x et y sont proportionnels si, et seulement si, les poins de coordonnées (x ; y) sont alignés avec l origine du repère. y 4 n

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1 CHAPITRE 11 PROPORTIONNALITE I. GENERALITES A. NOTION DE GRANDEURS PROPORTIONNELLES Deux grandeurs x et y sont proportionnelles si, lorsque l une varie, l autre varie dans les mêmes proportions : si x double, triple., alors y double, triple. Exemple : Le volume d essence achetée et le prix payé sont proportionnels. (si le volume double, le prix double. Il n y a jamais de réduction!) Contre-exemple : L âge et la taille d une personne ne sont pas proportionnels (si la taille est 1,5m à 10 ans, elle ne sera pas 3m à 20 ans) B. RECONNAITRE UNE SITUATION DE PROPORTIONNALITE A partir d un tableau : x et y sont-ils proportionnels? x y ,5 7 5 = 1, = 1,4 15,5 11 = 1,4 Les quotients sont tous égaux donc x et y sont proportionnels. x y ,5 1,4 A partir d une formule : x et y sont proportionnels si, et seulement si, x et y sont liés par une formule du type y = a x. (a est appelé coefficient de proportionnalité). Dans l exemple précédent a est égal à 1,4. On a la formule y = 1,4 x. Page 1 sur 10

2 A partir d un graphique : y 0 x x et y sont proportionnels si, et seulement si, les poins de coordonnées (x ; y) sont alignés avec l origine du repère. C. COMPLETER UN TABLEAU DE PROPORTIONNALITE Compléter le tableau de proportionnalité. x 5 7 y 4 n 1 ère méthode : On cherche le coefficient. 4 = 0,8 donc y = 0,8 x. 5 n = 0,8 7 = 5,6. x 5 7 y 4 n 0,8 2 ème méthode : par les quotients égaux. 4 5 = n 7 n 5 = 4 7 n = 4 7 = 5,6 5 (produits en croix) Page 2 sur 10

3 II. MOUVEMENT A VITESSE CONSTANTE A. RAPPEL Si la vitesse V d un mobile est constante, alors la distance parcourue D et le temps T sont proportionnels. On a alors la formule : D = V T. B. APPLICATIONS Enoncé 1 : Une voiture roule à 120 Km/h pendant 40 min. Quelle est la distance parcourue? V = 120 Km/h T = 40 min D = V T donc D = 120 Km/h 40 min D = 120 Km/h h D = Km 60 h h D = 80 Km La voiture a parcouru 80 Km. Enoncé 2 : a la vitesse de 6 Km/h combien de temps faut-il pour faire m? V = 6Km/h D = m D = V T donc m = 6 Km/h T T = m 6 Km/h 2,4 Km T = 6 Km/h T = 0,4 h T = 0,4 60 min T = 24 min Il faut 24 min. Enoncé 3 : Une voiture a parcouru 104 Km en 1 h 18 min. Quelle est sa vitesse moyenne en Km/h? D = 104 Km T = 1 h 18 min = 60 min + 18 min = 78 min = h = 1,3 h Page 3 sur 10

4 D = V T donc 104 Km = V 1,3 h 104 Km V = 1,3 h V = 80 Km/h La vitesse moyenne est 80 Km/h. C. VITESSE MOYENNE ET MOYENNE DES VITESSES Un marcheur monte un côte de 3 km à 6 km/h puis redescend à 4 km/h. Calculer sa vitesse moyenne sur l ensemble du parcours. Remarque : Attention à ce genre d exercice. Bien entendu il ne faut pas additionner les vitesses : sa vitesse moyenne n est pas 10 Km/h. Par contre elle est comprise entre 4 Km/h et 6 Km/h. La vitesse moyenne n est pas non plus égale à la moyenne des vitesses 5 Km/h : voir la solution et le commentaire. La méthode consiste à calculer la durée totale (durée de la montée + durée de la descente) puis à utiliser la formule D = V T. Durée de la montée : D = V T V = 4 Km/h et D = 3 Km. 3 Km = 4 Km/h T T = 3 Km 4 Km/h = 3 4 h = 0,75 h Durée de la descente : D = V T V = 6 Km/h et D = 3 Km. 3 Km = 6 Km/h T T = 3 Km 6 Km/h = 3 6 h = 0,5 h Vitesse moyenne sur le parcours total : D = V T T = 0,75 h + 0,5 h =1,25 h et D = 3 Km + 3 Km = 6 Km 6 Km = V 1,25 h V = 6 Km 1,25 h = 6 Km/h = 4,8 Km/h. 1,25 La vitesse moyenne est égale à 4,8 Km/h. Commentaire : Page 4 sur 10

5 Ce résultat est forcément correct puis qu il est obtenu à partir de la durée et de la distance totale du parcours. Par conséquent la vitesse moyenne est 4,8 Km/h et non 5 Km/h comme on pourrait le penser. Ce n est pas facile à voir d autant plus que les distance sur les deux parties sont les mêmes mais c est ainsi, les calculs le prouvent. III. POURCENTAGES RAPPELS A. CALCULER UNE PROPORTION, L EXPRIMER EN % Dans une classe il y a 13 filles et 9 garçons. Calculer la proportion de fille, l exprimer en %. 13 élèves sur 22 sont les filles. La proportion de fille est , La proportion de fille est environ 59 %. Celle de garçons est donc 41 % environ (100 59). B. APPLIQUER UNE PROPORTION A UN TOTAL Dans collège de 240 élèves, 35 % sont externes. Calculer le nombre d externes. 35 % de 240 = = 84. Il y a 84 externes. 100 Retenir : Calculer t% de x c est faire t 100 x. C. PROBLEME DE MELANGE Dans une classe de 20 élèves, il y a 40 % de garçons. Dans une autre classe de 30 élèves, il y a 60 % de garçons. On réunit tous les élèves. Quel est le pourcentage de garçons? Remarque : Attention à ce genre d exercice. Bien entendu il ne faut pas additionner les pourcentages : il n y a pas 100 % de garçons (40 % + 60 % =100 %). Par contre la proportion de garçon est comprise entre 40 % et 60 %. Le pourcentage de garçons dans le grand groupe n est pas non plus égal à la moyenne des pourcentages dans chaque classe (50 %) : voir la solution et le commentaire. Page 5 sur 10

6 La méthode consiste à calculer le nombre de garçons dans chaque classe et le nombre total d élèves puis à faire le rapport. 40 % de 20 = 0,4 20 = 8. Il y a 8 garçons dans la première classe. 60 % de 30 = 0,6 30 = 18. Il y a 18 garçons dans la deuxième classe = = 50. Dans le nouveau groupe, 26 élèves sur 50 sont des garçons. 52 % des élèves sont des garçons = 0,52 = 52 %. Commentaire : Ce résultat est forcément correct puis qu il est obtenu à partir des nombres exacts de garçons et d élèves. Par conséquent la bonne proportion est 52 % et non 50 % comme on pourrait le penser. En fait, la proportion serait 50 % (moyenne entre 40 % et 60 %) s il les classes étaient de même effectif. Pour mieux comprendre, prenons un exemple où les groupes sont de tailles très différentes. Groupe A : 700 élèves, 60 % de garçons. Groupe B : 10 élèves, 50 % de garçons. Il est clair que, lorsque les deux groupes sont réunis, les 10 élèves qui rejoignent les 700 du groupe A ne vont pas beaucoup la proportion de garçons qui restera proche de 60 % et dont différente du pourcentage moyen (55 %). En effet : 60 % de 700 = 0,6 700 = 720. Il y a 420 garçons dans le groupe A. 50 % de 10 = 5. Il y a 5 garçons dans le groupe B = 730 et = 425 Dans le nouveau groupe, 425élèves sur 730 sont des garçons ,582 58,2 %. 730 Prenons un dernier exemple extrême : 1 er groupe : 99 élèves, 100 % de garçons (soit 99 garçons) 2 ème groupe : 1 élève, 0% de garçons (soit0 garçons). On réunit les deux groupes : 100 élèves (99 + 1) et 99 garçons (99 + 0). 1 élève sur 100 est un garçon. Le pourcentage est donc 99 % (très loin de la moyenne 50 %). IV. POURCENTAGES AUGMENTATION ET DIMINUTION A. INTRODUCTION On considère une augmentation de 50 %. a) Un objet coûtait 30. Quel est le nouveau prix? b) Un autre objet coûte maintenant 24. Quel était l ancien prix? Page 6 sur 10

7 Augmenter de 50 % revient à rajouter la moitié du prix. a) = = 45. L objet coûte maintenant b) Attention : Pour trouver l ancien prix il ne faut surtout pas enlever de 50 % (c est à dire la moitié) de 24. En procédant ainsi, on enlèverait beaucoup trop puisque l augmentation est de la moitié du prix initial qui est inférieur à 45. En effet = = 12. Or 12 n est pas l ancien prix car 12 augmenté de 50 % est égal à 18 et non 24 ( = = 18). Pour répondre on peut poser une équation : Appelons x le prix initial : x augmenté de la moitié de x = 24 Le prix initial était 16. Vérification : = 24 x + x 2 = 24 2x 2 + x 2 = 24 3x 2 = 24 3x = 24 2 x = 48 3 x = 16 B. EXEMPLES D EXERCICES Enoncé 1: On considère une augmentation de 8 %. a) Un objet coûtait 25. Quel est le nouveau prix? b) Un autre objet coûte maintenant 16,20. Quel était l ancien prix? a) 25 augmenté de 8 % de 25 = % de 25 = ,08 25 = = 27 Le nouveau prix est 27. b) Appelons x le prix initial : x augmenté de 8% de x = 16,20 x + 0,08 x = 16,20 1 x + 0,08 x = 16,20 (1 + 0,08) x = 16,20 1,08 x = 16,20 Page 7 sur 10

8 L ancien prix était 15. Vérification : ,08 15 = 16,2. x = 16,20 1,08 x = 15 Enoncé 2: On considère une diminution de 4 %. a) Un objet coûtait 20. Quel est le nouveau prix? b) Un autre objet coûte maintenant 7,20. Quel était l ancien prix? a) 20 diminué de 4 % de 20 = 20 4% de 20 = 20 0,04 20 = 20 0,8 = 19,2 Le nouveau prix est 19,20. b) Appelons x le prix initial : x diminué de 4% de x = 7,20 x 0,08 x = 7,2 1 x 0,08 x = 7,2 (1 0,08) x = 7,2 0,92 x = 7,2 x = 7,2 0,92 x = 7,5 L ancien prix était 7,50. Vérification : 7,5 0,04 7,5 = 7,2. Enoncé 3: a) Le prix d un pantalon passe de 60 à 72. Quel est le pourcentage d augmentation? b) Le prix d un costume passe de 120 à 108. Quel est le pourcentage de diminution? a) Appelons x le pourcentage d augmentation : 60 + x 60 = 72 x 60 = x 60 = 12 x = x = 0,2 0,2 = L augmentation est de 20 %. Vérification : ,2 60 = 72 Page 8 sur 10

9 b) Appelons x le pourcentage de diminution : 120 x 120 =108 x 120 = x 120 = 12 x 120 = 12 x = x = 0,1 0,1 = La diminution est de 10 %. Vérification : 120 0,1 120 =108. C. POUR ALLER PLUS VITE α) AUGMENTATION REGLE : Augmenter de t % revient à multiplier par t Exemple : Augmenter de 5 % revient à multiplier par c'est-à-dire par 1,05. Preuve : x augmenté de 5% = x + 5% de x = 1 x + 0,05 x = (1+ 0,05) x = 1,05 x. Donc augmenter un nombre x de 5% revient à multiplier x par 1,05. Application : Les prix augmentent de 8 %. 1) Un objet valait 25. Quel est le nouveau prix? 2) Un autre objet coûte maintenant 16,20. Quel était l ancien prix? Réponses : Augmenter de 8% revient à multiplier par. Schéma : ancien prix + 8 % nouveau prix 1) 25 =... Le nouveau prix est... 2) 16,2 : =.. L ancien prix était... Remarque : Si on diminue le nouveau prix de 8 % on n obtient pas l ancien prix. 16,2 8% de 16,2 = 16,2 1,296 = 14, Pour trouver le prix avant augmentation, on divise par le coefficient correspondant à l augmentation. Page 9 sur 10

10 β) DIMINUTION REGLE : Diminuer de t % revient à multiplier par t Exemple : Diminuer de 5 % revient à multiplier par 1 c'est-à-dire par 0, Preuve : x diminué de 5% = x 5% de x = 1 x 0,05 x = (1 0,05) x = 0,95 x. Donc diminuer un nombre x de 5% revient à multiplier x par 0,95. Application : Les prix diminuent de 4 %. 1) Un objet valait 20. Quel est le nouveau prix? 2) Un autre objet coûte maintenant 720. Quel était l ancien prix? Réponses : Diminuer de 4 % revient à multiplier par.. 4 % Schéma : ancien prix.. nouveau prix 1) 20. =... Le nouveau prix est.. 2) 720 :.. =.. L ancien prix était.. Remarque : Si on augmente le nouveau prix de 4 % on n obtient pas l ancien prix % de 720 = = 148,8 750 Pour trouver le prix avant diminution, on divise par le coefficient correspondant à diminution. γ) TROUVER LE % D AUGMENTATION OU DE DIMINUTION EXEMPLE 1 : Le prix d une chemise passe de 60 à 72. Quel est le % d augmentation? Réponse : Le prix a été multiplié par. c'est-à-dire par...il a donc augmenté de.. Schéma : % EXEMPLE 2 : Le prix d un objet passe de 120 à 108. Quel est le % de la baisse? Réponse :. Le prix a été multiplié par.. c'est-à-dire par.. Il a donc baissé de.%. Schéma : 120.% 108 Page 10 sur 10