Interprétation d une analyse de variance avec mesures répétées

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1 Approche quantitative Interprétation d une analyse de variance avec mesures répétées «Les faits sont têtus. Il est plus facile de s arranger avec les statistiques.» Mark Twain L objectif de ce document consiste à vous montrer comment interpréter une analyse de variance à mesures répétées comportant les caractéristiques suivantes : 1. La variable indépendante est constituée de deux groupes (E & T) 2. La variable dépendante est une mesure répétée (/) 3. Nous prévoyons donc une interaction entre ces deux variables Des exemples fictifs ont été créés de toutes pièces de façon à bien mettre en évidence les concepts que nous voulons montrer. Imaginez-vous tout simplement la situation générale où deux groupes de sujets ont été soumis à deux évaluations identiques. Le groupe Expérimental (E) a subi une intervention quelconque (X) après la première évaluation. Le groupe Témoin (T), par contre, n a pas été soumis (O) à ce traitement expérimental. Le schéma suivant illustre le devis de l expérience. Nous assumons aussi que les deux groupes sont équivalents au point de départ. Si des différences existent avant l expérience, les analyses statistiques en tiendront compte lors des calculs au. La différence entre les deux groupes au sera, pour ainsi dire, soustraite de l effet au :un ajustement sera fait au pour prendre en considération des inégalités observées au. Schème expérimental Intervention Groupe expérimental (E) X X X émoin (T) X O X Page 1 Interprétation d une analyse de variance avec mesures répétées

2 Avant d aborder les exemples, il est crucial de souligner que ce devis expérimental va permettre de répondre aux trois questions suivantes: Q u e s t i o n s 1. Existe-t-il une différence significative entre les deux groupes? 2. Existe-t-il une différence significative entre les deux évaluations? 3. Existe-t-il une interaction entre la variable indépendante et dépendante? Les deux premières questions sont secondaires par rapport à la troisième. En fait, si nous utilisons un groupe témoin c est que nous souhaitons avant tout obtenir une interaction significative. Bref, nous prévoyons que le groupe Témoin conserve au son rendement initial tel que mesuré au, mais que, en même temps, le groupe Expérimental modifie son rendement initial au de manière dramatique ou significative. Exemple no 1 L exemple no 1 montre une différence significative entre le et le Posttest, une différence significative entre le et le, en plus d une interaction entre la variable indépendante (Groupes) et la variable dépendante (). Dans cet exemple, tout comme dans les autres qui suivent, nous analysons les résultats obtenus (moyennes) par deux groupes, et, avant une intervention quelconque () et après cette intervention (). E x e m p l e n o 1 Groupes Moyenne , ,5 Moyenne Page 2 Interprétation d une analyse de variance avec mesures répétées

3 Pour chacun des exemples, un tableau des moyennes est suivi d un graphique illustrant la relation entre la variable indépendante et la variable dépendante. D abord, considérons la comparaison des deux groupes entre eux. Le obtient une moyenne de 23,5, tandis que celle s élève à 33,5. L effet principal (main effect) des groupes est significatif. Nous pouvons affirmer qu il existe une différence significative entre ces deux groupes : en l absence d analyses statistiques nous allons prétendre que le hasard de l échantillonnage ne peut produire une différence de cet ordre. Effet Interprétation des résultats de l Exemple no 1 Groupes (G) La moyenne du est significativement plus élevée que celle du (T) La moyenne au est significativement plus élevée au Post-Test qu au G x T Il existe une interaction significative entre les Groupes et les Que signifie «interaction significative»? Avant de donner une réponse à cette question examinons certaines caractéristiques des résultats. D abord, le profil du montre qu il n a pas interagi avec la variable : sa performance est restée la même du au. Par contre, le a interagi avec la variable : sa performance s est accrue du au. La «réaction» ou «le rendement» du varie de celle du en fonction d une autre variable, le. Définition Lorsque les conditions de la variable dépendante changent, la performance des groupes change elle aussi. La variable indépendante montre «une sorte de réaction différentielle» à la variable dépendante. Une interaction significative survient lorsque le profil d un groupe diffère du profil d un ou des autres groupes. Dans ce cas, quelle est la valeur véritable des effets principaux? Réponse : NULLE!!! Page 3 Interprétation d une analyse de variance avec mesures répétées

4 Voici pourquoi. D abord, l effet principal Groupes indique une différence significative entre le et le. Cet effet principal est calculé en faisant fi de la distinction entre le et le : les scores de ces deux évaluations sont fusionnés. Or, cette fusion ne rend pas justice à chacun des deux groupes puisque la différence entre ces deux groupes est due à une augmentation dans le rendement d un seul groupe à une seule évaluation. Cette augmentation n est pas uniforme dans les deux évaluations. Ensuite, l effet principal indique une différence significative entre le et le. Cet effet principal est calculé en faisant fi de la distinction entre le et le : les scores de ces deux groupes sont fusionnés. Or, cette fusion ne rend pas justice à chacune des deux évaluations puisque la différence entre ces deux évaluations est due à une augmentation dans le rendement d un seul groupe à une seule évaluation. Cette augmentation n est pas uniforme pour les deux groupes. Il n est donc pas logique d affirmer que, de façon générale, le a obtenu une moyenne plus élevée que le, alors que ce n est vrai que pour le seulement. Il n est pas plus logique non plus de soutenir que le rendement au est supérieur à celui au puisque ce n est vrai que pour le. Voyons sous forme de schéma ce que nous entendons par «les effets principaux». Effet principal de la variable Groupes Groupes fusionnés Effet principal de la variable Groupes Groupes fusionnés Interaction Groupes x Groupes Page 4 Interprétation d une analyse de variance avec mesures répétées

5 Les analyses d effets simples Comment, alors, faut-il procéder pour décortiquer cette interaction? significative pour que «justice soit faite»? La procédure consiste à appliquer des analyses d effets simples. R Quant à l Exemple no 1, nous aurons besoin de quatre analyses d effets simples. Pour réaliser une analyse d effets simples, il s agit de comparer les niveaux d une variable entre eux à chacun des niveaux de l autre variable pris isolément. Première analyse d effets simples Voici sous forme schématique la première analyse d effets simples. Pour les sujets du seulement, nous comparerons leur performance au à leur performance au. Deuxième analyse d effets simples Pour les sujets du seulement, nous comparerons leur performance au à leur performance au. Troisième analyse d effets simples Pour le seulement nous comparerons la performance du à la performance du. Quatrième analyse d effets simples Pour le seulement nous comparerons la performance du à la performance du. Page 5 Interprétation d une analyse de variance avec mesures répétées

6 Exemple no 2 L exemple no 2 montre une relation différente entre la variable indépendante et dépendante. On ne constate pas de différence entre la moyenne globale obtenue au (M=75) par les groupes E et T. Cependant, la moyenne du groupe E (M=85) est nettement supérieure à celle du (M=65). Quant à l interaction entre les Groupes et les (G x T), c est visible que le profil du est similaire à celui du. E x e m p l e n o 2 Groupes Moyenne Moyenne Afin de mieux saisir le fait qu il n y a pas d interaction significative dans l exemple no 2, en vous référant au graphique, «superposez mentalement» les deux lignes horizontales. Vous constaterez que ces deux lignes sont semblables. Effet Interprétation des résultats de l Exemple no 2 Groupes (G) La moyenne du est significativement plus élevée que celle du. (T) La moyenne au est similaire à celle au. G x T Il n existe aucune interaction significative entre les Groupes et les Il n y a donc pas de nécessité d appliquer des analyses d effets simples ou aucune autre analyses statistique supplémentaire. Exemple no 3 L Exemple no 3 illustre une différence significative entre la moyenne au et la moyenne au. Aucune différence n est constatée entre les Groupes Page 6 Interprétation d une analyse de variance avec mesures répétées

7 E et T. Comme le profil du ressemble au profil du, il n y a donc pas d interaction entre les Groupes et les. Que s est-il passé dans cette expérience? Les deux groupes ont débuté sur un pied d égalité et ont aussi terminé sur un pied d égalité : les deux ont cependant affiché une augmentation significative dans leur performance. Il n y a pas d interaction parce que l augmentation d un groupe est similaire à l augmentation de l autre groupe : les deux lignes du graphique appartenant à chacun des groupes sont, à tout fin pratique, superposables. E x e m p l e n o 3 Groupes Moyenne , ,5 Moyenne Effet Interprétation des résultats de l Exemple no 3 Groupes (G) La moyenne du est équivalente à celle du. (T) La moyenne au est significativement supérieure à celle au. G x T Il n existe aucune interaction significative entre les Groupes et les Dans ce cas-ci non plus, il n est pas nécessaire de faire appel à des analyses statistiques d effets simples puisque l interaction G x T n est pas significative. Exemple no 4 L Exemple no 4 comporte des caractéristiques particulières. D abord, il n y a pas de différence significative entre les deux Groupes, tous les confondus. Ensuite, il n y a pas de différence significative non plus entre les, tous les groupes confondus. Enfin, il existe une interaction significative. Ouf! J en perds mon latin Page 7 Interprétation d une analyse de variance avec mesures répétées

8 Que s est-il vraiment passé dans cette expérience pour se retrouver dans une telle situation. La moyenne du a diminué du au ; au contraire, la moyenne du a augmenté du au. Le profil d un groupe est diamétralement opposé à celui de l autre groupe. Comme l interaction est significative entre les Groupes et les (G x T) il faudra appliquer des analyses d effets simples en suivant la même procédure que celle montrée à l Exemple no 1. E x e m p l e n o 4 Groupes Moyenne , Moyenne 45 47,5 8 6 Effet Interprétation des résultats de l Exemple no 4 Groupes (G) La moyenne du est équivalente à celle du. (T) La moyenne au est équivalente à celle au. G x T Il existe une interaction significative entre les Groupes et les Exemple no 5 Votre conception de l interaction devrait s améliorer après avoir examiné les prochaines situations. Jusqu à présent nous l avons illustrée en faisant appel à deux groupes et à deux mesures répétées seulement. Les exemples qui vont suivre porteront sur les résultats de trois groupes (Bleus, Blancs et Rouges) à cinq mesures répétées (T1, T2, T3, T4 et T5). On constate aisément que, dans l Exemple no 5, les Blancs et les Rouges arborent des profils similaires. Les Bleus suivent eux aussi un profil semblable, mais à une exception près. Leur rendement à T2 diffère de celui des deux autres groupes, produisant ainsi une interaction significative. Page 8 Interprétation d une analyse de variance avec mesures répétées

9 E x e m p l e n o 5 Groupes T1 T2 T3 T4 T5 Moyenne Bleus ,2 Blancs ,6 Rouges Moyenne 23,7 31,3 18,3 22,7 18, T1 T2 T3 T4 T5 Rouges Blancs Bleus Exemple no 6 E x e m p l e n o 6 Groupes T1 T2 T3 T4 T5 Moyenne Bleus ,2 Blancs Rouges ,4 Moyenne 28,3 32,7 25,3 39,3 23, T1 T2 T3 T4 T5 Rouges Blancs Bleus L Exemple no 6 montre qu une interaction significative surgit avec encore plus de vigueur lorsque le profil de plusieurs groupes ne se ressemblent guère. Comme l interaction est significative, il faudra faire des analyses d effets simples. Une rapide inspection du tableau et du graphique qui suivent révèle que Page 9 Interprétation d une analyse de variance avec mesures répétées

10 pour chacun des groupes les différences entre les cinq (T1 à T5) varieraient énormément. Conclusion Dès que nous adoptons un schème expérimental faisant appel à un groupe témoin quelconque, il s ensuit que nous souhaitons une interaction entre la variable indépendante et la variable dépendante. On prévoit que le groupe témoin maintiendra un rendement uniforme d une évaluation à l autre. Pour ce qui est du groupe expérimental, c est plutôt le cas contraire que nous espérons. Ce groupe devrait montrer un changement significatif dans son rendement du début à la fin de l expérience. Lorsqu il s agit de soumettre le groupe expérimental à une intervention quelconque de l extérieur, il est bien évident que nous espérons que ce changement dans le rendement survienne après la dite intervention. Il ne serait donc pas incongru de formuler, dans le cas d une telle expérience, une hypothèse directionnelle plutôt qu une hypothèse nulle. Hypothèse Nulle Directionnelle positive Description Il n y aura aucune différence significative entre le groupe contrôle et le groupe témoin tant au prétest qu au post-test Le groupe expérimental augmentera son rendement de façon significative par rapport au groupe témoin après l intervention Somme toute, une interaction survient lorsque le profil d un groupe diffère du profil d un ou de plusieurs des autres groupes faisant partie de l analyse. Page 1 Interprétation d une analyse de variance avec mesures répétées