Mathématiques et Océanographie

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1 Mathématiques et Océanographie Anne-Laure Dalibard Département de mathématiques et applications École normale supérieure 20 avril 2011 Journées Académiques de l IREM de Nantes

2 Plan Présentation rapide des modèles d océanographie La communauté mathématique en océanographie Trois exemples d étude mathématique de modèles issus de l océanographie

3 Présentation rapide des modèles d océanographie Plan Présentation rapide des modèles d océanographie La communauté mathématique en océanographie Trois exemples d étude mathématique de modèles issus de l océanographie

4 Présentation rapide des modèles d océanographie L océan, un système complexe Par sa géométrie Courbure terrestre Découpe des côtes Relief sous-marin

5 Présentation rapide des modèles d océanographie L océan, un système complexe Par ses couplages Attraction de la lune Gravité terrestre Forçage par l atmosphère

6 Présentation rapide des modèles d océanographie L océan, un système complexe Par la superposition de nombreux mouvements Echelle planétaire : rotation de l océan avec la Terre Echelle 1000 km : grands courants (Gulf Stream, Kuroshio) phénomènes quasi périodiques (El Niño) Echelle 10 km : marées, houle, déferlement des vagues phénomènes localisés en temps (raz de marée)

7 Présentation rapide des modèles d océanographie Conséquences Description universelle non pertinente. Isolation de sous-problèmes, dont l étude numérique et théorique est plus simple. FIG.: «Maillage adapté» de la Terre avec zoom sur l archipel de Mururoa

8 La communauté mathématique en océanographie Plan Présentation rapide des modèles d océanographie La communauté mathématique en océanographie Trois exemples d étude mathématique de modèles issus de l océanographie

9 La communauté mathématique en océanographie Contributions des mathématiques en océanographie Validation théorique et numérique des modèles et des approximations ; Anticipation d évènements exceptionnels ; Amélioration de la rapidité des calculs et de la qualité des prédictions.

10 La communauté mathématique en océanographie Trois grandes composantes en interaction permanente Modélisation Analyse théorique Analyse numérique

11 La communauté mathématique en océanographie La modélisation en océanographie Identification des échelles et paramètres pertinents ; Identification des phénomènes à modéliser ; Proposition de mécanismes expliquant ces phénomènes ; Proposition de systèmes simplifiés dont l étude mathématique est possible : exemples : courants marins à grande échelle comportement près des côtes tsunamis déferlement des vagues

19 La communauté mathématique en océanographie L analyse mathématique théorique en océanographie Preuve du caractère «bien posé» des modèles (existence et unicité des solutions). Analyse asymptotique des modèles (quand des petits paramètres tendent vers zéro). Analyse de la stabilité des solutions stationnaires («points d équilibre» du système). Stabilité : si la donnée intiale du système est proche d une solution stationnaire, on reste proche de cette solution stationnaire pour tout temps. Instabilité : signe que le modèle de départ devient faux. Attention! en général, pas de solution explicite (c est-à-dire pas de formule), même pour les modèles simplifiés!

20 La communauté mathématique en océanographie L analyse mathématique théorique en océanographie Preuve du caractère «bien posé» des modèles (existence et unicité des solutions). Analyse asymptotique des modèles (quand des petits paramètres tendent vers zéro). Exemples de petits paramètres : Rapport d aspect : δ = D L où D= profondeur ; D 4km ; L= longueur horizontale typique ; 10 2 km L 10 4 km. δ 1 : approximation de couche mince ; Nombre de Rossby : Ro = U fl où U= vitesse horizontale typique ; U 1cm s 1 ; f = 2Ω 0 sin θ : paramètre de Coriolis ; f 10 5 s 1. Ro 1 : fluide en rotation rapide ; Viscosité turbulente...

21 La communauté mathématique en océanographie L analyse mathématique théorique en océanographie Preuve du caractère «bien posé» des modèles (existence et unicité des solutions). Analyse asymptotique des modèles (quand des petits paramètres tendent vers zéro). Analyse de la stabilité des solutions stationnaires («points d équilibre» du système). Stabilité : si la donnée intiale du système est proche d une solution stationnaire, on reste proche de cette solution stationnaire pour tout temps. Instabilité : signe que le modèle de départ devient faux. Attention! en général, pas de solution explicite (c est-à-dire pas de formule), même pour les modèles simplifiés!

22 La communauté mathématique en océanographie L analyse numérique en océanographie Calcul effectif de solutions approchées des modèles ; Prédiction de comportements explosifs/instables ; Analyse de la dépendance en les paramètres ; Développement de codes plus précis ou plus rapides, se fondant sur l analyse mathématique du système.

26 La communauté mathématique en océanographie Les équations typiques en océanographie Les inconnues : la vitesse u (t, x ) et la pression p(t, x ) de l eau au temps t au point x = (x 1, x 2, x 3 ) (on ne suit pas les particules) Les équations du mouvement : ( ρ 0 t + u u ) } {{ } accélération } {{ u = 0 }, incompressibilité = p + ρ } {{ } 0 g + ρ }{{} 0 u Ω } {{ } pression gravité force de Coriolis établies par L. Euler en 1755 dans le cas d un fluide non visqueux ( correspond à une dérivation par rapport aux variables (x 1, x 2, x 3 )).

30 La communauté mathématique en océanographie Enjeux futurs Élaboration des modèles complexes : couplage océan-atmosphère (vent, évaporation), propriétés du fluide (salinité, température) ; Compréhension de phénomènes exceptionnels à l aide de méthodes statistiques : calcul du mouvement moyen (turbulence) et de la déviation.

31 Trois exemples d étude mathématique de modèles issus de l océanographie Plan Présentation rapide des modèles d océanographie La communauté mathématique en océanographie Trois exemples d étude mathématique de modèles issus de l océanographie Phénomène des «eaux mortes» Couches limites près des côtes Tsunamis

33 Trois exemples d e tude mathe matique de mode les issus de l oce anographie Observation historique «Le Fram semblait e tre comme freine par une force myste rieuse, comme si le moteur ne re pondait pas correctement? Nous avons fait des de tours le long de notre route, voire des boucles comple tes, essaye toute sorte de ruses pour nous e chapper, en vain.» Fridtjof Nansen ( ) «Je sugge rai que la grande re sistance subie par le navire e tait due au travail consomme par la production de ces ondes [internes]...» Vilhelm Bjerknes, ( )

34 Trois exemples d étude mathématique de modèles issus de l océanographie Premier mécanisme : génération d ondes par le mouvement du bateau Reproduction expérimentale par M. Mercier, R. Vasseur et T. Dauxois (ENS Lyon). Régime d observation : couche mince, fluides homogènes et incompressibles, effet de la rotation négligeable ; Deux couches de fluides l une sur l autre : Couche supérieure : douce et chaude, donc moins dense Couche inférieure : salée et froide, donc plus dense La petite déformation en surface causée par le mouvement du bateau induit une onde de grande amplitude à l interface entre les deux fluides.

35 Trois exemples d étude mathématique de modèles issus de l océanographie Second mécanisme : l onde interne générée freine le bateau L onde engendrée par le mouvement du bateau modifie la pression, qui obéit à la loi de Bernouilli : Schématiquement : P = ρgz 1 2 ρ u 2, où u est la vitesse du fluide. À cause de l onde interne, u prend des valeurs non-nulles : onde de dépression. La diminution de la pression est plus forte à l arrière du bateau qu à l avant (l onde est en retrait du bateau). Résultante des forces de pression exercées sur la coque du bateau : force de freinage. Attention : il n y a pas besoin que l interface entre les fluides vienne toucher le bateau pour que celui-ci soit freiné!

36 Trois exemples d étude mathématique de modèles issus de l océanographie Travail du mathématicien dans ce contexte Vincent Duchêne, doctorant : Justification rigoureuse des modèles utilisés par analyse asymptotique ; Analyse qualitative de deux régimes asymptotiques (non-linéaire vs. quasi-linéaire) : caractère bien posé, comportement qualitatif, calcul d une solution approchée ; Calcul de la force de freinage (coefficient de résistance) dans ces régimes ; Simulations numériques de l onde et du terme de freinage.

38 Trois exemples d étude mathématique de modèles issus de l océanographie Description du phénomène Observation : forts courants près des côtes Ouest : FIG.: Carte de 1943, source : Wikipedia Contexte d étude : Latitudes tempérées ; Fond plat, surface plate. Côtes «régulières» Conséquence : fluide bi-dimensionnel (pas de vitesse verticale).

39 Trois exemples d étude mathématique de modèles issus de l océanographie Explication sur un modèle jouet Deux points à expliquer : Pourquoi les courants sont-ils plus forts près des côtes? Pourquoi y a-t-il une dissymétrie Est/Ouest? Existence de couches limites près des côtes. Modèle simpliste : océan=[0, 1] ; composante Nord/Sud de la vitesse des courants : u(x) = ψ (x). Équation vérifiée par ψ : du type avec ε 0. εψ + ψ = 1, ψ(0) = ψ(1) = 0 Résolution explicite possible!

40 Trois exemples d étude mathématique de modèles issus de l océanographie Explication sur un modèle jouet (suite) Comportement asymptotique pour ε 0 de εψ + ψ = 1, ψ(0) = ψ(1) = 0 ε = 10 3 ε = 10 3 Existence de couches limites dans tous les cas ; Toujours une dissymétrie entre x = 0 et x = 1 ; Le problème limite dépend du signe de ε! u(x) = ψ (x) est très grand (d ordre 1/ε) à l endroit de la couche limite.

41 Trois exemples d étude mathématique de modèles issus de l océanographie Retour sur le cas des océans L équation est un peu plus compliquée... Domaine bi-dimensionnel Équation aux dérivées partielles (en x et en y) Équation d ordre 4... mais l idée est la même! Intensification des courants : présence de couches limites ; Dissymétrie Est/Ouest : signe de ε Dans le cas de l océan, ε 1/ cos θ < 0, où θ est la latitude ; Forts courants sur les bords Ouest.

42 Trois exemples d étude mathématique de modèles issus de l océanographie Retour sur le cas des océans L équation est un peu plus compliquée... Domaine bi-dimensionnel Équation aux dérivées partielles (en x et en y) Équation d ordre 4... mais l idée est la même! Intensification des courants : présence de couches limites ; Dissymétrie Est/Ouest : signe de ε Dans le cas de l océan, ε 1/ cos θ < 0, où θ est la latitude ; Forts courants sur les bords Ouest.

43 Trois exemples d étude mathématique de modèles issus de l océanographie Travail du mathématicien dans ce contexte A.-L. D. et Laure Saint-Raymond Justification rigoureuse de l existence de couches limites sur les bords Ouest Mise en évidence de couches limites beaucoup plus grandes sur les bords Nord et Sud (inconnues jusque là!) Mise en évidence de l importance de la géométrie du domaine (domaines avec bosses...)

45 Trois exemples d étude mathématique de modèles issus de l océanographie Les trois phases de la propagation Déclenchement : fait suite à une dislocation rapide des fonds marins (tremblement de terre sous-marin, glissement de terrain, éruption volcanique...) Propagation : onde longue : longueur d onde : λ = 100km, période : 1/2 h Modèle en eau peu-profonde (couche mince) ; Propagation à vitesse rapide : c = gλ 700 km h 1! (ralentit près des côtes...) Déferlement : responsable des inondations.

46 Trois exemples d étude mathématique de modèles issus de l océanographie État de l art en mathématiques Les trois phases sont importantes ; Les codes de calcul sont spécialisés dans une seule des trois phases ; La détermination des zones à risque est relativement bien comprise, sous réserve de connaître l amplitude initiale de la vague (ce n est pas le cas en général...) ; La phase de déclenchement, cruciale pour l évolution globale, est très difficile à modéliser.

47 Trois exemples d étude mathématique de modèles issus de l océanographie Quelques éléments de modélisation Régime de type couche mince : on néglige les variations suivant la verticale ; Phase de déclenchement : on répercute sur la surface de l eau la déformation brutale du fond marin : Propagation linéaire dans les premiers instants, puis des effets non linéaires apparaissent.

48 Trois exemples d étude mathématique de modèles issus de l océanographie Difficultés Les simulations montrent une forte dépendance en la condition initiale. Or celle-ci est très mal connue... Solution envisageable pour prévenir les risques d inondation : avoir une bibliothèque de scénarios possibles pour décider dans l urgence. L amplitude de l onde est très sensible à la bathymétrie locale (relief du fond sous-marin), qui est souvent mal connue

49 Trois exemples d étude mathématique de modèles issus de l océanographie Rôle des mathématiciens Comprendre la structure mathématique des équations pour les simplifier ; Proposer de bonnes approximations, des codes de calcul performants. Une large communauté travaille sur ce sujet, dans tous les aspects mathématiques (modélisation, analyse théorique, simulations numériques).

50 Trois exemples d étude mathématique de modèles issus de l océanographie Enjeux futurs Meilleure compréhension de la phase de déclenchement ; Rapidité des prédictions en temps réel ; Calcul de l amplitude locale des vagues.

51 Trois exemples d étude mathématique de modèles issus de l océanographie Conclusions Domaine très riche du point de vue des mathématiques ; Interactions nombreuses ; Enjeux humains importants.

52 Trois exemples d étude mathématique de modèles issus de l océanographie Sources http :// http ://fr.wikipedia.org/wiki/plaine abyssale http ://fr.wikipedia.org/wiki/force de Coriolis http :// http ://culturesciencesphysique.enslyon.fr/xml/db/csphysique/metadata/lom CSP Phenomeneeaux-mortes.xml http :// duchene/docs.html Soutenance de thèse de Denys Dutykh, http ://tel.archives-ouvertes.fr/tel / http ://images.math.cnrs.fr/modelisation-mathematiquedes.html