Calculs et Certificats de Quantités d Intérêts Non Linéaires d un Mousqueton Cédric Bellis

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1 Ecole Normale Supérieure de Cachan Département de Génie Mécanique Rapport de Stage de M1 Mécanique et Ingéniérie des Systèmes Stage effectué du 10/04 au 27/08 Laboratori de Càlcul Numèric - Universitat Politècnica de Catalunya Tuteurs : Pedro Dièz (LaCaN) - Eric Florentin (DGM) Calculs et Certificats de Quantités d Intérêts Non Linéaires d un Mousqueton Cédric Bellis Paris, 21 décembre 2006

2 Introduction L utilisation du matériel d escalade est réglementé selon des normes de résistance à la rupture. La conception d un mousqueton requiert donc la simulation de son comportement dans des conditions d utilisation, afin de vérifier la conformité de celui-ci. Il est donc primordial que la précision de la méthode numérique employée soit suffisante, c est-à-dire que le maillage soit assez fin et que nous puissions disposer de critères de validité pour le calcul numérique. Le but de ce travail est de réaliser un calcul 3D d un mousqueton et d étudier l erreur associée au schéma numérique en se servant d outils d estimation d erreur convenables. Dans une première phase de l étude, nous mènerons l analyse élastique linéaire du mousqueton. Ensuite nous mettrons en œuvre une technique d estimation d erreur nommée flux-free, afin de pouvoir générer des certificats de validité pour ce calcul. Au cours de l étude, nous présenterons les formulations mathématiques continue et matricielle de cette méthode, pour décrire sa mise en œuvre sur un problème simple avant de l implémenter sur le mousqueton. 2

3 Chapitre 1 Maillage et Problème élastique 1.1 Modélisation du problème et équilibrage du chargement Le mousqueton que nous allons étudier est un mousqueton usuel d escalade. Le problème élastique que nous allons construire autour de cette géométrie se rapproche des tests normalisés de ce type de matériels. Fig. 1.1 Test réalisé sur un mousqueton d escalade pour assurer sa conformité. Le maillage qui sera le support de cette étude a été réalisé avec un mailleur indépendant, qui fixe donc la géométrie du solide. Le choix des parties où les efforts vont s exercer doit rester fidèle à la réalité physique des tests de conformité pour avoir une modélisation satisfaisante (figure 1.1). Le maillage est donc celui qui est présenté sur la figure (1.2), où l on peut observer en vert et en jaune les zones d application des efforts. Dans la réalité des tests pratiqués sur ce type de matériels, le mousqueton est sollicité en traction sur chacune des parties mises en évidence sur la figure (1.2). Le blocage des déplacements du mousqueton dans l espace se fait naturellement dans le dispositif expérimental. Dans notre modélisation, nous souhaitons pouvoir appliquer des conditions limites en déplacement d un type quelconque. 3

4 Fig. 1.2 Maillage du mousqueton. Pour assurer l équivalence, à un mouvement de solide rigide près, des différents blocages et pour assurer la solvabilité du problème élastique nous allons utiliser une répartition surfacique d efforts dont l effort résultant et le moment résultant sont nuls. Appliquer une répartition d efforts dont la résultante est nulle est évident. Néanmoins, étant donné que le maillage du mousqueton est réalisé avec un logiciel annexe, nous n avons pas de maîtrise particulière des surfaces où s appliquent les efforts ; il faut donc s assurer de la nullité du moment résultant. Si l on fait le choix, pour annuler la résultante en effort, que les répartitions surfaciques sont opposées et suivant une direction définie par d = (d x, d y, d z ) alors on peut, par linéarité, séparer la contribution de chaque composante des efforts aux composantes du moment résultant. d = d x (1, 0, 0) + d } {{ } y (0, 1, 0) + d } {{ } z (0, 0, 1) (1.1) } {{ } M x M y M z Par linéarité, le moment résultant est M = d x M x + d y M y + d z M z où les inconnues sont d x, d y et d z. On résout alors le système suivant, afin de déterminer entièrement la direction des efforts : 0 My 1 M 1 z d x Mx 2 0 Mz 2 d y = 0 (1.2) Mx 3 My 3 0 d z Une fois ce système résolu, le chargement qui est appliqué sur le mousqueton (figure 1.3) permet de s affranchir d un choix de conditions limites en déplacement complexe. Simplement, les conditions imposées doivent supprimer les mouvements de solides rigides. On est alors assuré de la solvabilité du problème élastique mais pas de l unicité de la solution. 4

5 Fig. 1.3 Chargement appliqué sur le mousqueton. 1.2 Résolution du problème élastique Vérifions dans la résolution de ce problème élastique l équivalence des solutions pour deux types de conditions limites : Dans chaque cas, on extrait trois points du maillage pour lesquels on supprime respectivement 3, 2 et 1 translations. Fig. 1.4 Déformées obtenues pour deux types de conditions limites. Sur les déformées figure (1.4), les champs de déplacements ne sont bien sûr pas les mêmes mais ils sont égaux à un déplacement de solide rigide près ; par contre les champs de contraintes sont les mêmes. On vérifie ainsi que les énergies de déformation des différents champs de déplacements sont les mêmes. La figure (1.5) montre la répartition des contraintes dans la modélisation du problème posé. On voit ainsi apparaître les zones qui subissent les contraintes les plus grandes lors d une sollicitation en traction du mousqueton. On va donc pouvoir simuler numériquement la conformité du mousqueton aux normes de sécurité. 5

6 Fig. 1.5 Champs de contraintes sur le mousqueton. L enjeu de la validation du calcul numérique est d arriver à établir, d une part, si le calcul effectué sur un maillage relativement grossier donne lieu à une erreur importante, et quelle peut être la distribution de l erreur sur le maillage par rapport à la solution exacte du problème ; et d autre part, de pouvoir donner des bornes supérieure et inférieure en énergie sur le champ de déplacement approché calculé. Cette démarche doit être indissociable de l exploitation d un calcul numérique puisqu elle vient valider, ou plutôt nuancer les résultats de cette modélisation. Nous allons donc présenter une méthode d estimation de l erreur, en l exploitant sur l exemple du mousqueton. L enjeu d une telle méthode est de pouvoir donner une estimation de l erreur commise lors d un calcul éléments finis d un problème dont on ne peut pas calculer une solution exacte, ou de référence, c est-à-dire avec un maillage raffiné très finement. Cette méthode doit donc être plus rapide, bien sûr, que le calcul que demanderait un maillage très fin et donner une approximation la plus précise possible de l erreur commise lors du calcul sur un maillage grossier. 6

7 Chapitre 2 Méthode d approximation de l erreur 2.1 Formulation continue du problème exact Soit Ω le domaine de l espace qui correspond au domaine élastique étudié, et sa frontière Ω, divisée en deux parties Ω U et Ω F telles que Ω U Ω F =. Le problème à résoudre revient alors à trouver le champs de déplacement u sur le domaine Ω tel que : divσ(u) + f D = 0 dans Ω σ(u) n = F D sur Ω F (2.1) u = u D sur Ω U où f d et F D sont respectivement les efforts internes et externes imposés sur le domaine, et u D les déplacements imposés. On introduit l espace des déplacements admissibles U = { u H 1 (Ω) 3, u ΩU = u D } et l espace des déplacements admissibles à zéro V = { u H 1 (Ω) 3, u ΩU = 0 }. La formulation variationnelle du problème, ou problème primal est : Trouver u U tel que : a(u, v) = l(v) v V (2.2) où a(u, v) = σ(u) : ɛ(v) dω Ω l(v) = f D v dω + F D v dγ Ω Ω F (2.3) 2.2 Formulation continue du problème éléments finis Le problème éléments finis correspondant est caractérisé par des espaces de déplacements admissibles U H U et V H V associés à un maillage du domaine Ω de taille caractéristique n H (nombre de nœuds) noté Ω H. Le déplacement du problème éléments finis, noté u H, est solution du problème : 7

8 Trouver u H U H tel que : a(u H, v) = l(v) v V H (2.4) Erreur par rapport à la solution exacte La solution u H du problème éléments finis est une approximation de la solution exacte u. De façon générale on est assuré que le champ de déplacement u H va converger vers la solution exacte du problème si l on augmente n H. Néanmoins cette convergence est globale, sur la norme énergétique par exemple, et localement on ne peut maîtriser la convergence du déplacement. Il s agit alors d estimer quelle est l erreur commise dans ce calcul de façon locale, pour avoir une indication de validité sur des quantités d intérêt par exemple. On introduit alors l erreur e = u u H qui appartient à l espace V. En remplaçant dans l équation (2.4) u par u = e u H, on obtient le problème dont e est solution : Trouver e V tel que : a(e, v) = l(v) a(u H, v) = R P (v) v V (2.5) où R P (v) désigne le résidu associé au problème primal Mise en œuvre pratique du calcul de l erreur De façon pratique, l erreur ne peut pas être calculée de façon exacte (tout comme u), et nous allons réaliser un calcul éléments finis sur un maillage raffiné, maillage dit de référence, noté Ω h. La taille n h de ce maillage vérifiant alors n h n H. La solution exacte u est remplacée par champs de déplacements de référence u h avec l approximation u u h = u H + e h. Le calcul réalisé est alors une approximation de l erreur, c est-à-dire le calcul sur le maillage de référence, du problème : Trouver e h V h tel que : a(e h, v) = l(v) a(u H, v) = R P (v) v V h (2.6) Le calcul de e h est, de façon générale, trop coûteux compte tenu de la taille du problème éléments finis de référence. L idée de l estimation d erreur est de résoudre un ensemble de problèmes locaux, avec peu de degrés de liberté, pour obtenir une approximation ẽ de e h Approximation de l erreur locale La solution u H est relative au maillage bleu (figure 2.1), et c est celle dont on veut estimer l erreur. Pour des raisons pratiques, on assimile la solution théorique à u h solution sur le maillage de référence vert, et l erreur exacte e à e h. Puisque l erreur e h n est pas calculable directement, on va en calculer une approximation ẽ telle que : 8

9 Fig. 2.1 Maillage calculé Ω H (bleu) et maillage de référence Ω h (vert). ẽ = n H i=1 ẽ ωi (2.7) où n H désigne le nombre de nœud de Ω H et ω i l ensemble des éléments de Ω h compris dans les éléments de Ω H qui ont le nœud i pour sommet (figure 2.2). Fig. 2.2 En rouge le domaine ω i qui s appuie sur le nœud i de Ω H, au centre. On désigne par φ i la fonction de forme sur Ω H relative au nœud i et respectivement V h ω i, a ωi (, ) et R P ω i les restrictions à ω i de l espace V h, de la forme bilinéaire a(, ), et de la forme linéaire R P. Chacun des termes de la somme, est solution du problème : Trouver ẽ ωi V h ω i tel que : a ωi (ẽ ωi, v) = R P ω i (φ i v) v V h ω i (2.8) Remarque 1 : Cette décomposition de ẽ est basée sur le fait que les fonctions φ i forment une partition de l unité. Ainsi pour tout v appartenant à V h on peut écrire : ( nh ) n H n H R P (v) = R P φ i v = R P (φ i v) = Rω P i (φ i v) (2.9) i=1 i=1 i=1 Sachant que R P (φ i v) = Rω P i (φ i v) car φ i est nulle en dehors de ω i. Remarque 2 : Sur un domaine ω i, ẽ ωi n est solution de l équation (2.8) que sur l espace Vω h i et 9

10 non sur V h tout entier. Il en résulte donc que lorsque l on va parcourir tous les nœuds du domaine Ω H, les champs ẽ ωi n ont pas forcément la même valeur en un même nœud. Le champ ẽ n est donc pas continu sur tout le domaine Ω h. Voilà pourquoi ẽ est une approximation de e. Nous verrons comment le problème est résolu dans CASTEM Equilibrage des équations locales Introduisons tout d abord, deux applications que nous allons utiliser par la suite : soit π h et π H les projections nodales d une fonction de V dans, respectivement, les espaces V h et V H. Nous avons donc vu qu il faut résoudre sur tous les domaines ω i que nous appellerons, étoiles, le problème (2.8). Or a priori le terme R P ω i (φ i v) n a aucun raison d être équilibré. En réalité, la résultante des efforts est nulle mais pas la résultante des moments. Pour pouvoir résoudre le système, la méthode utilisée est une méthode proposée par Bank et Weiser en 1985, qui consiste à remplacer le terme φ i v par φ i (v π H v). Ces modifications vont certes, modifier le champ solution de notre problème, mais néanmoins ce champ va conserver sa propriété importante de borne supérieure sur l erreur exacte e. Le problème révient alors à résoudre sur chaque étoile ω i du maillage Ω h : Trouver ẽ ωi V h ω i tel que : a ωi (ẽ ωi, v) = R P ω i (φ i (v π H v)) v V h ω i Il se trouve que dans le terme de droite, si l on projette l argument φ i (v π H v) dans l espace V h, le calcul numérique sera grandement simplifié et les propriétés de l erreur ainsi évaluée seront conservées. Le problème à résoudre est le suivant : Trouver ẽ ωi V h ω i tel que : a ωi (ẽ ωi, v) = R P ω i (π h φ i (v π H v)) v V h ω i (2.10) La projection dans l espace V h s efface la plupart du temps, puisque les champs calculés sont connus aux noeuds du maillage Ω h et donc résident dans V h. 10

11 Chapitre 3 Description matricielle du problème éléments finis Après avoir décrit la formulation continue du problème, nous allons voir comment peuvent être explicités les termes des équations en notation matricielle. Nous allons donc adopter un point de vue discrétisé, propre à la méthode des éléments finis. 3.1 Notations - On note par X ou x un nœud dans les maillages Ω H ou Ω h, en indiçant éventuellement par le numéro du nœud. - Construisons le produit entre un champ scalaire et un champ vectoriel. Si ψ est un champ scalaire sur Ω h par exemple et Λ un champ de vecteurs sur le même maillage, alors le résultat de ψ Λ est un champ vectoriel tel que au nœud x k : ψ(x k )Λ(x k ) x (ψ Λ) (x k ) = ψ(x k )Λ(x k ) = ψ(x k )Λ(x k ) y (3.1) ψ(x k )Λ(x k ) z Pour alléger l écriture, le symbole ne sera pas toujours écrit mais il sera implicite lors de la multiplication d un champ scalaire avec un champ vectoriel. - On introduit les fonctions de forme N j sur le maillage Ω h. Ces fonctions de forme correspondent à un champs scalaire défini pour tous les points du maillage tel que pour toute fontion v V h on peut écrire pout tout nœud x de Ω h : 11

12 n h v(x) = N k (x) v(x k ) où x k représente le noeud k du maillage (3.2) k=1 donc en particulier sur le domaine ω i : ẽ ωi (x) = N k (x) ẽ ωi (x k ) (3.3) 3.2 Description des termes du problème Plaçons nous sur une étoile ω i du maillage Ω h ; nous allons expliciter les termes qui interviennent dans l équation (2.10). Chacun de ces termes est un champ vectoriel, dont les composantes x, y et z du vecteur au nœud x j sont obtenues pour la fonction test N j associée respectivement à chacun des vecteurs (1, 0, 0), (0, 1, 0) et (0, 0, 1). Soit v V h ω i : a ωi (ẽ ωi, v) Ce terme est simplement la restriction à ω i de la forme bilinéaire a(, ), c est à dire : a ωi (ẽ ωi, v) = σ(ẽ ωi ) : ɛ(v) dω (3.4) ω i Ainsi dans l équation (3.4), si l on utilise pour fonction test la fonction de forme N j associée à chacun des vecteurs (1, 0, 0), (0, 1, 0) et (0, 0, 1), on obtient : a ωi n h 1 ( nh ) n h 1 N k ẽ ωi (x k ), N j 0 = σ N k ẽ ωi (x k ) : ɛ N j 0 dω k=1 0 ω i k=1 j=1 0 ( nh ) 1 = σ N k ẽ ωi (x k ) : ɛ(n j ) dω 0 ω i k=1 0 n h 1 = σ(n k ẽ ωi (x k )) : ɛ(n j ) dω 0 k=1 ω i 0 n h k=1 12

13 ) = (K ωi ẽ ωi (x j ) = (K ωi ẽ ωi ) (x j ) x où K ωi désigne la matrice de rigidité du maillage Ω h restreinte sur l étoile ω i. On obtient donc finalement pour les trois directions x, y et z : n h j=1 a ωi R P ω i (π h φ i v) 1 n h ( ( ) ) ) ) ẽ ωi, N j 1 = K ωiẽ ωi (x j ) + (K x ωi ẽ ωi (x j ) + (K y ωi ẽ ωi (x j ) z 1 j=1 n h 1 soit a ωi ẽ ωi, N j 1 = K ωi ẽ ωi (3.5) j=1 1 Nous nous intéressons ici au premier terme du membre de droite de notre équation. Ce terme regroupe sur l étoile, les contributions des efforts extérieurs et du champ de déplacements solution du problème sur le maillage Ω H : R P ω i (π h φ i (v)) = l ωi (π h φ i v) a ωi (u H, π h φ i v). Sachant que les efforts imposés comme le champ de déplacements u H et le champ φ i doivent être interpolés dans le maillage Ω h. l ωi (π h φ i v) En utilisant les notations introduites, on peut écrire : l ωi 1 π h φ i N j 0 = 0 ω if = φ i = ) 1 N k f D (x k ) φ i N j 0 dω k=1 0 ( nh ) 1 + N k F D (x k ) φ i N j 0 dγ ω if k=1 0 n h ) 1 N k N j f D (x k ) dω + N k N j F D (x k ) dγ 0 k=1 ω i k=1 ω if 0 ( nh ( nh ( f ext ω i φ i ) (x j ) x 13

14 soit n h j=1 l ωi 1 π h φ i N j 1 = f ext φ ω i (3.6) i 1 où f ext ω i désigne donc le champ vectoriel des efforts extérieurs restreints à l étoile ω i. a ωi (u H, π h φ i v) En reprennant le développement qui nous a mené à l équation (3.6) on peut écrire : a ωi n h 1 n h N k u H (x k ), π h φ i N j 0 = φ i σ(n k u H (x k )) : ɛ(n j ) dω k=1 0 k=1 ω i ) = (K ωi u H ωi (x j ) φ i x soit n h j=1 a ωi n h 1 N k u H (x k ), π h φ i N j 1 = K ωi u H ω i φ i (3.7) k=1 1 où u H ω i désigne la restriction à l étoile ω i du champ de déplacement. R P ω i (π h φ i (π H v)) Il faut ici nous intéresser à la projection sur le maillage Ω H pour un champ v de V h. Pour un champ v V la projection π H s écrit simplement avec les fonctions de forme φ k sur le maillage Ω H : π H v = n H k=1 φ k v(x k ) où X k représente le nœud k du maillage Ω H. (3.8) En particulier, si l on utilise pour fonctions tests la somme des fonctions de forme N j sur le maillage Ω h associée au vecteur (1,1,1) comme précédemment, on obtient : 1 N j 1 = j=1 1 π H n h n H n h φ k k=1 On peut donc en déduire les termes de R P ω i (π h φ i (π H v)) : 1 N j (X k ) 1 (3.9) j=1 1 14

15 l ωi (π h φ i (π H v)) n h 1 n h n H 1 l ωi (π h φ i (π H N j 1 )) = l ωi (π h φ i ( φ k N j (X k ) 1 )) j=1 1 j=1 k=1 1 n h n H 1 = φ k l ωi (π h (φ i N j 1 ))(X k ) j=1 k=1 1 n H n h 1 = φ k l ωi (π h (φ i N j 1 )) (X k ) k=1 j=1 1 } {{ } = n H k=1 n h j=1 f ext ω i φ i (x j ) ( f ext ω i φ i φ k ) où l indication X k signifie que la somme sur Ω h ω i des termes nœud X k seulement. a ωi (u H, π h φ i (π H v)) De même on obtient ici une somme de termes ramenée au point X k : (x j ) (X k ) (3.10) ( f ext ω i φ i φ k ) (x j ) est affectée au n h 1 n h n H 1 a ωi (u H, π h φ i (π H N j 1 )) = a ωi (u H, π h φ i ( φ k N j (X k ) 1 )) j=1 1 j=1 k=1 1 n H n h 1 = φ k a ωi (u H, π h φ i (N j 1 )) (X k ) k=1 j=1 1 } {{ } «K u Hωi φ ωi i (x j ) n H n h ) = (K ωi u H ωi φ i φ k (x j ) (X k ) (3.11) k=1 j=1 15

16 3.3 En résumé En définitive, le problème en éléments finis revient à chercher sur ω i le champ vectoriel ẽ ωi qui est solution du système : K ωi ẽ ωi = ( f ext ω i K ωi u H ω i ) φ i + n H k=1 n h (( ) ) f ext K ω i ωi u H ω i φ i φ k (x j ) (X k ) (3.12) j=1 On obtient ainsi une approximation sur l étoile ω i de l erreur. Cette approximation a été faite sans aucune condition limite particulière imposée sur le bord de l étoile, mais simplement en utilisant des restrictions des efforts extérieurs et du champ de déplacement définis sur le maillage de référence. C est la raison pour laquelle cette méthode d approximation de l erreur est appelée flux-free. Il est important de retenir ici que le champ ẽ ωi est calculé seulement sur le domaine ω i indépendamment du reste du maillage. Ainsi, comme nous le verrons par la suite, lors de l assemblage des différents champs d erreur approximée, nous devrons prêter attention à la nature des champs calculés qui sont plus propres aux éléments du maillage qu aux nœuds. 16

17 Chapitre 4 Etude d un problème simple 4.1 Description de la méthode Nous allons mettre en œuvre cette méthode d estimation d erreur sur un problème 3D très simple. Le problème que nous étudions est un cube bloqué en translation sur l une de ses faces et chargé sur sa face opposée. Décrivons les étapes successives qui conduisent au calcul d une estimation de l erreur Construction du maillage de référence La première étape consiste à construire le maillage de référence, c est à dire le maillage qui va conduire à une approximation satisfaisante de la solution exacte. Ce maillage doit, bien sûr, être plus fin que le maillage sur lequel a été calculé la solution du problème, sans toutefois être fin excessivement, auquel cas le temps de calcul de l erreur serait trop important (figures (4.1) et (4.2)). Fig. 4.1 Maillage initial Ω H et une étoile raffinée (en bas à droite) 17

18 Le maillage initial va être raffiné pour conduire au maillage de référence. Pour cela, chaque nœud du maillage initial permet de construire une étoile, c est-à-dire l ensemble des éléments qui ont ce nœud pour sommet. L étoile est ensuite raffinée autant de fois qu on l estime necessaire. Le raffinement de l étoile est fait ici en changeant deux fois de suite le type des éléments, de linaire à quadratique, puis de nouveau linéaire. CASTEM crée ainsi des points lors du passage aux éléments quadratiques. Ces points, qui ne peuvent plus être supprimés lors du retour aux éléments linéaires, créent de nouveaux éléments. En réalisant cette opération une ou deux fois, on obtient le maillage de référence. Le maillage de référence (figure 4.2) résulte de l assemblage de l ensemble des étoiles raffinées. Fig. 4.2 Maillage de référence Ω h Interpolation du déplacement Le déplacement u H calculé sur le maillage grossier doit être interpolé sur le maillage fin. Cette interpolation se fait naturellement de façon linéaire (figure 4.3). Fig. 4.3 En rouge le déplacement u H et en vert sa projection dans le maillage de référence Méthode de résolution L obtention d une approximation de l erreur se fait sur chaque étoile ω i du maillage grossier. Le calcul des termes du système et sa résolution se font dans une boucle sur les étoiles. 18

19 Construction du second membre sur l étoile ω i Sur chaque étoile de Ω H le second membre du système à résoudre est : ( ) n H n h (( ) ) f ext K ω i ωi u H ω i φ i + f ext K ω i ωi u H ω i φ i φ k (x j ) (X k ) Nous allons donc voir comment est réalisé le calcul de ces termes. k=1 j=1 La présence des termes f ext et K impose que les efforts et les déplacements imposés sur Ω H soient imposés également sur Ω h. Cela nécessite donc de projeter exactement sur le maillage de référence les surfaces de Ω H sur lesquelles des conditions limites en déplacement ou en effort sont imposées. La famille des fonctions φ i doit être calculée pour tous les points de Ω H. Pour un point x i donné, φ i est un champ scalaire défini sur Ω h, qui vaut 1 au noeud x i et 0 aux autres nœuds de Ω H. Ce champ scalaire est ensuite interpolé linéairement (figure 4.4). x k x i Fig. 4.4 Construction de la fonction φ i D un point de vue pratique, la fonction φ i n est utile que pour le calcul de l erreur sur l étoile centrée en x i. Il n est donc pas nécessaire de stocker un ensemble de valeurs nulles pour le reste du maillage Ω h. On peut alors calculer le résidu global sur le maillage de référence : f ext K u H. Pour obtenir le second membre du système sur ω i, il suffit alors de réduire ce résidu à la zone concernée et d utiliser correctement les fonctions φ i calculées. Résolution du système sur ω i et assemblage des champs d erreur approximée La résolution de l équation (2.10) conduit à un ensemble de champs vectoriels ẽ ωi où i = 1,..., n H définis sur Ω h. Il faut alors s interroger sur la façon dont ces champs doivent être stockés. En effet, un même point va être inclus dans plusieurs étoiles et, lors du calcul de l erreur sur ces étoiles, leurs valeurs au point ne seront pas forcément les mêmes (figure 4.5). 19

20 Fig. 4.5 Chevauchement sur plusieurs nœuds lors du calcul des étoiles bleue et orange. Sur la figure (4.6) on a représenté de façon imagée par une croix, un champ calculé en un point. Ainsi un point de l élément au centre possède des valeurs de l erreur estimée différentes s il appartient soit à l étoile bleue, soit à l étoile orange. Si l on somme ou si l on moyenne les champs d erreur estimée nodalement sur chaque étoile, on va ainsi perdre de l information. Il faut donc sommer les champs non pas de façon nodale, mais plutôt en tant que champs par éléments. Fig. 4.6 Répartition sur les éléments, des champs calculés nodalement. Cette méthode d estimation d erreur aboutit donc à un champ d erreur estimée sur chaque élément du maillage Ω H, si bien que le champ d erreur estimée ẽ appartient à l espace Vbrok h Vh où Vbrok h est un champ de déplacement discontinu sur le maillage de référence. 4.2 Résultats Etant donné la simplicité du problème étudié, on peut ici calculer une solution de référence directement, en vue d avoir l erreur de référence et de pouvoir comparer ẽ et e h Effectivité Pour évaluer la pertinence de l estimation d erreur, on introduit le critère d effectivité. Il revient à calculer de façon globale ou locale, le rapport ρ = ẽ e h. Remarque : Si l on se place de façon globale, la norme est calculée de la facon suivante : 20

21 n el n el n el u = u 2 Ω k = a Ωk (u, u) = k=1 k=1 k=1 u T Ω k K Ωk u Ωk où Ω k désigne l élément k du domaine considéré. La norme du champ u sur un élément est donc u Ωk = u T Ω k K Ωk u Ωk. On peut alors s intéresser à l effectivité globale, ainsi que tracer la carte d effectivité, c est-à-dire l effectivité associée à chaque élément ; enfin on peut comptabiliser le nombre d éléments qui ont une effectivité donnée pour tracer un histogramme. Effectivité globale ou moyenne Sur cet exemple on obtient ρ = 1, 563 sur le domaine entier. Cela signifie donc qu en moyenne l erreur estimée sur les éléments de Ω H est supérieure de 56% à l erreur de référence. Le fait que l erreur estimée soit supérieure à l erreur de référence conforte l idée de convergence de la solution, et le fait que cette méthode d estimation calcule en fait une borne supérieure de l erreur. Carte d effectivité Intéressons nous de façon plus détaillée à la répartition de l effectivité sur notre domaine (figure 4.7). Bien évidemment ici, l effectivité est tracée pour les éléments de la surface du cube, mais on peut accéder à n importe quel élément. Cette carte doit nous servir de critère de fiabilité. Si la zone Fig. 4.7 Carte d effectivité en pourcentage. 21

22 d intérêt est située au voisinage d un élément dont l effectivité est voisine de 100% alors on aura de bonnes raisons d avoir confiance dans l erreur estimée. Histogramme Cet histogramme recense le nombre d éléments pour un intervalle d effectivité donnée. On peut ainsi mieux estimer la pertinence de l estimation d erreur, en observant la répartition de l effectivité par rapport à la valeur de référence de 1 ou 100% Cartes d erreur On peut donc tracer sur chaque élément du maillage Ω H la norme énergétique de l erreur estimée ẽ et de l erreur de référence e h. Ces figures nous renseignent sur le fait que l estimation d erreur aboutit bien à une répartition de l erreur conforme à l erreur commise lors du calcul éléments finis exact ou de référence. Lors de cas plus complexes, on ne peut pas calculer une solution de référence, si bien que l ensemble des critères d évaluation de l estimateur d erreur présentés ci-dessus doivent nous indiquer si l on peut ou non s y fier. 22

23 Fig. 4.8 Carte de l erreur de référence. Fig. 4.9 Carte de l erreur estimée. Les figures (4.8) et (4.9) nous permettent de confirmer que cette méthode d estimation de l erreur aboutit bien à une répartition spatiale de l erreur qui est cohérente. Cette propriété va permettre de valider l utilisation de cette méthode dans des cas où la solution de référence n est pas calculable. 23

24 Chapitre 5 Etude du mousqueton Après avoir étudié le fonctionnement de la méthode d estimation de l erreur, nous cherchons à la mettre en œuvre sur le mousqueton. La taille du problème reste encore raisonnable, et le calcul d une solution de référence ne demande pas un temps extrêmement long ; nous allons donc ici implémenter la méthode sur cet exemple plus complexe. 5.1 Implémentation du programme Le programme CASTEM qui est exécuté ici est écrit de façon très modulable. En effet, la programmation a été décomposée en de nombreuses procédures qui peuvent donc facilement s appliquer sur des maillages très divers. Ce à quoi il faut prêter attention est la stricte application, sur le maillage de référence, des conditions limites en déplacement et en effort définis sur le maillage grossier. Rappelons ici que le mousqueton n a pas été maillé avec CASTEM mais avec un mailleur indépendant, si bien que la définition des surfaces en question n est parfois pas évidente (figure 5.1). Fig. 5.1 En rouge, une surface d application des efforts sur Ω H à gauche et Ω h à droite. 24

25 5.2 Résultats Effectivité Bien que nous ayons étudié, dans le cadre du premier exemple, la façon dont se comporte l estimateur d erreur, nous pouvons ici encore calculer une solution de référence au problème et accéder alors à l effectivité du calcul. La valeur moyenne de l effectivité sur notre domaine est égale à 1,9212. De façon plus détaillée, intéressons nous à la répartition des éléments sur les éléments (figure 5.2) : Fig. 5.2 Carte d effectivité Ce qui est remarquable ici, c est une répartition très homogène de l effectivité. Ceci est très positif, puisque si l on cherche à faire de l adaptivité, on cherche justement à éviter que localement l erreur du calcul numérique soit trop grande. Cette carte montre donc que globalement l estimation d erreur est satisfaisante sur l ensemble du domaine. Ce résultat a déjà pu nous être prédit lors du calcul du premier exemple simple. Si l on trace sur un histogramme la répartition du nombre d éléments pour un intervalle d effectivité donnée, on peut remarquer qu il y a, certes, un étalement de l effectivité vers des valeurs assez grandes (voisines de 2), mais que néanmoins un grand nombre d éléments ont une effectivité inférieure à 1,5 ce qui est satisfaisant. Cette répartition semble corréler la répartition qui a été décrite sur l histogramme précédent. On ne trouve que très peu de valeurs inférieures à 1, c est-àdire 100%, puisque cela signifie que l énergie de l erreur estimée est inférieure à l énergie de l erreur de référence. Il faut rappeler ici que le calcul approximé du champ d erreur conduit, par nature, 25

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