Rapport. TME2 - Problème d affectation multi-agents

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Alexandre Pothier
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Rapport TME2 - Problème d affectation multi-agents Auteurs : Encadrant : Lan Zhou Safia Kedad-Sidhoum Minh Viet Le Plan I. Problème :... 2 II. Question 1 - Formulation linéaire du problème :... 2 III.

1 Rapport TME2 - Problème d affectation multi-agents Auteurs : Encadrant : Lan Zhou Safia Kedad-Sidhoum Minh Viet Le Plan I. Problème :... 2 II. Question 1 - Formulation linéaire du problème :... 2 III. Question 2 - Algorithme glouton :... 2 IV. Question 3 - Solution vs Voisinages :... 3 V. Question 4 - Méthode à base de voisinages :... 4 VI. Question 5 - Méta-heuristique :... 4 VII. Résultats :... 5 Lan Zhou - Minh Viet Le 1

Question 2 - Algorithme glouton :... 2 IV. Question 3 - Solution vs Voisinages :... 3 V.

2 I. Problème : Le problème d affectation multi-agents est un problème qui consiste à affecter n tâches à m agents au moindre coût de façon à ce que chaque tâche soit affectée à un agent et que la capacité de chaque agent soit respectée. Ce problème est rencontré dans de nombreuses applications nécessitant une affectation optimale de tâches à des ressources en quantité limitée (finances, informatique, production ). II. Question 1 - Formulation linéaire du problème : Question : Proposer une formulation linéaire en nombres entiers du problème. x ij {0, 1}, pour i = 1,, m; et j = 1,, n. Si x ij = 1, la tâche j est effectuée par l agent i Sinon x ij = 0. m n min c ij x ij i=1 j=1 Sous contraintes : Avec n a ij x ij b i, pour i = 1,, m. j=1 m x ij = 1, pour j = 1,, n. i=1 n : le nombre de tâches m : le nombre d agents aij : les ressources nécessaires si la tâche j est effectuée par l agent i cij : le coût si la tâche j est effectuée par l agent i bi : la capacité de ressources de l agent i III. Question 2 - Algorithme glouton : Question : Proposer un algorithme glouton pour trouver une solution initiale. Préciser sa complexité. On suppose qu un agent peut être affecté à plusieurs tâches si sa capacité est suffisante. Lan Zhou - Minh Viet Le 2

Ce problème est rencontré dans de nombreuses applications nécessitant une affectation optimale de tâches à des ressources en quantité limitée (finances, informatique, production ). II.

3 Les étapes de l algorithme glouton sont : 1. Après l importation de données, on les stocke dans les objets de la classe «Tache». Chaque tâche a un tableau de coûts pour chaque agent s il effectuait cette tâche et un autre tableau pour les ressources nécessaires. 2. On parcourt toutes les tâches, Pour chaque tâche : o On trie le tableau de coûts de cette tâche dans l ordre croissant. o On choisit l agent dont le coût est minimal pour cette tâche et sa capacité est suffisante pour effectuer cette tâche. Jusqu à ce qu on ne peut plus trouver un agent pour faire cette tâche, c est à dire, on ne peut pas trouver de solution. Complexité : On parcourt n tâches, pour chaque tâche on utilise le tri à bulles pour trier le tableau de coûts de cette tâche en O(m 2 ), donc la complexité est O(m 2 n). IV. Question 3 - Solution vs Voisinages : Question : Proposer une représentation d une solution du problème et décrire des voisinages basés sur cette représentation. Préciser la taille des voisinages proposés. Le problème demande de trouver une affectation de n tâches à m agents. Par exemple (n = 5) tâches et (m = 3) agents, on peut trouver une solution comme ci-dessous : Dans ce TME, on utilise 2 types de voisinage : Swap Neighborhood et Shift Neighborhood. o Swap Neighborhood : On obtient un voisinage en échangeant les agents entre 2 tâches. Donc la taille des voisinages est O(n 2 ). Agents Agents Agents Echanger la tâche 0 et 1 Echanger la tâche 0 et 2 Echanger la tâche 0 et 3 Echanger la tâche 0 et 4 Agents Agents Agents Agents Echanger la tâche 1 et 2 Echanger la tâche 1 et 3 Echanger la tâche 1 et 4 Echanger la tâche 2 et 3 Agents Echanger la tâche 2 et 4 Echanger la tâche 3 et 4 Lan Zhou - Minh Viet Le 3

On parcourt toutes les tâches, Pour chaque tâche : o On trie le tableau de coûts de cette tâche dans l ordre croissant.

4 o Shift Neighborhood : On obtient un voisinage en assigneant un autre agent pour cette tâche. La taille des voisinages est O(nm). Agents Assigner la tâche 0 à l agent 1 Agents Assigner la tâche 1 à l agent 0 Agents Assigner la tâche 0 à l agent 2 Agents Assigner la tâche 1 à l agent 2 V. Question 4 - Méthode à base de voisinages : Question : A partir de la question précédente, proposer une méthode à base de voisinages pour fournir une solution. La solution initiale est la solution réalisable de l algorithme glouton. En utilisant les voisinages de la question précédente, on propose cette méthode : 1. À partir de la meilleure solution courante (la solution initiale), on cherche tous les voisinages (Swap Neighborhood) dont le 1 er élément est celui de la meilleure solution courante. 2. Dans ces voisinages, on cherche le meilleur voisinage (qui a le coût minimal) qui est une solution réalisable (respecter la capacité de ressources de l agent). 3. Si le meilleur voisinage est mieux que la meilleure solution courante, la meilleure solution courante devient le meilleur voisinage, sinon, elle ne change pas. 4. Retourner à l étape 1 avec la nouvelle meilleure solution, on cherche les voisinages avec le 1 er et 2 ème élément dans la meilleure solution courante. 5. Répéter les étapes pour chaque tâche. VI. Question 5 - Méta-heuristique : Question : Mettre en œuvre une méta-heuristique (au choix) pour résoudre des instances du problème accessibles à l URL : Dans cette partie, on choisit de mettre en œuvre la méta-heuristique Variable Neighborhood Search (VNS). Les étapes principales de cette méta-heuristique sont : 1. À partir de la solution initiale, on cherche un voisinage aléatoire en utilisant les 2 types de voisinage de la partie précédente. Lan Zhou - Minh Viet Le 4

Question 4 - Méthode à base de voisinages : Question : A partir de la question précédente, proposer une méthode à base de voisinages pour fournir une solution.

5 2. À partir du voisinage dans la 1ère étape, on cherche tous les voisinages de ce voisinage (Swap Neighborhood). Dans ceux-là, on cherche la meilleure solution. 3. Si cette meilleure solution est mieux que la solution initiale, on retourne à l étape 1 avec la meilleure solution. 4. Répéter les étapes précédentes jusqu'à ce qu on ne puisse pas trouver une meilleure solution durant plusieurs itérations (seuil étapes dans cette implémentation). VII. Résultats : On utilise les méthodes précédentes pour résoudre des instances du problème de l url (le fichier gapa.txt). Dans ce fichier, il y a 6 ensembles de données, et on obtient les résultats suivants (les temps sont en millisecondes) : Agents - Tâches Meilleur Glouton (III) Voisinage (V) VNS (VI) Coût Temps Coût Temps Coût Temps Coût Temps La première colonne est le meilleur résultat pour les données qu on a trouvé dans l article «A genetic algorithm for the generalised assignment problem (P. C. Chu, J. E. Beasley )». Les trois autres colonnes sont les résultats pour les données en utilisant respectivement l algorithme glouton, la méthode à base de voisinages qu on a proposé et la méta-heuristique VNS. A partir de ces résultats, on observe que la méthode qu on a proposée n est pas très bonne pour trouver les solutions. Il y a une différence significative entre le résultat de la méthode et le meilleur résultat. Par contre, le problème peut être bien résolu par la méta-heuristique VNS, avec un seuil assez grand. Mais il prend beaucoup de temps pour résoudre le problème à cause du grand seuil. Pour diminuer le temps d exécution, on peut améliorer l algorithme glouton pour trouver une meilleure solution initiale. Lan Zhou - Minh Viet Le 5

Répéter les étapes précédentes jusqu'à ce qu on ne puisse pas trouver une meilleure solution durant plusieurs itérations (seuil - 500 étapes dans cette implémentation). VII.

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