C12. Les structures arborescentes. Août 2006

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Julien Morel
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1 Les structures arborescentes Août 2006

2 Objectifs du C12 Connaître le principe de la structure d arbre binaire Connaître les détails d implémentation de la structure d arbre binaire de recherche Les structures arborescentes Août /17

implémentation de la structure d arbre binaire de

3 Contenu du C Les structures arborescentes Août /17

4 1.1 Définition de l arbre binaire Schéma d un arbre binaire Terminologie Les opérations sur l arbre binaire Parcours en profondeur Parcours en largeur Représentation par tableau Représentation par pointeurs L arbre binaire de recherche (ABR) ABR : exemple et opérations spécifiques Fonction itérative de recherche dans un ABR Fonction récursive de recherche dans un ABR Applications des arbres binaires Les structures arborescentes Août /17

7 Représentation par tableau.................................................. 11 1.8 Représentation par pointeurs................................................ 12 1.

5 1.1 Définition de l arbre binaire Ensemble d éléments de même type en nombre variable 0 appelés nœuds Organisation hiérachique des nœuds Un arbre binaire a est : soit vide : a = () soit composé de : r un nœud racine r deux arbres binaires disjoints : un sous-arbre gauche g un sous-arbre droit d a = (r, g,d) la définition est récursive g d Les structures arborescentes Août 2006 /17

composé de : r un nœud racine r deux arbres binaires disjoints : un sous-arbre gauche g un

6 1.2 Schéma d un arbre binaire a = ( r, ( b, ( d, (), ( g, (), () )), ( e, (), () ) ), ( c, ( f, (), () ), () ) ) niveau 0 racine r hauteur de a = 3 niveau 1 b père de f c niveau 2 d feuille e f fils gauche de c niveau 3 g fils droit de d Les structures arborescentes Août /17

7 L arité d un nœud 1.3 Terminologie nombre de sous-arbres non vides ( 0, 1 ou 2) un nœud d arité nulle est appelé feuille Un chemin dans un arbre une séquence de nœuds (n 0, n 1,...,n i,...,n p ) où n i 1 est le père de n i la longueur du chemin (n 0,n 1,...,n i,...,n p ) est égale à p Le niveau d un nœud c est la longueur de l unique chemin allant de la racine à ce nœud le niveau du nœud racine est égal à 0 La hauteur d un arbre c est le maximum des niveaux de tous les nœuds la hauteur d un arbre réduit au nœud racine vaut 0 la hauteur d un arbre vide vaut par convention -1 Les structures arborescentes Août /17

8 1.4 Les opérations sur l arbre binaire Chaque nœud de l arbre contient une valeur de type TypeValeur nouvelarbre : Arbre estarbrevide : Arbre Booléen valeurracinearbre : Arbre { } TypeValeur construirearbre : Arbre Arbre TypeValeur Arbre sousarbregauche : Arbre { } Arbre sousarbredroit : Arbre { } Arbre estelémentarbre : Arbre TypeValeur Booléen Les structures arborescentes Août /17

TypeValeur construirearbre : Arbre Arbre TypeValeur Arbre sousarbregauche : Arbre { } Arbre

9 1. Parcours en profondeur a = ( r, g, d ) r 9 2 g d Parcours RGD de a traiter la racine r parcours RGD de g parcours RGD de d (, 9, 7, 4, 2, 3 ) Parcours GRD de a parcours GRD de g traiter la racine r parcours GRD de d ( 7, 9, 4,, 2, 3 ) Parcours GDR de a parcours GDR de g parcours GDR de d traiter la racine r ( 7, 4, 9, 3, 2, ) Les structures arborescentes Août /17

traiter la racine r parcours GRD de d ( 7, 9, 4,, 2, 3 ) Parcours GDR de a parcours GDR de g

10 1.6 Parcours en largeur Principe parcours de l arbre par niveau en partant du niveau zéro chaque niveau est parcouru de gauche à droite niveau 0 niveau niveau (, 9, 2, 7, 4, 3 ) Les structures arborescentes Août /17

parcouru de gauche à droite niveau 0 niveau 1 9 2 niveau 2

11 1.7 Représentation par tableau Arbre FAUX VRAI 4 FAUX niveau 2 #define NB_MAX_NOEUDS 7 typedef enum {FAUX,VRAI} Booleen; typedef struct { int valeur; Booleen libre; } Noeud; typedef Noeud Arbre [NB_MAX_NOEUDS]; FAUX FAUX FAUX FAUX niveau 1 niveau 0 Arbre arbre; nouvelarbre ( arbre ); arbre Les structures arborescentes Août /17

libre; } Noeud; typedef Noeud Arbre [NB_MAX_NOEUDS]; 3 2 1 0 7 2 9 FAUX FAUX FAUX FAUX

12 1.8 Représentation par pointeurs 9 2 Arbre arbre Noeud typedef struct noeud { int valeur; struct noeud *sag; struct noeud *sad; } Noeud; typedef Noeud *Arbre; Arbre arbre = nouvelarbre (); Les structures arborescentes Août /17

noeud *sad; } Noeud; typedef Noeud *Arbre; 9 2 7 4 3 Arbre

13 1.9 L arbre binaire de recherche (ABR) Un arbre binaire de recherche (ABR) est un arbre où les nœuds sont organisés en fonction d un ordre qui existe sur les valeurs qu ils contiennent Un ABR a est : soit vide : a = () soit non vide : a = (r, g, d), si v est la valeur de la racine r, alors si g est non vide, alors v g,v < v g est un ABR si d est non vide, alors v d,v > v v <v v >v d est un ABR il n y a pas de doublon ABR g ABR d v r Les structures arborescentes Août /17

(r, g, d), si v est la valeur de la racine r, alors si g est non vide, alors v g,v < v g est un ABR si d est non vide,

14 1.10 ABR : exemple et opérations spécifiques Arbre arbre Noeud ajouterelémentarbre : Arbre TypeValeur Arbre supprimerelémentarbre : Arbre TypeValeur Arbre parcourir<mode> : Arbre Fonction où MODE = RGD, GRD, GDR et une fonction, par exemple traitervaleur qui effectue une action sur la valeur traitervaleur : TypeValeur Les structures arborescentes Août /17

parcourir<mode> : Arbre Fonction où MODE = RGD, GRD, GDR et une fonction, par exemple

15 1.11 Fonction itérative de recherche dans un ABR Données : arbre : Arbre (ABR), v : TypeValeur Résultat : un booléen égal à VRAI si v est dans arbre, et à FAUX sinon Algorithme fonction estelémentarbre ( arbre : Arbre, v : TypeValeur ) : Booléen tant que non estarbrevide ( arbre ) faire si v = valeurracinearbre ( arbre ) alors retourner VRAI sinon si v < valeurracinearbre ( arbre ) alors arbre sousarbregauche ( arbre ) sinon arbre sousarbredroit ( arbre ) fsi fsi ftq retourner FAUX ffct estelémentarbre Les structures arborescentes Août /17

arbre ) faire si v = valeurracinearbre ( arbre ) alors retourner VRAI sinon si v < valeurracinearbre ( arbre ) alors arbre

16 1.12 Fonction récursive de recherche dans un ABR Données : arbre : Arbre (ABR), v : TypeValeur Résultat : un booléen égal à VRAI si v est dans arbre, et à FAUX sinon Algorithme fonction estelémentarbre ( arbre : Arbre, v : TypeValeur ) : Booléen si estarbrevide ( arbre ) alors retourner FAUX sinon si v = valeurracinearbre ( arbre ) alors retourner VRAI sinon si v < valeurracinearbre ( arbre ) alors retourner estelémentarbre ( sousarbregauche ( arbre ), v ) sinon retourner estelémentarbre ( sousarbredroit ( arbre ), v ) fsi fsi fsi ffct estelémentarbre Les structures arborescentes Août /17

si v = valeurracinearbre ( arbre ) alors retourner VRAI sinon si v < valeurracinearbre ( arbre ) alors retourner estelémentarbre ( sousarbregauche (

17 1.13 Applications des arbres binaires - Recherche dans un ensemble de n valeurs complexité proportionnelle à log 2 n dans une structure de tas Tri d ensemble de n valeurs parcours GRD d un arbre binaire de recherche utilisation d une structure de tas (heap sort) complexité en O(n log 2 n) Représentation d une expression arithmétique parcours GRD notation infixée parcours RGD notation préfixée parcours GDR notation postfixée (notation polonaise inverse) Méthodes de compression codage de Huffman utilise des arbres binaires compression d image par quadtree (arbre quaternaire) Les structures arborescentes Août /17

d une expression arithmétique parcours GRD notation infixée parcours RGD notation préfixée parcours GDR notation postfixée (notation polonaise inverse)

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