TES Spécialité Mathématiques Eléments de correction du D.S n 1 du Vendredi 12 Octobre 2012

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1 TES Spécialité Mathématiques Eléments de correction du D.S n 1 du Vendredi 12 Octobre 2012 Durée : 1 h 15 Calculatrice autorisée - Aucun autre document n'est autorisé Le barème est noté sur 30 pts. Vous apporterez un grand soin à la présentation et à la rédaction de votre copie. Bon courage. Partie 1 : Matrices ( 16 points ) Exercice 1 : Etat des stocks Une société distribue des produits de Provence : bocaux d olives, pots de tapenade et bouteilles d huile d olive, par l intermédiaire de deux revendeurs A et B. La matrice S ci-dessous donne l état des stocks de chaque revendeur au début de la semaine S Les coefficients de cette matrice s 11 et s 21 signifient que le revendeur A a en stock respectivement 50 bocaux d olives et 65 pots de tapenade. 1) Au cours de la semaine, la société réapprovisionne chacun de ses revendeurs de 15 bocaux d olives, 20 pots de tapenade et 12 bouteilles d huile d olive. Traduire cette opération par une addition de matrices et donner la nouvelle matrice T des stocks par revendeur S Les coefficients de cette matrice s 11 et s 21 signifient que le revendeur A a en stock respectivement 50 bocaux d olives et 65 pots de tapenade, donc A B Bocaux d olives S Pots de tapenade Bouteilles d huile d olive Or, au cours de la semaine, la société réapprovisionne chacun de ses revendeurs de 15 bocaux d olives, 20 pots de tapenade et 12 bouteilles d huile d olive : ceci peut se traduire par la matrice R La nouvelle matrice T des stocks par revendeur est donc égale à : S + R T S + R ) A la fin de cette semaine, chaque revendeur fait une nouvelle vérification de ses stocks donnée par la matrice suivante : S Déterminer en utilisant un calcul matriciel la matrice des ventes sur cette semaine.

2 T S Le réapprovisionnement était-il utile? Préciser en différenciant les revendeurs et les produits L état des stocks de chaque revendeur au début de la semaine est donné par A la fin de la semaine, on constate que la matrice des ventes de cette semaine est égale à : D où pour savoir si le réapprovisionnement est utile, on peut calculer : S - (T S ) Les coefficients négatifs signifient que sans l approvisionnement, les revendeurs auraient manqué de provisions On pouvait aussi comparer un par un les coefficients des matrices respectives S et T S : Revendeur A Comme 45 < 50 Bocaux d olives réapprovisionnement inutile Pots de tapenade Comme 70 < 65, Bouteilles d huile d olive Comme 32 > 30, Revendeur B Comme 62 > 60, Comme 59 > 50, Comme 20 < 35, réapprovisionnement inutile Exercice 2 : Vente de pizzas Un pizzaïolo propose des pizzas à emporter de 26 cm, 33 cm ou 40 cm. La pizza de base est faite de pâte et de sauce tomate. Chaque client choisit ensuite les ingrédients qu il rajoute : champignons, jambon, mozzarella, chèvre, œuf, anchois, olives,.. Voici les prix de base des pizzas et le coût par ingrédient ajouté sous la forme d une matrice : 6,4 1 M 7,4 1,5 9,4 2,5 Ainsi pour une pizza de 33 cm, le prix de la pizza de base est de 7,40 et le prix par ingrédient rajouté est de 1, Calculer la matrice S telle que S M 1 et interpréter ses coefficients 6,4 1 7,4 S 7,4 1, ,4 2,5 8,9 11,9 7,4 est le prix d une pizza de 26 cm avec un ingrédient 8,9 est le prix d une pizza de 33 cm avec un ingrédient 11,9 est le prix d une pizza de 40 cm avec un ingrédient

3 a) Calculer la matrice P M 1 2 On notera le détail des calculs 6,4 1 P 7,4 1, , , ,4 8, , ,5 1 7, ,5 2 8,9 10,4 9,4 2,5 9, ,5 1 9, ,5 2 11,9 14,4 b) Quel coefficient de la matrice P donne le prix d une pizza de 33cm avec deux ingrédients? Le coefficient de la matrice P donne le prix d une pizza de 33cm avec deux ingrédients est le coefficient situé à la seconde ligne et la seconde colonne soit a 22 c est-à-dire 10,4 3. Quel produit de matrices permettra de compléter la carte ci-dessous? 6,4 1 U 7,4 1, ,4 2,5 Calculer ce produit avec votre calculatrice et remplir alors la carte ci-dessous. 7,4 8,4 9,4 U 8,9 10,4 11,9 11,9 14,4 16,9 Carte donnant les tarifs des pizzas 1 ingrédient 2 ingrédients 3 ingrédients 26 cm 7,4 8,4 9,4 33cm 8,9 10,4 11,9 40 cm 11,9 14,4 16,9 Partie 2 : Graphes ( 9 points ) Mise en réseau d ordinateurs Le responsable d un parc informatique d une société dispose de 7 ordinateurs qu il souhaite mettre en réseau. Plusieurs solutions sont possibles. 1) La solution la plus coûteuse serait de relier chaque ordinateur à tous les autres Quelle serait alors la nature du graphe représentant cette situation? Combien y aurait-il d arêtes et donc de liaisons nécessaires? Justifier. Le graphe serait un graphe complet Chaque sommet aurait comme degré 6 donc le total des degrés des sommets de ce graphe serait égal à 67 soit 42 d où un nombre d arêtes égal à 21 ( 42 2 ). Il y aurait donc 21 liaisons 2) La solution la moins coûteuse serait de relier tous les ordinateurs à un unique ordinateur dit «ordinateur central». Combien de liaisons seraient nécessaires? Quel est le principal inconvénient de cette solution? Il faudrait alors 6 liaisons L inconvénient principal est que si l ordinateur central ne fonctionne plus, rien ne fonctionne!

4 3) Une solution intermédiaire serait de relier chaque ordinateur à exactement deux autres ordinateurs. Est-ce réalisable? Si oui : Combien de liaisons seront nécessaires? Tracer le graphe représentant cette situation. Si chaque ordinateur est relié à deux autres ordinateur, le graphe d ordre 7 aurait chacun de ses sommets de degré 2 d où un total des degrés égal à 14 (72), ce qui nous fait un nombre total d arêtes égal à 7. 7 liaisons seraient alors nécessaires 4) Pour rendre le système plus dynamique, le responsable souhaite relier chaque ordinateur à exactement 3 autres ordinateurs? Est-ce réalisable? Justifier. Si chaque ordinateur est relié à deux autres ordinateur, le graphe d ordre 7 aurait chacun de ses sommets de degré 3 d où un total des degrés égal à 21 (73), ce qui nous fait un nombre impair. Or le nombre total des degrés d un graphe non orienté est le double du nombre d arêtes de ce graphe d où ce graphe ne peut pas exister. Cette solution envisagée n est donc pas réalisable.

5 Partie 3 : Optimisation ( 5 points ) On étudie l évolution des ventes d un nouveau produit. Cette évolution est modélisée par la fonction, définie sur [ 0 ; 12] par : f(x) 1 3 x3 11 x x où f(x) est le nombre d unités vendues par jour et x le temps écoulé en mois depuis le lancement du produit. A quel moment le nombre d unités vendues est-il maximal? Il s git donc ici de trouver s il existe un maximum de f sur [ 0 ; 12] donc d étudier les variations de f Pour cela, on calcule f (x), puis on cherche son signe. f (x) x2 112 x f (x) x 2 22 x de la forme ax 2 + b x + c Δ ( 22 ) Δ > 0 donc deux racines distinctes x b 1 2a ( 22) 2(1) 36 8 x2 b ( 22) 2a 2(1) Δ > 0 et a > 0 (a 1) d'où : x Signe de f (x ) Variation de f f admet un maximum lorsque x 8 Le nombre d unités vendues sera maximal au bout de 8 mois.