OPTIQUE. . b) La lentille L 2 est placée peu avant le plan où se forment les images A l et B 1. On appelle

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1 Spé y Devoir n 8 OPTIQUE Ce problème traite de l observation de deux étoiles E a et E b à l aide d une lunette astronomique munie d un détecteur puis de l effet de la turbulence atmosphérique sur une observation stellaire faite avec un interféromètre de Michelson. NB : la distance algébrique entre un point M et un point N est notée MN. Grandeurs physiques : Vitesse de la lumière : c = 3, m.s 1 ; Constante des gaz parfaits : R = 8,31 J.K 1.mol 1 ; Masse molaire de l'hydrogène atomique : M H = 1 g.mol 1 Partie I ÉTUDE GEOMETRIQUE Les deux étoiles E a et E b sont considérées ponctuelles et à l infini, séparées par une distance angulaire θ, l étoile E a étant située dans la direction de l axe optique de la lunette. On néglige dans cette partie les effets de la diffraction. On considère une lunette astronomique d axe optique z z (figure 1) constituée d un objectif assimilé à une lentille mince convergente L 1 de diamètre D 1 = 50 cm et de distance focale image f 1 = 7,5 m associé à une lentille divergente L 2 de distance focale image f 2 = 0,025 m. On désigne respectivement par O 1 et O 2, par F 1 et F 1, F 2 et F 2, les centres optiques, les foyers objet et image des lentilles L 1 et L 2. 1) Quelle est la forme et la direction des faisceaux lumineux des ondes 1 et 2, respectivement émises par les étoiles E a et E b, lorsqu elles parviennent sur la lunette? 2) On appelle A 1 l image de l étoile E a à travers la lentille L 1. De même, B 1 désigne l image de E b à travers L 1. a) Dans quel plan se situent A 1 et B 1? Donner la distance algébrique A 1 B 1. b) La lentille L 2 est placée peu avant le plan où se forment les images A l et B 1. On appelle respectivement A 2 et B 2, les images de E a et E b à travers la lunette. Sachant que A B 2 2 = 2 exprimer et cal- A B culer la distance O A ) On définit la distance focale f de la lunette par la relation A B f 2 2 = 'θ. a) Calculer la distance focale f de la lunette. b) Exprimer A A 1 2. Comment évolue l encombrement de la lunette par rapport au cas où seule la lentille L 1 existerait? Quel est l intérêt de la lentille L 2? 4) On place dans le plan où se forment les images A 2 et B 2, une caméra à DTC (Dispositif à Transfert de Charge). Ce récepteur d images est composé d une matrice rectangulaire de détecteurs élémentaires, appelés pixels, de forme carrée, de côtés a 1 = 9 µm. On suppose que la lunette est librement orientable. Spé y page 1/6 Devoir n 8 1 1

2 Une image parfaite à travers la lunette d un point situé à l infini, produit sur le détecteur un signal donnant une image dont la dimension ne peut être inférieure à la taille d un pixel. Exprimer et calculer en seconde d arc, la limite de perception angulaire θ MIN due au récepteur d image. Quelle est la plus grande valeur décelable θ MAX en minute d arc? Partie II POUVOIR SEPARATEUR DE LA LUNETTE DU A LA DIFFRACTION A.Préliminaires On considère une onde plane monochromatique de longueur d onde l éclairant dans le plan xy un diaphragme D de centre O dont la pupille est caractérisée en chaque point M(x, y) par un coefficient de transmission en amplitude complexe t(x, y). On étudie l éclairement en un point P d un plan Σ 0 dont l intersection avec l axe z z est notée O (figure 2). 1) Énoncer le principe de Huygens-Fresnel. On se place dans le cadre de la diffraction à l infini. Quelles hypothèses doit-on faire sur les distances OM, O P et OO? 2) Afin d observer la figure de diffraction à l infini, on place une lentille convergente L 3 de foyer image F 3, de distance focale image f 3 derrière l ouverture diffractante. On considère les rayons diffractés dans la direction du vecteur unitaire u r de coordonnées (α, β, γ) (figure 3). Dans quel plan π convergent ces rayons? On associe un système d axes X, Y à ce plan. Exprimer les coordonnées (X P, Y P ) du point P où convergent ces rayons en fonction de α, β. 3) Dans le cas d une onde incidente plane sur le diaphragme D, de direction caractérisée par un vecteur r unitaire u I de coordonnées (α I, β I, γ I ), le principe de Huygens-Fresnel permet d écrire, en attribuant une phase nulle en P à l onde qui provient de O, l amplitude r r 2π u u. OM I complexe A(P) de l onde au point P, sous la forme A( P) = K t( x, y) exp j ds λ 1zz D r u( α, β, γ ) F HG b g I où K KJ 1 est une constante, ds un élément de la surface de la pupille entourant M, l intégrale étant étendue à toute la surface du diaphragme. On déplace le diaphragme D parallèlement à lui-même, dans le même plan, le centre du diaphragme occupant alors une position C. On appelle (d X, d Y ) les coordonnées de C ; montrer que l amplitude en P peut alors s écrire : A (P) = A(P)e jh( d X, d Y ) et exprimer la fonction h(d X, d Y ) sous la forme d un produit scalaire de 2 vecteurs que l on précisera. B. Application : diffraction par la lunette 1) On place devant l objectif L I de la lunette un écran comportant une ouverture ayant la forme d un carré centré en O de côtés parallèles aux axes x et D1 y, de dimension a = 2 (figure 4). On considère l étoile E a seule supposée Spé y page 2/6 Devoir n 8

3 ponctuelle. On utilise un filtre sélectif permettant d assimiler l étoile E a à une source qui émet une onde monochromatique de longueur d onde λ. a) Quel est l élément diffractant? Exprimer l amplitude diffractée A(X P, Y P ) par l ouverture carrée dans la direction de vecteur unitaire r u de coordonnées (α, β, γ), en un point P du plan focal image de l objectif L 1. b) Donner alors l éclairement E a (X P, Y P ) en P sous la forme : E a ( X P, Y P ) = E amax.g( X P ).g(y P ). Exprimer et tracer g(x). Donner E amax en fonction de K 1 et a. c) Montrer que la figure de diffraction est formée d une tache centrale brillante entourée de lumière plus faible répartie en franges (pieds de la figure de diffraction). Où se situe le centre de la figure de diffraction? Quelle est la valeur de X pour laquelle g(x) s annule pour la première fois? En déduire la largeur de la tache centrale. d) Comment évolue la figure de diffraction lorsque l ouverture carrée devient une fente de dimension a X suivant l axe x et a Y suivant y, avec a Y >> a X. Exprimer alors l amplitude diffractée A(X P ) et l éclairement E(X P ) en un point P de l axe X. 2) L étoile E b située à la distance angulaire θ de l étoile E a est observée à l aide de la lunette toujours munie de l ouverture carrée de telle façon que l image géométrique B 1 de E b à travers l objectif L 1 se forme sur l axe F 1 X. L étoile E b est également assimilée à une source lumineuse ponctuelle monochromatique de longueur d onde λ émettant une onde plane caractérisée par le vecteur unitaire r u I de coordonnées (α I, β I, γ I ). a) Donner la relation entre α I, β I, γ I et θ. b) En supposant que seule l étoile E b est observée, exprimer l éclairement E b (X p, Y p ) en P. Quel est le centre et l allure de la tache de diffraction? 3) Les étoiles E a et E b sont observées simultanément et sont d éclat comparable. a) E a et E b étant deux sources incohérentes, que peut-on dire de l éclairement total dans le plan focal image de L 1? Quelle est l allure de la figure de diffraction? b) Sachant que deux taches de diffraction apparaissent comme séparées lorsque le maximum central de l une coïncide avec le premier minimum nul de l autre suivant l axe X, estimer le plus petit écart angulaire θ 1 décelable (en seconde d arc) que l on appelle pouvoir de séparation de la lunette pour la longueur d onde λ = 0,68 µm. c) En supposant que L 2 ne limite pas le faisceau, comparer la dimension d un pixel et la largeur de la tache centrale de diffraction formée sur le détecteur. Conclusion? Partie III MESURE D UNE DISTANCE ANGULAIRE On considère une onde plane monochromatique de longueur d onde λ se propageant suivant l axe z z en direction de la lunette. On place un écran opaque percé de 2 fentes de largeur b suivant x, d écartement variable d suivant x devant l objectif de la lunette toujours muni de l ouverture, de forme carrée, de côté a du B.1, avec a >> b. On appelle C 1 et C 2 les centres des deux fentes (figure 5). On attribue une phase nulle au point P du plan focal de l objectif à l onde qui provient de C 1. 1-a) Calculer l amplitude complexe en un point P de l axe X, notée A 1(X p ) de l onde diffractée par la fente 1 dans la direction r u de vecteur unitaire (α, β, γ). b) Exprimer l amplitude en P, notée A 2 (X p ) de l onde diffractée dans la direction r u par la fente 2 en fonction de A 1(X p ) et d une fonction que l on exprimera. c) Que peut-on dire de la figure de diffraction donnée par chacune des fentes considérées séparément? Spé y page 3/6 Devoir n 8

4 2-a) Sachant que les deux fentes, éclairées par une même onde, se comportent comme des sources cohérentes, montrer que l éclairement en P est donné par : E T (X p ) = 2E(X p ).g 1 (X p ) E(Xp) étant l éclairement diffracté par chaque fente si elle était seule et g 1 (Xp) une fonction à préciser. b) Tracer E T (X p ). Montrer que l on obtient des franges d interférences «à l intérieur de la figure de diffraction». Calculer l interfrange. Que se passe-t-il si les fentes sont infiniment fines? 3) On se place dans l hypothèse où les fentes sont infiniment fines et on observe à l aide de la lunette les étoiles voisines E a et E b. a) Quelle est la distance dans le plan focal de L 1 entre les centres des figures d interférences données par E a et E b? On fait varier la distance d. Quelle est la condition pour observer le brouillage des franges? b) Donner alors la relation entre θ et d. Quelle est la valeur de d qui permet de déceler la distance angulaire θ 2 la plus petite? Calculer θ 2 et l interfrange correspondante, pour λ = 0,68 µm. Comment pourrait-on améliorer la résolution angulaire du système, c est-à-dire diminuer encore θ 2? Partie IV REALISATION D UN INTERFEROGRAMME Dans tout ce qui suivra on notera σ le nombre d'onde, à savoir l'inverse de la longueur d'onde λ. On exprimera ce nombre en m -1 1) La figure 6 correspond au montage de principe d'un interféromètre de Michelson. Les miroirs sont réglés de telle façon que l'on observe (les anneaux d'interférence circulaires sur l'écran E placé dans le plan focal de la lentille L, de distance focale image f. a) Quel est le rôle de la lame L semi- -réfléchissante SR? Quel est celui de la lentille L? b) Montrer qu'avec ce montage la moitié du flux incident est irrémédiablement perdue. 2) La différence de marche, différence entre les deux chemins optiques pour un rayon entrant perpendiculairement au miroir (1), est notée D; pour un rayon entrant avec une inclinaison i on rappelle que la différence de marche est alors donnée par δ(i) = D.cos(i). a) L'interféromètre est éclairé par une Figure 6 source étendue, supposée strictement monochromatique de nombre d'onde σ 0. On suppose la tache centrale en F brillante. Exprimer le rayon r 1 du premier anneau sombre, en fonction de σ 0, D et f. Faire un schéma de ce que l'on observe sur l'écran. b) La source est l'image d'une étoile, telle celle fournie par un télescope. Cette image est étalée par la diffraction mais surtout par la turbulence atmosphérique, ce qui donne des rayons entrant dans l'interféromètre d'inclinaisons diverses mais faibles. Quelle est la figure d'interférence observée en fonction de D en présence d'un filtre interférentiel qui sélectionne une très étroite bande passante autour d'un nombre d'onde σ 0 donné. 3) On éclaire l'interféromètre par une source mono chromatique, de nombre d'onde σ 0. Un détecteur est placé au foyer F de la lentille L. Ce détecteur délivre un signal S(D), proportionnel à l'intensité lumineuse au point F. Ce signal sera appelé dans la suite interférogramme. Il dépend de la différence de marche D. a) Montrer que S(D) est donné par : S(D) = S 0.[1 + cos (2π.σ 0.D)]. b) Quelle est la période de l'interférogramme? 4) On illumine l'interféromètre par une source présentant un doublet de nombres d'onde σ 1 et σ 2 voisins. Chacune des raies est supposée monochromatique et leurs intensités sont égales. a) Déterminer l'expression de l'interférogramme S(D) correspondant. Mettre en évidence deux périodes caractéristiques dans S(D). Spé y page 4/6 Devoir n 8

5 b) Application numérique : Représenter l'allure de l'interférogramme pour le doublet du sodium : λ 1 = 589,0 nm et λ 2 = 589,6 nm. Partie V EFFET DE LA TURBULENCE ATMOSPHERIQUE 1) L'interféromètre reçoit le flux d'une étoile, objet à l'infini, collecté par un télescope. On suppose le système optique du collecteur équivalent au montage de la figure 6. Ce montage est dit afocal : le foyer image de L 1 est confondu avec le foyer objet de L 2. La lentille L 1 représente le miroir primaire du télescope. de diamètre a. La lentille L 2 alimente l'interféromètre : le flux issu de L 2 est divisé par la première lame semi- -réfléchissante de la figure 6. a) Justifier l'intérêt de ce montage afocal pour alimenter l'interféromètre. b) Exprimer le grandissement angulaire G en fonction des distances focales images f 1 et f 2 des lentilles L 1 et L 2. c) Déterminer la taille b du faisceau en sortie du collecteur, en fonction de G et du diamètre a du collecteur. En déduire le diamètre minimal des pièces optiques de l'interféromètre. Le calculer pour a = 3,30 m et G = ) La tache image de l'étoile n'est en fait ni limitée par la seule diffraction du collecteur, ni stable. La turbulence de l'atmosphère terrestre dévie et étale le faisceau stellaire incident. On s'intéresse principalement à la déviation atmosphérique du faisceau incident, notée i 0 et l'on suppose la source toujours ponctuelle. a) Déterminer l'angle i sous lequel l'interféromètre voit les rayons d'une source stellaire, en fonction de i 0 et du grossissement G (grandissement angulaire) du télescope collecteur de lumière. b) Estimer la différence de marche δ(i), en fonction de la différence de marche sous incidence nulle δ 0 et de l'angle i. c) Exprimer la condition sur l'inclinaison maximale admissible dans l'instrument, pour que les fluctuations en différence de marche restent inférieures à une fraction α de longueur d'onde. d) Application numérique : On fixe α au plus égal à 5% pour des conditions de turbulence moyenne i 0 = 1 ; on donne D 0 = 0,8 cm et σ 0 = m 1. Estimer le grandissement G maximal. Partie VI ÉLARGISSEMENT ET DECALAGE POSSIBLES DES RAIES SPECTRALES. Une cause possible d'élargissement ou de décalage (en nombre d'onde) d'une raie spectrale est associée au mouvement relatif de la source et de l'observateur (effet Doppler). Soit ν 0 la fréquence d'émission d'une source au repos. Dans tout r ce qui suit, lorsque la source (S) se déplace à la vitesse relative V par rapport à l'observateur (O), on admettra que celui-ci reçoit un rayonnement de fréquence ν donnée (pour V << 1 ) par : c V.cos( θ) r ν ν0 = ν0 où c est la vitesse de la lumière, V = V et θ c r l'angle entre la direction de propagation et V (figure 3). On étudie ici quelques conséquences de cet effet Doppler sur Figure 8 l'interférogramme d une raie spectrale. 1) À la surface d une étoile, les atomes (majoritairement de l hydrogène) sont supposés former un gaz parfait à l équilibre thermodynamique de température T. a) Quelle est la vitesse quadratique moyenne V T d un atome de cette étoile? b) La dispersion des vitesses entraîne par conséquent un élargissement. σ K de la raie symétrique autour de la valeur σ 0. Donner l ordre de grandeur de σ K en fonction de σ 0, V T et c. c) Application numérique : Évaluer σ K pour T = 6000 K et σ 0 = m 1. 2) La rotation de l'étoile est un paramètre dont il faut tenir compte. On note Ψ l'angle entre la direction de visée et l'axe de rotation stellaire. Spé y page 5/6 Devoir n 8 Figure 7

6 a) Pour quelle valeur de Ψ l'influence de la rotation sur la largeur de raie sera-t-elle nulle? maximale? Dans ce dernier cas, expliquer qualitativement pourquoi la rotation de l'étoile, phénomène parfaitement déterminé, conduit à un élargissement de la raie d'émission analogue à celui associé aux mouvements erratiques des atomes et analysé dans la question précédente. b) Toujours dans le cas d'une influence maximale de la rotation, évaluer la contribution de la rotation stellaire σ ROT à la largeur de raie en fonction de la vitesse équatoriale de rotation V ROT de la surface de l'étoile. Pour quelle vitesse équatoriale de rotation ce dernier terme est-il comparable à σ K? c) Application numérique : Dans ce dernier cas, calculer V ROT pour une étoile dont la température de surface est T S = 6000 K. 2) On désire utiliser l'interféromètre comme sismomètre pour détecter les mouvements oscillatoires de la surface stellaire. Une oscillation sismique est assimilée à une variation v(t) de la vitesse apparente vers l'observateur de l'ensemble de la couche externe de l'étoile. On suppose cette variation sinusoïdale, d'amplitude V, de pulsation. Cette utilisation ne requiert que l'enregistrement de l'interférogramme pour une valeur optimisée de la différence de marche notée D 0. En l'absence de signal sismique, l'interférogramme est S( D0 ) = SCc1 + C( D0 ).cosb2πσ0d0gh avec sin bπd0. σg C( D0 ) = (où σ est la largeur de la raie observée). πd. σ 0 a) Montrer qu'à l'instant t, l'interférogramme peut être mis sous la forme S( D0 ) = SCc1 + C( D0 ).cos b2πσ0d0 + ϕ( t) gh v( t) où ϕ(t) est le déphasage de l'interférogramme donné par l'expression : ϕ( t) = 2πD0σ 0. c b) Montrer que cette relation implique, pour une détection optimale, le choix d'une différence de marche D 0 la plus grande possible. En déduire un ordre de grandeur de la différence de marche optimale pour une étoile de température T 0, en supposant négligeables les effets de rotation. c) Montrer alors que le principe instrumental conduit à mesurer un déphasage ϕ d'amplitude de l'ordre de v V T. 3) Au décalage Doppler sismique du spectre stellaire, enregistré sur une nuit entière, se superposent diverses contributions. a) Estimer succinctement l'influence du mouvement de rotation de la Terre pour une observation menée dans un observatoire situé à la latitude λ. L'amplitude et la pulsation de l'oscillation sismique sont typiquement de l'ordre de 10 cm.s 1 et 10 2 rad.s 1.. b) Montrer que la turbulence atmosphérique conduit à une mesure de vitesse parasite δv telle que δv 2 i = c 2. c) Application numérique : Calculer δv pour i 0 =1 et un grossissement G égal à 165. L'instrument est conçu pour la mesure de vitesses sismiques dont l'amplitude est de l'ordre de 10 cm. s 1. Est-il nécessaire de prévoir, pour alimenter l'interféromètre, un dispositif corrigeant les fluctuations dues à la turbulence atmosphérique? Spé y page 6/6 Devoir n 8