Fondements de l information quantique. Sophie Laplante Université Paris-Diderot

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1 Fondements de l information quantique Sophie Laplante Université Paris-Diderot

2 Feuille de route Modèle de calcul, états, circuits classiques Etats quantiques, mesures Circuits quantiques La téléportation quantique

3 Qu est-ce qu un calcul? C est un enchaînement de manipulations élémentaires, suivant un algorithme, pour obtenir un résultat à partir d une donnée. L état de la machine évolue au cours du calcul L état initial contient la donnée du problème L état final permet de déduire le résultat du calcul 3

4 Qu est-ce qu une manipulation élémentaire? 4

5 Langage machine push eax Pushes the value stored in EAX onto the stack pop eax Pops a value off of the stack and stores it in EAX call x8ffff Calls a function located at x8ffff mov eax,x Moves the value of into the EAX register sub eax,x Subtracts from the value in the EAX register add eax,x Adds to the value in the EAX register inc eax Increases the value stored in EAX by one dec eax Decreases the value stored in EAX by one cmp eax,edx Compare values in EAX and EDX; if equal set the zero test eax,edx Performs an AND operation on the values in EAX and EDX; jmp x8ffff Jump to the instruction located at x8ffff jnz x8ffff Jump if the zero flag is set to jne x8ffff Jump to x8ffff if a comparison is not equal and eax,ebx Performs a bitwise AND operation on the values stored in or eax,ebx Performs a bitwise OR operation on the values stored in xor eax,eax Performs a bitwise XOR operation on the values stored in leave Remove data from the stack before returning ret Return to a parent function nop No operation (a do nothing instruction) 5

6 Circuits classiques transistor diagramme de la porte logique NOR = Vrai, = Faux 6

7 Circuits classiques UAL 4 7bit

8 Qu est-ce qu un état? Dans une machine, le contenu, en binaire, de l ensemble des registres et de la mémoire de l ordinateur à un instant donné du calcul. N bit au total une chaîne C {,} N suffit pour représenter l état de la machine à tout instant une chaîne C {,} N prend parmi N valeurs possibles, à l exclusion des autres valeurs 8

9 Additionneur donnée du problème Résultat du calcul Exemple d exécution : Addition de + avec retenue préalable 9

10 Avant de passer au quantique La mécanique quantique a un comportement probabiliste, lorsqu on effectue des mesures sur un système. Il faut donc bien distinguer un système classique probabiliste d un système quantique

11 Exemples de systèmes probabilistes Ex. : N= pièces uniformes indépendantes /4 [], /4 [], /4 [], /4 [] R = [/4, /4, /4, /4] Ex. : N= pièces uniformes parfaitement corrélées / [], / [] R = [/,,, /]

12 Etat d un système probabiliste bit probabiliste peut être avec probabilité p et avec probabilité -p N bit probabilistes? Au total, N configurations C {,} N possibles : Chacune a une probabilité p(c) Ces probabilités somment à (normalisation) R [,] N de norme L

13 Etat d un système quantique qubit peut être avec amplitude complexe α et avec amplitude β tant que α + β = N qubit? Au total, N configurations C {,} N possibles Chacune a une amplitude complexe Le carré du module des amplitudes somment à (normalisation) Q C N de norme L = Espace de Hilbert de dimension N 3

14 Notation de Dirac Un vecteur complexe de dimension N de norme L = est noté φ ket Son conjugué complexe s écrit φ bra Le produit scalaire s écrit ψ φ bracket 4

15 qubit [ ] [ ] { =, = } forme une base orthonormée de H Un qubit s écrit φ = α + β et correspond au [ ] α vecteur β 5

16 qubit Base de l espace H 4 = H H = = = = On écrit aussi {,,, } ou encore {,,, 3 } 6 Produit tensoriel A B = a i,j B

17 N qubit Base de l espace H N = H H H = = On écrit aussi {,, } ou encore {,,, N - }

18 Etats de Bell +? ½ + ½? φ + = + φ - = - ψ + = + ψ - = - 8

19 Mesure d un état quantique Observer un état quantique φ revient à effectuer une projection sur un élément de la base Le résultat de l observation est le nom du vecteur de base Prob β φ = α +β Prob α La probabilité est le carré du module de l amplitude L opération est irréversible 9

20 Mesure d un qubit Prob / φ = + Prob /

21 Mesure d un qubit φ + = + φ - = - ψ + = + ψ - = - Probabilité de mesurer sur le premier qubit = / L état devient Probabilité de mesurer sur le premier qubit = / L état devient Probabilité de mesurer sur le premier qubit = / L état devient Probabilité de mesurer sur le premier qubit = / L état devient

22 Evolution Les opérations linéaires qui préservent la norme L : matrices stochastiques Pour la norme L, : matrices unitaires : U U = UU = I Conjuguée transposée

23 Circuits quantiques [ ] α β α + β β + α = = [ ] β α [ ] = = ( ) + ) [ ]] x x x 3

24 Circuit : Etat de Bell H } ( + )? ( + ) ( + ) 4

25 Téléportation quantique Alice a un état φ = α +β qu elle souhaite transmettre à Bob qui habite sur Jupiter α, β sont des complexes (possiblement inconnus) les décrire serait trop long (ou impossible) Un protocole permet de le faire à l aide de bits de communication classique + état de Bell (paire EPR) partagé C. H. Bennett, G. Brassard, C. Crépeau, R. Jozsa, A. Peres, W. K. Wootters, Teleporting an Unknown Quantum State via Dual Classical and Einstein Podolsky Rosen Channels, Phys. Rev. Lett. 7, (993) 5

26 Téléportation quantique { φ φ Etat de Bell partagé 6

27 Téléportation classique p[] + (-p)[] /[] + /[] { p[] + (-p)[] p/ [] + p/ [] + (-p)/ [] + (-p)/ [] p/ [] + p/ [] + (-p)/ [] + (-p)/ [] p/ [] + p/ [] + (-p)/ [] + (-p)/ [] 7

28 Téléportation quantique α +β { α +β α +α +β +β α +α +α +α +β -β +β -β α +α +β +β α +α +β +β = α +β +α +β +α -β +α -β α +β X Z XZ 8

29 Prochains exposés h55 h5 4h 4h4 5h35 Modèles de calculs, premiers algorithmes Factorisation et au delà Cryptographie quantique en théorie Cryptographie quantique et téléportation en pratique Programmer un ordinateur quantique Simon Perdrix LORIA, CNRS, Université de Nancy Miklos Santha IRIF, CNRS, Université Paris Diderot, CQT, Singapour André Chailloux Secret, INRIA Paris Eleni Diamanti LIP6, CNRS, UPMC Benoît Valiron LRI, Université Paris Sud CentraleSupélec 6h5 Table ronde modérée par Philippe Pajot La Recherche 9