Développement de méthodes multi-grilles dans le cadre de l intéraction pastille/gaine

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1 Développement de méthodes multi-grilles dans le cadre de l intéraction pastille/gaine January 25, 2011

2 Ce n est le bon chemin que si la flèche vise le coeur, R.Hauser

3 Intéraction Pastille/Gaine Fonctionnement d un réacteur à eaux pressurisées Assemblage combustible Intéraction Pastille/Gaine Théorie de la méthode multi-grille locale Pourquoi utiliser une telle méthode? Description de la méthode d un point de vue général La méthode L.D.C. Mise en place de la méthode L.D.C. Solutions de référence Mise en place numérique Définition des zones de raffinement Résultats obtenus dans le cas 2D Comparatif multi-grille local/solution de référence Etude de convergence en fonction du nombre d itérations V-cycles pour un raffinement à trois éléments Etude de la convergence en maillage de la solution multi-grille Evolution de l erreur relative vis-à-vis du temps CPU Autres résultats Cas du faux-3d avec conditions aux limites identiques au cas 2D Cas 3D avec zone de surpression au niveau du chanfrein

4 Fonctionnement d un réacteur à eaux pressurisées Cycle d un réacteur à eaux pressurisées

5 Assemblage combustible Assemblage combustible Caractéristiques du réacteur 900 MW 3 grilles intermédiaires 264 crayons de hauteur 4m et de diamètre d ordre 1cm Combustible d oxyde d Uranium présent sous forme de pastilles

6 Assemblage combustible Assemblage combustible Caractéristiques du réacteur 900 MW 3 grilles intermédiaires 264 crayons de hauteur 4m et de diamètre d ordre 1cm Combustible d oxyde d Uranium présent sous forme de pastilles

7 Intéraction Pastille/Gaine La pastille et sa gaine Combustible UO 2 Le combustible est protégé par une gaine constituée de Zircaloy-4 Dimensions : 8mm de diamètre et 13mm de haut Différents phénomènes entraînent une modification physique de la pastille

8 Intéraction Pastille/Gaine La pastille et sa gaine Combustible UO 2 Le combustible est protégé par une gaine constituée de Zircaloy-4 Dimensions : 8mm de diamètre et 13mm de haut Différents phénomènes entraînent une modification physique de la pastille

9 Intéraction Pastille/Gaine Modélisation de la pastille fracturée ==> But : Utiliser une modélisation simplifiée sur laquelle mettre en place une méthode multi-grille.

10 Intéraction Pastille/Gaine La gaine modélisée Conditions aux limites Pression de contact dans le domaine intérieur et libre d effort à l extérieur Conditions de symétrie sur les bords supérieurs et inférieurs Singularité apparente dans la région fracturée

11 Intéraction Pastille/Gaine La gaine modélisée Conditions aux limites Pression de contact dans le domaine intérieur et libre d effort à l extérieur Conditions de symétrie sur les bords supérieurs et inférieurs Singularité apparente dans la région fracturée

12 Pourquoi utiliser une telle méthode? Adaptation de maillage Inconvénients Maillage non-structuré Singularité mal-détectée Matrices mal-conditionnées Temps de calcul long

13 Pourquoi utiliser une telle méthode? Adaptation de maillage Inconvénients Maillage non-structuré Singularité mal-détectée Matrices mal-conditionnées Temps de calcul long

14 Pourquoi utiliser une telle méthode? Architecture multi-grille locale Qualités Grilles entièrement structurées Détection automatique de la zone à raffiner Nombre de noeuds réduits Coût de calcul moindre

15 Pourquoi utiliser une telle méthode? Architecture multi-grille locale Qualités Grilles entièrement structurées Détection automatique de la zone à raffiner Nombre de noeuds réduits Coût de calcul moindre

16 Description de la méthode d un point de vue général Notations Nous considérons une suite de maillages emboîtés G l telle que, 0 l l. A chaque niveau de maillage, nous lui associons son domaine ouvert Ω l, de frontière Γ l. Nous définissons également Γ 0,l+1, la frontière non-commune au maillage initiale et à la grille fine de niveau l+1.

17 Description de la méthode d un point de vue général Problème à résoudre Les méthodes multi-grilles permettent de traiter des problèmes elliptiques de type : Lu(x) = f x Ω (1) Conditions aux limites Cu(x) = g x δω (2) Les opérateur L et C peuvent, à priori, ne pas être linéaires. Le système matriciel obtenu reste le même pour chaque niveau l de grille.

18 Description de la méthode d un point de vue général Problème à résoudre Les méthodes multi-grilles permettent de traiter des problèmes elliptiques de type : Lu(x) = f x Ω (1) Conditions aux limites Cu(x) = g x δω (2) Les opérateur L et C peuvent, à priori, ne pas être linéaires. Le système matriciel obtenu reste le même pour chaque niveau l de grille.

19 Description de la méthode d un point de vue général Etape de descente Il s agit du passage du niveau l au niveau l+1, l idée est de résoudre le problème 1 au niveau l+1 avec de nouvelles conditions aux limites sur Γ l+1. Etape de remontée A partir d un résidu (r l+1 ) de notre solution sur le maillage fin, nous définissons un résidu sur le maillage grossier (r l ) tel que : avec r l = (R l l+1 r l+1)(x) x E l,l+1 (3) E l,l+1 { Ω l Ω l+1 } (4) L idée est alors de résoudre le problème 1 au niveau l avec le résidu ajouté au second membre.

20 Description de la méthode d un point de vue général Etape de descente Il s agit du passage du niveau l au niveau l+1, l idée est de résoudre le problème 1 au niveau l+1 avec de nouvelles conditions aux limites sur Γ l+1. Etape de remontée A partir d un résidu (r l+1 ) de notre solution sur le maillage fin, nous définissons un résidu sur le maillage grossier (r l ) tel que : avec r l = (R l l+1 r l+1)(x) x E l,l+1 (3) E l,l+1 { Ω l Ω l+1 } (4) L idée est alors de résoudre le problème 1 au niveau l avec le résidu ajouté au second membre.

21 Description de la méthode d un point de vue général Définition d un V-cycle Afin d obtenir un niveau de précision meilleur, nous pouvons définir ou ou plusieurs sous-niveau(x) supplémentaire(s). Nous définissons alors une itération V-cycle que nous pouvons schémariser de la manière suivante : S : Solveur, P: Prolongement, R: Restriction

22 La méthode L.D.C. Local Defect Correction La méthode multi-grille que nous avons implémentée puis utilisée est la méthode L.D.C. introduite par Hackbush en Nous considérons deux types d ensemble, N l et A l, N l = Ω l Ω l+1 correspond aux noeuds strictement intérieurs de Ω l+1. A l désigne l ensemble des noeuds strictement intérieurs à l ensemble constitué de N l prolongé sur Γ l {Γ l+1 \Γ 0,l+1 }.

23 La méthode L.D.C. Spécification de la méthode L.D.C. L algorithme en lui-même est conforme à la procédure multigrille locale classique. La spécification se joue sur l étape de remontée où nous déterminons la solution corrigée de la manière suivante : ũ l = (R l l+1 u l+1)(x) x N l+1 (5) r l = L l (ũ l )(x) f l x A l+1 (6) Nous obtenons alors la solution corrigée ainsi : L l (u l )(x) = f l + χ Al r l (7) Où χ Al désigne la fonction indicatrice sur l ensemble A l.

24 Solutions de référence Mise en place d une solution analytique Afin de comparer les performances de la méthode multi-grille, nous utilisons deux types de solutions de référence, la première est une solution analytique (Coker et Filon, 1950). Cette dernière se base sur une hypothèse de déformation plane et une fonction d Airy. Les conditions aux limites associées sont identiques à la modélisation que nous avons mis en place. Forme de la solution analytique Φ = A 0 r 2 + B 0 ln(r) + X (A mr m+2 + B mr m + C mr m + D mr m+2 )cos(mθ) (8) m=2 Où A 0, B 0, A m, B m, C m et D m sont des constantes à déterminer à l aide des conditions aux limites.

25 Solutions de référence Mise en place d une solution analytique Afin de comparer les performances de la méthode multi-grille, nous utilisons deux types de solutions de référence, la première est une solution analytique (Coker et Filon, 1950). Cette dernière se base sur une hypothèse de déformation plane et une fonction d Airy. Les conditions aux limites associées sont identiques à la modélisation que nous avons mis en place. Forme de la solution analytique Φ = A 0 r 2 + B 0 ln(r) + X (A mr m+2 + B mr m + C mr m + D mr m+2 )cos(mθ) (8) m=2 Où A 0, B 0, A m, B m, C m et D m sont des constantes à déterminer à l aide des conditions aux limites.

26 Solutions de référence Solution de référence calculée à l aide d un maillage adapté Une autre solution de référence a été mis en place à l aide d un calcul éléments finis effectué à l aide d un maillage adapté à notre problème de singularité. Caractéristiques du maillage Densité au micron près de la zone de singularité Densité au dixième de millimètre à l extérieur Temps de calcul (CPU) 0.316s

27 Solutions de référence Solution de référence calculée à l aide d un maillage adapté Une autre solution de référence a été mis en place à l aide d un calcul éléments finis effectué à l aide d un maillage adapté à notre problème de singularité. Caractéristiques du maillage Densité au micron près de la zone de singularité Densité au dixième de millimètre à l extérieur Temps de calcul (CPU) 0.316s

28 Solutions de référence Etude comparative des deux solutions de référence Afin de jauger de la précision des deux solutions de référence mis en place, nous nous basons sur les courbes d évolution des contraintes orthoradiales au sein de la gaine. Un écart relatif a été déterminé à 0.6 % entre les deux solutions.

29 Mise en place numérique Problème mécanique Le problème mécanique que nous cherchons à résoudre est le problème élastique linéaire avec les conditions aux limites définies dans la première partie de cette présentation. Nous avons : Avec la loi de Hooke isotrope : σ ij,j + f i = 0 (9) σ ij = a ijkl ɛ kl (10) Notre but est de résoudre par éléments finis ce problème classique afin de déterminer les déplacements et par suite les contraintes et déformations au sein de la gaine.

30 Mise en place numérique Grille initiale Notre calcul multi-grille est basé sur une grille initiale grossière constituée de 200 éléments en 2D (2000 en 3D). La zone de singularité est définie à partir d une droite située à dix microns. Erreur commise à l ordre 0 Un calcul effectué directement sur un tel maillage nous donne un erreur relative de 4,66 %.

31 Mise en place numérique Grille initiale Notre calcul multi-grille est basé sur une grille initiale grossière constituée de 200 éléments en 2D (2000 en 3D). La zone de singularité est définie à partir d une droite située à dix microns. Erreur commise à l ordre 0 Un calcul effectué directement sur un tel maillage nous donne un erreur relative de 4,66 %.

32 Définition des zones de raffinement Différents types de zone de raffinement

33 Comparatif multi-grille local/solution de référence Visualisation des contraintes orthoradiales pour deux sous-niveaux et un raffinement à trois éléments L approche multi-grille permet de trouver une solution très proche de celle de référence.

34 Etude de convergence en fonction du nombre d itérations V-cycles pour un raffinement à trois éléments Convergence en V-cycles Err ref Itération 0 Itération 1 Itération 2 Itération 3 Itération 4 1 ssniv 4.66e e e e e-02 2 ssniv 4.66e e e e e-03 3 ssniv 4.66e e e e e-05 4 ssniv 4.66e e e e e-04 Observations importantes Convergence rapide obtenue dès la quatrième itération Apport des sous-niveaux jusqu à trois niveaux de grilles Cas à trois éléments et 3 sous-niveaux spécifique avec valeur d ordre e-05

35 Etude de convergence en fonction du nombre d itérations V-cycles pour un raffinement à trois éléments Convergence en V-cycles Err ref Itération 0 Itération 1 Itération 2 Itération 3 Itération 4 1 ssniv 4.66e e e e e-02 2 ssniv 4.66e e e e e-03 3 ssniv 4.66e e e e e-05 4 ssniv 4.66e e e e e-04 Observations importantes Convergence rapide obtenue dès la quatrième itération Apport des sous-niveaux jusqu à trois niveaux de grilles Cas à trois éléments et 3 sous-niveaux spécifique avec valeur d ordre e-05

36 Etude de la convergence en maillage de la solution multi-grille Zone de chargement Le bord en bleu défini la zone de pression de contact, nous appelons point de chargement son intersection avec la fissure à 10 microns, ce-dernier évolue en fonction de la finesse du maillage. Evolution de l erreur relative vis-à-vis du point de chargement

37 Evolution de l erreur relative vis-à-vis du temps CPU Etude comparative du temps CPU Plus nous cherchons à obtenir une erreur plus faible, plus il est intéressant d utiliser le multi-grille et un nombre de sous-niveaux plus élevé.

38 Cas du faux-3d avec conditions aux limites identiques au cas 2D Maillage grossier et zone de raffinement selon la largeur Intérêt d un calcul sur un faux-3d L idée est ici de définir le problème 2D dans un cadre 3D afin de jauger de la validité du code mis en place pour des problèmes tridimensionnels.

39 Cas du faux-3d avec conditions aux limites identiques au cas 2D Maillage grossier et zone de raffinement selon la largeur Intérêt d un calcul sur un faux-3d L idée est ici de définir le problème 2D dans un cadre 3D afin de jauger de la validité du code mis en place pour des problèmes tridimensionnels.

40 Cas du faux-3d avec conditions aux limites identiques au cas 2D Etude comparative du temps CPU Les conclusions sont identiques au vrai cas 2D.

41 Cas 3D avec zone de surpression au niveau du chanfrein Maillage grossier et zone de raffinement Visualisation du chargement dans la direction orthoradiale

42 Cas 3D avec zone de surpression au niveau du chanfrein Convergence en V-cycles pour un maillage grossier à 512 éléments Err ref Itération 0 Itération 1 Itération 2 Itération 3 Itération 4 1 ssniv 1.01e e e e e-02 2 ssniv 1.01e e e e e-02 3 ssniv 1.01e e e e e-03 4 ssniv 1.01e e e e e-03 Problèmes observés Coût de calcul très élevé (supérieur à la solution de référence) Limitation à des grilles initiales très grossières Précision obtenue plus faible que dans le cas 2D Stagnation au quatrième sous-niveau inexpliquée

43 Cas 3D avec zone de surpression au niveau du chanfrein Convergence en V-cycles pour un maillage grossier à 512 éléments Err ref Itération 0 Itération 1 Itération 2 Itération 3 Itération 4 1 ssniv 1.01e e e e e-02 2 ssniv 1.01e e e e e-02 3 ssniv 1.01e e e e e-03 4 ssniv 1.01e e e e e-03 Problèmes observés Coût de calcul très élevé (supérieur à la solution de référence) Limitation à des grilles initiales très grossières Précision obtenue plus faible que dans le cas 2D Stagnation au quatrième sous-niveau inexpliquée

44 Cas 3D avec zone de surpression au niveau du chanfrein Observation des contraintes sur le maillage déformé