Statistiques descriptives

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1 Statistiques descriptives 1) Généralités et vocabulaires statistiques 2) Les Séries statistiques à une seule variable

2 Chapitre 1 Généralités et vocabulaires statistiques Les statistiques descriptives : C est un ensemble de méthodes permettant de décrire, présenter et résumer des données souvent très nombreuses. Ces données peuvent être recueillies sous forme d un tableau, d une courbe ou d un graphe qui contient l information. Une population statistique : C est l ensemble d individus (objet, être humain ) soumis à une étude statistique. Individu : C est un élément de la population. Echantillon : C est un prélèvement de la population (de n individus) afin d étudier un caractère bien déterminé. Enquête : Il existe 2 types d enquêtes : Exhaustive : c est quand on s intéresse d un ensemble d individus de la population totale. Elle est aussi appelée recensement. Réduite : C est quand on s intéresse à une partie de la population. Elle est aussi appelée sondage. Sondage aléatoire : Fait au hasard Sondage résonné : Basé sur un échantillon représentatif

3 Les variables statistiques : Les modalités : Ce sont les différentes situations possibles d une variable. Par suite, les modalités sont les différentes réponses de la question qui est la variable. Il existe 2 types de variables statistiques : La variable qualitative et la variable quantitative Une variable : Permet d associer à chaque individu de la population une modalité de caractère. Elle peut être quantitative ou qualitative. Les variables qualitatives : Une variable est qualitative quand elle n est pas numérique. On a 2 types de variables qualitatives : Ordinales : Lorsque les modalités d une variable possèdent une relation d ordre entre ellesmêmes. Exemple : Les mentions du bac, l hiérarchie dans l armée Nominales : Lorsque les modalités d une variable ne suivent pas une relation d ordre. Ils sont représentés arbitrairement. Exemple : Nationalité, religion

4 Les variables quantitatives : Une variable est quantitative quand elle est une numérique. On a 2 types de variables quantitatives : Discrète : Prend des valeurs numériques entières dans l ensemble Exemple : nombre d enfants d une famille Continue : Lorsque les modalités numériques de cette variable appartiennent à des intervalles ou à des classes et les valeurs numériques sont dans l ensemble des réels Exemple : taille, poids La représentation des données quantitatives a) Le cas discret : Exemple : La distribution suivante représente le nombre de voitures de 20 individus xi ni fi Fi xi : Variable ni : Effectifs

5 n : Effectif totale (n=20 dans ce cas) fi : Fréquence Fi : Fréquence cumulée Représentation graphique : (La représentation des effectifs et des fréquences) Diagramme en bâton : Représentation graphique : (La représentation des fréquences cumulées) Ça s appelle la courbe en escalier, c est une fonction croissante discontinue qui représente les fréquences cumulées.

6 100% 90% 80% 70% 60% 50% 40% 30% 20% 10% 0% b) Le cas continue Dans notre cas, on va prendre les fréquences cumulées en pourcentage. Exemple: La distribution suivante représente les tailles des étudiants de la première année de psychologie Ci (cm) ni fi Fi ai Ni/ai [160,165[ [165,170[ [170,180[ [180,195[ Représentation graphique : (La représentation des effectifs et des fréquences) L histogramme : C est la juxtaposition de rectangles dont la surface de chaque partie est proportionnelle aux effectifs relations ou aux fréquences relatifs de la série en question.

7 ni/ai Ci Représentation graphique des fréquences cumulées (courbe cumulative)

8 Représentation des données qualitatives : Exemple : La distribution Mi ni fi% Femme n= n= homme 11 x 11 5 x 69 suivante partage les 16 étudiants d une classe en fonction de leur sexe Diagramme circulaire : La population entière dans un diagramme circulaire est représentée par un cercle de. Les effectifs ou les fréquences constituent une partie de ce cercle. L angle au centre d une partie sera proportionnel à l effectif ou la fréquence de la modalité considéré 112,5 247,5

9 n= x n= x

10 Chapitre 2 Série statistique à une seule variable Dans ce chapitre on va calculer les caractéristiques numériques d une série statistique à une variable qui vont servir à analyser et à mieux décrire cette série. On distingue 4 sortes de caractéristiques. Les caractéristiques de tendance centrale Les caractéristiques de dispersion Les caractéristiques de forme Les caractéristiques de concentration 1) Les caractéristiques de tendance centrale : Dans cette série on va définir 4 composants : a. Mode b. Médiane c. Quantiles d. Moyenne arithmétique a) Le Mode : Le mode d une série statistique est la valeur de la variable qui correspond au plus grand effectif ou au plus grand effectif relatif 1. Le cas d une variable quantitative discrète Dans ce cas on pourra facilement déterminer le mode qui correspond à la valeur de la variable ayant le plus grand effectif ou la plus grande fréquence Graphiquement ça correspond au bâton le plus élevé dans le diagramme en bâton

11 Exemple : nombre d enfants dans une famille xi ni Mo=1 12 ni ni

12 2. Le cas d une variable quantitative continue Dans ce cas on pourra facilement déterminer la classe modale qui correspond à la classe ayant l effectif relatif le plus élevé ou la fréquence relative la plus élevé Mais c est seulement par la méthode graphique qu on va trouver la valeur exacte du mode. Exemple : la distribution suivante représente les notes de 20 étudiants dans la 1ere année de psychologie. Ci ni Fi Fi ai ni/ai [0,5[ Classe modale= [10,13[ [5,10[ [10,13[ [13,16[ [16,20[ Ni/ai Ci Pour trouver la valeur exacte du mode il suffit de construire les segments [AC] et [BD]. Leur intersection projetée sur l axe des abscisses sera la valeur du mode.

13 Remarque : Le mode est la seule caractéristique qu on peut calculer pour une variable qualitative. Exemple Mo=libanaise Nationalité ni Libanaise 10 Française 5 Syrienne 5 Iraquienne 3 b) La médiane C est la valeur de la variable qui décompose la distribution statistique en 2 parties égales. 1) Cas d une variable discrète Exemple : Distribution des enfants dans une famille En premier lieu il faut calculer les fréquences cumulées ensuite la valeur dans laquelle on dépasse les 50% des observations sera considéré comme médiane. Me=3 xi ni fi% Fi% ) Le cas d une variable continue : Dans ce cas on va calculer la médiane suivant 2 méthodes une analytique et une graphique.

14 En 1 e lieu : il faut trouver la classe médiane qui sera la classe dans laquelle on a déposé les 50% des observations. En 2 e lieu : Méthode analytique Soit Me= [xi, yi [ xi : Borne inferieur de la classe Me ai : Amplitude inferieur de la classe Me fi : Fréquence inferieur de la classe Me Fi(xi) : Fréquence cumulée de la classe précédente à la classe Me Ci ni fi% Fi% [3,4[ [4,6[ [6,8[ [8,9[ [9,10[ [10,12[ F (xi) 8 Jours et moins Méthode graphique

15 c) Les Quartiles : Sont les valeurs de la variable qui partage la série statistique en 4 parties égales. Cas d une variable quantitative continue : 25% 25% 25% 25% Q1 Q2 Q3 Médiane F(Q1)=25% F(Q2)=50% F(Q3)=75% Calcul des quartiles : Pour calculer la valeur de Q il faut trouver la classe U1 qui est la classe dans laquelle on dépasse les 25% des observations. Exemple : 25% des employés s absentent 7 jours et moins.

16 NB : Q1 et Q3 peuvent être calculés graphiquement de la même façon que la médiane. Les déciles Sont les valeurs de la variable qui partagent la série statistique en 10 parties égales F(D2)=20% d) La moyenne arithmétique: La moyenne arithmétique simple: ni : Effectif total Exemple : 14, 12, 10, 4. Dans ce cas l effectif total est 4 car on a 4 notes. La moyenne arithmétique pondérée: Exemple (cas discret) : 14 3 crédits 12 4 crédits 10 4 crédits

17 4 2 crédits n =13 crédits. Exemple (cas continu) : Salaire des employés en milliers de $ : Ci Ni xi [3,4[ [4,5[ [5,6[ [6,7[ [7,8[ =5,087 Soit un salaire moyen de 5087$ Caractéristiques de dispersion : En statistique descriptive, la notion de dispersion est la fluctuation autour d une valeur de tendance verticale On distingue 4 caractéristiques de dispersion : a) L étendue b) La variance c) L écart type d) Le coefficient de variation

18 a) L étendue : C est la différence entre la plus grande valeur d une variable et la plus petite valeur (cas d une variable quantitative discrète) Par contre dans le cas continu, c est la différence entre la borne supérieure du dernier intervalle et la borne inferieur du premier intervalle. Exemple : nombre de voitures par personne (cas discret) xi ni E=4-0=4 voitures C est la différence maximale entre les personnes qui ont le plus de voitures et les personnes qui ont le moins de voitures. Exemple : Salaire des employés en $ (cas continu) ci ni [400,600[ 1 [600,1000[ 4 [1000,1500[ 1 E= =1100$ C est la différence maximale entre les salaires des employés. b) La variance On appelle variance d une variable statistique la moyenne des carrés des écarts par rapport à la moyenne arithmétique.

19 Exemple : Ci ni xi [3,4[ 26 3,5 [4,5[ 33 4,5 [5,6[ 64 5,5 [6,7[ 7 6,5 [7,8[ 10 7,5 c) Ecart-type On note l écart-type : = Exemple : = Soit un écart type de 1060$ o L écart type et la moyenne ont la même unité d) Le coefficient de variation C est le rapport entre l écart-type et la moyenne arithmétique. Il permet la comparaison de la dispersion de deux distributions différentes par rapport à leurs moyennes. La distribution ayant le coefficient de variation le plus faible sera la moins dispersée autour de la moyenne c est à dire la plus homogène

20 Exemple Global Les étudiants de la première année de psychologie ont leurs notes reparties dans le tableau suivant : Ci ni fi Fi Xi [0,8[ [8,12[ [12,14[ [14,16[ [16,20[ N=200 1) Calculer les quartiles de cette distribution 2) Calculer la moyenne arithmétique et l écart-type 3) Sachant que les notes de la première année de gestion ont une moyenne de 11 et un écart-type de 9 et que les notes de la première année hôtellerie ont une moyenne de 10 et un écart-type de 6. Quelle est parmi ces 3 options celle qui est la plus homogène?

21 3) Psychologie On remarque que l option de psychologie est la plus homogène comme ayant le coefficient de variation le plus faible. C'est-à-dire que cette option a le niveau des étudiants le plus proche.