Compilation de sujets d examens concernant le traitement numérique des données (asservissement et régulation numériques)

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1 Compilation de sujets d examens concernant le traitement numérique des données (asservissement et régulation numériques) BTS cira 2002 Régulation de vitesse d un moteur asynchrone La vitesse de rotation est régulée numériquement. Le cadencement de calcul se fait à une fréquence, notée fe 2, de 20 khz. Le système, constitué par l ensemble moteur alimenté par l onduleur, fonctionne en boucle fermée avec un correcteur numérique. Ce système peut être identifié à un deuxième ordre numérique. L ensemble est schématisé sur la figure ci-dessous, s n désignant la vitesse (en tr/min) à l instant nte 2, e n désignant la consigne (en tr/min) à l instant nte 2. Te 2 est la période de calcul donnée par Te 2 = 1/fe 2. L équation récurrente caractéristique du système en boucle fermée est : s n = 1,921 s n-1 0,9238 s n-2 + 0,0028 e n Étude de la réponse à un échelon Le système étant au repos (s n et e n nulles pour n < 0), on souhaite étudier la réponse à un échelon. La consigne en vitesse e n passe donc de 0 à 150 tr/min à n = Compléter les cases comportant des pointillés du tableau ci-dessous, en indiquant les six premières valeurs de t = nte 2 et s n. 2. Quelle est, alors, la valeur en régime permanent de s n notée s p, sachant que pour t tendant vers l infini, s n = s n-1 = s n-2 = s p? e n Système en boucle fermée s n n n < t (µs) t < 0 e n s n 0 Thèmes V et VII-4-1 -

2 BTS cira 2003 Étude d un régulateur numérique Le régulateur numérique traite des informations échantillonnées-bloquées avec une période d échantillonnage Te. On appelle Xn la série d échantillons arrivant sur l entrée du régulateur. En sortie, il fournit une série d échantillons Yn, également échantillonnés / bloqués, qui commandent le processus. X(z) et Y(z) sont les transformées en z des séries Xn et Yn. C(z) est la transmittance du régulateur numérique. On rappelle qu'alors les séries Xn-1 et Yn-1 auront pour transformée en z respectivement z -1 X(z) et z -1 Y(z). On donne : 1 Te z 3 C( z) = Kp1 + avec : Kp 1,8 / Ki 6.10 / Te 1ms 1 = = = Ki 1 z 1. Équation de récurrence : Montrer que l'équation de récurrence se met sous la forme : Yn = Yn-1 + 1,8 Xn 1,5 Xn-1 2. Étude de la réponse indicielle : Compléter le tableau suivant. 3. Type de régulateur Représenter Yn sur le document ci-dessous, sachant que Yn est échantillonné bloqué. De quel type de régulateur s agit-il? Justifier votre réponse. Thèmes V et VII-4-2 -

3 2002 Passage de la structure d un filtre à l algorithme et à la transformée en z On désigne par en et sn respectivement les valeurs de l entrée et de la sortie du filtre à l instant nte. On rappelle par ailleurs que : sn-1 = z -1.s n 1. Montrer que l algorithme de ce filtre peut s écrire : sn = a.en + b.s n-1 (a et b sont deux coefficients constants). 2. En déduire que la transmittance en z de ce filtre peut s écrire : 3. Étude de la réponse impulsionelle. a. z T ( z) = z b Pour le filtre : sn = 0,25.en 0,9.s n-1 (a=0,25 et b=-0,9) 3.1. Déterminer les valeurs numériques des premiers termes de la suite des valeurs prises par sn lorsque l on injecte une impulsion unitaire à l entrée à l instant t=0. Les résultats seront donnés dans le tableau du document ci-dessous. Thèmes V et VII-4-3 -

4 3.2. Tracer l allure du graphe s(nte) correspondant sur le document suivant Étude d'un correcteur numérique Dans une usine de construction automobile, un robot portique assure le déplacement de pièces mécaniques. Il comporte une colonne dont l extrémité inférieure est munie d une griffe. Cette colonne se déplace entre le tapis d arrivée des pièces et le poste d usinage. Nous étudions ici I'asservissement de position échantillonné de la colonne. On place donc un correcteur numérique dans la chaîne d'action. Thèmes V et VII-4-4 -

5 On mesure la position verticale de la colonne du robot à intervalles de temps réguliers et multiples de la période d'échantillonnage T E. On note x n la valeur de la position du robot à l'instant nt E : x n = x(nt E ) La séquence {x n } représente la suite des mesures de la position réelle du robot. La séquence {x cn } représente la suite des valeurs de consigne de la position du robot. La commande de la boucle est réalisée à I'aide d'un calculateur qui élabore à chaque instant d'échantillonnage la valeur du signal d'erreur e n, différence entre la consigne de position et la position réelle: e n = x cn - x n. La séquence { e n } représente la suite des valeurs du signal d'erreur. Le calculateur réalise la fonction correcteur en élaborant la séquence de nombres {s n } à partir de la séquence { e n }. Dans l'étude qui suit, la discrétisation des différentes grandeurs impose d utiliser la transformée en z. On note respectivement Xc(z), E(z), S(z), X(z) les transformées en z des séquences {x cn }, { e n }, {s n }, {x n }. La modélisation de I'asservissement conduit au schéma-bloc suivant: L'algorithme qui permet au calculateur de relier les séquences d'entrée et de sortie du correcteur s'écrit: s n = 0,8 s n e n - 1,8 e n-1 1. On applique à I'entrée du correcteur une séquence échelon unité et on choisit s n-1 = 0. Déterminer les cinq premiers échantillons de la sortie s n pour n = 0, 1, 2, 3, On rappelle que I'opération retard d'une période d'échantillonnage correspond à une multiplication par z -1 : Z {x n-1 } = z -1.Z {x n } S( z) On désigne par C( z) = la transmittance en z du correcteur. E( z) Établir I'expression de C(z). Thèmes V et VII-4-5 -

6 3. Ce correcteur est-il un système récursif? Pourquoi? 4. Ce correcteur est-il un système numérique stable? Pourquoi? 5. Citer un des avantages que présente un asservissement échantillonné par rapport à un asservissement analogique Restitution d un signal analogique Un système informatique doit fournir différents signaux analogiques de commande par l intermédiaire de cartes interfaces. L exercice porte sur une technique utilisée pour la restitution de ces signaux. Le principe utilisé est représenté ci dessous : Dans le bloc «Opérateur numérique : valeur moyenne», un calculateur réalise l algorithme suivant : 1 s = x + x 2 ( ) n n 1 n A chaque période d échantillonnage, le terme s n est la moyenne arithmétique des termes x n-1 et x n. La sortie y n est alors la succession du nombre x n-1 puis du nombre s n respectivement pendant une demi-période d échantillonnage. 1. En utilisant les symboles suivants, représenter la structure de l algorithme cidessus. 2. Sur le document suivant, compléter le tableau correspondant aux différentes valeurs prises par la sortie s n correspondant à la réponse impulsionnelle de l algorithme. Thèmes V et VII-4-6 -

7 3. Etablir la transmittance en z du système numérique : T ( z) = S( z) X ( z) 4. On applique en entrée du système numérique, une séquence échelon unité : {x n } = { Γ n } En utilisant la table de transformée en z (en annexe), montrer que l expression de la transformée en z de la réponse du système numérique S(z) est : 1 z 1 S( z) = ( z ) ( z ) 5. En utilisant la table de transformée en z (en annexe), représenter sur le document suivant la séquence de nombre {s n } correspondant à la réponse indicielle du système numérique. Thèmes V et VII-4-7 -

8 Annexe Thèmes V et VII-4-8 -