Question 1 Algèbre de Boole (6 pts 20 minutes)

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1 ELE1300 Automne Examen intra 1/10 Question 1 Algèbre de Boole (6 pts 20 minutes) Sachant que A, B et C sont des variables booléennes. Démontrer que : a) A (A+ B )( A +B) = A B A (A+ B )( A +B) = A (A +B) (A+ B ) = A (A+ B ) = A B b) A B A B = A A B A B = ( A B + A B )( A B +A B) = ( A B + A + B )( A+ B +A B) = ( A + B )( A+ B ) = A + A B +AB = A c) ( B + A B + C ) ( A+ B +A C) = A B + B C + B C ( B + A B + C ) ( A+ B +A C) = ( B + C ) ( A+ B +C) = AB+ B C + A C + B C = AB + B C + A B C + ABC + B C = A B + B C + B C

2 ELE1300 Automne Examen intra 2/10 Question 2 Analyse et synthèse de circuits (7 pts 30 minutes) L implémentation d une fonction logique Z relativement complexe repose sur un XOR de deux autres fonctions X et Y comme indiqué sur le schéma suivant : 1) En considérant que les portes XOR et XNOR à N entrées ont un coût 2N, calculer le coût des fonctions X, Y et Z telles qu elles ont été implémentées. Coût de X(A, B, C, D) = (3+1) + (2+2) = 8 Coût de Y(A, B, C, D) = (3+1) + (2+2) = 8 Coût de Z(A, B, C, D) = = 20 2) Trouver l expression disjonctive simplifiée de X au moyen de la table de Karnaugh. Évaluer son coût minimal. X = D+ A B C AB/CD X Coût (3+1)+(2+1)=7

3 ELE1300 Automne Examen intra 3/10 3) Trouver l expression conjonctive simplifiée de Y au moyen de la table de Karnaugh. Évaluer son coût minimal. Y = (A + D)(B + D)(C + D) AB/CD Y Coût (3+1)+3(2+1)=13 4) Trouver l expression conjonctive simplifiée de Z en vous basant sur les résultats précédents. Évaluer le coût minimal de cette implémentation. Z = A + B+ C AB/CD Z Coût 3+1 = 4 5) Dessinez le circuit optimisé.

4 ELE1300 Automne Examen intra 4/10 Question 3 Circuits avec mux/démux (6 pts 20 minutes) Considérant le circuit suivant implémentant la fonction X : 1) Trouver l expression algébrique de X sous la forme d un produit de sommes : X = 1 A B C D+ A B CD+ A BCD X = A B C D+ A B CD+ A BCD X = (A + B +C + D )(A +B + C + D ) (A + B + C + D ) 2) Donner la table de Karnaugh à variable inscrite de X sans simplifier (inscrire D) :

5 ELE1300 Automne Examen intra 5/10 3) Dessiner dans la zone en pointillés le circuit permettant d obtenir X en sortie

6 ELE1300 Automne Examen intra 6/10 Question 4 Utilisation d un circuit usuel (4 pts 20 minutes) Vous avez fait sous-traiter un travail par une compagnie méchante qui a voulu garder le secret de sa technologie. Voici une partie de circuit combinatoire qu ils ont conçu. Vous voulez trouver l expression algébrique de la fonction F(A, B, C, D). Rappelons que si toutes les entrées e0 à e7 valent toutes 0 alors GS, s2,s1et s0 vallent 0 également. Dans les autres cas, GS vaut 1 et s2s1s0 encodent la position du bit le plus fort qui est à 1. Un ingénieur expérimenté vous aide dans votre démarche. Voici les étapes qu il vous suggère : 1) Exprimer la valeur de F si A=1 : Si A = 1, GS = 1 et la sortie du ET (notée X) vaut 1, F = GS X=1 1=0. 2) Exprimer F si A=0, B=0, C=0 et D=0 : GS = 0, X = 0, F = GS X=0 0=0. 3) Exprimer F si A=0 et (B, C, D) (0, 0, 0) : GS = 1, X = 0, F = GS X=1 0=1 4) Exprimer algébriquement la fonction F(A, B, C, D) : F(A, B, C, D) = A 0 + A (B+C+D) = A B+ A C+ A D

7 ELE1300 Automne Examen intra 7/10 Question 5 - Quine-McCluskey (7 pts 30 minutes) Soit la table de vérité de la fonction logique F(A,B,C,D) : A B C D F ) Retranscrire les maxterms de la fonction F sous forme binaire en soulignant les maxterms facultatifs exemple : 1110 pour ( A +B+ C + D ): F(A,B,C,D) = ) Procéder par la méthode Quine-McCluskey pour simplifier la fonction F(A,B,C,D) et identifier les impliqués premiers X X 0101 X101 1X1X X X X X X Impliqués premiers sous forme binaire :

8 ELE1300 Automne Examen intra 8/10 0X00 ; 010X ; X101 ; 11X1 ; 1X1X 3) Utiliser la table suivante pour identifier les impliqués essentiels de F(A,B,C,D) x 0 0X00 (*) x 1 010X * x 2 X101 * * x 3 11X1 * * x 4 1X1X * Impliqués essentiels : 0X00 4) Les impliqués essentiels couvrent-ils l ensemble des maxterms? Si oui, donner l expression conjonctive simplifiée de la fonction F(A,B,C,D). Autrement, suggérer une solution et donner l expression conjonctive simplifiée de la fonction F(A,B,C,D) ainsi obtenue. L impliqué essentiel ne suffit pas à couvrir l ensemble des maxterms. Nous utilisons la méthode de Petrick pour terminer. P(x 0, x 1, x 2, x 4 ) = x 0 (x 1 +x 2 )(x 2 +x 3 )(x 3 +x 4 ) P(x 0, x 1, x 2, x 4 ) = x 0 (x 1 x 3 +x 2 )(x 3 +x 4 ) P(x 0, x 1, x 2, x 4 ) = x 0 (x 1 x 3 +x 1 x 3 x 4 +x 2 x 3 + x 2 x 4 ) P(x 0, x 1, x 2, x 4 ) = x 0 x 1 x 3 + x 0 x 1 x 3 x 4 + x 0 x 2 x 3 + x 0 x 2 x 4 P(x 0, x 1, x 2, x 4 ) = x 0 x 1 x 3 + x 0 x 2 x 3 + x 0 x 2 x 4 Coût de x 0 x 1 x 3 = (3+1) + (3+1) + (3+1) + (3+1) = 16 Coût de x 0 x 2 x 3 = (3+1) + (3+1) + (3+1) + (3+1) = 16 Coût de x 0 x 2 x 4 = (3+1) + (3+1) + (3+1) + (2+1) = 15 On retient la quatrième solution pour son coût : F(A, B, C, D) = (A+C+D)( B +C+ D )( A +C)

9 ELE1300 Automne Examen intra 9/10 5) Confirmer votre résultat en utilisant une table de Karnaugh

10 ELE1300 Automne Examen intra 10/10 Question 6 Bonus Cette question est facultative. Toutefois, la réussir montrerait que vous maitrisez la matière à un niveau supérieur à ce qui est normalement attendu de vous et nous permettrait de le prendre en note à votre avantage. Donnez l expression algébrique de la fonction F(A, B, C, D) sous forme conjonctive en détaillant clairement votre démarche. L entrée acheminée par le mux coïncide avec la sortie active du demux lorsque A = C. Alors, la fonction F vaut D. Autrement, elle vaut 0. Il en ressort que : F(A, B, C, D) = ACD+ A C D = D( A +C)(A+ C ) Bon travail!