COURS D INFORMATIQUE : OBJECTIFS DU PROGRAMME Vous devrez dans votre vie professionnelle : - communiquer avec les informaticiens de votre entreprise ou de votre laboratoire ; - participer aux prises de décision en matière de systèmes d'informations ; - posséder les connaissances de base nécessaires à la compréhension des défaillances et des risques informatiques, ainsi que les solutions permettant d'y remédier ; - exploiter à bon escient les résultats de calculs numériques. D'où la nécessité : - au niveau de l'informatique fondamentale, de maîtriser les concepts de base de l'algorithmique et le choix de représentations appropriées des données ; - au niveau des applications, de maîtriser les concepts fondamentaux sans s'attacher outre mesure aux technologies, protocoles ou normes actuels. Plan du cours sur 3 semestres : 1 er semestre : Chapitre 1 : Représentation des nombres et conséquences Chapitre 2 : Eléments d'architecture des ordinateurs Manipulation d'un environnement de développement Chapitre 3 : Algorithmique et programmation I 2 ème semestre : Chapitre 4 : Ingénierie numérique et simulation Chapitre 5 : Initiation aux bases de données 3 ème semestre : Algorithmique et programmation II CPGE TSI Lycée P.-P. Riquet St-Orens de Gameville - 1 -
Chapitre 1 : REPRESENTATION DES NOMBRES : NUMERATION ET CODAGE CONSEQUENCES SUR LES TRAITEMENTS NUMERIQUES REALISES Objectifs du chapitre - Connaître les principes de la représentation codée des nombres entiers et réels dans une machine numérique - Comprendre les limitations liées à la manipulation informatique des nombres INTRODUCTION La création de la numération est un des faits les plus importants de l'histoire de l'humanité. Le système décimal est le plus fréquemment rencontré, car il a toujours été naturel de compter sur ses doigts. Cependant, les Mayas, Aztèques, Celtes ont utilisé la base 20. Les Sumériens ont bizarrement utilisé la base 60 (système sexagésimal), et les Romains la base 12. Notre culture a conservé un souvenir des Sumériens puisque nous utilisons leur système pour exprimer la mesure du temps en heures, minutes et secondes, et la mesure d'angle plan en degrés, minutes, secondes! Numération Maya Les informations stockées ou circulant dans un ordinateur sont toujours physiquement binaires (0 ou 5 V par exemple). On se sert donc logiquement de la numération en base 2, et une information binaire est notée 0 ou 1 ; on l appelle un bit (pour Binary Digit, noté b). Une information numérique est un ensemble de plusieurs bits. On rencontre : 4 bits ensemble constituent un quartet ; 8 bits ensemble constituent un octet (Byte, noté B) ; on rencontre enfin le mot (Word) pour désigner un ensemble de bits dont il faut préciser le nombre ; un octet est donc un mot de 8 bits. On utilise couramment les unités suivantes : 1 Ko ou kb(kilo-octet) = 1000 octets = 10 3 octets ; Rq : une notation binaire alternative existe : 1 kio (kibioctet = kilo-binaire octet) = 2 10 = 1024 octets 1 Mo (méga-octet) = 1000 Ko = 10 6 octets ; notation binaire : 1 Mio (mébioctet) = 2 20 octets 1 Go (giga-octet) = 1000 Mo = 10 9 octets ; notation binaire : 1 Gio (gibioctet) = 2 30 octets 1 To (téra-octet) = 1000 Go = 10 12 octets ; notation binaire : 1 Tio (tébioctet) = 2 40 octets. Un ordre de grandeur à connaître : 1 Go = 500 000 pages de texte. A noter que la différence entre les 2 notations n'est pas toujours respectée I/ LES DIFFERENTS CODES 1/ La numération pondérée On utilise un principe d écriture des nombres appelé "numération positionnelle", dans lequel c est la position du symbole graphique qui donne sa valeur. Les systèmes de numération ainsi constitués sont dits pondérés. n n-1 1 0 L expression définissant l écriture d un nombre N est : N = a n.b + a n-1.b + + a 1.B + a 0.B où : B est la base de numération (décimal : 10 ; binaire : 2 ; hexadécimal : 16 ; etc.) ; B n, B n 1,, B 1, B 0 est le poids ; a n, a n 1,, a 1 et a 0 sont les coefficients. En base B, avec n variables (n bits), on a B n combinaisons. On peut donc compter de 0 à B n 1. CPGE TSI Lycée P.-P. Riquet St-Orens de Gameville - 2 -
2/ Système de numération décimal (Base = 10) Ex : 4326 = 4.10 3 + 3.10 2 + 2.10 1 + 6.10 0 poids coefficients On ne peut représenter exactement en décimal que les nombres de la forme N / 10 k, avec N et k entiers. Rappelons que ces chiffres nous sont parvenus par le monde arabo-musulman, où on écrit de la droite vers la gauche. La lecture occidentale de gauche à droite n'est pas possible sans avoir une vision d'ensemble préalable du nombre : Ex : 3677 : on lit 3, puis trente-six, puis trois cent soixante-sept avant de comprendre que c'est en fait trois mille six cent soixante dix-sept! Cette lecture est d'autant plus difficile que le nombre est grand 3/ Système de numération binaire (Base = 2) Le système binaire est réellement utilisé depuis le XIX ème siècle, et les travaux du mathématicien anglais George Boole (1815-1864) dont nous étudierons les principes en cours de SI. Ce qu'il faut connaître est synthétisé dans le tableau suivant : On ne peut représenter exactement en binaire que les nombres de la forme N / 2 k, avec N et k entiers. Dans un octet ou un mot, le bit de poids faible (LSB = Less Significant Bit) est le bit situé le plus à droite, donc de plus faible poids. Le bit de poids fort (MSB = Most Significant Bit) est le bit situé le plus à gauche. Les opérations arithmétiques simples, comme l'addition et la multiplication, sont faciles à effectuer en binaire : Binaire "pur" ou "naturel" Coefficients = 0 ou 1 Poids =, 32, 16, 8, 4, 2, 1 Valeur décimale Code binaire 8 4 2 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1 2 0 0 1 0 3 0 0 1 1 4 0 1 0 0 5 0 1 0 1 6 0 1 1 0 7 0 1 1 1 8 1 0 0 0 9 1 0 0 1 10 1 0 1 0 11 1 0 1 1 12 1 1 0 0 13 1 1 0 1 14 1 1 1 0 15 1 1 1 1 4/ Une première variante de binaire : le BCD (Binary Coded Decimal = Décimal codé en binaire) C'est un code utilisé pour la représentation des nombres décimaux. Valeur Chaque chiffre en décimal est codé en binaire (sur 4 bits). décimale Ex : 26 = 0010 0110 2 6 On rencontre notamment ce code lorsqu'il s'agit de traduire du binaire en chiffres affichés sur l'interface machine/homme d'un système. Code BCD 8 4 2 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1 2 0 0 1 0 3 0 0 1 1 4 0 1 0 0 5 0 1 0 1 6 0 1 1 0 7 0 1 1 1 8 1 0 0 0 9 1 0 0 1 CPGE TSI Lycée P.-P. Riquet St-Orens de Gameville - 3 -
5/ Une 2 ème variante : le binaire réfléchi (code Gray) Un seul bit change à chaque ligne. Il est créé par symétries successives (comme dans un miroir, d où le nom). On le rencontre notamment dans certains compteurs, dans les codeurs absolus,! Ce code ne respecte pas la forme générale de N vue ci-dessus. Heureusement, il n'est pas à connaître "par cœur" Valeur Code Gray décimale 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1 2 0 0 1 1 3 0 0 1 0 4 0 1 1 0 5 0 1 1 1 6 0 1 0 1 7 0 1 0 0 8 1 1 0 0 9 1 1 0 1 10 1 1 1 1 11 1 1 1 0 12 1 0 1 0 13 1 0 1 1 14 1 0 0 1 15 1 0 0 0 Informatique Axe de symétrie pour le bit de poids faible Axe de symétrie pour les 2 bits de poids le plus faible Axe de symétrie pour les 3 bits de poids le plus faible 6/ Système de numération hexadécimal (Base = 16) Pour simplifier l écriture et la lecture d un nombre binaire, on regroupe les bits 4 par 4 en partant de la droite. On complète éventuellement par des 0 à gauche. Chaque quartet est ensuite représenté par un symbole : On a alors : Base = 16 ; Coefficients = 0, 1,, ou 15 ; Poids =, 4096, 256, 16, 1. On ne peut représenter exactement en hexadécimal que les nombres de la forme N / 16 k, avec N et k entiers. Valeur décimale Code hexa. ($) 0 0 1 1 2 2 3 3 4 4 5 5 6 6 7 7 8 8 9 9 10 A 11 B 12 C 13 D 14 E 15 F II/ METHODES DE CONVERSION ENTRE BASES 1/ Base 10 base 2 On effectue des divisions euclidiennes successives par 2, jusqu'à avoir 0 comme quotient. Le résultat est obtenu en écrivant les restes successifs en remontant : 2/ Base 10 base 16 Même chose, mais on divise par 16. Cette stratégie peut servir pour aller plus vite dans la conversion décimal binaire d'un grand nombre. Ex : 251 / 16 = 15 (reste 11 = $ B) 15 / 16 = 0 (reste 15 = $ F) $ FB. 251 2 Exemple : 1 125 2 1 62 2 0 31 2 1 15 2 1 7 2 1 3 2 1 1 2 1111 1011 1 0 1111 1011 3/ Base 2 base 10 On applique directement la formule polynomiale n n-1 1 0 N = a n.b + a n-1.b + + a 1.B + a 0.B avec B = 2 et a i = 0 ou 1. CPGE TSI Lycée P.-P. Riquet St-Orens de Gameville - 4 -
4/ Base 16 base 10 Idem avec B = 16. 5/ Base 2 base 16 On regroupe les bits 4 par 4 (en quartets). Chaque quartet peut alors être converti directement en hexadécimal (max. : 1111 = $ F). Ex : 1111 1011 = $ FB 6/ Base 16 base 2 Chaque symbole (chiffre ou lettre) en hexadécimal est converti dans le quartet binaire correspondant. III/ STOCKAGE DANS LA MEMOIRE D'UNE MACHINE NUMERIQUE : LES LIMITES 1/ La place d'un nombre entier naturel en mémoire Il suffit de convertir l entier naturel en binaire pour connaître la place prise dans la mémoire d'une machine numérique. Les limites du codage des nombres entiers naturels sont donc dues à la longueur du mot binaire nécessaire pour coder un nombre : sur 8 bits, il n est pas possible de coder au delà de 255, sur 16 bits, au delà de 65535, C est pourquoi il faudra généralement prendre soin lors de l écriture d un programme à la définition correcte du type des variables, afin d optimiser la place prise en mémoire par les données. Codage des entiers naturels dans une mémoire 16 bits 2/ Sur les ordinateurs actuels Dans un ordinateur travaillant sur 32 bits, un nombre est stocké sur 4 octets. On peut donc représenter les nombres de 0 à $ FF FF FF FF soit 2 32-1 = 4 294 967 295 en décimal. Les systèmes actuels travaillent en 64 bits. Le nombre maximal est donc 2 64 1, ce qui peut paraître suffisant, MAIS nous n'avons jusque-là évoqué que des entiers naturels! Comment représenter les nombres négatifs? IV/ LA REPRESENTATION DES ENTIERS RELATIFS : CODAGE EN COMPLEMENT A 2 1/ Principe du codage en complément à 2 Pour coder un nombre entier signé, on se sert du bit de poids fort : 0 indique une valeur positive ; 1 indique une valeur négative. Il faut donc connaître dès le départ le format de codage (n bits), et si les nombres sont signés ou non. Un nombre binaire négatif -x est obtenu en réalisant un complément à 2 : on inverse les bits de l'écriture binaire de sa valeur absolue x ; on ajoute 1 au résultat (les dépassements sont ignorés). Cette procédure revient à coder le nombre positif -x + 2 n. Ex : Pour coder ( 4) sur 8 bits: on prend le nombre positif 4 : 0000 0100 on inverse les bits : 1111 1011 on ajoute 1 : 1111 1100 Le bit de signe est automatiquement mis à 1 par l'opération d'inversion. On peut vérifier que l'opération 4 + ( 4) se fait sans erreur : CPGE TSI Lycée P.-P. Riquet St-Orens de Gameville - 5 -
0000 0100 + 1111 1100 = 0000 0000. 2/ Conversion binaire complément à 2 décimal Pour convertir un nombre binaire signé en décimal, on procède de la même façon : Ex : 1111 1111 à convertir en décimal : on inverse les bits : 0000 0000 on ajoute 1 : 0000 0001 = 1. Il s agissait donc du nombre -1 en décimal. Ex : 1000 0000 à convertir en décimal : on inverse les bits : 0111 1111 on ajoute 1 : 1000 0000 = 128. Il s agissait donc du nombre -128 en décimal. Entiers codés sur 16 bits en complément à 2 3/ Conséquences : nouvelles limites de représentation Il faut savoir a priori si un nombre binaire est codé en complément à 2, aussi une notation possible consiste à placer "C2" en indice. Par exemple, -128 = 1000 0000 C2, ou encore -1 = 1111 1111 C2. Le codage en complément à 2 permet de coder sur 8 bits les nombres relatifs de -128 à + 127 soit en généralisant : Sur n bits, on peut représenter les nombres entiers de -2 n-1 à 2 n-1-1. Si un calcul amène à sortir de ces limites, on dit qu'il y a "dépassement de capacité" (overflow). Lors de l'exécution d'un programme, le dépassement de capacité n'est pas forcément détecté par le processeur, ce qui conduit évidemment à un traitement faux. C'est le programmeur qui doit être vigilant. V/ LA REPRESENTATION DES NOMBRES REELS Il est temps de se préoccuper de la représentation des nombres réels on se limite ici à l'écriture en virgule flottante normalisée. 1/ Principe de l'écriture en virgule flottante normalisée En notation décimale, les chiffres à gauche de la virgule représentent des unités, des dizaines, des centaines, etc. et ceux à droite de la virgule, des dixièmes, des centièmes, des millièmes, etc. De même, en binaire, les chiffres à droite de la virgule représentent des demis, des quarts, des huitièmes, des seizièmes, etc. c'est-à-dire des puissances négatives de 2. On peut ainsi représenter, par exemple, le nombre 1,25 = un et un quart : 1,01 2. Toutefois, cette manière de faire (virgule fixe) ne permet pas de représenter efficacement des nombres très grands ou très petits. On utilise donc une autre représentation similaire à la notation scientifique des calculatrices, sauf qu elle est en base 2 et non en base 10. La norme distingue la représentation binaire simple précision sur 32 bits, et la double précision sur 64 bits. 2/ Simple précision (32 bits) On se propose de coder 243,25 = 1111 0011,01 2 en simple précision. La norme IEEE 754 impose d'écrire ce nombre sous la forme 1, 2 x 2 n. Pour notre exemple : 1,1110 0110 1 2 x 2 7. - Le chiffre 1 avant la virgule étant toujours présent, on ne le représente pas dans le code ; - le code 1110 0110 1 situé après la virgule est appelé la mantisse ; on peut la compléter par des 0 à droite ; - le chiffre 7 est l'exposant ; on doit y ajouter 127, ce qui donne 134 = 1000 0110 - on utilise comme déjà vu le 1 er bit pour le signe : 0 pour positif, 1 pour négatif. Le résultat est : 0100 0011 0111 0011 0100 0000 0000 0000 2 ou encore $ 43 73 40 00 en hexadécimal. Signe Exposant Mantisse CPGE TSI Lycée P.-P. Riquet St-Orens de Gameville - 6 -
Le format général en simple précision est donc : poids 2-1 poids 2-2 On peut passer du code binaire à la représentation décimale en calculant : i=23 s (e-127) -i -1. 2. 1+ a i.2 avec s le bit de signe et e l'exposant. i=1 Rq : L'exposant a été décalé de 127 pour permettre les exposants négatifs. Il peut ainsi varier de -126 à 127 en étant codé de 1 à 254. L'exposant -127, codé 0000 0000, est reservé pour coder le zéro (avec un signe + ou -) si la mantisse est nulle. Si la mantisse n'est pas nulle, il s'agit d'un code non normalisé. L'exposant 128, codé 1111 1111, est réservé pour coder les infinis et les "NaN" (Not a Number) résultant d'indéterminations mathématiques (0/0, -, /, 0., ). Limites de la représentation en virgule flottante simple précision : - le plus petit nombre positif est 0 0000 0001 0000 0000 0000 0000 0000 000 = 2-126 1,175494351.10-38 ; - le plus grand nombre positif est 0 1111 1110 1111 1111 1111 1111 1111 111 = 2 127. (2-2 -23 ) 3,402823466.10 38. 3/ Double précision (64 bits) Il y a : - 1 bit de signe ; - 11 bits d'exposant (-1022 à 1023) ; on doit ajouter 1023 à l'exposant au lieu de 127 ; - 52 bits de mantisse. Le plus petit nombre positif est alors 2-1022 2,23.10-308, le plus grand est 2 1023. (2-2 -52 ) 1,8.10 308! 4/ Pour vous aider : Un codeur en ligne très complet : http://www.binaryconvert.com/convert_float.html VI/ NOTIONS SUR LE CODAGE DES CARACTERES ALPHANUMERIQUES Chaque caractère possède son équivalent en code numérique : c'est le code ASCII (American Standard Code for Information Interchange). Le code ASCII de base représentait les caractères sur 7 bits (c'est-à-dire 128 caractères possibles, de 0 à 127). Les codes 0 à 31 ne sont pas des caractères. On les appelle caractères de contrôle car ils permettent de faire des actions telles que : retour à la ligne (CR), bip sonore (BEL), etc. Les codes 65 à 90 représentent les majuscules ; les codes 97 à 122 représentent les minuscules. CPGE TSI Lycée P.-P. Riquet St-Orens de Gameville - 7 -
Le code ASCII a été mis au point pour la langue anglaise, il ne contient donc pas de caractères accentués, ni de caractères spécifiques à une langue. Pour coder ce type de caractère, le code ASCII a donc été étendu à 8 bits (un octet) pour pouvoir coder plus de caractères (on parle d'ailleurs de code ASCII étendu ANSI). Le code ASCII étendu n'est pas unique et dépend fortement de la plateforme utilisée. Le code Unicode est un système de codage des caractères sur 32 bits mis au point à partir de 1991. Le système Unicode permet de représenter n'importe quel caractère par un code sur 32 bits, indépendamment de tout système d'exploitation ou langage de programmation. Il regroupe ainsi la quasi-totalité des alphabets existants (arabe, arménien, cyrillique, grec, hébreu, latin,...) et est compatible avec le code ASCII. Les touches du clavier sont quant à elles codées selon la table suivante : CPGE TSI Lycée P.-P. Riquet St-Orens de Gameville - 8 - Sources : Jean-Yves Fabert, "Automatismes et Automatique" Wikipedia