10. Convertisseur Sigma-Delta 10.1 MODULATION DELTA. CHAPITRE 10 : CONVERTISSEUR SIGMA-DELTA Page 10-1

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1 CHAPITRE : CONVERTISSEUR SIGMA-DELTA Page -. Convertisseur Sigma-Delta. MODULATION DELTA.. Principe Considérons la structure de la modulation Delta pour le processus de conversion A/N. La Figure - montre le schéma onctionnel du modulateur Delta et du démodulateur. La modulation Delta est basée sur la quantiication de la variation du signal entre deux échantillons successis plutôt que sur la valeur absolue du signal à chaque échantillon. La sortie de l'intégrateur situé dans la boucle de rétroaction doit suivre, autant que aire ce peut le signal d entrée x(t). L'intégrateur onctionne comme un prédicteur. L erreur de prévision, dans la période d échantillonnage courante est quantiiée et utilisée pour la prochaine période d échantillonnage. Pour la démodulation l'erreur de prévision quantiiée (sortie du modulateur Delta) est, comme pour la boucle de contre-réaction, intégrée puis passée au travers d un iltre passe-bas. Pour des signaux présentant des variations rapides (high slew rate), les modulateurs Delta n arrivent plus à suivre le signal d entrée. Il y a donc saturation. 4 3 Modulation Delta x'(t) y(t) x(t), x'(t), y(t) [V], x(t) Modulation Delta t [s] 4 Démodulation y(t), z(t) [V] x(t) z(t) -3 Démodulation t [s] Figure - : Modulation Delta et démodulation

2 CHAPITRE : CONVERTISSEUR SIGMA-DELTA Page -. MODULATION SIGMA-DELTA.. Principe La modulation Delta nécessite deux intégrateurs pour le processus de modulation et la démodulation. L intégration étant une opération linéaire, l intégrateur utilisé pour la démodulation peut être ramené à l entrée (avant le modulateur) sans altérer le bon onctionnement du système. Figure - : Modulation Delta et démodulation, déplacement de l intégrateur En observant on Figure -, on voit qu il est possible de combiner les deux intégrateurs en un seul. Ce nouvel arrangement porte le nom de modulateur Sigma-Delta. Figure -3 : Modulateur Sigma-Delta simpliié. Le nom de modulateur Sigma-Delta vient de la position de l intégrateur (sigma) à l entrée de la boucle du modulateur Delta. La caractéristique du bruit de quantiication du modulateur Sigma-Delta est dépendante de la réquence contrairement au cas de la modulation Delta. Cette propriété convient aux applications de

3 CHAPITRE : CONVERTISSEUR SIGMA-DELTA Page -3 traitement du signal telles que l'audio numérique pour la mesure haute résolution. Comme pour les modulateurs Delta, les modulateurs Sigma-Delta utilisent un comparateur. Cependant, à la diérence des modulateurs Delta, les modulateurs Sigma-Delta sont insensibles aux variations rapides du signal... Bruit de quantiication La Figure -4 montre le modèle continu simpliié du modulateur Sigma-Delta. Le comparateur est représenté par l addition, au signal de sortie de l intégrateur, d un bruit représentant la quantiication apportée par le comparateur. Figure -4 : Modulation Sigma-Delta : bruit de quantiication De la 3Figure -4, on peut écrire sti Y ( s) X ( s) + Q( s). st + st i i + De cette dernière relation, on voit que, vu de la sortie, le bruit de quantiication traverse un passe-haut du er ordre. De plus, la source Q(s) modélisant le bruit de quantiication n'a pas une distribution uniorme en onction de la réquence comme c'est le cas pour les convertisseurs A/N conventionnels. Bode : Passe-bas Bode : Passe-haut Amplitude [db] Amplitude [db] Phase [Degres] Pulsation [rad/s] + s Figure -5 : Fonctions de transert Phase [Degres] Pulsation [rad/s] s + s

4 CHAPITRE : CONVERTISSEUR SIGMA-DELTA Page -4.3 MODULATEUR SIGMA-DELTA DU ER ORDRE.3. Principe La première partie du convertisseur Sigma-Delta est un modulateur, lequel convertit le signal analogique d'entrée en une suite continue de et logiques (bit stream) à une cadence déterminée par la réquence d'horloge N F S. La sortie du convertisseur N/A de bit, commandé par la sortie du comparateur est soustraite au signal analogique d'entrée (réaction négative). La présence de l'intégrateur permet d'airmer, qu'en régime continu, la valeur moyenne du signal d'entrée est identique à celle du signal de sortie du convertisseur N/A de bit. Clock : N F S x(t) Entrée analogique Intégrateur +V re Comparateur Sortie modulée (Bit Stream) y[n] N F S Filtre numérique Sortie numérique mots de bits F S z[n] -V re DAC bit Figure -6 : Convertisseur Sigma-Delta du er ordre La sortie de l'intégrateur et le signal de sortie du modulateur sont représentés à la 4Figure -7 pour une entrée x(t).v re.. Sortie de l'intégrateur [Ure]. Sortie du comparateur [] t [us] t [us] Figure -7 : Convertisseur Sigma-Delta du er ordre pour x.v re.3. Analyse dans le domaine échantillonné Le verrouillage (latch) du comparateur par le signal d'horloge convertit le signal basse réquence d'entrée en un signal haute réquence dont la distribution de et varie en onction de la valeur moyenne du signal d'entrée. Le bruit eecti de quantiication est ainsi grandement réduit pour les

5 CHAPITRE : CONVERTISSEUR SIGMA-DELTA Page -5 basses réquences. Cette airmation peut être en partie démontrée en utilisant le schéma bloc de la 5Figure -8. Q( (Bruit de quantiication) X( z z- z - Y( Figure -8 : Convertisseur Sigma-Delta du er ordre : Schéma bloc On peut acilement déterminer la relation liant la grandeur de sortie Y( aux grandeurs d entrée X( et de bruit de quantiication Q( Et inalement Y ( Q( + ( X ( Y ( ). z z Y ( Q( + X ( N( Q( + z X (.3 z z Le bruit de quantiication est un processus stochastique. Le diérentiateur (-z - ) mis en évidence dans la relation 6.3 double la puissance du bruit de quantiication. Cependant, ce même diérentiateur provoque un décalage du bruit vers des réquences élevées. Par conséquent, à condition que le signal d'entrée analogique x(t) soit suréchantillonné, le bruit de quantiication aux réquences élevées peut être ortement réduit par iltrage numérique sans aecter les caractéristiques de signal d'entrée résidant dans la bande de base. Ce iltrage numérique (passe-bas) ait partie du processus de décimation. En eet, après iltrage, le signal de sortie est seulement composé de réquences comprises dans la bande passante du iltre passe-bas numérique..3.3 Rejet du bruit de la bande utile (noise shaping) La propriété ondamentale du modulateur Sigma-Delta est le «noise shaping» qui rejette le bruit de quantiication vers les hautes réquences. Sachant que z e Ts jω N.4 La onction de transert en régime harmonique liant la sortie au bruit de quantiication (diérentiateur) vaut

6 CHAPITRE : CONVERTISSEUR SIGMA-DELTA Page -6 N( ) e je Ts jπ N jπ NFs e jπ NFs π sin NFs e jπ NFs je j jπ NFs je jπ NFs.5 Il s agit d une onction de transert de type passe-haut N() [] Modulateur Sigma-Delta du er ordre "Noise shaping" Filtre numérique passe-bas (bande utile du signal) Y ( ) Log X ( ).4. Réduction du bruit Bruit de quantiication Q() F [N F S ] KF S Figure -9 : Convertisseur Sigma-Delta du er ordre (N 8) La puissance du bruit de quantiication P Q NFS NFS FS FS S( ) N( ) q N F S d π sin NF S d.6 On admet que la bande utile (largeur de bande du iltre numérique passe-bas) est très inérieure à la réquence N F S. On peut donc simpliier l expression précédente. P Q q π.7 N 3 36 Le rapport signal sur bruit prend donc la orme suivante : SNQR log σ x σ nq ( N log σ x Vre F ) S x log σ Vre 36 + log 3log( N π log N π ) 3.8

7 CHAPITRE : CONVERTISSEUR SIGMA-DELTA Page -7 On voit que chaque ois que l on double la réquence d échantillonnage on gagne 9dB sur le rapport signal sur bruit de quantiication. Pour rappel dans le cas d un convertisseur classique, on ne gagne que 3dB.

8 CHAPITRE : CONVERTISSEUR SIGMA-DELTA Page -8.4 MODULATEUR SIGMA-DELTA DU ÈME ORDRE.4. Principe En analysant plus en détail le modulateur Sigma-Delta du er ordre on peut observer une modulation possible du bit stream à une réquence comprise dans la bande passante F C. Ce comportement vient d'une trop grande corrélation entre l'apparition de la suite de et de et le niveau de la tension d'entrée. On peut prendre comme exemple un signal d'entrée de x9v REF /6.La succession des valeurs prises par le bit stream est la suivante : Succession du bit stream Équivalent binaire répétition tous les 6 échantillons Dans le but de supprimer cette répétition, on peut utiliser un modulateur Sigma-Delta d'ordre supérieur à. Dans ce cas, une étude de stabilité doit être entreprise. La 7Figure - montre la structure d'un convertisseur Sigma-Delta dont le modulateur est d'ordre. Figure - : Convertisseur Sigma-Delta du er ordre La sortie du deuxième intégrateur et le signal de sortie du modulateur sont représentés à la 8Figure - pour une entrée x constante.

9 CHAPITRE : CONVERTISSEUR SIGMA-DELTA Page -9 5 Sortie de l'intégrateur [Ure]. Sortie du comparateur [] t [us] t [us] Figure - : Convertisseur Sigma-Delta du er ordre pour x.v re.4. Analyse dans le domaine échantillonné Pour un convertisseur du ème ordre le schéma se présente de la manière suivante. Figure - : Convertisseur Sigma-Delta du ème ordre : Schéma bloc A partir de la 9Figure -, on peut écrire z Y ( Q( + ( X ( Y ( ) Y (.9 z z Et inalement z Y ( Q( + z X (. z.4.3 Rejet du bruit de la bande utile (noise shaping) La onction de transert en régime harmonique liant la sortie au bruit de quantiication (diérentiateur) vaut :

10 CHAPITRE : CONVERTISSEUR SIGMA-DELTA Page - N( ) e 4e Ts jπ N jπ NFs e jπ NFs π sin NFs je j Il s agit d une onction de transert de type passe-haut jπ NFs je jπ NFs. 4 Modulateur Sigma-Delta ème ordre "Noise shaping" Y ( ) Log X ( ) N() [].5 Filtre numérique passe-bas (bande utile du signal).5 Réduction du bruit Bruit de quantiication Q() F [N F S ] KF S Figure -3 : Convertisseur Sigma-Delta du ème ordre (N 64) La puissance du bruit de quantiication P Q NFS NFS FS FS S( ) N( ) q N F S d π sin NF S 4 d. On admet que la bande utile (largeur de bande du iltre numérique passe-bas) est très inérieure à la réquence N F S. On peut donc simpliier l expression précédente. P Q 4 q π N Le rapport signal sur bruit prend la orme suivante : SNQR log σ x σ nq ( N log σ x Vre FS ) x log σ Vre 6 + log 5log( N π. 6 + log N 4 π ) 5.4 On voit que chaque ois que l on double la réquence d échantillonnage on gagne 5dB sur le rapport signal sur bruit de quantiication, contre 9dB pour un modulateur Sigma-Delta du er ordre.

11 CHAPITRE : CONVERTISSEUR SIGMA-DELTA Page -.5 FILTRE NUMÉRIQUE.5. Généralités Le iltre numérique placé à la sortie du modulateur Sigma-Delta permet d'extraire une valeur du bit stream sur une longueur donnée. Il existe dans la littérature un grand nombre de possibilité. Ce iltre est le résultat de la mise en série de deux iltres. Le premier est un iltre de type CIC récursi ou non avec une orte décimation. Le second est un iltre de type IIR (iltre (récursi) à réponse impulsionnelle de durée ininie) ou FIR (iltre (non-récursi) à réponse impulsionnelle de durée inie).5. er étage : Filtre en peigne avec orte décimation (litre CIC) Ce iltre connu sous le nom de iltre CIC (cascaded integrator-comb-ilter) permet d'atteindre deux objectis :. Une orte décimation (K6,3,64, ). Suppression du bruit de quantiication dans le domaine des réquences élevées. Nous nous limiterons ici au cas du iltre CIC récursi..5.3 Algorithme récursi Ce premier iltre est construit autour d'intégrateurs et de diérentiateurs séparés par un décimateur. Intégrateur (IRR) Diérentiateur (FIR) y( x( y( ( z ) x( z z ) Figure -4 : Schéma bloc d'un intégrateur et d'un diérentiateur numérique On peut écrire pour la réponse impulsionnelle : y( x( z N N sinc ( N N z La Figure -5 illustre la structure d'un tel iltre N.5

12 CHAPITRE : CONVERTISSEUR SIGMA-DELTA Page - Figure -5 : CIC récursi Les Figure -6 et Figure -7 montrent, pour N étages d'intégrateur / diérentiateur et un acteur N de décimation, la réponse réquentielle du iltre. Le principal désavantage de ce type de iltre est la longueur des mots à traiter. En eet pour maintenir la précision et éviter les discontinuités lorsque les intégrateurs dépassent la capacité du nombre de bits qui leur est alloué (utilisation de nombres codés en complément à deux), il aut que ce nombre de bit soit égal à N log ( N ). Pour un acteur de décimation de 64 et un iltre CIC d'ordre 5, on obtient des mots de 3bits. Cette contrainte augmente la consommation et réduit la limite supérieure de la réquence de suréchantillonnage. La Figure -6 montre les réponses réquentielles du iltre CIC pour une décimation de N 3 et des ordres de N, 3, 5. Réponse réquentielle du iltre CIC -5 - G() [db] N N3 N [Hz] x 6 Figure -6 : CIC récursi pour N, 3, 5 et N 3, N F S 4MHz La Figure -7 illustre les réponses réquentielles du iltre CIC pour un ordre de N3 et des décimations de N 6, 3, 64

13 CHAPITRE : CONVERTISSEUR SIGMA-DELTA Page -3-5 Réponse réquentielle du iltre CIC N 6 N 3 - N 64 G() [db] [Hz] x 6 Figure -7 : CIC récursi pour N3 et N 6,3, ème étage : Filtre FIR Le second étage du iltre numérique est souvent constitué d'un iltre FIR (non récursi) à coeicients symétriques, ce qui assure une réponse linéaire de la phase. Ce iltre doit présenter les caractéristiques suivantes :.5.5 Exemple. Un acteur de décimation de à 4.. Une compensation de la variation d'amplitude de la réponse réquentielle du iltre CIC dans la bande passante. 3. Une bande de transition et une atténuation dans la bande d'arrêt compatible avec les exigences (résolution) du convertisseur. Ce paragraphe illustre un exemple de convertisseur Sigma-Delta du ème ordre. Le signal d entrée est un signal sinusoïdal de Hz présentant une légère distorsion (signal issu d un générateur de onction arbitraire). Les caractéristiques du convertisseur sont : - réquence d échantillonnage : N F S 4kHz - iltre CIC : ordre : N5 décimation : N - iltre FIR : réquence de coupure : F p réquence bande bloquée F b 5 aténuation bande passante A p db atténuation bande bloquée A b db

14 CHAPITRE : CONVERTISSEUR SIGMA-DELTA Page -4 La Figure -8 montre le spectre d amplitude du signal à la sortie du modulateur Sigma-Delta. On voit que le bruit est rejeté vers les réquences élevées. Un agrandissement montre les composantes harmoniques du signal d entrée. Dans la bande Hz à Hz, le rapport signal sur bruit de quantiication est de l ordre de db. On a donc une résolution de l ordre de 6 bits. Le iltre CIC (Figure -9 de gauche) à une bande passante de l ordre du khz et une décimation de. Le iltre FIR (Figure -9 de droite) permet de ramener la bande passante à Hz. Le signal numérique résultant de la conversion présente un spectre d amplitude donné à la Figure -. Sur la partie de gauche, on voit bien l atténuation provoquée par le iltre FIR à partir de Hz. Sur la partie droite un agrandissement la bande d intérêt permet de se convaincre de la bonne restitution du signal analogique d entrée. Spectre d'amplitude du signal de sortie du modulateur Sigma-Delta Spectre d'amplitude du signal de sortie du modulateur Sigma-Delta Y() [db] -4-5 Y() [db] [Hz] x 5 Bande de Hz à NFS/ Figure -8 : Spectre du bit stream [Hz] Bande de Hz à Hz Réponse réquentielle du iltre CIC Réponse réquentielle du iltre FIR G CIC () [db] - -5 G FIR () [db] [Hz] x 5 Filtre CIC Figure -9 : Filtrage numérique [Hz] Filtre FIR

15 CHAPITRE : CONVERTISSEUR SIGMA-DELTA Page -5 Spectre d'amplitude du signal après iltrage CIC et FIR Spectre d'amplitude du signal après iltrage CIC et FIR Z() [db] Z() [db] [Hz] Bande de Hz à FS/ - Figure - : Grandeur convertie [Hz] Bande de Hz à Hz

16 CHAPITRE : CONVERTISSEUR SIGMA-DELTA Page -6