Les besoins de formation en mathématiques des professeurs des écoles

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1 POSITION DE LA SMF SUR LES PROGRAMMES DU CYCLE TERMINAL DU LYCÉE 83 Ceci est la conséquence directe, déjà dénoncée par la SMF, de l horaire réduit à 4 heures en première et d une volonté d harmonisation maximale des programmes de 1S et 1ES/1L. Les élèves qui croiront avoir un niveau correct en 1S risquent de se retrouver en grande difficulté en TS. À long terme, cela entraînera une désaffection de la voie scientifique au lycée et de la poursuite d études supérieures scientifiques. Paradoxalement, la voie S n en restera pas moins dans l esprit du public la filière d excellence puisque deux signaux concordants seront envoyés : Le programme ES est très largement inclus dans le programme de S en vue d une hypothétique passerelle en fin de première à laquelle nous avons du mal à croire en pratique. Aucune différentiation de programme de mathématiques n est proposée en L, et l option de mathématiques y est mise en concurrence directe avec des matières littéraires essentielles en voie littéraire. Rappelons que nous avons, avec l APMEP, puis au sein du Forum des Sociétés Savantes, demandé la présence de deux options en série L. Les besoins de formation en mathématiques des professeurs des écoles Marie-Jeanne Perrin-Glorian L enseignement des mathématiques à l école primaire est un enjeu pour l enseignement des mathématiques parce qu il est important de concevoir dès le départ les mathématiques comme un moyen d interroger le monde qui nous entoure et de le comprendre et non comme une suite de règles à apprendre et à appliquer. De plus, les savoirs mathématiques sont cumulatifs et à l école primaire se construisent déjà les bases sur lesquelles vont s accrocher les savoirs scientifiques du collège : les nombres, les mesures, les premiers concepts géométriques en lien avec l usage des instruments de tracé. Il est essentiel que ces bases soient bien construites, avec du sens, pour qu elles puissent se développer de manière sûre. Je voudrais ici insister sur le fait que la construction du sens et celle des algorithmes et automatismes ne s opposent pas, au contraire. Les automatismes de calcul sont indispensables pour libérer de la place en mémoire dans la résolution de problèmes mais ils doivent fonctionner avec du sens d une part pour avoir un contrôle sur les erreurs, d autre part pour pouvoir étendre leur domaine de validité, par exemple dans le passage des entiers aux décimaux. La formation en mathématiques des professeurs des écoles est un point crucial pour la formation en mathématiques des élèves (par exemple, il est dommageable pour le rapport aux mathématiques d un élève qu un professeur puisse lui dire que ce qu il fait est faux alors que c est seulement inattendu et incomplet ou mal exprimé, simplement parce qu il ne comprend pas la démarche de l élève) et il est essentiel que les mathématiciens s y intéressent mais les besoins en mathématiques des professeurs des écoles ne sont pas faciles à identifier de l extérieur car c est

2 84 M.-J. PERRIN-GLORIAN au cœur de l enseignement des mathématiques à l école que se manifestent les besoins du professeur des écoles en mathématiques pour enseigner, tant les décisions pédagogiques sont liées aux choix qui mettent en jeu le contenu enseigné lui-même. En effet, parmi les connaissances nécessaires pour enseigner, outre les connaissances purement institutionnelles sur le fonctionnement de l école, les connaissances purement disciplinaires, les connaissances transversales ou purement pédagogiques indépendantes du contenu (connaissances sur le développement de l enfant, gestion de groupes...), il y a des connaissances que j appellerai didactiques qui sont à l interface entre le disciplinaire et le pédagogique et touchent tant les choix d activités pour les élèves que l organisation de leur travail. C est à la formation disciplinaire, y compris didactique que je m intéresserai dans la suite, en donnant quelques exemples de tels savoirs. La formation en mathématiques des professeurs des écoles est une question délicate et complexe parce qu elle doit répondre à un certain nombre de contraintes difficiles à concilier et incontournables, dont les principales sont : la polyvalence, incontournable si l on ne veut pas multiplier les intervenants auprès des jeunes enfants qui ont besoin de repères stables ; de plus un enseignant unique peut plus facilement coordonner les différents aspects de la formation et éviter ainsi la séparation précoce des disciplines. Elle a évidemment une incidence sur l horaire de formation dans chaque discipline. l hétérogénéité du public en formation initiale ; cette hétérogénéité est nécessaire et même souhaitable, en lien avec la polyvalence ; les enseignants en formation apprennent aussi les uns des autres et la diversité des formations initiales est une richesse pour nourrir la polyvalence et la coopération entre les futurs enseignants. le fait que les mathématiques du lycée (disons jusqu en seconde, avant le partage en filières) ne constituent pas un cadre théorique adapté pour penser les mathématiques de l enseignement primaire. Ce fait est difficilement contournable dans une société moderne qui demande aux citoyens des savoirs de plus en plus variés et pointus. Par ailleurs, tout le monde s accorde pour dire que la formation doit comporter un volet théorique et un volet pratique appuyé sur des stages encadrés mais quels sont les incontournables du volet théorique et comment articuler la théorie et la pratique, c est-à-dire faire en sorte que les savoirs théoriques soient mis en œuvre pour gouverner la pratique dans un sens d efficacité de cette pratique en termes d apprentissages pour les élèves? La formation mise au point depuis une vingtaine d années dans les IUFM, elle-même héritière de l expérience des écoles normales enrichie par de nombreuses recherches en éducation a apporté des solutions à ces questions, solutions toujours perfectibles et qui sont à revoir dans le nouveau cadre mais dont il ne faudrait pas perdre les savoirs et savoir-faire efficaces qu elles ont permis de construire. Le volet théorique disciplinaire concerne des savoirs qui peuvent être enseignés hors de la présence des élèves, des savoirs purement mathématiques et des savoirs didactiques. Bien sûr le professeur doit lui-même maîtriser les savoirs qu il a à enseigner ; il doit de plus les maîtriser non comme le ferait un élève ou quelqu un qui les utilise pour résoudre un problème pour lui-même, en situation non scolaire, mais il doit les maîtriser pour les faire acquérir à quelqu un d autre, ce qui suppose une

3 LES BESOINS DE FORMATION EN MATHÉMATIQUES DES PROFESSEURS DES ÉCOLES 85 vue d ensemble, des connexions avec d autres savoirs et la maîtrise de différentes organisations possibles pour pouvoir s adapter aux élèves. Prenons un exemple pour fixer les idées : la technique opératoire de la division. Il existe deux techniques actuellement enseignées : celle où on pose les soustractions et celle où on multiplie et soustrait chiffre à chiffre. Elles ne se comprennent et ne se justifient pas du tout de la même façon. Dans le premier cas, on cherche à encadrer 759 entre des multiples de 28, en se servant de la numération : on cherche combien de fois on peut mettre 28 dizaines dans 75 dizaines en cherchant le multiple de 28 qui s approche le plus par défaut de 75 et on retranche ce multiple etc. À chaque étape on fait une multiplication puis une soustraction. Dans le deuxième cas, on a bien la même justification théorique mais la technique utilise un raccourci : on fait une combinaison de la multiplication et de la soustraction : on retire directement le produit du chiffre des unités par le quotient, 16 dizaines qu on retire de 25 en ajoutant deux centaines qu il faudra rendre, ce qui fait une retenue de multiplication (qui peut aller jusqu à 9, ici c est 2) alors que dans le premier cas les retenues sont des retenues d addition qui ne peuvent pas excéder 1 ; ensuite on retranche 2 fois 2 dizaines auxquelles s ajoutent les deux dizaines de la retenue. La première technique est maintenant la plus fréquemment utilisée à la fois parce qu elle peut être justifiée auprès des élèves, ce qui n est pas le cas de la deuxième, et que de plus c est celle qui se généralise aux polynômes. Mais si l on demande aux élèves, sous prétexte qu ils sont grands, au moment d entrer au collège, de ne plus poser les soustractions (pratique courante au CM2 ou en 6 e il y a une vingtaine d années), ils passeront difficilement à l autre technique mais essaieront de faire de tête la multiplication de 28 par 2 puis la soustraction, ce qui les mettra en difficulté. Pour faire des choix pédagogiques, le professeur a besoin de comprendre les techniques et ce qui les justifie sur le plan des mathématiques, mais aussi d anticiper les difficultés que peuvent rencontrer les élèves suivant le choix fait, de juger de l efficacité des techniques aussi bien que de leur coût d apprentissage. Certes le professeur n a pas à prendre toutes ces décisions seul : il dispose de diverses ressources, à commencer par les commentaires des programmes et aussi de nombreux manuels dont certains sont accompagnés de livres du maître qui sont de véritables outils de formation. Cependant, ces livres du maître sont peu utilisés car leur lecture demande du temps et du travail et il faut une formation qui permette aux enseignants de les utiliser de façon pertinente et cohérente. Par exemple, certains choix peuvent être incompatibles dans un premier temps, comme pour l introduction des fractions : celles-ci peuvent apparaître principalement comme un partage de l unité, dans une situation de commensuration ou comme division. Ce n est pas le même discours qui fait sens dans chaque cas : pour un partage de l unité, 1/n est une grandeur (une longueur ou une aire en général) qui, en la

4 86 M.-J. PERRIN-GLORIAN reportant n fois, donne la grandeur unité (il en faut n pour faire 1) et p/n est p fois 1/n ; pour une commensuration, p/n est la mesure avec l unité u d une grandeur v telle que pu = nv (il faut p fois u pour faire n fois v) ou nx(p/n) = p ; pour une division, j ai p unités à partager en n, je cherche déjà les entiers et je partage le reste ou p/n est le nombre qui, multiplié par n, donne p. La première conception donne d abord un sens aux fractions inférieures à 1 et rend difficile la conception de fractions supérieures à 1 ; les autres introduisent directement les fractions supérieures à l unité mais avec différents discours possibles suivant le contexte. Le contexte d introduction induit une conception qui ne se transfère pas spontanément dans un contexte qui relève d une autre conception. J ai été témoin moi-même de l incompréhension provoquée chez les élèves par une introduction dans un contexte division (par exemple 18 biscuits à partager entre 4 personnes) suivie d une décontextualisation en termes de partage de l unité (18/4 = 18x1/4, le nombre du bas dit en combien on partage, celui du haut combien de parts on prend). Or on donne 4 morceaux à chacun et on ne partage que deux biscuits. La question de la cohérence de la suite des situations mises en place est d autant plus importante de nos jours que se développe la pratique de piochage de leçons toutes faites sur internet qui peut mener à une juxtaposition d activités pour les élèves sans progression et mise en cohérence des savoirs. Une des difficultés en primaire est en effet pour l enseignant de dénaturaliser pour lui-même des savoirs fortement automatisés pour penser les questions que peuvent se poser des élèves qui ne disposent pas encore de ces savoirs, si évidents pour nous mais que l humanité a parfois mis des millénaires à construire (par exemple les décimaux). Une autre difficulté est l articulation à faire entre le langage (en général ordinaire) utilisé pour décrire les actions sur les objets matériels dans une situation concrète, que ce soit en numération ou en géométrie et le langage mathématique décontextualisé qui va traduire ces actions, par là même changer le statut des objets manipulés (qui deviennent génériques), et être lui, réutilisable dans un autre contexte. Par exemple, si on utilise le pliage pour vérifier une symétrie, il faut très précisément dire quel bord (ou sommet) on fait coïncider avec quel autre bord (ou sommet) pour déterminer le pli puis vérifier si le reste coïncide, faire apparaître des points, pour retrouver leur image, relier l axe au pli... Dans les classes, on observe souvent des manipulations sur le matériel sans précision du langage puis l introduction d un vocabulaire mathématique qui n est pas relié de façon précise aux actions sur le matériel. En conclusion, pour la formation théorique des professeurs des écoles, celle qui peut être délivrée dans les masters, il faut des bases solides dont certaines manquent, même aux licenciés de mathématiques, par exemple sur les systèmes de numération, les rationnels ou les développements décimaux, d autres sont inadaptées, par exemple en géométrie (ce n est pas tant la rigueur dans la rédaction des démonstrations qui compte que la compréhension des relations entre les concepts). Il faut aussi comprendre les diverses organisations possibles des notions et avoir le temps de penser comment les notions mathématiques s incarnent dans des situations concrètes : cela ne peut pas s apprendre sur le tas dans l urgence de la pratique si cela n a pas été pensé d abord à travers l analyse de situations diverses. Il faut aussi avoir des modules qui permettent d articuler les éléments théoriques avec une pratique encadrée. Dans les IUFM, il existe des modules

5 LES BESOINS DE FORMATION EN MATHÉMATIQUES DES PROFESSEURS DES ÉCOLES 87 de formation équivalents à ce qui s appelle ADPP (Ateliers de Développement de Pratiques Pédagogiques) à l IUFM Nord-Pas-de-Calais. Ce sont des modules disciplinaires encadrés par un professeur de la discipline et des maîtres formateurs : avec l aide du formateur disciplinaire, les étudiants (ou stagiaires) préparent une séquence d enseignement de 3 ou 4 séances sur un thème donné. Répartis en petits groupes, ils les mettent en œuvre dans les classes des maîtres formateurs (l un d eux prend la classe, les autres observent), ajustent et analysent à chaud avec eux, puis reprennent l analyse, échangent leurs expériences et comparent ce qui s est passé dans les différentes classes avec le formateur disciplinaire. C est une formidable occasion de montrer comment les savoirs disciplinaires du professeur servent dans la pratique : préparation de la leçon mais aussi analyse à chaud de ce qui se passe pour la gérer en direct et pour ajuster la leçon suivante. C est souvent un manque d anticipation des possibles au niveau du problème proposé aux élèves qui entraîne des difficultés dans la gestion de la classe et c est à cette occasion aussi que le besoin de formation mathématique se fait sentir.