5.4 L art et l argent Lors de Show Math, on a montré que, souvent, l art et les mathématiques se rencontrent, que ce soit avec Esher et la peinture ou avec la musique et les techniques de reproduction des sons. Parfois, les jeunes qui se dirigent vers les arts se disent qu ils n auront jamais à faire de mathématiques durant le reste de leur vie. Ce n est pas certain. L activité consiste à réaliser un dépliant qui permet de connaître rapidement le coût de la toile selon ses dimensions. Intentions de l activité Mettre en contexte les mathématiques en faisant réaliser aux jeunes qu elles sont souvent en lien avec leurs préoccupations Présenter la fonction racine carrée dans un contexte inhabituel Forme de la production attendue Réponses à des questions Conception d une page de dépliant Concepts utilisés Fonction racine carrée Unités de mesure Ressources matérielles Calculatrice Présentation 5.4 L art et l argent
Déroulement Préparation Cette situation est réellement arrivée. Rappeler avant l activité qu une bonne utilisation des unités de mesures est nécessaire. Faire un parallèle avec les sciences si on le juge pertinent. Il pourrait être intéressant d avoir une discussion sur la façon de concevoir un dépliant publicitaire. Ceci pourrait pister les élèves. Réalisation Dans la première partie, demandez aux élèves de porter une attention particulière aux unités. Pour la deuxième partie, la créativité est sollicitée, mais on doit d abord déterminer l objet mathématique à utiliser dans le contexte donné. Peu importe ce qui sera choisi, il faudra qu il soit adapté pour l interlocuteur visé. L élève est donc amené à développer diverses composantes de la compétence disciplinaire 3 (communiquer à l aide du langage mathématique). Intégration Pistes de différenciation On pourrait regarder les modifications à apporter à la fonction si, par exemple, on désire ajouter un coût supplémentaire pour le matériel utilisé. L activité pourrait aussi être présentée en SN, car il y a une partie de modélisation. Dans ce cas, la modifier un peu permettrait aux élèves de faire découvrir la forme même de l équation à partir de la description donnée. Le retour devrait se faire sur les objets mathématiques choisis pour illustrer le système de prix utilisé par le peintre, tout en insistant sur les forces et les faiblesses de chacun des systèmes présentés. La difficulté principale est que la variable indépendante (l aire) peut difficilement être utilisée pour expliquer aux clients la façon de calculer le prix d une toile. Ce sont les dimensions que le client connaît. Un retour sur la façon d exprimer les unités de mesure, lorsqu on a affaire à des taux, peut être fait en introduisant le concept de dérivée. La dérivée est, d une certaine façon, un taux variable qui s exprime habituellement par une équation. Présentation 5.4 L art et l argent
Nom : 5.4 L art et l argent Si tu gagnais ta vie dans le domaine artistique, penses-tu que tu n aurais plus besoin des mathématiques? Tu as vu, lors de Show Math, qu il y a des affinités entre les arts et les mathématiques. Ceci est vrai dans plusieurs cas. Un artiste peintre désire trouver une équation pour établir le prix de ses œuvres. Il pourrait utiliser son tableur, alors il n aurait plus à se casser la tête pour trouver le prix des toiles. Présentement, il vend une toile de 17 cm par 25 cm au prix de 400 $ et il peut obtenir 8000 $ pour un tableau de 80 cm par 130 cm. Il se rend compte qu il peut difficilement utiliser un modèle linéaire, car avec ce type de modèle, il se trouve à vendre ses grandes toiles trop chères ou ses petites pas assez chères. Partie 1 : Pour vous convaincre Déterminez le prix par cm 2 de la 1 re toile. 1. Quel serait le prix de la 2 e toile si on la vendait au même prix par cm 2? 2. À 8000 $, quel est le prix par cm 2 de la 2 e toile? 3. Quelle serait le prix de la 1 re toile si on la vendait à ce prix pour chaque cm 2? 4. Cahier de l élève 5.4 L art et l argent 1
Partie 2 Le peintre se rend alors compte que s il utilisait la racine carrée de l aire de ses toiles, il obtiendrait une façon beaucoup plus appropriée de calculer les prix. Il pourrait multiplier cette racine carrée par un facteur dépendant de sa notoriété qu il pourra changer au besoin. Après quelques essais, il conclut qu il faut un ajustement de l aire pour obtenir des résultats adéquats. Le prix en dollars de ses toiles pourrait être calculé à l aide de cette formule. P (x) = a x-h où x est l aire du tableau en cm 2, a le facteur de notoriété et h le facteur d ajustement. Déterminez les valeurs des facteurs a et h pour que les prix indiqués plus haut (400 $ et 8000 $) soient respectés. 5. 2 Cahier de l élève 5.4 L art et l argent
Partie 3 Le peintre veut faire imprimer un dépliant qu il remettra aux personnes qui viendront visiter son exposition. Une des pages du dépliant devra expliquer au public comment sont fixés les prix de ses œuvres. Concevez cette page et placez-y l objet mathématique (formule, graphique, diagramme, tableau, etc.) le plus approprié pour la circonstance. Utilisez l espace ci-dessous. 6. Cahier de l élève 5.4 L art et l argent 3
5.4 L art et l argent Corrigé Partie 1 : Pour vous convaincre Déterminez le prix par cm 2 de la 1 re toile. 1. (Page 1) Aire = 17 cm 25 cm = 425 cm 2 Prix au cm 2 = 400 $ 425 cm 2 = 0,94 $/cm 2 Quel serait le prix de la 2 e toile si on la vendait au même prix par cm 2? 2. (Page 1) Aire = 80 cm 130 cm = 10 400 cm 2 Prix total = 0,94 $/cm 2 10 400 cm 2 = 9776 $ À 8000 $, quel est le prix par cm 2 de la 2 e toile? 3. (Page 1) Prix au cm 2 = 8000 $ 10 400 cm 2 = 0,769 $/cm 2 Ce qu'on arrondit à : 0,77 $/cm 2 Quelle serait le prix de la 1 re toile si on la vendait à ce prix pour chaque cm 2? 4. (Page 1) Prix total = 425 cm 2 0,77 $/cm 2 = 327,25 $ Corrigé 5.4 L art et l argent 1
Partie 2 Le peintre se rend alors compte que s il utilisait la racine carrée de l aire de ses toiles, il obtiendrait une façon beaucoup plus appropriée de calculer les prix. Il pourrait multiplier cette racine carrée par un facteur dépendant de sa notoriété qu il pourra changer au besoin. Après quelques essais, il conclut qu il faut un ajustement de l aire pour obtenir des résultats adéquats. Le prix en dollars de ses toiles pourrait être calculé à l aide de cette formule. P(x)=a x-h où x est l aire du tableau en cm 2, a le facteur de notoriété et h le facteur d ajustement. Déterminez les valeurs des facteurs a et h pour que les prix indiqués plus haut (400 $ et 8000 $) soient respectés. 5. (Page 2) Puisque qu une toile de 425 cm 2 coûte 400 $, on a : 400 = a 425-h De même, pour la toile de 8000 $ dont l aire est de 10 400 cm 2 : 8000 = a 10400 - h En divisant ces deux résultats : 8000 400 = a 10400 - h a 425 - h 10400 - h Après simplification : 20 = 425 - h 10400 - h Élévation des deux membres au carré : 400 = 425 - h Isoler h : 400(425 h) = 10400 h 170 000 400h = 10400 h 399h = 159 600-159600 h = = 400-399 Dans la première équation : 400 = a 4 25-400 400 = a 25 5 a = 400 a = 80 L'équation est donc : P (x) = 80 x - 400 2 Corrigé 5.4 L art et l argent
Partie 3 Le peintre veut faire imprimer un dépliant qu il remettra aux personnes qui viendront visiter son exposition. Une des pages du dépliant devra expliquer au public comment sont fixés les prix de ses œuvres. Concevez cette page et placez-y l objet mathématique (formule, graphique, diagramme, tableau, etc.) le plus approprié pour la circonstance. Utilisez l espace ci-dessous. 6. (Page 3) Une bonne façon de présenter les informations serait un tableau avec quelques exemples d oeuvres de différentes dimensions. Par exemple : Dimensions de l'œuvre Aire (en cm 2 ) Prix (en $) 17 cm 25 cm 425 400 26 cm 50 cm 1300 2400 90 cm 120 cm 3600 4800 80 cm 130 cm 10400 8000 Corrigé 5.4 L art et l argent 3