Chapitre 3 : Statistiques

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1 Chapitre 3 : Statistiques Seconde Fiche d objectifs SAVOIR Vocabulaire statistique Population, individu, caractère, effectif, fréquence, modalité, mode Moyenne SAVOIR FAIRE Pour une série statistique donnée, savoir identifier : - Identifier la population étudiée,le caractère étudié et sa nature, les modalités et le mode - Passer des effectifs aux fréquences - Réaliser un diagramme en bâtons, un diagramme circulaire ou semi circulaire - Calculer la moyenne d une série statistique ( à partir des effectifs ou des fréquences ) Médiane et quartiles Effectifs cumulés Fréquences cumulées Médiane et quartiles Paramètres de dispersion Etendue Ecart interquartile Pour une série statistique donnée, savoir : - Calculer des effectifs ou des fréquences cumulées - représenter une courbe des fréquences Cumulées - Calculer la médiane et les quartiles d une série statistique - Déterminer graphiquement la médiane et les quartiles d une série statistique Pour une série statistique donnée, savoir : - Calculer l étendue - Calculer l écart interquartile Savoir comparer deux séries statistiques TICE Savoir utiliser une calculatrice graphique pour : - Entrer les valeurs d une série statistique - Calculer la moyenne d une série statistique - Calculer la médiane et les quartiles d une série statistique 1

2 I Vocabulaire statistique : Histoire des statistiques : Bien que le nom de statistique soit relativement récent, cette activité semble exister dès la naissance des premières structures sociales. On a trace de recensement en Chine ou en Égypte 2500 ans avant JC. Le rôle de collecteur de données est souvent tenu par des guildes marchandes, puis par les intendants de l'état. Ce n'est que vers 1700 que l'on voit apparaître le rôle prévisionnel des statistiques avec la construction des premières tables de mortalité. En 1800 cette activité prend son plein essor. Des règles précises sur la collecte et l'interprétation des données furent édictées. Application des statistiques : Elles concernent des domaines d'application aussi divers que l'actuariat, l'agriculture, l'anthropologie, l'archéologie, l'audit, la biologie, la biopharmacie, la chimie, la climatologie, le contrôle de qualité, la criminologie, la cristallographie, la démographie, la dentisterie, le droit, l'écologie, l'économie, l'économétrie, l'éducation, l'épidémiologie, les finances, la génétique, la géographie, la géologie, l'histoire, l'hydrologie, l'industrie, l'ingénierie, les jeux, la linguistique, la littérature, le management, le marketing, la médecine, la météorologie, l'ophtalmologie, la pharmacologie, la physique, la planification, la politologie, la psychologie, la sociologie, les sondages, la théologie, la zoologie, l informatique et plus récemment internet et ses moteurs de recherches. Vocabulaire : Ø Effectuer une étude statistique consiste à recueillir, présenter et interpréter des informations. Ø Une série statistique est l ensemble des résultats bruts obtenus lors d une enquête. Ø L ensemble des personnes ou objets étudiés se nomme la population étudiée. Ø Chaque personne ou chaque objet de l étude est un individu. Ø L objet de l étude est le caractère. Le caractère étudié prend un certain nombre de valeurs, qui peuvent être numériques ou non. a) Lorsque les valeurs de ce caractère sont des nombres, on dit que ce caractère est quantitatif. Si le caractère quantitatif ne prend que quelques valeurs, on dit qu il est discret. Si le caractère quantitatif prend n importe quelle valeur d un intervalle, on dit qu il est continu : on regroupe alors les valeurs dans des intervalles appelés classes. b) Lorsque les valeurs de ce caractère ne sont pas des nombres, on dit que ce caractère est qualitatif. Ø Les différentes valeurs du caractère sont les modalités. Ø L effectif d une modalité est le nombre d individu qui possède cette valeur du caractère. Ø L effectif total est la somme de tous les effectifs. C est la taille de la population. Ø La fréquence d une modalité est la proportion que représente l effectif de cette modalité par rapport à effectif de la valeur l effectif total. Elle se calcule avec la formule :. effectif total Une fréquence est un nombre compris entre 0 et 1. On l écrit sous forme de fraction ou de pourcentage. 2

3 Exemple 1 : On étudie la série statistique suivante qui donne les collèges d origine des élèves du lycée Rosa Parks en seconde en Collège Weiler Eluard Wallon Pompidou Daudet Bellevue Delacroix Ste Thérèse Autres total Effectifs Fréquences en % 1) Compléter les phrases suivantes : La population est.. Le caractère étudié est..... Les modalités du caractère sont... La nature du caractère est. 2) On appelle mode la ou les valeurs prises par le caractère dont l effectif est le plus important. Pour cette série le mode est. 3) Compléter le tableau en indiquant les fréquences. Mettre le résultat en % et arrondir à l unité. 4) Compléter te tableau de proportionnalité suivant : Collège Weiler Eluard Wallon Pompidou Daudet Bellevue Delacroix Ste Thérèse Autres total Fréquences en % 100 Angles en degrés 180 5) Construire le diagramme semi-circulaire de cette série : 3

4 Exemple 2 : commune : On étudie la série statistique suivante qui donne le nombre d enfants par famille dans une Nb d enfants Effectif Fréquence 1) Compléter les phrases suivantes : La population est.. Le caractère étudié est..... Les modalités du caractère sont... La nature du caractère est. Le mode de cette série est... L effectif total est.. 2) Compléter le tableau en indiquant les fréquences. arrondir au centième 3) Réaliser un diagramme en bâtons de cette série à partir des fréquences. 0,5 0,4 0,3 0,2 0, ) Calculer la moyenne de cette série 4

5 Exemple 3 : Voici les temps moyens de parcours du domicile des élèves jusqu au lycée : Temps en min [0 ;5[ [5 ;10[ [10 ;20[ [20 ;50[ [50 ;90[ Effectif ) Compléter les phrases suivantes : La population est.. Le caractère étudié est..... La nature du caractère est. L effectif total est.. 2) On souhaite calculer la moyenne de cette série. Quel problème se pose? 3) Compléter le tableau en calculant les centres des classes. Le centre d un intervalle fini est la moyenne de ses bornes. Temps en min [0 ;5[ [5 ;10[ [10 ;20[ [20 ;50[ [50 ;90[ Effectif Centre 4) Calculer alors la moyenne de cette série : 5) Cette moyenne est-elle fiable? 5

6 II Médiane et quartiles : II. 1. Courbes des fréquences cumulées : Calculer des effectifs cumulés ou des fréquences cumulées : Définitions : 1) L effectif cumulé croissant d une valeur est la somme des effectifs des valeurs qui lui sont inférieures ou égales. 2) L effectif cumulé décroissant d une valeur est la somme des effectifs des valeurs qui lui sont supérieures ou égales. Exemple 4 : Le tableau suivant donne le nombre d enfants âgés de 0 à 16 ans dans un échantillon de 79 familles : Nombre d enfants Total Effectif Effectifs cumulés décroissants Combien de familles ont plus de deux enfants? Définitions : 1) La fréquence cumulée croissante d une valeur est la somme des fréquences des valeurs qui lui sont inférieures ou égales. 2) La fréquence cumulée décroissante d une valeur est la somme des fréquences des valeurs qui lui sont supérieures ou égales. 6

7 Savoir représenter une courbe des fréquences cumulées : Exemple 5 : Une machine remplit automatiquement des sachets de médicaments en poudre. On a pesé un échantillon constitué de 100 sachets. Masse ( en g ) Fréquence ( en % ) Fréquence cumulée croissante ( en % ) 98 ; 98,5 98,5 ; ; 99,5 99,5 ; ; 100,5 100,5 ; 101 Total ) Compléter le tableau. 2) On suppose que la répartition est uniforme dans chaque classe. Quels sont les points nécessaires à la construction de la courbe des fréquences cumulées croissantes? Unités graphiques : 2 carreaux pour 0,5 g en abscisse et 2 carreaux pour 10 % en ordonnée. 7

8 II. 2 Médiane et quartiles : On considère une série statistique de N valeurs rangées dans l ordre croissant. Définitions : 1) La médiane de cette série statistique, notée Me, partage la population en deux groupes de même effectif, l un est composé des valeurs inférieures à la médiane, l autre est composé des valeurs supérieures à la valeur de la médiane. 2) Les quartiles d une série sont trois valeurs du caractère qui partagent la série en quatre groupes de même effectif. On les note par ordre croissant Q1, Q 2 et Q. La valeur 3 Q 2 est la médiane. Le 1 er quartile de cette série statistique, notée Q 1, est la plus petite valeur de la série telle qu au moins 25 % des valeurs soit inférieures ou égales à Q!. Le 3 ième quartile de cette série statistique, notée Q 3, est la plus petite valeur de la série telle qu au moins 75 % des valeurs soit inférieures ou égales à Q!. 3) Pour représenter ces paramètres, on utilise un diagramme de Tukey ou diagramme en boîte ( ou boîte à moustaches ) : Méthodes pour calculer : 1) la médiane : N + 1 a) Si l effectif total N est impair, la médiane est la ième valeur de la série. 2 N N b) Si l effectif total N est pair, la médiane est la moyenne entre les ième et + 1ième 2 2 valeurs de la série. 2) Le 1 er quartile : Q! est la valeur de la série statistique dont le rang est le plus petit entier supérieur ou égal à!!. 3) Le 3 ième quartile : Q! est la valeur de la série statistique dont le rang est le plus petit entier supérieur ou égal à!!!. 8

9 Exemple 6 : Dans une classe de 2nde, on a relevé la taille de 22 élèves : 166 ; 176 ; 167 ; 167 ; 178 ; 173 ; 178 ; 150 ; 165 ; 179 ; 170 ; 168 ; 163 ; 165 ; 174 ; 155 ; 160 ; 163 ; 162 ; 160 ; 173 ; 165 1) Recopier ces données dans l ordre croissant : 2) a) Déterminer la médiane de cette série : b) Interpréter ce nombre : a) Déterminer le pourcentage de valeurs inférieures ou égales à Me. 3) a) Déterminer le 1 er quartile de cette série : b) Interpréter ce nombre : c) Calculer le pourcentage de valeurs inférieures ou égales à Q 1. 4) Calculer le 3 ième quartile de cette série : 5) Vérifier à l aide de la calculatrice. 9

10 6) Construire le diagramme en boîte de cette série : Exemple 7 : Dans une classe de 1 ère, on a relevé la taille des élèves. Taille en cm Effectif ECC 1) Compléter le tableau. 2) Calculer la médiane. 3) Calculer les quartiles. 4) Construire le diagramme en boîte correspondant 10

11 Exemple 8 : N 41 page 152 du livre 1) Compléter le tableau suivant : Valeur [ 2;4 [ [ 4;7 [ [ 7;10 [ [ 10;14 [ [ 14;16 [ [ 16;17 [ Total Fréquence 0,21 0,07 0,12 0,31 0,09 0,2 Fréquence cumulée croissante 2) Construire la courbe des fréquences cumulées croissantes. 3) Déterminer graphiquement une valeur approchée de la médiane et des quartiles. 11

12 III Paramètres de dispersion : Définitions : 1) On appelle étendue d une série statistique la différence entre ses valeurs extrêmes. 2) On appelle écart interquartile la différence entre les deux quartiles : Q3 Q1 Remarques : 1) L étendue est un paramètre de dispersion souvent associé à la moyenne. Elle est sensible aux valeurs extrêmes. 2) L écart interquartile est le paramètre de dispersion associé à la médiane. Il est peu sensible aux valeurs extrêmes. 3) Plus les résultats pour les paramètres de dispersion sont faibles, plus les valeurs de la série sont «regroupées». Exemple 9 : Reprendre les données de l exemple 7 p 10 pour calculer l étendue et l écart interquartile 12