Puissances d un nombre relatif

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1 Puissances d un nombre relatif Activités 1. Puissances d un entier relatif 1. Diffusion d information (Activité avec un tableur) Stéphane vient d apprendre à 10h, la sortie d une nouvelle console de jeu. Aussitôt (à 10h01min), il envoie un SMS à 5 amis pour les informer. Une heure plus tard, chacun des 5 amis, envoie un SMS à 5 nouvelles personnes. La diffusion de l information se poursuit de la même manière : dès qu une personne est informée, elle l apprend à 5 nouvelles personnes une heure plus tard. Aucune personne n est informée deux fois. a) Combien de personnes connaissent l information à 12h? Comment peut-on écrire le calcul correspondant? b) Combien de personnes sont au courant à 13h? à 14 h? à 15h? c) Ecrire, sans l effectuer, le calcul permettant de trouver le nombre de personnes qui sont au courant de l information à 23h. Proposer une notation permettant d écrire le calcul de manière condensée. d) Combien de personnes ont appris la nouvelle entre 10h et 16h? Entre 12h et 16h? 2. Prolonger les notations On a commencé la liste de nombres : a) Par quelle opération passe-t-on d un nombre au suivant? Comment noter le nombre qui suit 2 4? b) Par quelle opération passe-t-on d un nombre au précédant? Quel nombre précède 2²? Comment peut-on le noter? c) Peut-on placer 1 dans la liste? Comment peut-on aussi le noter? d) Compléter le tableau : Notation en puissance de 2 Calcul correspondant 2 2 Ecriture décimale 4 3. Avec la calculatrice : calcul de 6 9 et 7-4 a) Définitions, exemples = =1 5 1 =5 5² se lit «5 puissance 2» ou «5 au carré», signifie 5 5 soit 5²=25. (-3)² se lit «(-3) au carré», signifie (-3) (-3) soit (-3)²= se lit «5 puissance 3» ou encore «5 au cube» et on comprend (-4) 3 se lit «-4 puissance 3» ou encore «(-4) au cube» et on comprend (-4) (-4) (-4).

2 De la même façon, le produit peut se noter 5 4. On lit «5 puissance 4» Les nombres 5 2, 5 3, 5 4, 5 5, 5 6, s appellent des puissances de se lit «5 puissance -1» ou encore «l inverse de 5» et se comprend 1 5 multiplié par 5 donne 1) : 5-1 = 1 : 5=0,2 (c est le nombre qui 2-1 = 1 2 =0,5 (-3)-1 = 1-3 = se lit «5 exposant -2» et se comprend 1 (-4) -2 = (-4) (-4) = 1 16 =0, soit 5-2 = 1 25 =0,4 Remarques : Une puissance paire d un nombre relatif est toujours positive. Une puissance impaire d un nombre relatif négatif est toujours négative. (-3) 4 =+81 (-6) 3 = 216 b) Puissances et opérations Produit et quotient de deux puissances d un même nombre A=2² 2 3 =2 5 =32 B=5² 5 4 = 5 6 C=(-1)² (-1) 3 =(-1) 5 = =5-3 = 1 5 3= =0,008 Produit de deux puissances de même exposant A=(5 4)²=5² 4²=25 16=400 B=((-2) 3)²=(-2)² 3²=4 9=36 Priorité dans les calculs En l absence de parenthèse, les puissances ont priorité sur les multiplications et les divisions. Exemple : ²= = = Puissances de dix Introduction : p51 L e s l i m i t e s d e l ' é c r i t u r e d é c i m a l e c l a s s i q u e e t d u f r a n ç a i s. a) Ecris un milliard au tableau. Combien de zéros possède ce nombre? Comment écrire ce nombre sous forme de puissance de 10? b) Ecris mille milliards dans le tableau. Combien de zéros possède ce nombre? Comment écrire ce nombre sous forme de puissance de 10? c) Le diamètre de notre galaxie est de un milliard de milliards de kilomètres. Combien de zéros possède-t-il? Comment écrire ce nombre sous forme de puissance de 10? d) La masse de la planète Neptune est de de tonnes.

3 La manipulation de ces nombres "infiniment" grands n'est pas toujours commode (nombre de chiffres limités sur l'écran d'une calculatrice, problèmes de lectures,...) Pour cela on utilise les puissances de dix. a) Définitions n étant un entier positif, Pour n plus grand que 1 : 10 n représente le produit de n facteurs égaux à 10. On lit «10 exposant n» ou «10 puissance n». 10 n = n fois 10 6 = , = 4, = on déplace la virgule de 5 rangs en ajoutant les zéros nécessaires Par convention : 10 0 =1 et 10 1 = n représente l inverse de 10 n : 10 -n = 1 10n. On lit «10 exposant -n» ou «10 puissance -n». Le nombre 10 n s'écrit 0, avec n chiffres après la virgule = , = 4,5 0, = 0, on déplace la virgule de 5 rangs en ajoutant les zéros nécessaires Règle b) Opérations et puissances de dix Multiplication Division Puissance 10 n 10 m = 10 n+m Exemple = n 10 m = 10n-m (10 m ) n =10 m n =108-3 =10 5 (10 5 ) 3 = = Ecriture scientifique d un nombre décimal Activités Activité avec un tableur en salle de classe 1) Avec ou sans la calculatrice, effectuer le produit de 342 par un milliard. Qu obtient-on? 2) a) Quel calcul a été effectué dans la cellule A3 de ce tableur? Prendre plutôt : A1= , B1= , C1=0, , D1=0, et deux autres grands nombres quelconques.

4 b) L ordinateur a affiché dans la cellule A3 un résultat approché au moyen d une notation qui lui est propre. Ecrire le résultat affiché en notation scientifique. c) Qu affichera l ordinateur si on étend la formule dans les cellules B3 et C3? d) Ecrire en notation scientifique chacun des résultats obtenus à la question précédente. Un nombre décimal peut s écrire de plusieurs façons sous la forme a 10 n, dans laquelle a est un nombre décimal et n un entier relatif. L écriture scientifique est celle dans laquelle a s écrit avec un seul chiffre (différent de 0) avant la virgule. 523,36=0, =5, =52, ,00658=6, Méthode : Transformer l écriture d un nombre Exemple : A= On repère la puissance de 10 qui correspond au chiffre 5 : A=5, B=0, On repère la puissance de 10 qui correspond au chiffre 3 : B=3, Exercice : La distance Terre-Soleil est approximativement égale à 149,6 millions de kilomètres. a) Exprime cette distance en mètres. b) Donne l écriture scientifique de ce nombre. La puissance de 10 qui apparaît dans la notation scientifique d un nombre permet de donner un ordre de grandeur de ce nombre. diamètre de la Lune dl 3, km diamètre de la Terre dt 1, km diamètre du Soleil ds 1, km ordre de grandeur : 10 3 ordre de grandeur : 10 4 ordre de grandeur : 10 6 Exercice : le nombre π Un scientifique japonnais a calculé le nombre π avec décimales. a) Si chaque chiffre mesure 7 mm, calcule la longueur de l écriture du nombre π avec ses décimales. (Donne le résultat en écriture scientifique en arrondissant la partie décimale au centième) b) Quelle est la distance la plus voisine de cette longueur : - la distance Paris-Lyon? - la longueur de l équateur? - la distance Terre-Lune?

5 1. Diffusion d information Stéphane vient d apprendre à 10h, la sortie d une nouvelle console de jeu. Aussitôt (à 10h01min), il envoie un SMS à 5 amis pour les informer. Une heure plus tard, chacun des 5 amis, envoie un SMS à 5 nouvelles personnes. La diffusion de l information se poursuit de la même manière : dès qu une personne est informée, elle l apprend à 5 nouvelles personnes une heure plus tard. Aucune personne n est informée deux fois. a) Combien de personnes connaissent l information à 12h? Comment peut-on écrire le calcul correspondant? b) Combien de personnes sont au courant à 13h? à 14 h? à 15h? c) Ecrire, sans l effectuer, le calcul permettant de trouver le nombre de personnes qui sont au courant de l information à 23h. Proposer une notation permettant d écrire le calcul de manière condensée. d) Combien de personnes ont appris la nouvelle entre 10h et 16h? Entre 12h et 16h? 2. Prolonger les notations On a commencé la liste de nombres : a) Par quelle opération passe-t-on d un nombre au suivant? Comment noter le nombre qui suit 2 4? b) Par quelle opération passe-t-on d un nombre au précédant? Quel nombre précède 2²? Comment peuton le noter? c) Peut-on placer 1 dans la liste? Comment peut-on aussi le noter? d) Compléter le tableau : Notation en puissance de 2 Calcul correspondant 2 2 Ecriture décimale 4 3. Avec la calculatrice : calcul de 6 9 et 7-4

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