29/09/2015 Statistiques A.RONNE. Pierre GAUTHIER LEA 2

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1 29/09/2015 Statistiques A.RONNE Pierre GAUTHIER LEA 2

2 Plan du cours Introduction Chapitre 1 : Notions de base Chapitre 2 : Méthodes numériques permettant de résumer une série Chapitre 3 : Indice et taux de croissance

3 Introduction Qu est-ce que la statistique? La statistique est l art et la science de collecter, d analyser, de présenter et d interpréter des données. La statistique permet de résumer et d interpréter une réalité complexe, et est un outil aidant à la prise de décision. Difficultés La statistique doit être facile à concevoir et à calculer. Elle ne permet pas de décrire tous les profils. Les indicateurs doivent être neutres et facilement interprétables. L interprétation des indicateurs est indispensable. Domaines d utilisation Médecine : études épidémiologiques Finance : comparer plusieurs informations permet la prise de décision Marketing : connaissance des comportements moyens des consommateurs Production : contrôle de la qualité Economie : visualiser l état de l économie Démographie, politique Inférence statistique La population est souvent trop importante. Pour réduire le coût de collecte, on utilise un échantillon de la population observée. A partir de l étude de cet échantillon, possibilité d estimer les comportements ou caractéristiques pour toute la population (contrôle de la qualité).

4 Chapitre 1 : Notions de base Vocabulaire statistique Population : ensemble des éléments considérés dans une étude particulière Echantillon : sous-ensemble de la population Unité statistique : élément de la population (individus, animaux, pays ) La population (ou l échantillon) est décrite selon différents critères (données variables quantitatives) ou caractères (données variables qualitatives). Ces variables correspondent en fait aux questions posées à la population dans le cadre d un sondage, par exemple. Chaque caractère peut présenter différente modalités (hommes-femmes pour le sexe, chômeursalarié-étudiant pour le statut ) Effectif : Nombre d occurrences de chaque modalité Mener une étude statistique doit se faire de la même façon qu une étude bibliographique : étape par étape et sur la base d une ou plusieurs source(s) fiable(s). Données quantitatives : critères mesurables, représentés par des chiffres. Exemple : superficie, PIB, CA, ventes Données qualitatives : caractères non-mesurables (noms ou étiquettes). Exemple : discipline, cursus, monnaie, couleur Attention aux confusions possibles Tout ce qui est numérique n est pas quantitatif. L âge est quantitatif car mesure une quantité (d années) et peut faire l objet d une moyenne, tandis que le numéro de sécurité sociale est qualitatif et porte un sens. Données en coupe transversale et données en séries temporelles Coupe transversale : données collectées à peu près au même moment ou pour une même période (année, mois, jours). Séries temporelles : données collectées sur plusieurs périodes (années, mois, jours )

5 Variables discrètes et variables continues Variables discrètes : les modalités ne peuvent prendre que certaines valeurs (cursus, nombre d enfants par famille). Variables continues : la variable peut prendre toutes les valeurs sur un intervalle. Ces valeurs sont souvent représentées sous formes d intervalles (superficie, revenu ) Les variables qualitatives sont toujours discrètes. Présentation des données Les données qualitatives (cf diaporama page 14) Il n y a qu une seule variable (la marque), possédant 5 modalités (Coca-cola, Pepsi ). C est une variable qualitative. Le nombre de bouteilles vendues est l effectif de cette modalité. On calcule alors la fréquence relative. Fréquence relative = Effectif de la modalité "x" Effectif total Pour obtenir la fréquence relative en %, on multiplie le résultat du calcul ci-dessus par 100. La fréquence cumulée, comme son nom l indique, est le cumul (la somme progressive) des fréquences relatives en %. La fréquence cumulée permet de grouper certaines fréquences relatives, et facilite ensuite l interprétation. Les données quantitatives (cf diaporama page 15) Pour faciliter la lisibilité des chiffres, il faut procéder à un regroupement en classes («segments»). Il faut donc choisir le nombre de classes. Choisissons 5 classes. Largeur approximative de la classe = (cf diaporama page 16) Valeur la plus élevée valeur la plus faible nombre de classes Chaque donnée ne doit appartenir qu à une seule et unique classe : Amplitude de la classe = Valeur la plus élevée de la classe la valeur la plus faible Centre de la classe = Valeur la plus élevé + valeur la plus faible 2

6 Quatre principes fondamentaux pour la présentation d un tableau ou d un graphique : Le titre (le plus précis possible) La source des données L intitulé des lignes et des colonnes Les unités des variables Représentation graphique A. Le diagramme en bâtons Effectifs en niveau ou en pourcentage B. Le diagramme circulaire («Camembert») Répartitions en % La valeur visuelle est l angle de chaque unité (cf diaporama page 18) (cf diaporama page 19) C. L Histogramme (cf diaporama pages 20 et 21) Variables continues Doit représenter des densités, notamment lorsque les classes sont d amplitudes inégales. (augmenter la largeur des bâtons lorsque la classe est plus grande) o Densité = effectif amplitude de la classe o Effectif corrigé = densité amplitude minimale

7 Chapitre 2 1. Statistiques résumant la tendance centrale Moyennes Médiane Quantiles Mode 2. Statistiques résumant la dispersion Variance Ecart-type Coefficient de variation INTRODUCTION Deux étudiants qui ont des moyennes identiques peuvent-ils être considérés comme égaux? Un étudiant qui obtient une moyenne de 16/20, est-il un bon élève? Pour répondre à ces questions, il faut connaître la moyenne, la médiane et/ou la répartition des notes. 1. Statistiques résumant la tendance centrale Moyennes Moyenne arithmétique simple : cf diapo p25 (=moyenne classique) Moyenne arithmétique pondérée : cf diapo p25 (= moyenne coefficientée) Moyenne avec des données groupées : on suppose que les données sont réparties de manière homogène à l intérieur des classes. On utilise donc le centre de classe. Version simplifiée et pas-à-pas : Moyenne simple et pondérée (Educastream) Problème : La moyenne doit, pour être significative, être calculée sur un grand échantillon. De plus elle est sensible aux valeurs extrêmes. La Moyenne ne suffit pas pour caractériser finement une série.

8 Médiane Celle-ci correspond à la valeur centrale de la population (partage la population en 2) > 50% de l effectif se situe en dessous de la médiane et 50% de l effectif se situe au-dessus. a. Si toutes les modalités ont les mêmes effectifs (pas de coefficients), on classe les données par ordre croissant et : Si l effectif est impair, alors la médiane est la valeur centrale Si l effectif est pair, alors la médiane est obtenue en faisant la moyenne des deux valeurs centrales. b. Si toutes les modalités n ont pas toutes les mêmes effectifs, on classe les observations par ordre croissant, et : On calcule les fréquences cumulées (fréquence = pourcentage d occurrence --- fréquence cumulée = fréquences additionnées à chaque ligne) On détermine la médiane par interpolation linéaire («ligne entre 2 points») Calculer le coefficient directeur (formule dans le diaporama) entre les deux points les plus proches de 50% des fréquences cumulées (l un au-dessus, l autre au-dessous, ex : 36 et 62). Pour rendre la tâche plus facile, ne pas hésiter à tracer un graphique de la droite imaginaire entre les deux points, avec les Fréquences Cumulées en ordonnée et les modalités en abscisse. Médiane avec des données par classe [classe=intervalle] (cf diapo p30) La médiane se situe dans la classe [600 ; 700[ car les fréquences cumulées montrent que le 50% se trouve après la modalité 600 (38,09% sous 600 et 83,33% sous 700). Quantiles Généralisent la médiane : - Quartiles : partagent les observations en 4 groupes égaux, chacun représentant 25% des observations. (même chose que la médiane, sauf qu on cherche le point des 25% au lieu des 50%) o EX : Q1 = 479,18 (soit 25% des dépenses mensuelles sont inférieures à 479, 18 ) Q3 = 681,58 (soit 75% des dépenses mensuelles sont inférieures à 681,58 ) - Déciles : partagent les observations en 10 groupes égaux, chacun représentant 10% des observations. - Centiles : partagent les observations en 100 groupes égaux, chacun représentant 1% des observations. Mode C est la variable qui a l effectif (ou la fréquence) le plus grand.

9 Si la variable est qualitative ou quantitative discrète, le mode correspond à l effectif (ou la fréquence) maximal. Si la variable est quantitative continue, on parle de classe modale et il faut calculer la valeur modale. NB : S il y a deux fois un effectif maximal (une égalité d effectif) il n y a pas de mode. 2. Statistiques résumant la dispersion La moyenne et/ou la médiane ne permettent pas d apprécier la répartition des données. Quelle statistique construire? - Valeur maximale et valeur minimale - Intervalle de variation : valeur maximale valeur minimale Problème : les valeurs extrêmes peuvent être très différentes des autres valeurs. - Intervalle interquartile ou interdécile : Q3-Q1 ou D9-D1 o Délimitent la plage au sein de laquelle 50% ou 80% des valeurs sont regroupées. Plus ces plages sont larges, plus les valeurs sont dispersées. Problème : ne prend pas en compte toutes les valeurs. Variance Somme des écarts à la moyenne, au carré. Ecart-type Racine de la variance (pour se ramener aux unités de base). Coefficient de variation Rapport entre l écart-type et la moyenne.

10 Chapitre 3 Les séries temporelles 1. Taux de croissance Mesure l évolution d une variable entre deux dates différentes pour un même individu. Notations : V 0 : valeur à la date t = 0 V 1 : valeur à la date t = 1 V 2 : valeur à la date t g t : taux de croissance entre les dates t et t+1 Variation absolue = V 1 V 0 Variation relative = taux de croissance = ((V t V 0)/V 0) * 100 = (V t / V 0 1) * 100 <- Après simplification. - Si on nous donne comme données V 14 = 1000 et g 15/14 = 20% (ATTENTION, il ne faut jamais l utiliser en pourcentage : mettre 0,2 à la place) par exemple, on va faire un calcul différent, du type : V 2008 = (1+g)*V 2000 V 2000 = V 2008/(1+g) Attention : les taux de croissance ne sont pas additifs. Points de croissance = différence entre les deux taux de croissance. Le taux de croissance de Caen est 2,5 points plus élevé que le taux de croissance de Brest. - Taux de croissance d un produit : - Taux de croissance d un quotient (PIB/hab par exemple) : - Approximations : Pour de faibles taux de croissance (<20%), et si c est demandé (sinon utiliser la formule complète), sert aussi à vérifier le calcul éventuellement. Taux de croissance annuel moyen.

11 2. Les indices De nombreuses variables sont exprimées sous forme d indices. Un indice évalue une variation et non un niveau (des vrais prix, ). Ex : L indice du taux de change /$, en 2008 base 100, en 2002 est 160, alors l s est apprécié de 60% par rapport au $. Indices élémentaires Un indice est un rapport de la même variable prise à deux dates différentes ou lieux distincts. Définition : - Indice élémentaire de la variable G, à la date t, base 1 en t = 0, est I t/0 = G t / G 0 - Indice élémentaire de la variable G, à la date t, base 100 en t = 0, est I t/o = G t/g 0 * 100 -> calculés par rapport à l année même - Indice élémentaire chaîné de la variable G, à la date t, base 100 en t = t-1, est I t/t-1 = G t/g t-1 * 100 -> calculé par rapport à l année précédente. Propriétés : - Circularité : Base 1 : I t2/t0 = I t2-t1 * I t1/t0 Base 100 : I t2/t0 = I t2-t1 * I t1/t0 * Réversibilité : I t1-t0 = 1/I t0/t1 - Indice de valeur : Cet indice mesure l évolution du prix et des quantités. => Calculs d indices qui fixent les quantités et donc mesurent uniquement l évolution des prix. - Indice de Laspeyres des prix fixe les quantités à l année de départ (2000) : => Seuls les prix évoluent. - Indice de Paasche des prix fixe les quantités à l année finale ou année courante (2008) : Remarque : on peut faire des indices des quantités sur le même modèle