de la méthode. 6 CONCLUSION ET PERSPECTIVES Les résultats obtenus dans le cas du flow shop hybride montrent l'efficacité de l approche proposée. Pour ce type de problème, des travaux futurs se concentreront sur l amélioration de l'efficacité de la méthode CDDS. En particulier, nous présumons que l'utilisation du raisonnement énergique [8] réduirait de manière significative le temps CPU. Pour les problèmes de type job shop flexible, nous pouvons considérer que la méthode CDDS fournit des résultats prometteurs. Des développements doivent encore être réalisés pour améliorer la qualité de la solution de l'algorithme de CDDS, notamment en incluant des bornes inférieures efficaces pour le job shop flexible. D'autres types de problèmes peuvent être également considérés comme les problèmes d ordonnancement de projet à moyens limités (RCPSP). Références [1] Ben Hmida A., Huguet M.-J., Lopez P., Haouari M., Adaptation of Discrepancy-based methods for solving Hybrid Flow Shop Problems, Proceedings IEEE-ICSSSM 06, 1120-1125, 2006 [2] Engin O., Döyen A., A new approach to solve hybrid flow shop scheduling problems by artificial immune system, Future Generation Computer Systems (20) 1083-1095, 2004 [3] Gupta J.N.D., Two-stage hybrid flowshop scheduling problem, Journal of the Operations Research Society (39) 359-364, 1988 [4] Hansen P., Mladenovic N., Variable neighborhood search: Principles and applications, European Journal of Operational Research (130) 449-467, 2001 [5] Harvey W.D., Nonsystematic backtracking search, PhD thesis, CIRL, University of Oregon, 1995 [6] Kis T., Pesch E., A review of exact solution methods for the non-preemptive multiprocessor flowshop problem, European Journal of Operational Research (164) 592-608, 2005 [7] Korf R.E., Improved limited discrepancy search, Proceedings AAAI-96, 286-291, 1996 [8] Lopez P., Esquirol P., Consistency enforcing in scheduling: A general formulation based on energetic reasoning, Proceedings PMS 96, 155-158, 1996 [9] Milano M., Roli A., On the relation between complete and incomplete search: an informal discussion, Proceedings CPAIOR 02, 237-250, 2002 [10] Néron E., Baptiste P., Gupta J.N.D., Solving an hybrid flow shop problem using energetic reasoning and global operations, Omega (29) 501-511, 2001 [11] Portmann M.-C., Vignier A, Dardihac D., Dezalay D., Branch and Bound crossed with G.A. to solve hybrid flow shops, International Journal of Production Economics (43) 27-137, 1992 [12] Walsh T., Depth-bounded Discrepancy Search, Proceedings IJCAI-97, 1388-1395, 1997 [13] Lawler E., Lenstra J.K., Rinnooy Kan A., Shmoys D. (1975). Sequencing and scheduling: Algorithms and complexity. Handbook in Operations Research and Management Sc. 4, 115 124 [14] Brandimarte P. Routing and scheduling in a flexible job shop by tabu search, Annals of Operations Research 41, 157 183, 1993