Radiochronologie
Notation symbole chimique X à gauche numéro atomique Z (nb de protons) somme Z + N (nb de neutrons) = A (nb de Masse) ion (charge en exposant à droite) isotopes (même Z, A différent) A Z X
Représentation symbolique des trois isotopes de l'élément Hydrogène Z =1 N = 0 A = Z + N = 1 Z =1 N = 1 A = Z + N = 2 Z =1 N = 2 A = Z + N = 3 1 1 H Hydrogène «normal» 2 1 H Deutérium 3 1 H Tritium
Diagramme de stabilité des isotopes radioactifs N neutrons 150 Excès de neutrons β - Z > 83 α 100 Zone de stabilité 50 Excès de protons β + 20 40 60 80 100 Z protons
neutron proton + électron + anti-neutrino 1 0 n 1 1 p 0-1 e + ν proton neutron + positron + neutrino 1 1 p 1 0 n 0 +1 Elément X Elément Y + particule α e + ν A Z X A - 4 Y Z - 2 4 2 He
Absorption des différents rayonnements
Loi de décroissance radioactive Soit un échantillon contenant N 0 noyaux radioactifs à la date t 0 =0 choisie comme date initiale. Soit N le nombre de noyaux radioactifs (non désintégrés) encore présents dans l'échantillon à la date t. Pendant l'intervalle de temps dt très bref, un certain nombre de noyaux radioactifs se sont désintégrés. Soit alors N t+dt = N-dN le nombre de noyaux radioactifs (non désintégrés) encore présents dans l'échantillon à la date t+dt. Compte tenu de ces notations, le nombre moyen (le phénomène est aléatoire) de noyaux qui se désintègrent pendant la durée dt est : N t+dt - N t = (N - dn) - N => N t+dt - N t = - dn
Loi de décroissance radioactive Ce nombre moyen de désintégrations qui ont lieu pendant la durée dt est proportionnel : Au nombre N de noyaux radioactifs présents dans l'échantillon à la date t (si ce nombre N double, le nombre de désintégrations qui vont se produire dans l'intervalle de temps dt suivant double aussi). A la durée dt (si dt est petit par rapport à t et si dt double alors le nombre de désintégrations qui se produiront doublera aussi).
Pour traduire ces propriétés on écrit : -dn = λndt λ est la constante radioactive. Elle est caractéristique d'un radioélément. D'après ce qui précède : -dn = λndt => -dn / N = λdt Le premier membre de cette dernière égalité est un rapport de grandeurs de mêmes dimensions. Ce premier membre est donc sans dimension (sans unité). Il en est alors de même du second membre. Ceci impose que λ ait la dimension de l'inverse d'une durée [λ]=[t] -1 (λ s'exprime en s -1, min -1, h - 1, jour -1 ou an -1 ). L'inverse de la constante radioactive est homogène à une durée (a la même dimension qu'une durée ou s'exprime avec la même unité qu'une durée) : τ = 1/λ τ est appelée constante de temps. C'est aussi une grandeur caractéristique d'un radionucléide.
Décroissance exponentielle D'après ce qui précède, l'évolution du nombre de noyaux radioactifs présents dans un échantillon au cours du temps est donnée par: - dn = λndt => dn/n = -λdt
dn/n = -λ dt En exprimant l intégrale de chaque membre N N on a : dn N = λ t O 0 dt Ln N N 0 = λt N = N e 0 λt N N 0 = e λt [ NB. La fonction exponentielle y' = ae y' = est-elle que En dérivant N par rapport au temps on trouve bien ax dn/n = -λ dt ] ay y = e ax
N 0 N 0 /2 1 0,9 0,8 0,7 0,6 0,5 0,4 0,3 0,2 0,1 0 0 10000 20000 30000 40000 50000 t t 1/2 N représente le nombre de noyaux radioactifs encore présents (non désintégrés) à l'instant t dans l'échantillon. N 0 représente le nombre de noyaux radioactifs présents dans l'échantillon à l'instant initial t=0. λ est la constante radioactive du radioélément considéré. t est le temps écoulé depuis l'instant initial.
Demi-vie radioactive Dans l'expression N=N 0 e -λt, le coefficient de t est négatif => N est une fonction décroissante du temps (de moins en moins de noyaux radioactifs restent dans l'échantillon). Mais les propriétés de la fonction exponentielle font que N tend vers 0 lorsque t tend vers l'infini. En principe il reste donc toujours des noyaux radioactifs dans l'échantillon. Plus la constante radioactive λ est grande, plus la décroissance est rapide (cad plus la constante de temps τ est petite, plus la décroissance est rapide). On peut comparer les décroissances des populations de radionucléides en comparant leurs demi-vies radioactives.
Demi-vie radioactive La demi-vie radioactive, notée t, d'un 1/2 échantillon de noyaux radioactifs est égale à la durée nécessaire pour que, statistiquement, la moitié des noyaux radioactifs présents dans l'échantillon se désintègrent. On a donc: N(t+t ) = N(t) / 2 1/2 en particulier pour t=0
Expression de la demi-vie t 1/2 en fonction de λ ou de τ On a : N(t) = N e -λt et N(t+t ) = N e -λ(t+t 1/2) 0 1/2 0 d'après la définition de la demi-vie : N(t+t ) = N(t)/2 => N e -λ(t+t 1/2) = N e -λt / 2 1/2 0 0 => e -λt 1/2 = 1/2 Alors : -λt = Ln 1/2 1/2 => -λt = - Ln2 1/2 => t 1/2 = Ln2 / λ ou t 1/2 = τ Ln2
Activité d'une source radioactive L'activité A d'une source radioactive est égale au nombre moyen de désintégrations par seconde dans l'échantillon. Elle s'exprime en becquerels dont le symbole est Bq (1Bq=1 désintégration par seconde). Le curie (Ci) est une autre unité de mesure d'activité utilisée. Il correspond à l'activité de 1,0g de radium et vaut 3,7.1010Bq.
Expression de l'activité A pourra être notée: A = - N/ t ou A = -dn/dt on a donc : -dn = λndt et A = -dn/dt A = λn L activité d'un échantillon en fonction du temps : A = λ N => A = λ N 0 e -λt A = A 0 e -λt L'activité suit la même loi de décroissance exponentielle que N
Datation absolue Pour déterminer l'âge d'un échantillon, il faut définir l'instant t=0 de sa formation. La mesure du temps qui nous sépare de sa formation (cristallisation, isolement ) est réalisée en utilisant un chronomètre dont le principe repose sur la désintégration d'éléments radioactifs instables composant un minéral ou un fossile. La datation absolue détermine l'âge des minéraux, des roches et des fossiles. Elle s'exprime, généralement, en milliers ou millions d'années.
Principe de la datation d'un objet à l'aide d'un radioélément A = A e -λt => A / A = e -λt 0 0 => Ln(A/ A ) = -λt 0 => t = Ln(A /A)/λ 0 Si l'on connaît le radioélément contenu dans l'objet (on connaît alors λ), si l'on connaît l'activité A de l'échantillon et si l'on sait 0 mesurer A, alors il est possible de connaître la date d'origine t de l'objet.
Datation par 14C 14 N + n cosmiques => 14 C + e- production constante donc équilibre entre production et pertes par radioactivité le rapport isotopique 14 C / 12 C reste donc donc constant pour le CO 2 de l'atmosphère et les tissus vivants (qui incorporent le CO 2 ).
Après la mort, le 14C n'est pas renouvelé et le rapport isotopique décroît suivant la loi de décroissance radioactive. L'âge de l'échantillon est calculé à partir de la mesure de sa radioactivité exprimée en coups par minutes et par gramme de carbone. Aujourd'hui, la radioactivité du carbone des tissus vivants est de 13,56 cpm/g.
14C 13,56 cpm/g 5550 ans
Exercices 14 C Au cours d'une fouille archéologique on a découvert une statuette en bois dont on cherche à évaluer l'âge. Le noyau de carbone 14 est radioactif β - et donne un noyau d'azote en se désintégrant avec une demi-vie t 1/2 = 5570 ans. 1. Equation de désintégration du carbone 14? 2. Déterminer la constante radioactive du carbone 14. 3. L échantillon présente une activité A=1150 Bq. L activité A 0 de cet échantillon au moment de la mort du bois était de 1972 Bq. En déduire l'âge approximatif de la statuette. Quel est l âge d un fragment du suaire de Turin dont l activité était de 11,51 cpm/g en 1988 (A 0 = 13,56 cpm/g )?
Correction 14 C 1) Equation de la désintégration : 4) constante radioactive : λ = Ln2 / t 1/2 λ = Ln2 / 5570 = 1,244.10-4 an -1 = (3,943.10-12 s -1 ) 7) A/A 0 = e -λt => Ln(A 0 /A) = λt => t = Ln(A 0 /A)/λ => t = Ln(1972/1150) / 1,244.10-4 t = 4335 ans 10)t = Ln(13,56/12,46) / 1,244.10-4 t = 670 ans Date : 1988 670 = 1318 +/- 60 ans
Filiation radiogénique L élément radioactif produit en se désintégrant un autre élément, dit radiogénique. Soit: D*, le nombre d éléments radiogéniques contenus dans le système clos à l instant t, produit uniquement par décroissance radioactive depuis la fermeture du système D 0, le nombre d éléments radiogéniques contenus dans le système clos à l instant t = 0 (c est-à-dire présents initialement dans le système, avant que la désintégration ne commence) D, le nombre total d éléments radiogéniques contenus dans le système à l instant t D = D* + D et 0 D* = N 0 N N 0 = D* + N = D - D 0 + N
N=N e -λt 0 N=[(D - D ) + N] e -λt 0 (D - D )= Ne λt N 0 D= D + N(e λt -1) ou 0 F= P(e λt -1) avec F=fils et P=pères
Méthode 40 K/ 40 Ar 40 K + e- => 40 Ar (constante de 18 désintégration λ = 0,581. 10-10 an -1 ) k 40 K => 40 Ca 20 + e- (λ β = 4,962. 10-10 an -1 ) Seul le couple 40 K => 40 Ar est utilisé en géochronologie 40 Ar = 40 K(e λt -1) isochrone de pente (e λt - 1)
0,66 Ga
Couples λ (an -1 ) T 1/2 (ans) datation 14 C/ 14 N 1,209. 10-4 5730 100 à 40. 10 3 ans 40 K/ 40 Ar 5,543. 10-10 1,28. 10 9 1 à 300 Ma 87 Rb/ 87 Sr 1,420. 10-11 4,80. 10 10 > 100 Ma 232 Th/ 208 Pb 4,948. 10-11 1,40. 10 10 > 25 Ma 235 U/ 207 Pb 9,849. 10-10 7,07. 10 8 > 25 Ma 238 U/ 206 Pb 1,551. 10-10 4,47. 10 9 > 25 Ma
Exercice 40 K/ 40 Ar Certaines roches volcaniques lunaires ou terrestres contiennent du potassium (K) dont une partie est l'isotope 40 (Z=19 ; A=40) qui se désintègre en calcium 40 Ca et en un gaz inerte l'argon 40 Ar (Z=18). La demi-vie t 1/2 du potassium 40 étant 1,25 10 9 ans, la datation sera basée sur la proportion, dans la roche, du potassium et de l'argon. Nb. Cette méthode permet de dater l'ensemble des 4,6. 10 9 ans d'histoire de la Terre et du système solaire. Au moment de leur formation ces roches ne contiennent pas d'argon, puis le potassium 40 disparaît en même temps que l'argon apparaît.
Exercice 40 K/ 40 Ar Un géochimiste analyse un échantillon d'obsidienne lunaire et constate que les atomes d'argon y sont 2,5 fois moins nombreux que les atomes de potassium 40. Déterminez l'age approximatif de la roche.
Corrigé K/Ar au départ à t=0, N 0 noyaux de potassium et aucun noyau d'argon. nombre de noyaux de potassium 40 à la date t : N K =N 0 e -λt soit N 0 / N K = e λt les atomes d'argon sont 2,5 fois moins nombreux que les atomes de potassium => N Ar / N K = 1 / 2,5 = 0,4. nombre de noyaux d'argon à la date t : N Ar =N 0 -N K N Ar / N K = (N 0 -N K ) / N K = N 0 /N K -1 N 0 /N K = N Ar / N K + 1 = 0,4+1 = 1,4. 1,4 = e λt avec λ= ln2 / t½ ln 1,4 =λt = ln2 * t / t½ t = t ½ * ln 1,4 / ln2 = 1,25 10 9 *0,336 / 0,693 = 0,6 9
1 0,9 0,8 0,7 0,6 0,5 0,4 0,3 0,2 0,1 0 N 0 t 1/2 N 0 /2 t 0 10000 20000 30000 40000 50000 1 0 10000 20000 30000 40000 50000 0,1 0,01 0,001