Calculs et Certificats de Quantités d Intérêts Non Linéaires d un Mousqueton Cédric Bellis

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1 Ecole Normale Supérieure de Cachan Département de Génie Mécanique Rapport de Stage de M1 Mécanique et Ingéniérie des Systèmes Stage effectué du 10/04 au 27/08 Laboratori de Càlcul Numèric - Universitat Politècnica de Catalunya Tuteurs : Pedro Dièz (LaCaN) - Eric Florentin (DGM) Calculs et Certificats de Quantités d Intérêts Non Linéaires d un Mousqueton Cédric Bellis Paris, 21 décembre 2006

2 Introduction L utilisation du matériel d escalade est réglementé selon des normes de résistance à la rupture. La conception d un mousqueton requiert donc la simulation de son comportement dans des conditions d utilisation, afin de vérifier la conformité de celui-ci. Il est donc primordial que la précision de la méthode numérique employée soit suffisante, c est-à-dire que le maillage soit assez fin et que nous puissions disposer de critères de validité pour le calcul numérique. Le but de ce travail est de réaliser un calcul 3D d un mousqueton et d étudier l erreur associée au schéma numérique en se servant d outils d estimation d erreur convenables. Dans une première phase de l étude, nous mènerons l analyse élastique linéaire du mousqueton. Ensuite nous mettrons en œuvre une technique d estimation d erreur nommée flux-free, afin de pouvoir générer des certificats de validité pour ce calcul. Au cours de l étude, nous présenterons les formulations mathématiques continue et matricielle de cette méthode, pour décrire sa mise en œuvre sur un problème simple avant de l implémenter sur le mousqueton. 2

3 Chapitre 1 Maillage et Problème élastique 1.1 Modélisation du problème et équilibrage du chargement Le mousqueton que nous allons étudier est un mousqueton usuel d escalade. Le problème élastique que nous allons construire autour de cette géométrie se rapproche des tests normalisés de ce type de matériels. Fig. 1.1 Test réalisé sur un mousqueton d escalade pour assurer sa conformité. Le maillage qui sera le support de cette étude a été réalisé avec un mailleur indépendant, qui fixe donc la géométrie du solide. Le choix des parties où les efforts vont s exercer doit rester fidèle à la réalité physique des tests de conformité pour avoir une modélisation satisfaisante (figure 1.1). Le maillage est donc celui qui est présenté sur la figure (1.2), où l on peut observer en vert et en jaune les zones d application des efforts. Dans la réalité des tests pratiqués sur ce type de matériels, le mousqueton est sollicité en traction sur chacune des parties mises en évidence sur la figure (1.2). Le blocage des déplacements du mousqueton dans l espace se fait naturellement dans le dispositif expérimental. Dans notre modélisation, nous souhaitons pouvoir appliquer des conditions limites en déplacement d un type quelconque. 3

4 Fig. 1.2 Maillage du mousqueton. Pour assurer l équivalence, à un mouvement de solide rigide près, des différents blocages et pour assurer la solvabilité du problème élastique nous allons utiliser une répartition surfacique d efforts dont l effort résultant et le moment résultant sont nuls. Appliquer une répartition d efforts dont la résultante est nulle est évident. Néanmoins, étant donné que le maillage du mousqueton est réalisé avec un logiciel annexe, nous n avons pas de maîtrise particulière des surfaces où s appliquent les efforts ; il faut donc s assurer de la nullité du moment résultant. Si l on fait le choix, pour annuler la résultante en effort, que les répartitions surfaciques sont opposées et suivant une direction définie par d = (d x, d y, d z ) alors on peut, par linéarité, séparer la contribution de chaque composante des efforts aux composantes du moment résultant. d = d x (1, 0, 0) + d } {{ } y (0, 1, 0) + d } {{ } z (0, 0, 1) (1.1) } {{ } M x M y M z Par linéarité, le moment résultant est M = d x M x + d y M y + d z M z où les inconnues sont d x, d y et d z. On résout alors le système suivant, afin de déterminer entièrement la direction des efforts : 0 My 1 M 1 z d x Mx 2 0 Mz 2 d y = 0 (1.2) Mx 3 My 3 0 d z Une fois ce système résolu, le chargement qui est appliqué sur le mousqueton (figure 1.3) permet de s affranchir d un choix de conditions limites en déplacement complexe. Simplement, les conditions imposées doivent supprimer les mouvements de solides rigides. On est alors assuré de la solvabilité du problème élastique mais pas de l unicité de la solution. 4

5 Fig. 1.3 Chargement appliqué sur le mousqueton. 1.2 Résolution du problème élastique Vérifions dans la résolution de ce problème élastique l équivalence des solutions pour deux types de conditions limites : Dans chaque cas, on extrait trois points du maillage pour lesquels on supprime respectivement 3, 2 et 1 translations. Fig. 1.4 Déformées obtenues pour deux types de conditions limites. Sur les déformées figure (1.4), les champs de déplacements ne sont bien sûr pas les mêmes mais ils sont égaux à un déplacement de solide rigide près ; par contre les champs de contraintes sont les mêmes. On vérifie ainsi que les énergies de déformation des différents champs de déplacements sont les mêmes. La figure (1.5) montre la répartition des contraintes dans la modélisation du problème posé. On voit ainsi apparaître les zones qui subissent les contraintes les plus grandes lors d une sollicitation en traction du mousqueton. On va donc pouvoir simuler numériquement la conformité du mousqueton aux normes de sécurité. 5

6 Fig. 1.5 Champs de contraintes sur le mousqueton. L enjeu de la validation du calcul numérique est d arriver à établir, d une part, si le calcul effectué sur un maillage relativement grossier donne lieu à une erreur importante, et quelle peut être la distribution de l erreur sur le maillage par rapport à la solution exacte du problème ; et d autre part, de pouvoir donner des bornes supérieure et inférieure en énergie sur le champ de déplacement approché calculé. Cette démarche doit être indissociable de l exploitation d un calcul numérique puisqu elle vient valider, ou plutôt nuancer les résultats de cette modélisation. Nous allons donc présenter une méthode d estimation de l erreur, en l exploitant sur l exemple du mousqueton. L enjeu d une telle méthode est de pouvoir donner une estimation de l erreur commise lors d un calcul éléments finis d un problème dont on ne peut pas calculer une solution exacte, ou de référence, c est-à-dire avec un maillage raffiné très finement. Cette méthode doit donc être plus rapide, bien sûr, que le calcul que demanderait un maillage très fin et donner une approximation la plus précise possible de l erreur commise lors du calcul sur un maillage grossier. 6

7 Chapitre 2 Méthode d approximation de l erreur 2.1 Formulation continue du problème exact Soit Ω le domaine de l espace qui correspond au domaine élastique étudié, et sa frontière Ω, divisée en deux parties Ω U et Ω F telles que Ω U Ω F =. Le problème à résoudre revient alors à trouver le champs de déplacement u sur le domaine Ω tel que : divσ(u) + f D = 0 dans Ω σ(u) n = F D sur Ω F (2.1) u = u D sur Ω U où f d et F D sont respectivement les efforts internes et externes imposés sur le domaine, et u D les déplacements imposés. On introduit l espace des déplacements admissibles U = { u H 1 (Ω) 3, u ΩU = u D } et l espace des déplacements admissibles à zéro V = { u H 1 (Ω) 3, u ΩU = 0 }. La formulation variationnelle du problème, ou problème primal est : Trouver u U tel que : a(u, v) = l(v) v V (2.2) où a(u, v) = σ(u) : ɛ(v) dω Ω l(v) = f D v dω + F D v dγ Ω Ω F (2.3) 2.2 Formulation continue du problème éléments finis Le problème éléments finis correspondant est caractérisé par des espaces de déplacements admissibles U H U et V H V associés à un maillage du domaine Ω de taille caractéristique n H (nombre de nœuds) noté Ω H. Le déplacement du problème éléments finis, noté u H, est solution du problème : 7

8 Trouver u H U H tel que : a(u H, v) = l(v) v V H (2.4) Erreur par rapport à la solution exacte La solution u H du problème éléments finis est une approximation de la solution exacte u. De façon générale on est assuré que le champ de déplacement u H va converger vers la solution exacte du problème si l on augmente n H. Néanmoins cette convergence est globale, sur la norme énergétique par exemple, et localement on ne peut maîtriser la convergence du déplacement. Il s agit alors d estimer quelle est l erreur commise dans ce calcul de façon locale, pour avoir une indication de validité sur des quantités d intérêt par exemple. On introduit alors l erreur e = u u H qui appartient à l espace V. En remplaçant dans l équation (2.4) u par u = e u H, on obtient le problème dont e est solution : Trouver e V tel que : a(e, v) = l(v) a(u H, v) = R P (v) v V (2.5) où R P (v) désigne le résidu associé au problème primal Mise en œuvre pratique du calcul de l erreur De façon pratique, l erreur ne peut pas être calculée de façon exacte (tout comme u), et nous allons réaliser un calcul éléments finis sur un maillage raffiné, maillage dit de référence, noté Ω h. La taille n h de ce maillage vérifiant alors n h n H. La solution exacte u est remplacée par champs de déplacements de référence u h avec l approximation u u h = u H + e h. Le calcul réalisé est alors une approximation de l erreur, c est-à-dire le calcul sur le maillage de référence, du problème : Trouver e h V h tel que : a(e h, v) = l(v) a(u H, v) = R P (v) v V h (2.6) Le calcul de e h est, de façon générale, trop coûteux compte tenu de la taille du problème éléments finis de référence. L idée de l estimation d erreur est de résoudre un ensemble de problèmes locaux, avec peu de degrés de liberté, pour obtenir une approximation ẽ de e h Approximation de l erreur locale La solution u H est relative au maillage bleu (figure 2.1), et c est celle dont on veut estimer l erreur. Pour des raisons pratiques, on assimile la solution théorique à u h solution sur le maillage de référence vert, et l erreur exacte e à e h. Puisque l erreur e h n est pas calculable directement, on va en calculer une approximation ẽ telle que : 8

9 Fig. 2.1 Maillage calculé Ω H (bleu) et maillage de référence Ω h (vert). ẽ = n H i=1 ẽ ωi (2.7) où n H désigne le nombre de nœud de Ω H et ω i l ensemble des éléments de Ω h compris dans les éléments de Ω H qui ont le nœud i pour sommet (figure 2.2). Fig. 2.2 En rouge le domaine ω i qui s appuie sur le nœud i de Ω H, au centre. On désigne par φ i la fonction de forme sur Ω H relative au nœud i et respectivement V h ω i, a ωi (, ) et R P ω i les restrictions à ω i de l espace V h, de la forme bilinéaire a(, ), et de la forme linéaire R P. Chacun des termes de la somme, est solution du problème : Trouver ẽ ωi V h ω i tel que : a ωi (ẽ ωi, v) = R P ω i (φ i v) v V h ω i (2.8) Remarque 1 : Cette décomposition de ẽ est basée sur le fait que les fonctions φ i forment une partition de l unité. Ainsi pour tout v appartenant à V h on peut écrire : ( nh ) n H n H R P (v) = R P φ i v = R P (φ i v) = Rω P i (φ i v) (2.9) i=1 i=1 i=1 Sachant que R P (φ i v) = Rω P i (φ i v) car φ i est nulle en dehors de ω i. Remarque 2 : Sur un domaine ω i, ẽ ωi n est solution de l équation (2.8) que sur l espace Vω h i et 9

10 non sur V h tout entier. Il en résulte donc que lorsque l on va parcourir tous les nœuds du domaine Ω H, les champs ẽ ωi n ont pas forcément la même valeur en un même nœud. Le champ ẽ n est donc pas continu sur tout le domaine Ω h. Voilà pourquoi ẽ est une approximation de e. Nous verrons comment le problème est résolu dans CASTEM Equilibrage des équations locales Introduisons tout d abord, deux applications que nous allons utiliser par la suite : soit π h et π H les projections nodales d une fonction de V dans, respectivement, les espaces V h et V H. Nous avons donc vu qu il faut résoudre sur tous les domaines ω i que nous appellerons, étoiles, le problème (2.8). Or a priori le terme R P ω i (φ i v) n a aucun raison d être équilibré. En réalité, la résultante des efforts est nulle mais pas la résultante des moments. Pour pouvoir résoudre le système, la méthode utilisée est une méthode proposée par Bank et Weiser en 1985, qui consiste à remplacer le terme φ i v par φ i (v π H v). Ces modifications vont certes, modifier le champ solution de notre problème, mais néanmoins ce champ va conserver sa propriété importante de borne supérieure sur l erreur exacte e. Le problème révient alors à résoudre sur chaque étoile ω i du maillage Ω h : Trouver ẽ ωi V h ω i tel que : a ωi (ẽ ωi, v) = R P ω i (φ i (v π H v)) v V h ω i Il se trouve que dans le terme de droite, si l on projette l argument φ i (v π H v) dans l espace V h, le calcul numérique sera grandement simplifié et les propriétés de l erreur ainsi évaluée seront conservées. Le problème à résoudre est le suivant : Trouver ẽ ωi V h ω i tel que : a ωi (ẽ ωi, v) = R P ω i (π h φ i (v π H v)) v V h ω i (2.10) La projection dans l espace V h s efface la plupart du temps, puisque les champs calculés sont connus aux noeuds du maillage Ω h et donc résident dans V h. 10

11 Chapitre 3 Description matricielle du problème éléments finis Après avoir décrit la formulation continue du problème, nous allons voir comment peuvent être explicités les termes des équations en notation matricielle. Nous allons donc adopter un point de vue discrétisé, propre à la méthode des éléments finis. 3.1 Notations - On note par X ou x un nœud dans les maillages Ω H ou Ω h, en indiçant éventuellement par le numéro du nœud. - Construisons le produit entre un champ scalaire et un champ vectoriel. Si ψ est un champ scalaire sur Ω h par exemple et Λ un champ de vecteurs sur le même maillage, alors le résultat de ψ Λ est un champ vectoriel tel que au nœud x k : ψ(x k )Λ(x k ) x (ψ Λ) (x k ) = ψ(x k )Λ(x k ) = ψ(x k )Λ(x k ) y (3.1) ψ(x k )Λ(x k ) z Pour alléger l écriture, le symbole ne sera pas toujours écrit mais il sera implicite lors de la multiplication d un champ scalaire avec un champ vectoriel. - On introduit les fonctions de forme N j sur le maillage Ω h. Ces fonctions de forme correspondent à un champs scalaire défini pour tous les points du maillage tel que pour toute fontion v V h on peut écrire pout tout nœud x de Ω h : 11

12 n h v(x) = N k (x) v(x k ) où x k représente le noeud k du maillage (3.2) k=1 donc en particulier sur le domaine ω i : ẽ ωi (x) = N k (x) ẽ ωi (x k ) (3.3) 3.2 Description des termes du problème Plaçons nous sur une étoile ω i du maillage Ω h ; nous allons expliciter les termes qui interviennent dans l équation (2.10). Chacun de ces termes est un champ vectoriel, dont les composantes x, y et z du vecteur au nœud x j sont obtenues pour la fonction test N j associée respectivement à chacun des vecteurs (1, 0, 0), (0, 1, 0) et (0, 0, 1). Soit v V h ω i : a ωi (ẽ ωi, v) Ce terme est simplement la restriction à ω i de la forme bilinéaire a(, ), c est à dire : a ωi (ẽ ωi, v) = σ(ẽ ωi ) : ɛ(v) dω (3.4) ω i Ainsi dans l équation (3.4), si l on utilise pour fonction test la fonction de forme N j associée à chacun des vecteurs (1, 0, 0), (0, 1, 0) et (0, 0, 1), on obtient : a ωi n h 1 ( nh ) n h 1 N k ẽ ωi (x k ), N j 0 = σ N k ẽ ωi (x k ) : ɛ N j 0 dω k=1 0 ω i k=1 j=1 0 ( nh ) 1 = σ N k ẽ ωi (x k ) : ɛ(n j ) dω 0 ω i k=1 0 n h 1 = σ(n k ẽ ωi (x k )) : ɛ(n j ) dω 0 k=1 ω i 0 n h k=1 12

13 ) = (K ωi ẽ ωi (x j ) = (K ωi ẽ ωi ) (x j ) x où K ωi désigne la matrice de rigidité du maillage Ω h restreinte sur l étoile ω i. On obtient donc finalement pour les trois directions x, y et z : n h j=1 a ωi R P ω i (π h φ i v) 1 n h ( ( ) ) ) ) ẽ ωi, N j 1 = K ωiẽ ωi (x j ) + (K x ωi ẽ ωi (x j ) + (K y ωi ẽ ωi (x j ) z 1 j=1 n h 1 soit a ωi ẽ ωi, N j 1 = K ωi ẽ ωi (3.5) j=1 1 Nous nous intéressons ici au premier terme du membre de droite de notre équation. Ce terme regroupe sur l étoile, les contributions des efforts extérieurs et du champ de déplacements solution du problème sur le maillage Ω H : R P ω i (π h φ i (v)) = l ωi (π h φ i v) a ωi (u H, π h φ i v). Sachant que les efforts imposés comme le champ de déplacements u H et le champ φ i doivent être interpolés dans le maillage Ω h. l ωi (π h φ i v) En utilisant les notations introduites, on peut écrire : l ωi 1 π h φ i N j 0 = 0 ω if = φ i = ) 1 N k f D (x k ) φ i N j 0 dω k=1 0 ( nh ) 1 + N k F D (x k ) φ i N j 0 dγ ω if k=1 0 n h ) 1 N k N j f D (x k ) dω + N k N j F D (x k ) dγ 0 k=1 ω i k=1 ω if 0 ( nh ( nh ( f ext ω i φ i ) (x j ) x 13

14 soit n h j=1 l ωi 1 π h φ i N j 1 = f ext φ ω i (3.6) i 1 où f ext ω i désigne donc le champ vectoriel des efforts extérieurs restreints à l étoile ω i. a ωi (u H, π h φ i v) En reprennant le développement qui nous a mené à l équation (3.6) on peut écrire : a ωi n h 1 n h N k u H (x k ), π h φ i N j 0 = φ i σ(n k u H (x k )) : ɛ(n j ) dω k=1 0 k=1 ω i ) = (K ωi u H ωi (x j ) φ i x soit n h j=1 a ωi n h 1 N k u H (x k ), π h φ i N j 1 = K ωi u H ω i φ i (3.7) k=1 1 où u H ω i désigne la restriction à l étoile ω i du champ de déplacement. R P ω i (π h φ i (π H v)) Il faut ici nous intéresser à la projection sur le maillage Ω H pour un champ v de V h. Pour un champ v V la projection π H s écrit simplement avec les fonctions de forme φ k sur le maillage Ω H : π H v = n H k=1 φ k v(x k ) où X k représente le nœud k du maillage Ω H. (3.8) En particulier, si l on utilise pour fonctions tests la somme des fonctions de forme N j sur le maillage Ω h associée au vecteur (1,1,1) comme précédemment, on obtient : 1 N j 1 = j=1 1 π H n h n H n h φ k k=1 On peut donc en déduire les termes de R P ω i (π h φ i (π H v)) : 1 N j (X k ) 1 (3.9) j=1 1 14

15 l ωi (π h φ i (π H v)) n h 1 n h n H 1 l ωi (π h φ i (π H N j 1 )) = l ωi (π h φ i ( φ k N j (X k ) 1 )) j=1 1 j=1 k=1 1 n h n H 1 = φ k l ωi (π h (φ i N j 1 ))(X k ) j=1 k=1 1 n H n h 1 = φ k l ωi (π h (φ i N j 1 )) (X k ) k=1 j=1 1 } {{ } = n H k=1 n h j=1 f ext ω i φ i (x j ) ( f ext ω i φ i φ k ) où l indication X k signifie que la somme sur Ω h ω i des termes nœud X k seulement. a ωi (u H, π h φ i (π H v)) De même on obtient ici une somme de termes ramenée au point X k : (x j ) (X k ) (3.10) ( f ext ω i φ i φ k ) (x j ) est affectée au n h 1 n h n H 1 a ωi (u H, π h φ i (π H N j 1 )) = a ωi (u H, π h φ i ( φ k N j (X k ) 1 )) j=1 1 j=1 k=1 1 n H n h 1 = φ k a ωi (u H, π h φ i (N j 1 )) (X k ) k=1 j=1 1 } {{ } «K u Hωi φ ωi i (x j ) n H n h ) = (K ωi u H ωi φ i φ k (x j ) (X k ) (3.11) k=1 j=1 15

16 3.3 En résumé En définitive, le problème en éléments finis revient à chercher sur ω i le champ vectoriel ẽ ωi qui est solution du système : K ωi ẽ ωi = ( f ext ω i K ωi u H ω i ) φ i + n H k=1 n h (( ) ) f ext K ω i ωi u H ω i φ i φ k (x j ) (X k ) (3.12) j=1 On obtient ainsi une approximation sur l étoile ω i de l erreur. Cette approximation a été faite sans aucune condition limite particulière imposée sur le bord de l étoile, mais simplement en utilisant des restrictions des efforts extérieurs et du champ de déplacement définis sur le maillage de référence. C est la raison pour laquelle cette méthode d approximation de l erreur est appelée flux-free. Il est important de retenir ici que le champ ẽ ωi est calculé seulement sur le domaine ω i indépendamment du reste du maillage. Ainsi, comme nous le verrons par la suite, lors de l assemblage des différents champs d erreur approximée, nous devrons prêter attention à la nature des champs calculés qui sont plus propres aux éléments du maillage qu aux nœuds. 16

17 Chapitre 4 Etude d un problème simple 4.1 Description de la méthode Nous allons mettre en œuvre cette méthode d estimation d erreur sur un problème 3D très simple. Le problème que nous étudions est un cube bloqué en translation sur l une de ses faces et chargé sur sa face opposée. Décrivons les étapes successives qui conduisent au calcul d une estimation de l erreur Construction du maillage de référence La première étape consiste à construire le maillage de référence, c est à dire le maillage qui va conduire à une approximation satisfaisante de la solution exacte. Ce maillage doit, bien sûr, être plus fin que le maillage sur lequel a été calculé la solution du problème, sans toutefois être fin excessivement, auquel cas le temps de calcul de l erreur serait trop important (figures (4.1) et (4.2)). Fig. 4.1 Maillage initial Ω H et une étoile raffinée (en bas à droite) 17

18 Le maillage initial va être raffiné pour conduire au maillage de référence. Pour cela, chaque nœud du maillage initial permet de construire une étoile, c est-à-dire l ensemble des éléments qui ont ce nœud pour sommet. L étoile est ensuite raffinée autant de fois qu on l estime necessaire. Le raffinement de l étoile est fait ici en changeant deux fois de suite le type des éléments, de linaire à quadratique, puis de nouveau linéaire. CASTEM crée ainsi des points lors du passage aux éléments quadratiques. Ces points, qui ne peuvent plus être supprimés lors du retour aux éléments linéaires, créent de nouveaux éléments. En réalisant cette opération une ou deux fois, on obtient le maillage de référence. Le maillage de référence (figure 4.2) résulte de l assemblage de l ensemble des étoiles raffinées. Fig. 4.2 Maillage de référence Ω h Interpolation du déplacement Le déplacement u H calculé sur le maillage grossier doit être interpolé sur le maillage fin. Cette interpolation se fait naturellement de façon linéaire (figure 4.3). Fig. 4.3 En rouge le déplacement u H et en vert sa projection dans le maillage de référence Méthode de résolution L obtention d une approximation de l erreur se fait sur chaque étoile ω i du maillage grossier. Le calcul des termes du système et sa résolution se font dans une boucle sur les étoiles. 18

19 Construction du second membre sur l étoile ω i Sur chaque étoile de Ω H le second membre du système à résoudre est : ( ) n H n h (( ) ) f ext K ω i ωi u H ω i φ i + f ext K ω i ωi u H ω i φ i φ k (x j ) (X k ) Nous allons donc voir comment est réalisé le calcul de ces termes. k=1 j=1 La présence des termes f ext et K impose que les efforts et les déplacements imposés sur Ω H soient imposés également sur Ω h. Cela nécessite donc de projeter exactement sur le maillage de référence les surfaces de Ω H sur lesquelles des conditions limites en déplacement ou en effort sont imposées. La famille des fonctions φ i doit être calculée pour tous les points de Ω H. Pour un point x i donné, φ i est un champ scalaire défini sur Ω h, qui vaut 1 au noeud x i et 0 aux autres nœuds de Ω H. Ce champ scalaire est ensuite interpolé linéairement (figure 4.4). x k x i Fig. 4.4 Construction de la fonction φ i D un point de vue pratique, la fonction φ i n est utile que pour le calcul de l erreur sur l étoile centrée en x i. Il n est donc pas nécessaire de stocker un ensemble de valeurs nulles pour le reste du maillage Ω h. On peut alors calculer le résidu global sur le maillage de référence : f ext K u H. Pour obtenir le second membre du système sur ω i, il suffit alors de réduire ce résidu à la zone concernée et d utiliser correctement les fonctions φ i calculées. Résolution du système sur ω i et assemblage des champs d erreur approximée La résolution de l équation (2.10) conduit à un ensemble de champs vectoriels ẽ ωi où i = 1,..., n H définis sur Ω h. Il faut alors s interroger sur la façon dont ces champs doivent être stockés. En effet, un même point va être inclus dans plusieurs étoiles et, lors du calcul de l erreur sur ces étoiles, leurs valeurs au point ne seront pas forcément les mêmes (figure 4.5). 19

20 Fig. 4.5 Chevauchement sur plusieurs nœuds lors du calcul des étoiles bleue et orange. Sur la figure (4.6) on a représenté de façon imagée par une croix, un champ calculé en un point. Ainsi un point de l élément au centre possède des valeurs de l erreur estimée différentes s il appartient soit à l étoile bleue, soit à l étoile orange. Si l on somme ou si l on moyenne les champs d erreur estimée nodalement sur chaque étoile, on va ainsi perdre de l information. Il faut donc sommer les champs non pas de façon nodale, mais plutôt en tant que champs par éléments. Fig. 4.6 Répartition sur les éléments, des champs calculés nodalement. Cette méthode d estimation d erreur aboutit donc à un champ d erreur estimée sur chaque élément du maillage Ω H, si bien que le champ d erreur estimée ẽ appartient à l espace Vbrok h Vh où Vbrok h est un champ de déplacement discontinu sur le maillage de référence. 4.2 Résultats Etant donné la simplicité du problème étudié, on peut ici calculer une solution de référence directement, en vue d avoir l erreur de référence et de pouvoir comparer ẽ et e h Effectivité Pour évaluer la pertinence de l estimation d erreur, on introduit le critère d effectivité. Il revient à calculer de façon globale ou locale, le rapport ρ = ẽ e h. Remarque : Si l on se place de façon globale, la norme est calculée de la facon suivante : 20

21 n el n el n el u = u 2 Ω k = a Ωk (u, u) = k=1 k=1 k=1 u T Ω k K Ωk u Ωk où Ω k désigne l élément k du domaine considéré. La norme du champ u sur un élément est donc u Ωk = u T Ω k K Ωk u Ωk. On peut alors s intéresser à l effectivité globale, ainsi que tracer la carte d effectivité, c est-à-dire l effectivité associée à chaque élément ; enfin on peut comptabiliser le nombre d éléments qui ont une effectivité donnée pour tracer un histogramme. Effectivité globale ou moyenne Sur cet exemple on obtient ρ = 1, 563 sur le domaine entier. Cela signifie donc qu en moyenne l erreur estimée sur les éléments de Ω H est supérieure de 56% à l erreur de référence. Le fait que l erreur estimée soit supérieure à l erreur de référence conforte l idée de convergence de la solution, et le fait que cette méthode d estimation calcule en fait une borne supérieure de l erreur. Carte d effectivité Intéressons nous de façon plus détaillée à la répartition de l effectivité sur notre domaine (figure 4.7). Bien évidemment ici, l effectivité est tracée pour les éléments de la surface du cube, mais on peut accéder à n importe quel élément. Cette carte doit nous servir de critère de fiabilité. Si la zone Fig. 4.7 Carte d effectivité en pourcentage. 21

22 d intérêt est située au voisinage d un élément dont l effectivité est voisine de 100% alors on aura de bonnes raisons d avoir confiance dans l erreur estimée. Histogramme Cet histogramme recense le nombre d éléments pour un intervalle d effectivité donnée. On peut ainsi mieux estimer la pertinence de l estimation d erreur, en observant la répartition de l effectivité par rapport à la valeur de référence de 1 ou 100% Cartes d erreur On peut donc tracer sur chaque élément du maillage Ω H la norme énergétique de l erreur estimée ẽ et de l erreur de référence e h. Ces figures nous renseignent sur le fait que l estimation d erreur aboutit bien à une répartition de l erreur conforme à l erreur commise lors du calcul éléments finis exact ou de référence. Lors de cas plus complexes, on ne peut pas calculer une solution de référence, si bien que l ensemble des critères d évaluation de l estimateur d erreur présentés ci-dessus doivent nous indiquer si l on peut ou non s y fier. 22

23 Fig. 4.8 Carte de l erreur de référence. Fig. 4.9 Carte de l erreur estimée. Les figures (4.8) et (4.9) nous permettent de confirmer que cette méthode d estimation de l erreur aboutit bien à une répartition spatiale de l erreur qui est cohérente. Cette propriété va permettre de valider l utilisation de cette méthode dans des cas où la solution de référence n est pas calculable. 23

24 Chapitre 5 Etude du mousqueton Après avoir étudié le fonctionnement de la méthode d estimation de l erreur, nous cherchons à la mettre en œuvre sur le mousqueton. La taille du problème reste encore raisonnable, et le calcul d une solution de référence ne demande pas un temps extrêmement long ; nous allons donc ici implémenter la méthode sur cet exemple plus complexe. 5.1 Implémentation du programme Le programme CASTEM qui est exécuté ici est écrit de façon très modulable. En effet, la programmation a été décomposée en de nombreuses procédures qui peuvent donc facilement s appliquer sur des maillages très divers. Ce à quoi il faut prêter attention est la stricte application, sur le maillage de référence, des conditions limites en déplacement et en effort définis sur le maillage grossier. Rappelons ici que le mousqueton n a pas été maillé avec CASTEM mais avec un mailleur indépendant, si bien que la définition des surfaces en question n est parfois pas évidente (figure 5.1). Fig. 5.1 En rouge, une surface d application des efforts sur Ω H à gauche et Ω h à droite. 24

25 5.2 Résultats Effectivité Bien que nous ayons étudié, dans le cadre du premier exemple, la façon dont se comporte l estimateur d erreur, nous pouvons ici encore calculer une solution de référence au problème et accéder alors à l effectivité du calcul. La valeur moyenne de l effectivité sur notre domaine est égale à 1,9212. De façon plus détaillée, intéressons nous à la répartition des éléments sur les éléments (figure 5.2) : Fig. 5.2 Carte d effectivité Ce qui est remarquable ici, c est une répartition très homogène de l effectivité. Ceci est très positif, puisque si l on cherche à faire de l adaptivité, on cherche justement à éviter que localement l erreur du calcul numérique soit trop grande. Cette carte montre donc que globalement l estimation d erreur est satisfaisante sur l ensemble du domaine. Ce résultat a déjà pu nous être prédit lors du calcul du premier exemple simple. Si l on trace sur un histogramme la répartition du nombre d éléments pour un intervalle d effectivité donnée, on peut remarquer qu il y a, certes, un étalement de l effectivité vers des valeurs assez grandes (voisines de 2), mais que néanmoins un grand nombre d éléments ont une effectivité inférieure à 1,5 ce qui est satisfaisant. Cette répartition semble corréler la répartition qui a été décrite sur l histogramme précédent. On ne trouve que très peu de valeurs inférieures à 1, c est-àdire 100%, puisque cela signifie que l énergie de l erreur estimée est inférieure à l énergie de l erreur de référence. Il faut rappeler ici que le calcul approximé du champ d erreur conduit, par nature, 25

26 Fig. 5.3 Histogramme d effectivité à un champ dont l énergie (globale) est supérieure à l énergie de la solution. Néanmoins, on peut rencontrer très localement des éléments sur lesquels cette propriété globale ne se vérifie pas Cartes d erreur De façon plus détaillée, il importe que l estimateur d erreur conduise à une localisation de l erreur conforme au calcul éléments finis de référence. Vérifions cette propriété sur les cartes d erreur proposées ci-après (figures (5.3) et (5.4)). Il se vérifie bien que le champ d erreur estimé a, globalement sur les éléments, des valeurs plus grandes que le champ d erreur de référence. D autre part, il se vérifie également très bien sur ces cartes d erreur que les éléments, sur lesquels l erreur de référence est la plus grande, ont aussi cette caractéristique dans le champ estimé. Cette propriété conforte la validité de cette méthode d estimation d erreur. Il faut de plus préciser que l estimation locale est plus précise si l erreur exacte correspondante est grande. En effet, si l erreur est proche de zéro, le programme manipule des quantités qui conduisent lors des diverses opérations à des résultats qui ne sont pas très significatifs. Inversement, si l erreur est grande, alors les opérations de division ou de multiplication entre les champs vont conduire à de bien meilleurs résultats. 26

27 Fig. 5.4 Carte d erreur pour la calcul de référence Fig. 5.5 Carte d erreur pour l estimation d erreur 5.3 Evaluation du coût du calcul de l estimation La méthode d estimation de l erreur a été développée dans le but de pouvoir calculer des problèmes dont la taille est hors de portée, ou trop coûteuse pour un calculateur usuel. Maintenant que nous avons mis en œuvre cette méthode, nous pouvons nous interroger sur la rapidité effective du calcul. 27

28 Fig. 5.6 Element de base et le même élément raffiné dans le maillage de référence Evaluation du nombre d inconnues La différence essentielle entre le calcul estimé de l erreur et un calcul que l on aurait fait de façon globale sur l ensemble du maillage raffiné, réside dans le fait que dans le premier cas on ne résout que des problèmes locaux dont la taille est assez faible. L élément de base tétraédrique comporte 4 nœuds et une fois raffiné, il est remplacé par 64 tétraèdres soit 35 nœuds. Ainsi sur le maillage initial Ω H on trouve 1198 nœuds soit 4516 éléments, alors qu une fois raffiné, on trouve sur Ω h nœuds et éléments. L estimateur d erreur qui est présenté ici calcule un problème local sur une étoile du maillage, comme nous l avons dit. Ainsi les nœuds du maillage de référence vont être parcourus plusieurs fois, car chaque nœud est susceptible d appartenir à plusieurs étoiles. Le nombre total de nœuds calculés au cours de l estimation d erreur est de , soit en moyenne 250 sur une étoile (le nombre d étoiles étant simplement égal au nombre de nœuds du maillage Ω H ). Total Calcul global Estimateur Tab. 5.1 Nombre de nœuds sur Ω h mis en jeu Estimation du coût C g global et C e de l estimateur Il apparaît donc que l estimateur doit déterminer beaucoup plus d inconnues que le calcul global. Néanmoins il reste certain que l estimation est plus rapide. La raison en est que, dans CASTEM, la résolution des systèmes linéaires se fait par une méthode de Crout (c est à dire une méthode de résolution par factorisation LU) pour laquelle, de façon générale pour un système d ordre n, le 28

29 nombre d opérations réalisées est 4n3 3 n 3. Le nombre d inconnues étant pour chaque nœud, les trois composantes du déplacement, on peut alors estimer le nombre d opérations pour les deux calculs différents. - Dans l estimation d erreur : n = pour une étoile, et l opération est réitérée autant de fois que de nœuds que compte Ω H ( 4n 3 C e = n H 3 n ) Dans le calcul global sur Ω h : n = ( 4n 3 C g = 3 n ) Ainsi on obtient : C g 8550 C e Pour des problèmes de grandes dimensions le temps de calcul, entre un calcul global sur un maillage de référence ou une estimation sur ce même maillage, est bien sûr à l avantage de la méthode d estimation d erreur. Néanmoins on peut remarquer que lors de l exécution des programmes CASTEM, cette tendance n est pas du tout vérifiée, et de surcroît, l estimation est bien plus longue que le calcul global. On peut trouver à ça plusieurs explications. La première réside dans le fait qu un calcul global va être exécuté directement dans le langage ESOPE, qui est le langage compilé de CASTEM, puisqu on utilise uniquement des commandes logiciels. De façon très différente, la programmation de l estimateur se fait dans le langage qui est celui accessible à l utilisateur et qui est, non pas compilé, mais interprété. C est ici que réside principalement le fait que les différences de temps de calcul attendues ne sont pas vérifiées. La deuxième explication tient plus de l algorithme qui est employé lors de la programmation. CAS- TEM peine à effectuer rapidement des boucles et des vérifications logiques. Dans certains cas, on peut s affranchir de ces opérations et il existe des choix plus ou moins pertinents pour optimiser la vitesse d exécution du programme. 29

30 Chapitre 6 Calcul des bornes énergétiques de l erreur Outre sa rapidité, cette méthode présente comme avantage de pouvoir calculer des bornes supérieure et inférieure sur l énergie. La connaissance de ces bornes contribue à l évaluation de la qualité du calcul numérique et sont utiles pour l utilisateur de ce calcul. 6.1 Borne supérieure La méthode des éléments finis conduit à un champ de déplacement dont l énergie est supérieure à l énergie du champ de déplacement exact. Dans le cadre de cette méthode, le champ d erreur estimé possède donc cette propriété, si bien que par sa nature, l énergie du champ estimé est une borne supérieure de l énergie de l erreur exacte ou de référence. Néanmoins il faut être vigilant ici sur la façon dont on définit la norme énergétique de notre champ, puisque comme nous l avons dit, celui ci est de nature discontinue. La norme énergétique de l erreur est définie comme nous l avons dit en remarque du paragraphe par la somme sur les nœuds du maillage grossier des erreur sur les étoiles : ẽ = n H ẽ ωi 2 (6.1) On obtient alors E u [e h ] une borne supérieure de l erreur de référence : i=1 ẽ 2 = E u [e h ] e h 2 (6.2) La méthode d estimation de l erreur présentée ici donne donc accès de façon naturelle et immédiate à E u [e h ] sans nécessiter de calcul supplémentaire que celui de la norme énergétique du champ d erreur estimé. 30

31 6.2 Borne inférieure Il a été montré qu une estimation continue de l erreur permet de calculer une borne inférieure de l energie de l erreur de référence, notée E l [e h ]. La démonstration permet de montrer que pour tout paramètre scalaire λ, si e cont est une approximation continue de l erreur, alors la quantité E l [e h ] = 2λa(ẽ, e cont ) λ 2 e cont 2 définit bien une borne inférieure de l erreur sur l énergie Preuve Les champs d erreur de référence et estimée sont tels que e h V h, et ẽ Vbrok h ; ils sont solutions des équations suivantes : a(ẽ, v) = R P (v) et a(e h, v) = R P (v) pour tout v V h En particulier, si e cont est un champ continu, e cont V h donc : On peut alors écrire : a(ẽ, e cont ) = a(e h, e cont ) (6.3) 0 a(e h λe cont, e h λe cont ) =a(e h, e h ) 2λa(e h, e cont ) + λ 2 a(e cont, e cont ) = e h 2 2λa(e h, e cont ) + λ 2 e cont 2 = e h 2 E l [e h ] donc E l [e h ] e h 2 (6.4) Il est intéressant de noter que la quantité E l [e h ] constitue une borne inférieure quelle que soit la valeur du paramètre λ. Néanmoins, en dérivant l expression de E l [e h ] par rapport à λ, on obtient un paramètre optimal qui maximise la borne inférieure, à e cont fixé bien sûr. La valeur optimale est : λ opt = a(ẽ, e cont) e cont 2 (6.5) Si bien qu une borne inférieure de l erreur de référence, se définit par : E l [e h ] = a(ẽ, e cont) 2 e cont 2 pour tout champ continu e cont (6.6) Choix d un champ continu optimisant la borne inférieure Maintenant que nous avons montré que le calcul d un champ d erreur continu permet d avoir accès à une borne inférieure de l énergie de l erreur de référence, nous nous interrogeons sur la façon dont on peut obtenir facilement un tel champ, et quel est celui qui permet une meilleure approximation. 31

32 Calcul d un champ d erreur continu Tout d abord le champ d erreur estimée ẽ, est un champ qui est, certes discontinu au niveau de la frontière inter-éléments, mais continu sur chaque étoile. On peut ainsi exploiter ce caractère en multipliant par les fonctions de forme φ i respectives, les champ ẽ ωi. Sachant que le champ scalaire φ i est nul sur la frontière de l étoile ω i, le caractère discontinu du champ d erreur estimé va disparaître. On obtient ainsi un champ continu en sommant sur toutes les étoiles du maillage : ẽ cont = n H i=1 φ i ẽ ωi (6.7) Amélioration de la borne inférieure Le champ ẽ cont calculé précédemment est facilement mis en œuvre dans le programme puisqu il ne demande pas de calculer d objets supplémentaires que ceux déjà calculés ; néanmoins la borne inférieure qui en découle n est certainement pas optimale. Il a été proposé, en vue d améliorer cette approximation, de calculer le champ e G solution du problème : a(e G, v) = a(ẽ cont, v) v V H (6.8) Ce champ permet alors d améliorer la qualité de la borne inférieure en permettant de calculer le champ continu e cont = e G + ẽ cont. Sachant que ce champ est tel que : e cont 2 = ẽ cont 2 e G 2 et a(ẽ, e cont ) = a(ẽ, ẽ cont ) alors la borne inférieure obtenue est : E l [e h ] = a(ẽ, ẽ cont ) 2 ẽ cont 2 e G 2 (6.9) Mise en œuvre sous CASTEM Voyons comment, en pratique, la borne inférieure est calculée dans le programme CASTEM, avec en particulier le calcul du champ e G. Ce champ est défini sur le maillage Ω H ; néanmoins le second membre de l équation doit être calculé sur le maillage fin. Calcul du terme a(ẽ cont, v) Le champ ẽ cont est défini sur le maillage Ω h et il est calculé sans difficulté d après sa définition (6.7). Pour calculer a(ẽ cont, v) pour tout v V H, on doit faire intervenir les fonctions de forme φ i interpolées dans le maillage fin. Ainsi, comme nous l avons vu au chapitre 3, ce second terme de l équation se calcule de la façon suivante : ( n H nh ) ) a(ẽ cont, v) = (K h ẽ cont φ i (x k ) (X i ) (6.10) i=1 k=1 32

33 On obtient donc un vecteur, dont la composante au point X i de Ω H, est la somme sur tous les nœuds du maillage fin des termes K h ẽ cont φ i. Plus précisément, la présence de la fonction de forme φ i fait que cette somme n est en pratique réalisée que sur l étoile appuyée sur le nœud X i. Calcul de la borne inférieure Pour obtenir le champ e G on résout alors le système : K H e G = ( n H nh i=1 k=1 On peut alors calculer la borne inférieure voulue : ) ) (K h ẽ cont φ i (x k ) E l e h ] = a(ẽ, ẽ cont) 2 ẽ cont 2 e G 2 = R P (ẽ cont ) 2 ẽ cont 2 e G 2 (X i ) (6.11) ( ( f ext K h u H ) T ẽcont) 2 E l [e h ] = (6.12) ẽ T cont K h ẽ cont e GT K H e G 6.3 Résultats Il est relativement rapide de présenter les résultats obtenus ici puisque le calcul aboutit à deux valeurs scalaires. On obtient alors pour la norme énergétique de l erreur de référence l encadrement suivant : 3, e h 2 52, 8 (6.13) Sachant que l on peut encore dans cet exemple calculer directement e h 2 = 14, 3. Cet encadrement de la norme énergétique vient s ajouter aux possibilités qu offre cet estimateur d erreur. Pour l utilisateur de la simulation numérique, la connaissance des bornes de l erreur commise sur le calcul vient compléter l exploitation des résultats en situant de façon critique la simulation par rapport au calcul de référence. Cet encradrement joue le rôle d une sorte d intervalle de confiance que peut avoir l utilisateur dans son calcul. Dans un cas idéal l intervalle entre les deux bornes doit être resserré de façon à assurer une bonne approximation de l énergie sur le domaine étudié. Il apparaît ici que l ordre de grandeur sur la borne supérieure est bon, alors que sur la borne inférieure l approximation est moins bonne. Il peut être plus facile de s acquitter du calcul de la borne inférieure et prendre simplement 0 pour valeur. Néanmoins, dans certains cas, la connaissance d une limite inférieure non nulle peut être utile, et c est ce qui est présenté ici. 33

34 Chapitre 7 Estimation d erreur en quantité d intérêt Nous allons présenter dans ce chapitre une extension à l estimateur présenté, en vue de réaliser l estimation de l erreur pour une quantité d intérêt donnée l o (u). Nous allons nous attacher à en présenter deux : une quantité linéaire qui est l ouverture du mousqueton, et une quantité non linéaire qui sera choisie comme la contrainte de Von Mises dans une zone déterminée. 7.1 Méthode d estimation Afin d utiliser l estimateur qui a été fait, nous allons introduire un problème adjoint. Il s agit de trouver le champ de déplacement ψ V tel que : a(v, ψ) = l o (v) pour tout v V (7.1) Ainsi, ce problème va nous permettre d extraire la quantité d intérêt puisqu on peut alors écrire : l o (u) = a(u, ψ) (7.2) Détermination du chargement Le point le plus important à ce stade est de pouvoir déterminer le chargement du problème adjoint. L expression du second membre dans le cas général est : l(u) = f D u dω + Ω F D u dγ Ω F (7.3) 34

35 Dans des cas très simples, comme nous allons le voir, il est possible de trouver de façon intuitive le chargement approprié. Néanmoins il existe une méthode rigoureuse pour déterminer le champ d efforts à appliquer sur le domaine. Supposons que la quantité d intérêt soit définie par la relation : l o (u) = f(u) dω (7.4) Ω k où f est une fonction linéaire du champ de déplacement et Ω k une partie du domaine Ω. Si l on se place à un point x i du maillage, la composante x de l effort F en ce point est égale à : N i N i F (x i ) x = l o 0 = f 0 dω (7.5) 0 Ω k 0 Et il en est de même pour les deux autres composantes y et z en utilisant la fonction de forme N i dans les vecteurs (0, N i, 0) et (0, 0, N i ). On peut ainsi reconstituer le chargement, en parcourant tous les points du domaine Ω k, et en calculant en chacun de ces points la quantité décrite ci-dessus pour chacune des composantes Définition de l erreur sur le problème adjoint et son utilisation Le problème adjoint ainsi défini est résolu avec la même méthode, si bien qu on définit l erreur sur ce problème par : ɛ = ψ ψ H où comme on l a vu, ψ H désigne la solution éléments finis du problème adjoint sur le maillage Ω H. Ce champ est solution du problème : Trouver ɛ V tel que a(v, ɛ) = l o (v) a(v, ψ H ) = R D (v) v V (7.6) Où R D (v) désigne le résidu de ce problème, noté en exposant D pour dual (autre désignation pour le problème adjoint). Ainsi l erreur sur la quantité d intérêt peut être exprimée par le biais de ces quantités : l o (e) = a(e, ɛ) = R P (ɛ) = R D (e) =... (7.7) De la même manière que sur le problème primal, on calcule ces champs sur le maillage de référence Ω h et l estimation d erreur appliquée sur le problème adjoint conduit à ɛ approximation de ɛ h Construction des bornes de l erreur Pour construire les bornes supérieure et inférieure de l erreur, nous allons faire apparaître un paramètre supplémentaire dans l équation (7.7). En utilisant la définition de la norme énergétique 35

36 et l identité du parallélogramme on peut écrire sur les erreurs de référence : l o (e h ) = a(e h, ɛ h ) = 1 κe h κ ɛh } {{ } z h κe h 1 4 κ ɛh } {{ } z h 2 (7.8) Nous allons construire les bornes inférieure, notée E l [z h ±], et supérieure, notée E u [z h ±], pour z h + et z h, et ceci afin de reconstituer finalement les bornes sur l erreur puis sur la quantité d intérêt elle-même. En effet on peut écrire : Par définition E l [z h ±] z h ± 2 E u [z h ±] (7.9) 1 d où 4 E l[z h +] 1 4 E u[z h ] l o (e h ) 1 4 E u[z h +] 1 4 E l[z h ] (7.10) ou bien l o (u H ) E l[z h +] 1 4 E u[z h ] l o (u h ) l o (u H ) E u[z h +] 1 4 E l[z h ] (7.11) Voyons maintenant comment ce construisent ces bornes. Nous allons utiliser tous les programmes qui ont été fais jusqu à présent, si bien que ces calculs vont facilement être mis en œuvre. Bornes supérieures : E u [z h ±] Une fois que l on a exécuté les deux calculs, ceux des problèmes primal et adjoint, on a accès aux erreurs respectives sur ces problèmes : ẽ = n H i=1 ẽ ωi et ɛ = n H i=1 ɛ ωi (7.12) Les bornes supérieures sur z h + et z h sont simplement calculées par : { Eu [z h +] = 2 ẽ ɛ + 2a(ẽ, ɛ) E u [z h ] = 2 ẽ ɛ 2a(ẽ, ɛ) (7.13) Bornes inférieures : E l [z h ±] En utilisant la méthode et les notations introduites au chapitre 6, l idée consiste à calculer pour les problèmes primal et adjoint, les champs suivants : { ẽ ẽcont e G ɛ ɛ cont ɛ G (7.14) 36

37 En définissant z ±cont = κ(ẽ cont + e G ) ± 1 κ ( ɛ cont + ɛ G ) et les deux résidus R ± (v) = κr P (v) ± 1 κ RD (v), on peut alors exprimer comme au chapitre 6, les bornes inférieures suivantes : E l [z h +] = R+ ( z +cont ) 2 z +cont 2 E l [z h ] = R ( z cont ) 2 z cont 2 (7.15) 7.2 Quantité d intérêt linéaire La première quantité d intérêt à laquelle nous nous intéressons est l ouverture du mousqueton. Pour la définir il faut déterminer deux points, P 1 et P 2 en vis à vis tels que la quantité d intérêt est définie par : l o (u) = (u(p 1 ) u(p 2 )) e y (figure 7.1). Fig. 7.1 Définition de la quantité d intérêt Détermination du chargement Il faut alors pouvoir déterminer le chargement du problème adjoint. Dans le premier cas assez simple que nous étudions, on a l o (u) = (u(p 1 ) u(p 2 )) e y ; or l expression du second membre dans le cas général est : l(u) = f D u dω + F D u dγ (7.16) Ω Ω F 37

38 On propose de façon assez intuitive le chargement tel que : f D = 0 et F D = 0 sauf aux points P 1 et P 2 où F D (P 1 ) = e y et F D (P 2 ) = e y. Ainsi on a bien : l(u) = f D u dω + F D u dγ =F D (P 1 ) u(p 1 ) + F D (P 2 ) u(p 2 ) Ω Ω F = (u(p 1 ) u(p 2 )) e y Résultats Bornes sur l erreur Les résultats que nous obtenons ici pour le calcul des bornes de l erreur sont représentés dans le tableau (7.1) : E u [z h +] E u [z h ] E l [z h +] E l [z h ] bound gap 35, , , , , Tab. 7.1 Bornes d erreur Où le bound gap représente à l équation (7.10) la valeur de l intervalle entre les deux bornes de l erreur et donne une indication de l acuité de l estimation d erreur et du calcul des bornes : bound gap = 1 4 (E u[z h +] + E u [z h ] E l [z h +] E l [z h ]) (7.17) Contribution locale à l erreur On souhaite pouvoir évaluer la qualité de l erreur commise sur la quantité d intérêt et ceci en observant la contribution de chaque élément à l erreur globale. Néanmoins il faut être attentif au fait que la quantité d intérêt peut ici prendre une valeur positive ou négative, si bien que les champs d erreur sur les éléments se compensent d une manière qui peut être difficilement interprétable. Dans le cas d une erreur considérée en norme, on peut très clairement identifier l influence des disparités spatiales, ainsi que l influence locale sur le global. On peut alors tracer, comme nous l avons fait, les composantes locales de l erreur estimée et de l erreur de référence pour obtenir des cartes d erreur (figures 7.2) et (7.3)). La différence entre ces deux cartes d erreur semble assez frappante. Le point positif est que la répartition spatiale de l erreur estimée est assez homogène mais la localisation des erreurs ne semble pas correspondre. Néanmoins les valeurs pour l erreur estimée ont un maximum plus grand, si bien que l échelle de couleur est décalée entre les deux cartes. Si l on replace les valeurs sur une même échelle, on peut voir que la localisation des composantes locales de l erreur est nettement meilleure. 38

39 Fig. 7.2 Carte d erreur de référence Fig. 7.3 Carte d erreur estimée Enfin nous pouvons calculer l indice d effectivité globale à titre indicatif de la qualité : a(ẽ, ɛ) a(e h, ɛ h = 0, 82 (7.18) ) Ce qui signifie une différence moyenne de 18% sur la valeur de référence. Le fait que l effectivité soit ici inférieure à 1 est justifiée par le fait que la propriété de borne supérieure est liée à la norme énergétique alors qu ici la quantité d intérêt est d une autre nature. Ainsi, ces résultats montrent que la qualité de l estimation d erreur est aussi tout à fait pertinente lorsqu elle est appliquée à l estimation d une quantité d intérêt locale linéaire. Et précisément pour 39

40 des applications en adaptivité notamment, ce type d estimation est non seulement utile, mais aussi nécessaire. 7.3 Quantité d intérêt non linéaire Comme quantité d intérêt non linéaire, il a été choisi de s intéresser à la contrainte de Von Mises sur une partie Ω k du maillage. Cette zone est définie sur la figure (7.4). Fig. 7.4 En rouge, définition de la partie Ω k du maillage Erreur sur la quantité d intérêt On souhaite déterminer le chargement qui va permettre de définir l erreur sur la quantité d intérêt. Il faut ici, être attentif au fait que l erreur sur la quantité d intérêt et la quantité d intérêt sur le champ d erreur ne sont pas égales dans le cas non linéaire. l o (e) = l o (u u H ) l o (u) l o (u H ) (7.19) La quantité la plus pertinente est bien sûr l erreur sur la quantité d intérêt, à savoir l o (u) l o (u H ). Ainsi pour pouvoir déterminer le chargement comme proposé à l équation (7.4) il faut utiliser une fonction f linéaire. La contrainte de Von Mises n étant pas linéaire, il faut linéariser ce champ. Il faut pour ce faire que le champ de déplacement approximé u H soit suffisamment proche de la solution de référence Linéarisation de la quantité d intérêt Voyons comment est effectuée cette linéarisation au premier ordre du champ u. La contrainte de Von Mises étudiée ici est une fonction non linéaire du déplacement. Néanmoins la non linéarité n est pas très forte et il est relative aisé d effectuer une linéarisation. 40

41 Plaçons nous dans le cas général d un champ de contrainte : σ 11 σ 12 σ 13 σ(u) = σ 12 σ 22 σ 23 (7.20) σ 13 σ 23 σ 33 Alors la contrainte de Von Mises a l expression suivante : σ V M (u) = 1 2 (σ 11 σ 22 ) 2 + (σ 22 σ 33 ) 2 + (σ 33 σ 11 ) 2 + 6(σ σ σ2 23 ) (7.21) L expression de la contrainte de Von Mises en u h linéarisée au premier ordre en u H est alors : σ V M (u h ) σ V M (u H ) + σ V M (u H ) (u h u H ) } {{ } e h (7.22) où σ V M (u H ) désigne le vecteur gradient de la contrainte de Von Mises du champ u H. Soit en développant le terme σ V M (u H )e h : 3 σ V M (u h ) σ V M (u H σ V M ) + (u H ) σ ii σ i=1 ii u H (uh ) e h (7.23) ( σv M + (u H ) σ 12 σ 12 u H (uh ) + σ V M (u H ) σ 13 σ 13 u H (uh ) + σ V M (u H ) σ ) 23 σ 23 u H (uh ) e h Pour simplifier cette expression, il faut utiliser le fait que chaque composante σ ij de la contrainte est une fonction linéaire du déplacement. Ainsi la dérivée σ ij représente la matrice de cette fonction u H linéaire, si bien que l on peut écrire : On obtient ainsi l expression suivante : σ V M (u h ) σ V M (u H )+ σ ij u H eh = σ ij (e h ) (7.24) 3 i=1 σ V M σ ii (u H )σ ii (e h ) + σ V M σ 12 (u H )σ 12 (e h ) (7.25) + σ V M σ 13 (u H )σ 13 (e h ) + σ V M σ 23 (u H )σ 23 (e h ) 41

42 Soit, en développant tous les termes en fonction des composantes de la contrainte, on obtient l expression de la contrainte de Von Mises linéarisée : σ V M (u h ) σ V M (u H 1 )+ 2 [(σ11 σ 22 ) 2 + (σ 22 σ 33 ) 2 + (σ 33 σ 11 ) 2 + 6(σ σ σ2 23 )](uh ) [ (2σ 11 σ 22 σ 33 )(u H )σ 11 (e h ) + (2σ 22 σ 11 σ 33 )(u H )σ 22 (e h ) ( ) + (2σ 33 σ 11 σ 22 ) (u H )σ 33 (e h ) + 6 σ 12 (u H )σ 12 (e h ) ( ) ( ) ] + 6 σ 12 (u H )σ 12 (e h ) + 6 σ 23 (u H )σ 23 (e h ) Détermination du chargement Maintenant que nous avons effectué cette linéarisation, nous allons pouvoir déterminer le chargement qui défini le problème adjoint. On utilise pour cela la relation suivante : l o (u h ) l o (u H ) σ V M (u H )e h dω (7.26) Ω k En un point x i de la zone d intérêt, l effort F à appliquer est alors déterminé par la relation suivante : Ni σ V M (u H ) 0 dω Ω k 0 0 F (x i ) = σ V M (u H ) N i dω (7.27) Ω k 0 0 σ V M (u H ) 0 dω Ω k N i Pertinence de la linéarisation et de l estimation réalisée On se trouve ici dans une situation où l on réalise deux approximations : la première dans la linéarisation de la quantité d intérêt, et la deuxième dans la méthode d estimation d erreur elle- 42

43 même. En effet, les opérations réalisées sont les suivantes : Estimation Problème Primal ẽ Linéarisation Erreur Quantité d Intérêt Problème Adjoint Estimation ɛ La linéarisation est basée sur le fait que la solution éléments finis u H est une approximation suffisamment bonne de la solution de référence u h, si bien qu une linéarisation au premier ordre de la fonction f suffit. Or il se trouve que lorsque nous avons voulu vérifier ce résultat sur notre maillage de base, en calculant une erreur de référence sur la quantité d intérêt et la valeur obtenue en linéarisant f, nous avons obtenu une grande différence (voir tableau 7.2). ( ) l o (u h ) l o (u H ) = σ V M (u h ) σ V M (u H ) dω = α Ω Comparaison des quantités : k σ V M (u H )e h dω = β Ω k Nous nous trouvions dans un cas où l approximation u H n a pas une assez bonne qualité par rapport à la solution de référence, si bien que le terme du second ordre dans la linéarisation n est plus négligeable. Rappelons que dans le cas d une fonction quelconque scalaire f, fonction d un champ vectoriel x, la linéarisation au deuxième ordre s écrit : f(x + x) f(x) + f(x) x xt H(f(x)) x (7.28) où H(f(x)) est la matrice Hessienne de la fonction f, c est à dire la matrice des dérivées secondes. Pour pouvoir définir de façon correct le problème adjoint, il faut donc utiliser un chargement qui respect une linéarisation correcte de la contrainte de Von Mises dans la zone d intérêt. Nous avons donc utilisé un maillage raffiné dans cette zone afin que l approximation u H de la solution de référence soit suffisamment correcte. le maillage utilisé est celui de la figure (7.5). 43

44 Fig. 7.5 Maillage raffiné sur la zone d intérêt Le tableau suivant rassemble les valeurs de α et β pour les deux maillages différents : α β Maillage initial 8,4-2,8 Maillage raffiné -0, ,94721 Tab. 7.2 Qualité de la linérisation On constate donc que la linéarisation est tout à fait satisfaisante dans le cas du maillage raffiné, et donc que la définition du problème adjoint sera pertinente. On peut donc ici certifier que l estimation sera satisfaisante au regard de la qualité des problèmes estimés Résultats Nous présentons ici les résultats obtenus pour l estimation d erreur du problème non linéaire. Tout d abord, l index d effectivité global est ρ = 2, 33. Cette valeur assez bonne montre que l estimation des problèmes primal et adjoint est de bonne qualité. Pour avoir une idée de l estimation locale qui est réalisée, on peut tracer les cartes d erreur relatives à ce problèmes. On constate sur ces cartes d erreur une très bonne conformité de la localisation de l erreur estimée à la localisation de l erreur de référence. Ceci valide la qualité de l estimation réalisée. Ce qui est également significatif est que les grandes valeurs de l erreur soient localisées en dehors de la zone d intérêt. Ceci peut s expliquer par le fait que le maillage raffiné que nous avons utilisé, tend à réduire l erreur dans la zone d intérêt puisque la solution approximée u H sur ce maillage est plus proche de la solution de référence que sur le maillage initial. Tout se passe comme si nous avions réalisé une adaptivité du maillage au problème étudié. 44

45 Fig. 7.6 Carte d erreur de référence Fig. 7.7 Carte d erreur estimée L étude de ce problème de quantité non linéaire donne donc des résultats très satisfaisants et étend le champ d application de cette méthode d estimation de l erreur. En effet nous sommes en mesure d offrir un estimateur d erreur qui donne de très bons résultats, que ce soit sur un problème global, ou sur des problèmes de quantités d intérêt définies localement. 45

46 Conclusion Au cours de cette étude, nous avons présenté une méthode d estimation basée sur une technique flux-free. Le grand avantage de cette méthode est sa simplicité de mise en œuvre puisque la construction des problèmes locaux, à partir du maillage initial, ne requiert aucune définition supplémentaire autre que la construction du maillage de référence et la transposition sur celui-ci, des conditions limites du maillage initial. Concernant la rapidité du calcul de l estimation, la taille des problèmes locaux résolus permet d obtenir un coût de calcul relativement faible. En outre cette technique permet le calcul de bornes de l erreur de référence dans des opération de post-traitement, calcul qui est lui aussi peu coûteux. Au regard de la comparaison des résultats avec un calcul de référence, que nous avons pu effectuer dans notre cas, cette méthode flux-free conduit à des répartitions spatiales de l erreur très fidèles. Ajouter à cela que l estimateur permet de fournir des bornes sur l erreur globale ou en termes de quantités d intérêt, toutes ces raisons font que cette méthode est particulièrement bien adaptée pour les problèmes d adaptivité. Bibiographie [1] Núria Parés, Pedro Díez, Antonio Huerta, Subdomain-based flux free a posteriori error estimators, Comput. Methods Appl. Mech. Engrg. 195 (2006) [2] Pedro Díez, Núria Parés, Antonio Huerta, Recovering lower bounds of the error by postprocessing implicit residual a posteriori estimates, Int. J. Numer. Meth. Engng : [3] Joe D. Hoffman, Numerical Methods for Engineers and Scientists 46

47 Table des matières 1 Maillage et Problème élastique Modélisation du problème et équilibrage du chargement Résolution du problème élastique Méthode d approximation de l erreur Formulation continue du problème exact Formulation continue du problème éléments finis Erreur par rapport à la solution exacte Mise en œuvre pratique du calcul de l erreur Approximation de l erreur locale Equilibrage des équations locales Description matricielle du problème éléments finis Notations Description des termes du problème En résumé Etude d un problème simple Description de la méthode Construction du maillage de référence Interpolation du déplacement Méthode de résolution Résultats Effectivité Cartes d erreur Etude du mousqueton Implémentation du programme Résultats Effectivité

48 5.2.2 Cartes d erreur Evaluation du coût du calcul de l estimation Evaluation du nombre d inconnues Estimation du coût C g global et C e de l estimateur Calcul des bornes énergétiques de l erreur Borne supérieure Borne inférieure Preuve Choix d un champ continu optimisant la borne inférieure Mise en œuvre sous CASTEM Résultats Estimation d erreur en quantité d intérêt Méthode d estimation Détermination du chargement Définition de l erreur sur le problème adjoint et son utilisation Construction des bornes de l erreur Quantité d intérêt linéaire Détermination du chargement Résultats Quantité d intérêt non linéaire Erreur sur la quantité d intérêt Linéarisation de la quantité d intérêt Détermination du chargement Pertinence de la linéarisation et de l estimation réalisée Résultats