Un cours d introduction à la démarche mathématique. Martine De Vleeschouwer, Suzanne Thiry

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1 Aide à la transition dans une formation universitaire d un mathématicien en Belgique Un cours d introduction à la démarche mathématique Martine De Vleeschouwer, Suzanne Thiry Université de Namur, Unité de didactique des mathématiques, Namur, Belgique mdv@math.fundp.ac.be, suzanne.thiry@fundp.ac.be Résumé Après avoir décrit le contexte de la formation universitaire en sciences mathématiques en Belgique, nous présentons et questionnons un cours introduit dans ce cursus afin de réduire le décalage résultant de phénomènes de transition entre l enseignement secondaire et l enseignement universitaire. Mots-clés Étudiants, curriculum, réforme, transition, mathématiques. I. Introduction Cet article présente une expérience d enseignement réalisée à l université de Namur en Belgique dans le cadre de la formation universitaire d un mathématicien. Après avoir situé le contexte institutionnel dans lequel prend place cette formation, nous nous attardons sur des phénomènes de transition auxquels doit faire face un étudiant entamant de telles études. Nous présentons ensuite une expérience d enseignement introduite à l université de Namur pour aider les étudiants à surmonter un obstacle identifié lors de la transition entre l enseignement secondaire et universitaire. L analyse fine de cette expérience est encore à réaliser, mais nous présentons la stratégie que nous comptons mettre en œuvre pour la réaliser. COLLOQUE_livre 2.indd /05/11 10:44

2 546 Questions de pédagogies dans l'enseignement supérieur II. Contexte institutionnel L enseignement secondaire en Belgique fait suite à l enseignement primaire, tous deux composés de six années. L enseignement secondaire (12-17 ans) se décline selon quatre filières d orientation : le général, le technique, le professionnel et l artistique. Mis à part la filière de l enseignement professionnel, les trois autres filières citées permettent de déboucher en fin de parcours sur le Certificat d Enseignement Secondaire Supérieur (CESS) qui permet d accéder à des études supérieures (universitaires ou non). Dans chacune des filières délivrant le CESS, une formation générale théorique minimale est dispensée, mais différentes options sont proposées. Ainsi par exemple, le nombre d heures de mathématiques par semaine peut varier de deux à huit selon les options. On constate donc qu un parcours dans l enseignement secondaire peut être très différent d un autre, bien qu ils mènent tous deux au même diplôme : le CESS. Les compétences terminales devant être acquises en fin d enseignement secondaire ont été établies par décret, et des programmes scolaires ont été rédigés pour les rencontrer. Mais il n est reste pas moins que le CESS est délivré localement, suite à des épreuves conçues et organisées par l établissement scolaire fréquenté. Dans cet article, nous nous intéressons à la formation universitaire d un mathématicien (bachelier et master en mathématiques) en Belgique : un cursus spécifique existe pour la formation universitaire en mathématiques. Jusqu en 2004, ce cursus comportait quatre années. Depuis lors, suite à la réforme résultant de la déclaration de Bologne visant à l uniformisation des diplômes européens, ce cursus a été modifié et se compose de trois années de bachelier et de deux années de master. La disparité du nombre d heures de mathématiques suivies par les élèves dans l enseignement secondaire ainsi que l octroi local des CESS augmentent la diversité du degré d acquisition de compétences d un étudiant à l autre. Ceci amplifie les phénomènes de transition existant entre les institutions «enseignement secondaire» et «enseignement universitaire». Nous nous y attardons dans la section suivante. COLLOQUE_livre 2.indd /05/11 10:44

3 Les courants de la professionnalisation : enjeux, attentes, changements 547 III. Transition secondaire-université Concernant la discipline mathématique, la problématique de la transition entre l enseignement secondaire et l enseignement supérieur a déjà fait l objet de nombreux travaux [Dorier, 1997 ; Artigue, 2004 ; De Vleeschouwer, 2010, ]. Si l on considère la transition sous un regard institutionnel [Gueudet, 2008], on peut parler d un changement de contrat didactique [Brousseau, 1998] [Chevallard, 2007] entre l institution «enseignement secondaire» et l institution «enseignement universitaire». On constate par exemple qu un langage formel est systématiquement utilisé à l université, alors qu il était beaucoup moins présent dans l enseignement secondaire. Dans ses travaux sur l algèbre linéaire, Dorier parle ainsi de l «obstacle du formalisme» [Dorier, 1997]. On constate ainsi que certains objets mathématiques sont utilisés dans l institution enseignement secondaire, sans avoir jamais vraiment été définis ou enseignés. Chevallard les nomme des objets «paramathématiques». Il en est ainsi de certains symboles logiques («,$, ), des démonstrations, La modification du cursus universitaire en sciences mathématiques en Belgique, intervenue en 2004, a été l occasion pour l université de Namur d introduire en début de formation un cours intitulé «Introduction à la Démarche Mathématique». Nous présentons, dans la section suivante, le contenu de ce cours qui traite explicitement des objets paramathématiques présents dans l enseignement secondaire, espérant ainsi aider les étudiants dans la transition entre les deux institutions. IV. IDM : un pas vers une amélioration? Le cours d «Introduction à la Démarche Mathématique» (IDM) est proposé aux étudiants de première année de bachelier en mathématiques. Il a été conçu pour expliciter les objets mathématiques généralement manipulés dans l enseignement secondaire sans avoir été véritablement définis ou enseignés, alors qu ils sont directement utilisés dans les cours de première année de bachelier en mathématiques. Le cours d IDM se donne à raison de quatre heures de théorie et de quatre heures d exercices pendant les six premières semaines de l année académique. L avant-propos du polycopié conçu pour cet enseignement [Thiry, 2005] attire l attention des étudiants sur la différence pouvant exister entre les deux institutions : «Dans l enseignement secondaire, vous avez eu l occasion de suivre de nombreux cours qui ont permis, peu à peu, l émergence de votre conception actuelle de la démarche mathématique. Aujourd hui, en découvrant les cours de mathématique COLLOQUE_livre 2.indd /05/11 10:44

4 548 Questions de pédagogies dans l'enseignement supérieur à l université, vous allez être amenés à compléter et affiner cette perception. Il est même possible que cette découverte vous surprenne» Cet avant-propos explicite ensuite les objets qui seront développés dans le cours : «Le chapitre 1 est consacré à quelques éléments de terminologie mathématique, qui ne sont rien d autre que des conventions (souvent des conventions d écriture) adoptées par les mathématiciens pour décrire des idées de façon précise et non ambigüe. Le chapitre 2 aborde les éléments de logique qui permettent de réaliser les raisonnements déductifs. Les objets de base utilisés en mathématique sont les ensembles. Une approche intuitive des ensembles fait l objet du chapitre 3. Si la logique sous-tend toute l activité mathématique, elle permet aussi de préciser des stratégies ou «règles du jeu» pour aborder les démonstrations : c est l objet du chapitre 4. Parmi ces stratégies il en est une qui permet de démontrer des propriétés relatives aux nombres naturels (0, 1, 2, 3, ) : c est la technique de récurrence. Elle est suffisamment importante pour faire à elle seule l objet du chapitre 5. Enfin, le chapitre 6 est consacré aux relations entre ensembles, ce qui nous permet de revisiter la notion de fonction.» Les exercices associés au cours d IDM sont en inter-connection avec les autres cours présents dans le cursus des étudiants. Ils sont principalement inspirés de situations extraites des cours d analyse et d algèbre linéaire, deux cours importants de la première année du cursus de ces étudiants. À titre d exemple, nous présentons dans la Figure 1 un extrait d une démonstration du cours d algèbre linéaire, faisant intervenir le symbole somme, noté «S». Remarquons que ce symbole y est utilisé avec plusieurs indices : i et j. Ce symbole a déjà été rencontré dans l enseignement secondaire par les étudiants, mais sous le statut d une simple notation. Les règles de calculs mettant en jeu ce symbole et leurs justifications n ont pas fait l objet d un enseignement dans cette institution. Le cours d IDM présente ce symbole et ses propriétés dans le premier chapitre. À titre d exemple, les exercices associés proposent, entre autres, la justification de l égalité présentée à la Figure 1. m «m «m m «««a i ««bijxj = ««a ibij xj i= 1 «j= 1 «j= 1«i= 1 «Figure 1: Extrait du cours d algèbre où intervient le symbole S Nous souhaitons évaluer l impact de ce cours sur l utilisation par les étudiants du formalisme mathématique ainsi que leur capacité à transposer ce savoir-faire dans les autres cours. Nous proposons dans la section suivante une stratégie que nous envisageons pour cette évaluation. COLLOQUE_livre 2.indd /05/11 10:44

5 Les courants de la professionnalisation : enjeux, attentes, changements 549 V. Évaluation du dispositif proposé Une première analyse du fonctionnement du dispositif peut être déduite des réponses fournies par les étudiants au questionnaire d évaluation institutionnelle imposé pour ce cours. Sur chacune des trois premières années de fonctionnement, plus de 70% des étudiants considèrent le cours comme très intéressant à intéressant. Les réponses aux questions ouvertes mettent en évidence le fait que ce dispositif aide les étudiants à mieux comprendre les autres cours du cursus. Par exemple : «[Ce cours est] intéressant dans le sens où nous avons eu l opportunité de mieux comprendre et d apprendre à employer correctement des outils mathématiques de base [ ]». «Le cours est très utile en tant qu outil pour les autres cours et éventuellement pour combler quelques lacunes du secondaire». L évaluation institutionnelle imposée étant devenue trisannuelle, nous savons aussi qu en 2009, 94% des étudiants trouvaient que le cours d IDM les avait incités à faire des liens avec d autres cours et avec leurs connaissances antérieures. Nous aimerions, à terme, évaluer plus finement l impact du cours d IDM sur l apprentissage des étudiants. Les étudiants inscrits en première année de bachelier en sciences physiques à l université de Namur suivent le même cours d analyse et d algèbre que les étudiants inscrits en sciences mathématiques, mais le cours d IDM ne figure pas dans leur cursus. Ces étudiants peuvent donc constituer en quelque sorte un «groupe témoin» par rapport au «groupe expérimental» des mathématiciens lors de l évaluation du cours d IDM. La stratégie d évaluation du cours d IDM que nous comptons mettre en place dès la rentrée académique 2011 se compose de plusieurs parties qui prendraient place tout au long de l année académique. Nous les décrivons ci-après. Nous comptons tout d abord proposer, au moment de la rentrée académique (septembre), un prétest écrit pour les deux groupes d étudiants. Il nous permettra d évaluer les connaissances préalables des étudiants concernés relatives au formalisme et à la démarche mathématiques. À la fin du premier quadrimestre (janvier), lors des examens, nous souhaitons récolter différentes informations. Nous les décrivons et les motivons ci-dessous : - afin d améliorer le cours d IDM, nous envisageons de proposer aux étudiants du groupe expérimental un questionnaire qualitatif écrit sur l appréciation de l aide que leur a apportée le cours ; - afin de mesurer l évolution des connaissances concernant le formalisme et la démarche mathématiques des étudiants du groupe expérimental, nous pouvons comparer les réponses au prétest de ces étudiants avec COLLOQUE_livre 2.indd /05/11 10:44

6 550 Questions de pédagogies dans l'enseignement supérieur leurs réponses à l examen (écrit) d IDM ; - afin d évaluer le transfert d un cours à l autre de connaissances relatives au formalisme et à la démarche mathématiques, nous pouvons comparer les résultats des étudiants du groupe expérimental obtenus à leur examen d IDM à ceux de leur examen (partiel) d analyse (écrit), et plus précisément, examiner certaines réponses de l examen d analyse dont la formulation requiert l utilisation du formalisme mathématique ; - afin de mesurer l utilisation d une syntaxe du langage mathématique dans la formulation des réponses des étudiants, et de voir si elle est significativement différente d un groupe à l autre, nous pouvons comparer les réponses des étudiants du groupe expérimental et du groupe témoin aux questions de l examen (partiel) d analyse. À la fin de l année académique (mai), afin d évaluer les connaissances relatives au formalisme et la démarche mathématiques des étudiants du groupe témoin, nous pouvons proposer à ces étudiants, le prétest auquel ils avaient répondu en début d année académique. Ensuite, pour nous permettre de connaître les stratégies qu ils ont mises en place pour l apprentissage du formalisme mathématique, nous pouvons leur proposer un questionnaire qualitatif écrit. Enfin, dans le but de mesurer l utilisation d une syntaxe du langage mathématique dans la formulation des réponses des étudiants des deux groupes, et de voir dans quelle mesure une différence existe entre ceux-ci, nous avons l intention de comparer les réponses de ces étudiants avec les questions de l examen final (écrit) d analyse et de l examen final (écrit) d algèbre. Bien entendu, les différentes étapes de la stratégie décrite dans cette section V devraient idéalement être mises en œuvre durant plusieurs années académiques consécutives, pour neutraliser d éventuels effets de cohorte. VI. Conclusion Nous avons motivé et présenté dans cet article une expérience d enseignement qui a été introduite à l université de Namur pour tenter d aider les étudiants désirant entamer des études universitaires en sciences mathématiques à maîtriser divers objets du langage mathématique. Ces objets, bien que déjà utilisés dans les années antérieures de la scolarité des étudiants concernés, n ont cependant jamais fait l objet d une présentation spécifique, alors qu ils sont systématiquement utilisés dans les cours universitaires suivis par les étudiants de cette section. L expérience d enseignement présentée dans cet article consiste en un cours d Introduction à COLLOQUE_livre 2.indd /05/11 10:44

7 Les courants de la professionnalisation : enjeux, attentes, changements 551 la Démarche Mathématique [Thiry, 2005]. Après plusieurs années de pratique de cet enseignement, nous proposons une stratégie permettant l analyse de cette expérience, que nous espérons mettre en place dès la rentrée académique Références Brousseau, G. (1998). La théorie des situations didactiques. Grenoble : La Pensée Sauvage. Chevallard, Y. (2007). Passé et présent de la théorie anthropologique du didactique. Actes du premier «Congrès de la théorie anthropologique du didactique», Universidad de Jaén, octobre Baeza, Espagne : L. Ruiz-Higueras, A. Estepa, & F. Javier García (Éd.). De Vleeschouwer, M. (2010). Enseignement à l Université, perspective institutionnelle et contrat didactique : le cas de la dualité en algèbre linéaire. Thèse de doctorat de l université de Namur, Belgique. Dorier J.-L. (1997) Ed. L enseignement de l algèbre linéaire en question. Grenoble : La pensée sauvage. Gueudet, G. (2008). «La transition secondaire-supérieur : résultats de recherches didactiques et perspectives». In Rouchier A. et Bloch I. (ed.), Perspectives en didactique des mathématiques. Cours de la XIII ème école d été de didactique des mathématiques. Grenoble : La Pensée Sauvage, pp Thiry, S. (2005). Initiation à la démarche mathématique: Premier baccalauréat en sciences mathématiques. Namur : Faculté des Sciences de l Université de Namur. Artigue M. (2004). Le défi de la transition secondaire-supérieur. Que peuvent nous apporter les recherches en didactique des mathématiques? Actes du premier «Congrès Canada-France des sciences mathématiques», Toulouse, juillet Toulouse, France. COLLOQUE_livre 2.indd /05/11 10:44

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