SÉQUENCE 4 Séance 1. Séquence. Je revise les acquis de l école 1) c) 2) a) 3) d) 4) c) Exercice 1

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1 c Séquence 4 Ce que tu devais faire Je revise les acquis de l école 1) c) 2) a) 3) d) 4) c) Exercice 1 SÉQUENCE 4 Séance 1 Les commentaires du professeur 1) Pour calculer combien Paul dépense, on effectue 7 x 8. 2) Coline possède au total 3 fois 54 cartes plus 15 cartes. On calcule donc 3 x 54. On trouve 162. On y ajoute 15 : on trouve alors 177. Remarque : ce calcul peut s écrire (3 x 54) + 15 Les parenthèses signifient que l on commence par calculer 3 x 54. 3) Cette question était un piège : il ne fallait pas faire de multiplication. Sébastien a gagné billes soit 29 billes. 4) Pour obtenir rapidement le résultat, il suffisait d appliquer la règle de multiplication par 100 : il fallait décaler la virgule de 1,5 de deux rangs vers la droite et compléter par un zéro. La vente des 29 consoles a rapporté au vendeur 317 (en euros) : x x 29 = Le chiffre des centaines du résultat est La lettre associée à 1 est J écris donc dans la 1ère case : [] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] Exercice 2 La longueur en cm de la courbe rouge est : 6,2 6,2 x 16 = 99,2 x 1,6 37,2 62,. 99,2 La longueur en mm de la courbe verte est : 73,5 73,5 x 13 = 955,5 x 1,3 955,5 mm = 95,55 cm 220,5 < 317 x 9 (unités) < 317 x 2 (dizaines) (Ne pas oublier de décaler d un rang vers la gauche le résultat de 317 x 2 par rapport à celui de 317 x 9) Ce qu on dit quand on effectue 317 x 29 lorsqu on effectue 317 x 9. 9 x 7? 63. Je pose 3 et je retiens x 1? 9 ; = 15 ; je pose 5 et je retiens x 3? 27 ; = 28 lorsqu on effectue 317 x 2. 2 x 7? 14. Je pose 4 et je retiens x 1? 2 ; = 3. 2 x 3? 6 La courbe rouge est constituée de 16 segments de 6,2 cm. Pour multiplier un décimal par un entier, on effectue la multiplication sans tenir compte de la virgule on place la virgule dans le résultat (Comme 6,2 s écrit avec un chiffre après la virgule, on place la virgule dans le résultat de façon à avoir un chiffre après la virgule) La courbe verte est constituée de 13 segments de 73,5 mm. 99,2 > 95,55 735,. 955,5 La courbe rouge est donc plus longue que la courbe verte. 102 Cned, mathématiques 6e, 2008

2 Séquence 4 c Exercice 3 Le nombre de menus différents comprenant une entrée et un plat, qu on peut composer avec la carte proposée est : 3 x 4 = 12. Exercice 4 Le prix en euros des coquilles 2,75 Saint Jacques est : x 33 2,85 x 6 = 17,10 8,25 Le prix en euros du chapon est : 82,5. 33 x 2,75 = 90,75 90,75 Le montant en euros de la dépense de Madame Martin chez le charcutier est : 17, ,75 = 107,85. La somme en euros que possédait Madame Martin en entrant dans la boutique était : 14, ,85 = 122,77. Exercice 5 Une entrée étant choisie, on a le choix entre 3 plats principaux différents. À chaque entrée, il correspond donc 3 menus différents. insi, aux 4 entrées, il correspond soit 3 x 4 menus différents. Pour répondre à la question posée, il suffit de calculer la dépense de Madame Martin chez le charcutier. Le prix du chapon s obtient en multipliant le prix d un kilo par le nombre de kilos achetés. vant de poser une multiplication, il est bon de réfléchir. Ici, il est plus rapide de poser la multiplication de 2,75 par 33 plutôt que celle de 33 par 2,75. Voici cependant posée la multiplication de 33 par 2,75 pour ceux qui ont utilisé cette méthode : 33 x 2,75 1,65 23,1. 66,.0 90,75 On pouvait déterminer directement le montant de la dépense de Mme Martin, en calculant (2,85 x 6) + (33 x 2,75) Peut-être as-tu obtenu les résultats des trois calculs proposés, en posant une multiplication. Cette méthode permet d obtenir le résultat, mais à l avenir il ne faudra plus l utiliser. Il faut savoir effectuer ces calculs à la main, sans poser d opération. u CM2, tu as vu une règle permettant d obtenir rapidement le résultat d une multiplication par 10, 100 et Il fallait l utiliser ici. D après cette règle, a) 232,57 x 10 = 2 325,7 b) 13,48 x 100 = c) 1 212,3 x = (c est-à-dire 1 212,300) pour multiplier un décimal par 10, on déplace sa virgule de 1 rang vers la droite pour multiplier un décimal par 100, on déplace sa virgule de 2 rangs vers la droite pour multiplier un décimal par 1 000, on déplace sa virgule de 3 rangs vers la droite. Cned, Mathématiques 6e,

3 c Séquence 4 Exercice 6 a) Le prix en euros de 10 timbres à 0,53 est : 0,53 x 10 = 5,3. b) La masse totale en kg des 100 sacs est : 25,43 x 100 = c) La recette totale en euros est : 1,50 x = Exercice 7 1) 1,956 7 x 10 = 19,567 N oublie pas que : 1,50 = 1,500 Les trois calculs devaient être effectués à la main, sans poser d opération. 1) On passe du premier nombre au deuxième en déplaçant la virgule de 1 rang vers la droite : 1,956 7 Le nombre cherché est donc 10. 2) 26,18 x = ) 16 x 100 = ) On passe du premier nombre au deuxième en déplaçant la virgule de 3 rangs vers la droite : 26,180 4) 8,442 3 x 10 = 84,423 Le nombre cherché est donc ) Multiplier un décimal par 10 revient à déplacer sa virgule de 1 rang vers la droite. On a donc obtenu 84,423 en déplaçant la virgule de 1 rang vers la droite. 84,423 5) 14,92 x = Le nombre cherché est donc 8, ) On a obtenu ,0 en déplaçant la virgule de 3 rangs vers la droite ,0 Le nombre cherché est donc 14,920 (soit 14,92) 6) 0, x 100 = 1,278 6) On a obtenu 001,278 en déplaçant la virgule de 2 rangs vers la droite. 001,278 Le nombre cherché est donc 0, ) 0, x = 4,76 7) On a obtenu 0 004,76 en déplaçant la virgule de 3 rangs vers la droite ,76 Le nombre cherché est donc 0, ) 0,01 x 100 = 1 8) On a obtenu 001,0 en déplaçant la virgule de 2 rangs vers la droite. 001,0 1 Le nombre cherché est donc 0,01 (soit ) 100 Remarque : Comme 1 = 100 centièmes, le résultat était prévisible. 104 Cned, mathématiques 6e, 2008

4 Séquence 4 c Exercice 8 Observons la technique utilisée pour effectuer 843 x 76. obtenu en multipliant 7 par obtenu en multipliant 6 par 3 Le résultat de 843 x 76 a été obtenu en ajoutant en biais des chiffres contenus dans le grand rectangle On a commencé par écrire ce chiffre (On a juste recopié celui qui était dans la case immédiatement au-dessus) On a calculé On a obtenu 6. On a calculé On a obtenu 20. On a écrit 0 et on a retenu On a calculé On a obtenu 12. Or, il y avait 2 de retenue. Comme : = 14, on a écrit 4 et on a retenu 1. On a calculé On a obtenu x 78 = Cned, Mathématiques 6e,

5 c Séquence 4 Séance 2 Exercice 9 1) 1) Pour calculer 976 x 608 on peut procéder ainsi : 976 x On peut aussi ne pas écrire la ligne 000. Le produit de 97 par est 976 x 608 x 608 c est-à-dire ) a) 72 = 8 x 9 Pour calculer 976 x 608, on calcule 976 fois 8 unités et 976 fois 6 centaines. Observe bien la disposition ci-contre. fl 976 x 8 unités fl 976 x 6 centaines Il est plus rapide de procéder comme à gauche. 2) a) Comme on te l a déjà rappelé, deux entiers consécutifs sont deux entiers qui se suivent. b) Il est assez naturel de commencer par écrire : 700 = 7 x est impair. Pour répondre à la question posée, il suffit d écrire 100 sous la forme d un produit de deux facteurs, l un étant impair. On a, par exemple : 100 = 1 x 100. b) 700 = 7 x 1 x 100 D où la réponse à la question posée, ci-contre. Exercice 10 1) a) 9 x 0,7 x 6 = 6,3 x 6 = 37,8 b) 0,7 x (6 x 9) = 0,7 x 54 = 37,8 2) Je remarque que : 9 x 0,7 x 6 = 0,7 x (6 x 9) Je pouvais prévoir le résultat. D après le cours du CM2, dans un produit, on peut changer l ordre des facteurs et les grouper comme on veut. Il existe d autres réponses possibles, par exemple : 7 x 4 x 25, 7 x 5 x 20, 35 x 4 x 5 9 x 0,7 x 6 est le nombre obtenu en effectuant les calculs de gauche à droite. Vu la parenthèse autour de 6 x 9, 0,7 x (6 x 9) est le nombre obtenu en multipliant 0,7 par le résultat de 6 x Cned, mathématiques 6e, 2008

6 Séquence 4 c Exercice 11 1) a) 5 x 1,8 x 2 = (2 x 5) x 1,8 = 10 x 1,8 = 18 b) 2 x 2 x 2 x 0,003 x 5 x 5 x 5 = (2 x 5) x (2 x 5) x (2 x 5) x 0,003 = 10 x 10 x 10 x 0,003 = x 0,003 = 3 Commentaires du professeur : Dans les deux produits donnés, on remarque les facteurs 2 et 5. 2 x 5 = 10 Multiplier par 10 est facile. On peut utiliser l égalité précédente, puisque dans un produit on peut changer l ordre des facteurs et les grouper comme on veut. 2) a) La lettre associée à 18 est la 18ème de l alphabet, soit R. J écris donc R dans la deuxième case du «nom secret». [] [R] [ ] [ ][ ][ ][ ][ ][ ] b) La lettre associée à 3 est C. J écris donc C dans la troisième case du «nom secret». [] [R] [C] [ ][ ][ ][ ][ ][ ] Exercice 12 1) 4 x 25 = x 125 = ) a) 4 x 0,25 = 1 b) 0,8 x 125 = 100 Exercice 13 1) K = 9 x 25 x 8,1 x 4 K = (25 x 4) x (9 x 8,1) K = 100 x 72,9 K = ) L = 3 x 1,25 x 96 x 8 L = (1,25 x 8) x (96 x 3) L = 10 x 288 L = ) M = 10 x 9 x 0,4 x 9 x 25 M = 10 x (0,4 x 25) x (9 x 9) M = 10 x 10 x 81 M = Retiens ces deux égalités. Cela t aidera à voir comment calculer rapidement certaines expressions. On remarque les facteurs 25 et 4. On pense à l égalité : 25 x 4 = 100. Multiplier par 100 est facile. On pense à utiliser : 125 x 8 = On pense à utiliser : 4 x 25 = 100 Cned, Mathématiques 6e,

7 c Séquence 4 Exercice 14 1) Le double de 7,9 est 2 x 7,9 soit 15,8. Le triple de 6,84 est 3 x 6,84 soit 20,52. 2) a) Le double de 9,6 est 2 x 9,6 soit 19,2. Le triple du double de 9,6 est donc 3 x 19,2 soit 57,6. Le triple de 9,6 est 3 x 9,6 soit 28,8. Le double du triple de 9,6 est donc 2 x 28,8 soit 57,6. b) Je remarque que le triple du double de 9,6 est égal au double du triple de 9,6. c) Le triple du double de 9,6 est 3 x (2 x 9,6). Le double du triple de 9,6 est 2 x (3 x 9,6). Comme dans un produit, on peut changer l ordre des facteurs et les grouper comme on veut : 3 x (2 x 9,6) = 2 x (3 x 9,6) On pouvait donc prévoir le résultat. Exercice 15 1) x 650 = (987 x 100) x (10 x 65) x 650 = (987 x 65) x (100 x 10) x 650 = (987 x 65) x Pour calculer x 650, il suffit de calculer 987 x 65 et de placer 3 zéros à droite du résultat. Exercice 16 Le produit de par est x x Le produit de par est donc En effet, dans un produit, on peut changer l ordre des facteurs et les grouper comme on veut. 108 Cned, mathématiques 6e, 2008

8 Séquence 4 c Exercice17 1) 143 x x 14 = ) a) x 1,40 = x 1,4 143 x 14 = (d après le 1-) donc : x 14 = Par suite : x 1,4 = c est-à-dire x 1,40 = b) 286 x 28 = (143 x 2) x (14 x 2) Or, dans un produit de facteurs, on peut changer l ordre des facteurs et les grouper comme on veut, donc : 286 x 28 = (143 x 14) x (2 x 2) Par conséquent : 286 x 28 = x 4 = On commence par se débarrasser du zéro inutile. Pour calculer x 1,4 on effectue x 14 puis on place la virgule. fl car ,0 = fl Il est indispensable d écrire cette ligne pour bien répondre à la question posée. Remarque : 286 et 28 sont respectivement 2 fois plus grands que les nombres 143 et 14. Le produit 286 x 28 est 4 fois plus grand que le produit 143 x 14. Cned, Mathématiques 6e,

9 c Séquence 4 Exercice 18 1) a) Le produit de 43 et de est 43 x 68 soit x b) 43 s écrit «à l envers» s écrit «à l envers» 86. x Le produit de 34 et de 86 est 34 x 86 soit c) Les produits 43 x 68 et 34 x 86 sont égaux ) a) Le produit de 32 et de est 32 x 69 soit x b) 32 s écrit «à l envers» s écrit «à l envers» 96. x Le produit de 23 et de 96, est 23 x 96 soit c) Les produits 32 x 69 et 23 x 96 sont égaux ) a) Le produit de 26 et de est 26 x 31 soit 806. x b) 26 s écrit «à l envers» x s écrit «à l envers» Le produit de 62 et de 13 est 62 x 13 soit c) Les produits 26 x 31 et 62 x 13 sont égaux. 4) 85 x 73 = Lorsqu on écrit «à l envers» 85 on obtient 58. Lorsqu on écrit «à l envers» 73 on obtient x 37 = Les produits 85 x 73 et 58 x 37 ne sont pas égaux. Le produit de deux entiers n est pas toujours inchangé lorsqu on écrit «à l envers» les deux nombres. Pour convaincre Sony, on cherche un produit de deux entiers «qui change» quand on écrit «à l envers» chacun des entiers. Cet exercice met en évidence que ce n est pas parce qu une propriété est vraie plusieurs fois qu elle est toujours vraie. 110 Cned, mathématiques 6e, 2008

10 Séquence 4 c Séance 3 Exercice 19 a) = D = 1 L aire du «grand» carré CD est donc : 1 x 1 = 1 b) La longueur d un côté d un petit carré est le nombre? tel que : 10 x? = 1, c est-à-dire le nombre 0,1. De la même manière : Puisque le «grand» carré CD a pour aire 1 et est composé de 100 petits carrés de même aire, l aire d un petit carré est donc le nombre? tel que : 100 x? = 1, c est-à-dire le nombre 0,01. c) Conclusion L aire d un petit carré est 0,01, son côté est 0,1. On a donc : 0,1 x 0,1 = 0,01. a) Les quatre côtés d un carré ont la même longueur, ici 1. Son aire est donc 1 x 1 = 1. b) La longueur est égale à 10 fois la longueur du côté du petit carré. Comme la longueur est égale à 1, la longueur du petit carré est le nombre qui multiplié par 10 est égal à 1 : c est 0,1 (ou un dixième ou encore 1 ). Même type de raisonnement que dans 10 l exercice 7 de cette séquence. Le nombre qui multiplié par 100 est égal à 1 est 0,01 (ou un centième, ou encore 1 ). Tu 100 as vu cela dans l exercice 7 de cette séquence. c) On peut également écrire : 1 10 x 1 10 = Exercice 20 1) dèle réfléchit dèle remarque sur le marché un beau ruban à 1,42 le mètre. Elle décide d en acheter 3,2 m. Pour calculer le montant en de son achat, elle doit multiplier le prix d un mètre de ruban par le nombre de mètres achetés. Elle doit doit effectuer le calcul suivant : 1,42 x 3,2. 2) dèle utilise sa calculatrice. Ne sachant pas effectuer à la main ce calcul, elle utilise sa calculatrice : 1,42 x 3,2 = 4,544. Elle tape 142 x 32. Elle obtient Elle fait ensuite l observation suivante : Nombre de chiffres après la virgule 1,42 3,2 4, Le nombre de chiffres après la virgule dans le résultat s obtient en ajoutant le nombre de chiffres après la virgule de 1,42 et celui de 3,2. 3) dèle voudrait obtenir le résultat de 1,42 x 3,2 sans utiliser la calculatrice. Elle écrit : 142 x 32 = (1,42 x 100) x (3,2 x 10) donc 142 x 32 = (1,42 x 3,2) x (100 x 10) Or : 142 x 32 = x D où : = (1,42 x 3,2) x Or, le nombre dont le produit par est égal à est 4,544. insi : 1,42 x 3,2 = 4,544 Cned, Mathématiques 6e,

11 c Séquence 4 Exercice 21 a) 86,5 x 9,8 69,2,0 778,5,. 847,7,0 86,5 x 9,8 = 847,70 b) 3,42 x 0,65 17, ,2230 3,420 x 0,65 = 2,223 c) 3,9,6 x 7,0,7 27,7,2 2772,0,0 2799,7,2 70,7 x 39,6 = 2 799,72 Exercice 22 a) = 294,603 b) = 294,603 c) C = 2 946,030 d) D = 294,603 e) E = 2 946,030 f) F = 2, a) Pour faire le calcul proposé, on applique ce qu on vient de copier. On effectue donc la multiplication sans tenir compte des virgules On compte le nombre total de chiffres après la virgule dans l écriture 86,5 x 9,8 (Il y a soit 2 chiffres après la virgule) Ce nombre donne le nombre de chiffres après la virgule au résultat. b) 3,420 = 3,42 Effectuer 3,420 x 0,65 c est donc effectuer 3,42 x 0,65 (Il ne faut pas travailler avec des zéros inutiles) Remarque bien ci-contre, qu une fois qu on a multiplié 342 par 5, puis par 6, il ne servirait à rien de multiplier 342 par 0. La question posée était : «calcule 3,420 x 0,65». Par suite, lorsque je donne le résultat, j écris : 3,420 x 0,65 = c) Il est plus rapide de calculer 39,6 x 70,7 que 70,7 x 39,6 (Lorsqu on calcule 39,6 x 70,7 on est amené à effectuer 2 fois 396 x 7) Voici cependant posée la multiplication de 70,7 par 39,6 pour ceux qui ont utilisé cette méthode. 70,7 x 39,6 424,2 6363, ,0 2799,7,2 a) D après ce que tu as noté en dernier dans ton cahier de cours, pour calculer, on commence par calculer 347 x 849, puis on place correctement la virgule dans le résultat. D après l énoncé : 347 x 849 = On compte le nombre total de chiffres après la virgule dans l écriture 34,7 x 8,49 : il y en a 3. Par suite, on met autant de chiffres après la virgule dans le résultat. insi : 34,7 x 8,49 = 294,603 b) Même raisonnement que précédemment. c) Pour calculer C, on commence par effectuer 347 x Pour cela, on calcule 347 x 849 puis on place un zéro à droite du résultat de 347 x 849. insi : 347 x = Ensuite, on s occupe de la virgule. d) Même raisonnement que pour le calcul de e) Même type de raisonnement que pour le calcul de C f) Même raisonnement que pour le calcul de 112 Cned, mathématiques 6e, 2008

12 Séquence 4 c Exercice 23 1) a) 4,2,3 x 0,7,8 338,4 29,61,. 32,99,4 b) 6,3,6 x 6,9 5,7,2,4 38,1,6,0 43,8,8,4 a) x 4 2, n 0,7 8 7 x se termine par un 1. En récitant la table de 7, on constate que le seul résultat qui se termine 1 2 par un 1 s obtient en effectuant 7 x 3. Par suite, représente un 3. La suite est alors facile. b) 9 x se termine par un 4. x 6 3 n,9 4, 8 4 En récitant la table de 9, on constate que le seul résultat qui se termine par un 4 s obtient en effectuant 9 x 6. Par suite, représente un 6. Grâce au résultat que nous venons de trouver, nous pouvons compléter partiellement la multiplication à trous donnée : x n, , x n, , 8 4 x 6 se termine par un 6. Lorsqu on récite la table de 6, seuls les résultats de 6 x 1 et 6 x 6 se terminent par un 6. Par suite, représente un 1 ou un 6. Il ne peut représenter le chiffre 1. En effet, 636 x 1 est un entier de 3 chiffres. représente donc un 6. La suite est alors très facile. Cned, Mathématiques 6e,

13 c Séquence 4 c) c) x 3 se termine par un 8. x, 7 3 n , En récitant la table de 3, on constate que le seul résultat qui se termine par un 8 s obtient en effectuant 3 x 6. Par suite, représente un 6. Grâce au résultat que nous venons de trouver, nous pouvons compléter partiellement la multiplication à trous donnée : n, 7 3 4,7,3 x 9,6 2,8,3,8 42,5,7,0 45,4,0,8 x , obtenu en effectuant 6 x et en ajoutant 4 de de retenue (6 x ) + 4 = 28 n, 7 3 x , Or le nombre qui ajouté à 4 donne 28 est 28 4 soit 24. Par suite : 6 x = 24 On en déduit que représente le chiffre 4. insi : 4, 7 3 x , 2) Recherche du nom secret : Le résultat de la multiplication à trous du 1- b) est 43,884. Le chiffre des dixièmes de ce résultat est 8. La 8ème lettre de l alphabet est H. J écris donc H dans la quatrième case du «nom secret». [] [R] [C] [H][ ][ ][ ][ ][ ] x 4, 7 3 n , x 3 se termine par un 7. Lorsqu on récite la table de 3, on constate que seul le résultat de 3 x 9 se termine par un 7. Par suite, représente un 9. La suite est alors facile. Exercice 24 On peut obtenir un nombre entier en multipliant deux décimaux non entiers : 0,4 x 2,5 = 1 fl égalité obtenue à partir de : 4 x 25 = Cned, mathématiques 6e, 2008

14 Séquence 4 c Exercice 25 21,17 est proche de 20, 9,53 est proche de 10, donc 21,17 x 9,53 est proche de 20 x 10 soit 200. Moïra a donc commis une erreur. Exercice 26 On a : 42 > 40 et 53 > 50. Par suite : 42 x 53 > 40 x 50 c est-à-dire : 42 x 53 > C est pourquoi l ordinateur affiche : «Faux». Séance 4 Exercice 27 Cherchons un ordre de grandeur de 6,3 x 2,13. 6,3 est proche de 6, 2,13 est proche de 2, donc 6,3 x 2,13 est proche de 6 x 2, c est-à-dire de 12. La bonne réponse est donc 13,419 (celle d Eloïse). Cherchons un ordre de grandeur de 6 x 12,28. 12,28 est proche de 12, donc 6 x 12,28 est proche de 6 x 12 c est-à-dire 72. La bonne réponse est donc 73,68 (celle de Manon). Cherchons un ordre de grandeur de 325,7 x 11,8. Un ordre de grandeur de 325,7 est 300, un ordre de grandeur de 11,8 est 10, un ordre de grandeur de 325,7 x 11,8 est donc 300 x 10 soit La bonne réponse est donc 3 843,26 (celle de Manon). Exercice 28 Le prix en euros du poisson est : 11,6 x 2,1 a) On a : 11,6 > 10 et 2,1 > 2, donc : 11,6 x 2,1 > 10 x 2 soit 11,6 x 2,1 > 20. Maman ne pourra donc pas payer avec un billet de 20. b) On a : 11,6 < 12 et 2,1 < 3 donc 11,6 x 2,1 < 12 x 3 c est-à-dire 11,6 x 2,1 < 36. Maman pourra donc payer avec un billet de 50. En calculant un ordre de grandeur du résultat, tu as décelé que Moïra s était trompée. N oublie pas lorsqu on te demande de faire un calcul, de chercher systématiquement un ordre de grandeur du résultat (même lorsque tu effectues ton calcul à la calculatrice). Chercher un ordre de grandeur d un résultat permet d éviter des erreurs. Toutefois, cela ne permet pas de les déceler toutes. Le prix s obtient en multipliant le prix d un kilo par le nombre de kilos achetés. Cned, Mathématiques 6e,

15 c Séquence 4 Exercice 29 On a : 68,4 < 70 et 5,7 < 6 donc : 68,4 x 5,7 < 70 x 6 soit : 68,4 x 5,7 < 420 Cela explique que la réponse d maury est fausse. 68,4 et 5,7 s écrivent avec un chiffre après la virgule. Par suite, 68,4 x 5,7 s écrit avec deux chiffres après la virgule. Cela permet de conclure que la réponse de Ludivine ne convient pas. Un ordre de grandeur de 68,4 x 5,7 est 70 x 6 soit 420. Les résultats proposés par les trois enfants sont donc, au premier abord, vraisemblables. On a : 68,4 < 70 et 5,7 < 6. On en déduit une première remarque. On s intéresse alors aux virgules de 68,4 et 5,7. Comme : 4 x 7 = 28, le deuxième chiffre après la virgule de 68,4 x 5,7 est un 8. Cela explique que la réponse de Mareb ne convient pas. Si l on pose la multiplication de 68,4 par 5,7 on constate que le deuxième chiffre après la virgule du résultat est un 8. 68,4 x 5,7...8 < car 4 x 7 = Exercice 30 1) Ritchie : 2,3 x 3,2 Sony : 2,3 x 0,8 Pascal : 2,3 x 2,6 Jade : 2,3 x 0,65 2) a) Seuls, Sony et Jade (c est-à-dire les personnes qui ont acheté moins d un kilo de pêches) ont payé moins de 2,30. Ritchie et Pascal, qui ont acheté plus d un kilo de pêches, ont payé plus de 2,30. b) 2,3 x 3,2 > 2,3 2,3 x 0,8 < 2,3 2,3 x 2,6 > 2,3 2,3 x 0,65 < 2,3 3) Lorsqu on multiplie 2,3 par un nombre plus grand que 1, on obtient un nombre plus grand que 2,3. Lorsqu on multiplie 2,3 par un nombre plus petit que 1, on obtient un nombre plus petit que 2,3. 1) Le prix des pêches s obtient en multipliant le prix d un kilo par le nombre de kilos achetés. d après le 1) et le 2) a) Exercice 31 C est faux. Justification : 0, < 1 donc x 0, < Lorsqu on multiplie un nombre par un autre plus petit que 1, on obtient un nombre plus petit que celui du départ. 116 Cned, mathématiques 6e, 2008

16 Séquence 4 c Exercice 32 a) Lorsque je tape ,5 x il s affiche l entier Cette réponse n est pas la valeur exacte de. Explication : ,5 est un décimal s écrivant avec un chiffre après la virgule, est un entier, donc ,5 x est un décimal s écrivant avec un chiffre après la virgule. Comme : 7 x 5 = 35, le chiffre après la virgule de ,5 x est un 5. n est donc pas un entier. b) Lorsque je tape sur ma calculatrice 22,557 8 x 3,468 9 il s affiche 78, Cette réponse est la valeur exacte de. Explication : 22,557 8 et 3,468 9 sont deux décimaux s écrivant avec 4 chiffres après la virgule, donc 22,557 8 x 3,468 9 est un décimal s écrivant avec 8 chiffres après la virgule. Comme le résultat affiché sur la calculatrice a 8 chiffres après la virgule, ce résultat est la valeur exacte de. a) fin d éviter certaines erreurs dues à des erreurs de frappe, il est bon, avant de taper chacune des expressions proposées, de chercher un ordre de grandeur du résultat. Un ordre de grandeur de est x soit Compte tenu de l ordre de grandeur de, le résultat est vraisemblable. (Sur certaines calculatrices, il s affiche ) Si le chiffre après la virgule de est 0, alors est un entier. Déterminons ce chiffre après la virgule. Pourquoi la machine n a-t-elle pas affiché la valeur exacte? Nos machines peuvent afficher au plus 10 chiffres. Lorsque le résultat comporte plus de 10 chiffres, selon les modèles, elles tronquent ou arrondissent les résultats. b) Un ordre de grandeur de est 23 x 3 soit 69. Compte tenu de l ordre de grandeur de, le résultat est vraisemblable. c) Lorsque je tape sur ma calculatrice 217,753 x ,6 il s affiche ,71. Cette réponse n est pas la valeur exacte de C. Explication : 217,753 est un décimal s écrivant avec 3 chiffres après la virgule, ,6 est un décimal s écrivant avec un chiffre après la virgule, donc 217,753 x ,6 est un décimal s écrivant avec 4 chiffres après la virgule. 6 x 3 = 18 donc le 4ème chiffre après la virgule de 217,753 x ,6 est 8. Comme ,71 s écrit avec 2 chiffres après la virgule, ce nombre n est pas la valeur exacte de C. d) Lorsque je tape 86,5 x 545,866 il s affiche ,409. Cette réponse est la valeur exacte de D. Explication : 86,5 est un décimal s écrivant avec 1 chiffre après la virgule, 545,866 est un décimal s écrivant avec 3 chiffres après la virgule, donc 86,5 x 545,866 est un décimal s écrivant avec 4 chiffres après la virgule. Comme : 6 x 5 = 30, le 4ème chiffre après la virgule de 86,5 x 545,866 est 0. 86,5 x 545,866 (soit D) s écrit donc avec trois chiffres après la virgule. Comme ,409 (le résultat affiché sur la calculatrice) a 3 chiffres après la virgule, le nombre ,409 est la valeur exacte de D. c) Un ordre de grandeur de C est 200 x soit Compte tenu de l ordre de grandeur de C, le résultat est vraisemblable ,71 (la valeur affichée par la calculatrice) a 2 chiffres après la virgule. On se demande donc si le 3e et le 4e chiffres après la virgule du produit 217,753 x ,6 sont des zéros. Déterminons le 4ème chiffre après la virgule de 217,753 x ,6. 217,753 x ,6 n est pas un décimal pouvant s écrire avec 2 chiffres après la virgule. Un ordre de grandeur de D est 90 x 500 soit Compte tenu de l ordre de grandeur de D, le résultat est vraisemblable ,409 (la valeur affichée par la calculatrice) a 3 chiffres après la virgule. On se demande donc si le 4e chiffre après la virgule du produit 86,5 x 545,866 est 0. Déterminons le 4e chiffre après la virgule de 86,5 x 545,866. Cned, Mathématiques 6e,

17 c Séquence 4 Séance 5 Exercice 33 1) a) 39,4 x 0,1 = 3,94 b) 115,86 x 0,01 = 1,158 6 c) 564,3 x 0,001 = 0, ) Multiplier un décimal par 0,1 revient à déplacer sa virgule vers la gauche de 1 rang. Multiplier un décimal par 0,01 revient à déplacer sa virgule vers la gauche de 2 rangs. Multiplier un décimal par 0,001 revient à déplacer sa virgule vers la gauche de 3 rangs. Exercice ,1 930,1 9,3 564,3 = 0564,3 Remarque : Multiplier un décimal par 0,1 ; 1 0,01 ; 0,001 c est le multiplier par 10, 1 100, Calcul de 101 x 0,1 Penser que : 101 = 101,0 Calcul de 9,1 x 100 x 0,1-1 x ,1 x 0,01-0,001 x 0,01 10, ,301 0,093 Penser que : 9,1 = 9,10 Calcul de 9,3 x 0,01 Penser que : 9,3 = 009,3 Exercice 35 Le produit de 57 par 0,01 est 57 x 0,01 soit 0,57. 0,57 + 8,43 = 9,00 = 9 La lettre de l alphabet associée à 9 est I. J écris donc I dans la 5ème case du «nom secret» : [] [R] [C] [H][I][ ][ ][ ][ ] Exercice 36 1) = 0,1 x 0,1 = 0,01 00,1 2) = 0,1 x 0,01 = 0,001 3) C = 0,01 x 0,01 = 0, ) Pour multiplier un décimal par 0,1 on déplace sa virgule de 1 rang vers la gauche. 2) Pour multiplier un décimal par 0,01 on déplace sa virgule de 2 rangs vers la gauche. 000,1 3) Même règle que précédemment. 000,01 Exercice 37 1) D = 10 x 0,1 = 1 2) E = 100 x 0,1 = 10 3) F = x 0,001 = 1 10,0 100, ,0 Remarque : Pour calculer les nombres D et F on aurait pu aussi raisonner ainsi : 1 D = 10 x 0,1 = 10 x 10 = = 1 1 F = 1000 x 0,001 = 1000 x = = Cned, mathématiques 6e, 2008

18 Séquence 4 c Exercice 38 a) 86 x 0,1 = 8,6 b) 16,4 x 0,01 = 0,164 c) 940 x 0,001 = 0,940 d) x 0,001 = 9,4 e) 18,20 x 100 = f) 0,000 3 x 0,001 = 0, g) 100 x 0,001 = 0,1 h) 0,001 x = 4,34 Exercice 39 a) 100 x 71,63 = x 7,15 = 71, > 71,5 donc 100 x 71,63 > 10 x 7,15 b) x 0,981 8 = 981,8 0,1 x 9 818,7 = 981,87 10 x 98,175 = 981,75 981,75 < 981,8 < 981,87 donc : 10 x 98,175 < x 0,981 8 < 0,1 x 9 818,7 a) On passe de 86,0 à 8,6 en déplaçant la virgule de 1 rang vers la gauche. 86,0 Le nombre cherché est donc 0,1. b) On passe de 016,4 à 0,164 en déplaçant la virgule de 2 rangs vers la gauche. 016,4 Le nombre cherché est donc 0,01. c) 0940,0 d) On passe de 9 400,0 à 9,4 en déplaçant la virgule de 3 rangs vers la gauche ,0 Le nombre cherché est donc 0,001. e) Multiplier un décimal par 100 revient à déplacer sa virgule de 2 rangs vers la droite. On a donc obtenu 1 820,0 en déplaçant la virgule de 2 rangs vers la droite ,0 Le nombre cherché est donc 18,20. f) 0 000,000 3 g) On passe de 0 100,0 à 0,1 en déplaçant la virgule de 3 rangs vers la gauche ,0 Le nombre cherché est donc 0,001. h) Multiplier un décimal par 0,001 revient à déplacer sa virgule de 3 rangs vers la gauche. On a donc obtenu 4,34 en déplaçant la virgule de 3 rangs vers la gauche. 4,340 Le nombre cherché est donc a) Comparer deux nombres c est dire lequel est le plus grand (ou le plus petit) 71,63 7,15 ttention! Il faut répondre exactement à la question posée. Il était demandé de comparer 100 x 71,63 et 10 x 7,15. Il ne fallait pas s arrêter à la conclusion : > 71,5 b) Ranger des produits dans l ordre croissant, c est les écrire du plus petit au plus grand. 0, ,7 98,175 Penser que : 981,8 = 981,80 Cned, Mathématiques 6e,

19 c Séquence 4 Exercice 40 1) 0,01 x 134 x 100 x 0,1 = (0,01 x 100) x 134 x 0,1 = 13,4 1 La partie entière de 13,4 est 13. La lettre de l alphabet associée à 13 est M. J écris donc M dans la 6ème case du «nom secret». [] [R] [C] [H][I][M][ ][ ][ ] 2) 1000 x 50 x 0,1 x 0,1 x 0,01 = 1000 x (0,1 x 0,01) x 50 x 0,1 = 1 x 50 x 0,1 = 5 0,001 La lettre de l alphabet associée à 5 est E. J écris donc E dans la 7ème case du «nom secret». [] [R] [C] [H][I][M][E][ ][ ] 1) On remarque les facteurs 0,01 et ,01 x 100 = 1 On peut utiliser cette égalité vu que dans un produit on peut changer l ordre des facteurs et les grouper comme on veut. 2) On remarque les facteurs 0,1 et 0,01. 0,1 x 0,01 = 0,001 Cette dernière égalité est «intéressante» vu que : x 0,001 = 1 On pouvait également utiliser une autre méthode : On remplace par 10 x 100. insi, on peut utiliser les égalités : 10 x 0,1 = 1 et 100 x 0,01 = x 50 x 0,1 x 0,1 x 0,01 = 10 x 100 x 50 x 0,1 x 0,1 x 0,01 = (10 x 0,1) x (100 x 0,01) x 50 x 0,1 = Cned, mathématiques 6e, 2008

20 Séquence 4 c Séance 6 Exercice 41 La distance en km qu Ydriss parcourt les jours de classe, pour suivre ses cours, est : 2,4 x 2 = 4,8 Il va 5 fois par semaine au collège. La distance en km qu il parcourt chaque semaine pour suivre sa scolarité est donc : 4,8 x 5 = 24 La distance en km qu il parcourra cette année scolaire en allant au collège est : 24 x 36 = 864 Le chiffre des unités de 864 est 4. La lettre de l alphabet associée à 4 est D. J écris donc D dans la 8ème case du «nom secret». [] [R] [C] [H][I][M][E][D][ ] Exercice 42 Chaque minute, l aiguille des secondes d une pendule fait un tour de cadran. 1 h = 60 min En 1 h, elle fait donc 60 tours de cadran. 1 journée = 24 h En 1 journée, le nombre de tours de cadran que fait l aiguille des secondes est donc : 60 x 24 = En 1 année de 365 jours, le nombre de tours de cadran que fait cette aiguille est donc : x 365 = Exercice 43 1) Le nombre total de places du cinéma est : 36 x 18 = 648 Le nombre de places libres à la séance de 15 h était : = 189 2) Le nombre de personnes ayant payé le prix normal est : = 188 La recette en euros de la séance de 15 h a été (6,40 x 188) + (5,60 x 271) soit 1 203, ,6 c est-à-dire 2 720,8. 3) Le nombre de tickets vendus dans la journée a été : ( ) + 1 = = 787 L année scolaire compte 36 semaines de classe. Pour répondre à la question posée, il sufffit de commencer par calculer la distance en km qu Ydriss parcourt chaque semaine pour suivre ses cours. Si nécessaire, commence par regarder tourner l aiguille des secondes d une pendule. Combien de temps met-elle pour effectuer un tour de cadran? Commençons par calculer combien de tours elle effectue en une journée. 2) On sait combien de personnes ont payé au tarif réduit. Pour calculer la recette de la séance de 15 h, il faut savoir combien de personnes ont payé au tarif normal. 3) ttention! Le nombre de tickets vendus ne s obtient pas en calculant Pour t en convaincre, imagine que le dernier billet vendu ait porté le numéro 188. Seulement deux billets auraient été vendus dans la journée. Des deux calculs et ( ) + 1, c est bien le deuxième qui permet d obtenir 2. Lorsqu on te demande de répondre à une question du type de celle qui t a été posée, ramène-toi toujours au brouillon à un cas plus simple, afin de vérifier que le calcul que tu proposes a des chances d être correct. Cned, Mathématiques 6e,

21 c Séquence 4 Exercice 44 Le nombre de places en première classe est : 105 x 13 = Le nombre de places dans chaque wagon de seconde classe est : 10 x 6 = 60 Le nombre de places en seconde classe est : 60 x 24 = Le nombre total de places dans le train est : = Le nombre de places libres est : = Exercice 45 C est la première étiquette qui indique la somme en euros qu ont dû payer les Holidays en quittant le camping. Justification : Pour le camping, tout se passe comme si les Holidays étaient restés du 17 juillet à 12 h au 29 juillet à 12 h. Le nombre de nuitées qui vont être facturées aux Holidays est soit 12. Seul, l enfant de 8 ans a bénéficié d un tarif réduit. La dépense par nuitée en euros pour le séjour des cinq personnes a donc été : 2,50 + (4,80 x 4) = 2, ,20 = 21,70 La somme totale en euros que devait par nuitée la famille Holidays au camping était : 21,70 + 1,90 + 2,30 + 0,61 = 26,51 La somme totale en euros qu a dû payer la famille Holidays en partant est : 26,51 x 12 = 318,12 Pour répondre à la question posée, on commence par calculer le nombre total de places dans le train. On calcule donc le nombre total de places en première classe, puis en seconde. Combien de nuitées vont être facturées à la famille? ou (29 17) + 1? Réfléchissons. Le 18 juillet à 12 h, les Holidays doivent 1 nuitée, soit nuitée. Pour déterminer le nombre de nuitées qui vont être facturées à la famille, on calcule donc (On ne l obtient pas par une autre méthode) 122 Cned, mathématiques 6e, 2008

22 Séquence 4 c Séance 7 Exercice 46 Comme il y a un arbre à chaque extrémité de l avenue, le nombre d intervalles entre deux arbres consécutifs est égal au nombre d arbres moins 1. Le nombre d intervalles est donc : = 104 La longueur en m de l avenue est : 5,10 x 104 = 530,4 Le chiffre des centaines du résultat obtenu est 5. La lettre de l alphabet associée à 5 est E. J écris donc E dans la 9ème case du «nom secret». [] [R] [C] [H][I][M][E][D][E] Il apparaît alors le nom d un très grand savant grec (peut-être le plus grand de l ntiquité). rchimède était à la fois un mathématicien, un physicien, un ingénieur et un philosophe. Il vécut de 287 à 212 avant Jésus Christ. Il est l inventeur de la roue dentée, de la poulie, du levier, de la vis sans fin Grâce à des machines qu il avait fait construire pour lancer au loin des pierres, il tint en échec pendant trois ans les Romains qui assiégeaient sa ville (Syracuse). Il a, par ailleurs, pris conscience en prenant son bain, de la poussée de l eau sur tout corps plongé dedans. Il était si joyeux, paraît-il, d avoir fait cette découverte, qu il serait sorti de son bain et aurait traversé sa ville en criant : «Euréka!» (J ai trouvé) La longueur en m de l avenue s obtient en multipliant 5,10 (la distance en m séparant deux arbres consécutifs) par le nombre d intervalles. Combien y a-t-il d intervalles? Il fallait se souvenir que si l on place des points sur une ligne (non fermée), en plaçant un point à chaque extrémité, le nombre d intervalles est égal au nombre de points moins 1. 5 points 4 intervalles Exercice 47 Le prix du tapis en euros est : 357,10 x 0, = 224, L arrondi au centième de ce prix est 225. On fait une multiplication. C est l opération que tu aurais faite si le tapis avait coûté 2 ou 3 dinars. Le chiffre des millièmes du prix est 7. Par suite l arrondi au centième du prix est 224,99 + 0,01 soit 225. Il était inutile, pour traiter l exercice, de savoir que Pierre-Yves était allé en Tunisie pour ses 30 ans. Connaître la longueur du tapis ne servait pas non plus. Cned, Mathématiques 6e,

23 c Séquence 4 Exercice 48 Énoncé Florine achète 2,100 kg de pommes à 1,6 le kilo. Elle paie avec un billet de 5 euros. Combien lui rend-on? Solution La somme en euros qu on rend à Florine est : 5 (1,6 x 2,100) = 5 3,36 = 1,64 Exercice 49 1) Le montant total en euros des achats de Léopoldine est : 20 5,18 = 14, g = 0,350 kg Le prix en euros de la limande est : 9,8 x 0,35 = 3, g = 0,290 kg Le prix en euros des crevettes roses est : 21 x 0,29 = 6,09 Le prix total en euros des deux soupes de poisson est : 2,34 x 2 = 4,68 Le prix en euros de la mayonnaise est : 14,82 (3,43 + 6,09 + 4,68) = 14,82 14,2 = 0,62 Ce n est pas, bien sûr, le seul énoncé qui convienne. ttention! Lorsqu on te demande d écrire un énoncé, il ne faut pas oublier d écrire la question. Le prix des pommes s obtient en multipliant le prix d un kilo par le nombre de kilos achetés. Le prix de la limande s obtient en multipliant le prix d un kilo par le nombre de kilos achetés. (9,8 x 0,35) + (21 x 0,29) + (2,34 x 2) représente le prix total en euros de la limande, des crevettes roses et des deux soupes de poisson. On pouvait donc calculer directement le prix en euros de la mayonnaise en retranchant (9,8 x 0,35) + (21 x 0,29) + (2,34 x 2) à 14,82 c est-à-dire en effectuant : 14,82 ((9,8 x 0,35) + (21 x 0,29) + (2,34 x 2)) ce qu on note généralement : 14,82 [(9,8 x 0,35) + (21 x 0,29) + (2,34 x 2)] (On utilise un crochet, car à l intérieur de la grande parenthèse, il y a des parenthèses) Pour effectuer une expression contenant un crochet, on commence par effectuer les parenthèses à l intérieur du crochet. insi, le prix en euros de la mayonnaise est : 14,82 [(9,8 x 0,35) + (21 x 0,29) + (2,34 x 2)] soit 14,82 (3,43 + 6,09 + 4,68) 2) On ne peut calculer le prix des deux tranches de saumon vu qu on ne connaît pas leur «poids». Le prix du saumon s obtient en multipliant le prix d un kilo par le nombre de kilos achetés. Cette question était un piège! 124 Cned, mathématiques 6e, 2008

24 Séquence 4 c Exercice 50 a) L heure d arrrivée de Monsieur Durand à elleface est : 7 h 50 min + 13 h 25 min = 20 h 75 min = 21 h 15 min b) Si Monsieur Durand n avait pas eu de panne, son heure d arrivée à elleface aurait été : 20 h 75 min 21 h 15 min 2 h 25 min = 18 h 50 min 21 h 15 min - 2 h 25 min 18 h 50 min c) La somme en euros qu a dépensée Monsieur Durand pour faire le voyage est : (1,18 x 64,5) = ,11 = 316,11 Exercice 51 1) Le nombre de piquets utilisés pour la clôture de la propriété (268) est égal au nombre d intervalles séparant deux piquets consécutifs. La longueur en m de fil métallique utilisé par Monsieur Champêtre pour sa clôture est : 1,3 x 268 x 2 = 696,8 20 h 75 min = 20 h + 60 min + 15 min donc 20 h 75 min = 21 h 15 min Si Monsieur Durand n avait pas eu une panne de voiture, il serait arrivé 2 h 25 min plus tôt. Le prix total en euros de l essence utilisée s obtient en multipliant le prix d un litre par le nombre de litres achetés. 1) La longueur en m de fil nécessaire pour faire une fois le tour de la propriété s obtient en multipliant 1,3 (la distance en m séparant deux piquets consécutifs) par le nombre d intervalles. Combien y a-t-il d intervalles? Il fallait se souvenir que si l on place des points sur une ligne fermée, il y a autant de points que d intervalles. 9 points 9 intervalles «x 2» car il y a deux rangées de fil autour de la propriété. 2) Le prix total en euros du fil utilisé est : 1,96 x 696,8 = 1 365,728 L arrondi au centième de ce prix est 1 365,73 2) Le chiffre des millièmes de 1 365,728 est 8. Par suite, l arrondi au centième de 1 365,728 est 1 365,73. Cned, Mathématiques 6e,

25 c Séquence 4 Exercice 52 Lorsque tu tapes dans la cellule 1 : Prix d un mètre de tissu en euros : puis appuies sur la touche Entrée. tu obtiens : Séance 8 Lorsque tu tapes dans la cellule 3 : Prix total en euros : puis appuies sur la touche Entrée. tu obtiens : Tu remarques qu une partie du texte que tu viens de taper déborde dans les colonnes et C. fin qu il n en soit plus ainsi, place le pointeur de la souris sur le trait de séparation des colonnes et, dans la partie grisée. Lorsqu il apparaît : double-clique. La largeur de la colonne s ajuste au plus long texte qui y est tapé. Exercice 53 2) Le prix en euros du tissu est : 4 x 2 = 8 3) c est-à-dire de multiplier le nombre qui est dans la cellule 1 par celui qui se trouve dans la cellule 2. b) Je remarque qu il s affiche 52,5 dans la cellule 3 (soit le prix des 5,25 m de tissu à 10 le mètre). C est là qu un tableur a son avantage. Quand on tape un nouveau prix en 1 et une nouvelle longueur en 2, le prix est recalculé automatiquement. 126 Cned, mathématiques 6e, 2008

26 Séquence 4 c Exercice 54 1) Remarque : Pour travailler sur une feuille vierge, clique sur cette icône 2) a) On obtient le total à payer en ajoutant au prix des kilomètres parcourus le prix de la location. Le prix des kilomètres parcourus s obtient en multipliant le prix d un kilomètre par le nombre de kilomètres parcourus. b) 6 = 3 * c) Pour faire calculer par le tableur le total à payer : On met le curseur sur la cellule 6. On tape sur la touche = du clavier. On clique alors sur la cellule 3. On tape sur le symbole multiplié du clavier : *. On clique sur la cellule 4. On tape sur le signe +. On clique sur la cellule 1 et enfin on tape sur la touche Entrée. Il s affiche 34 dans la cellule 6. 3) Distance parcourue (en km) Total à payer (en ) ) D après le tableau du 3-, le nombre de kilomètres cherché est compris entre 400 et 500. D après le tableur, le total à payer correspondant à une distance de 450 km est 210. Le nombre de kilomètres cherché est compris entre 400 et 450. D après le tableur, le total à payer correspondant à une distance de 425 km est 200. insi, le nombre de kilomètres que ne devront pas dépasser Monsieur et Madame Saroume est 425 km. On peut procéder de différentes façons. La suivante est rapide. Plaçons 200 dans le tableau du 3- : distance parcourue (en km) total à payer (en ) «À mi-chemin» entre 400 et 500 se trouve 450. Comparons le nombre de kilomètres cherché à 450. On a : distance parcourue (en km) total à payer (en ) «À mi-chemin» entre 400 et 450 se trouve 425. Comparons le nombre de kilomètres cherché à 425. Cned, Mathématiques 6e,

27 c Séquence 4 Séance 9 Exercice 55 Le prix en euros des 19 gommes est : 0,97 x 19 Or lorsqu on multiplie un nombre par un autre plus petit que 1, le résultat est inférieur au nombre initial. Donc : 0,97 x 19 < 19 L instituteur pourra payer avec un billet de 20. Exercice 56 Le prix en euros du câble est : 11,80 x 4,95 Mentalement, on pouvait voir qu il y avait une erreur dans le prix qu annonçait la marchande. En effet : 11,80 < 12 et 4,95 < 5 Par suite, le prix en euros du câble est inférieur à 12 x 5, c està-dire à 60. Exercice m = 1,609 km donc 1 mile = 1,609 km La distance en km qui sépare la maison de Madame Smith de l école est 0,85 x 1,609 soit environ 1,368 km. Exercice 58 Le nombre de packs d eau contenus dans les 24 cartons est : 24 x 12 = 288 Le nombre de litres d eau contenus dans un pack est : 1,5 x 6 = 9 Le nombre total de litres d eau contenus dans les 24 cartons est : 9 x 288 = L d eau pèse 1 kg, donc L d eau pèsent kg. Le chargement de la camionnette ne doit pas dépasser kg. On ne peut donc pas mettre dans la camionnette 24 cartons contenant chacun 12 packs d eau minérale. Le prix du câble s obtient en multipliant le prix d un mètre par le nombre de mètres achetés. On fait une multiplication. C est l opération que tu aurais faite si la distance entre l école et la maison de Madame Smith avait été de 2 ou 3 miles. 1 L d eau pèse 1 kg. Par suite, si nous déterminons le nombre total de litres contenus dans 24 cartons, nous en déduisons le «poids» total de l eau contenue dans ces cartons. Pour déterminer ce nombre de litres, on pouvait également utiliser la méthode suivante : Le nombre de bouteilles contenues dans les 24 cartons est : 24 x 12 x 6 = Le nombre total de litres d eau contenus dans les 24 cartons est : 1,5 x = Cned, mathématiques 6e, 2008

28 Séquence 4 c Exercice Test 1) Pose l équation : 469 x 78. Tu trouves : ) 0,81 x 10 est égal à : 0, ,081 8,1 3) Le double de 0,67 est : 1,24 6,7 0,134 1,34 4) Pose l opération : 19,4 x 50,8. Tu trouves : 752,48 985, ,52 985,55 5) 3,150 kg de saumon coûtent 69,30. Combien coûtent 315 kg de saumon? ,30 6,930 6) 75,248 x 0,1 est égal à : 752,48 7, , ,248 7) 94,21 x 0,001 est égal à : , , , ) 0,8 x 1,25 est égal à : 0, , ) Le produit 295,4 x 32,81 est proche de ) Un seul de ces nombres est égal à 12,6 x 27,3. Mentalement, on voit qu il s agit de : 3 439,8 343,86 343,98 34,98 1) 469 x ) (Pour multiplier un décimal par 10 on déplace sa virgule de 1 rang vers la droite) 3) Le double de 0,67 est 2 x 0,67 4) 19,4 x 50,8 155,2 970.,. fl ttention! Il ne faut pas oublier 985,5,2 de décaler d un rang de plus vers la gauche, vu le zéro de 50,8 5) 315 = 3,15 x 100 Par suite, 315 kg de saumon coûtent 100 fois plus cher que 3,15 kg. Ils coûtent donc en euros 69,30 x 100 soit ) Pour multiplier un décimal par 0,1 on déplace sa virgule de 1 rang vers la gauche. 7) Pour multiplier un décimal par 0,001 on déplace sa virgule de 3 rangs vers la gauche. 0094,21 8) On déduit le résultat de l égalité : 8 x 125 = ) 295,4 est proche de 300, 32,81 est proche de 30, donc 295,4 x 32,81 est proche de 300 x 30 soit de ) Le nombre 12,6 est proche de 10, 27,3 est proche de 30, donc 12,6 x 27,3 est proche de 10 x 30 soit de 300. La bonne réponse est donc : soit 343,86 soit 343,98 Comme : 6 x 3 = 18, le deuxième chiffre après la virgule de 12,6 x 27,3 est 8. La bonne réponse est donc 343,98. Cned, Mathématiques 6e,

29 c Séquence 5 Ce que tu devais faire Je révise les acquis de l école 1) a) oui 2) b) non 3) a) oui SÉQUENCE 5 Séance 1 Les commentaires du professeur 1) Si l on plie le long de la droite (d), les deux poissons se superposent exactement. Ils sont donc symétriques. 2) Il y a un petit détail qui fait que les deux requins ne sont pas symétriques : les yeux! (le requin du dessous n a pas d oeil). 3) Voici en rouge le seul axe de symétrie de notre petite fourmi : 4) b) non 4) On aura beau plier la feuille dans tous les sens, jamais deux parties du trombone ne coïncideront exactement. 130 Cned, mathématiques 6e, 2008

30 Séquence 5 c Exercice 1 cas 1 Expliquons en détail «la technique du calque» dans le cas 1 : On pose une feuille de papier calque sur la figure. On reproduit par transparence les deux poissons et la droite bleue. Les deux tracés se superposent exactement. cas 2 On plie ensuite la feuille le long de la droite bleue. On regarde ensuite si les deux poissons se superposent exactement. Les deux tracés ne se se superposent pas exactement. cas 3 Dans le cas 1, les deux poissons se superposent. Dans le cas 2, les deux figures ne se superposent pas exactement. Dans le cas 3, les deux figures se superposent. Les deux tracés se superposent exactement. Dans les cas 1 et 3, les figures se superposent exactement lorsqu on plie le long de la droite bleue. Dans le cas 2, les deux figures ne se superposent pas exactement. Dans le cas 1, on dit que les deux poissons sont symétriques par rapport à la droite bleue. On dit aussi que le poisson «de gauche» est le symétrique du poisson «de droite». Cned, Mathématiques 6e,

31 c Séquence 5 Exercice 2 (d) Cette méthode nous permet d obtenir le symétrique du bateau à l aide d un papier calque. Le bateau obtenu est en quelque sorte le reflet dans un miroir du premier bateau, le miroir se situant le long de la droite (d). Exercice 3 Jade, Méline et Jules ont tous les trois raison. Exercice 4 a) non b) oui c) non d) non En effet, tu as vu dans le corrigé de l exercice 1 que ces trois phrases avaient la même signification. a) c) d) (d) (d) (d) Les figures ne sont pas symétriques à cause d un «coin» de la figure. Grâce à la modification représentée en rouge, les deux figures sont symétriques. Les figures ne sont pas symétriques : la figure du dessous est trop grande. Grâce à la modification représentée en rouge, les deux figures sont symétriques. Les figures ne sont pas symétriques : sur la figure du dessous le texte n est pas représenté. Grâce à la modification représentée en rouge, les deux figures sont symétriques. 132 Cned, mathématiques 6e, 2008

32 Séquence 5 c Exercice 5 a) b) a) Pour construire le symétrique de la figure, on utilise le quadrillage. On commence par «repérer» un point. Il suffit alors de compter et de reporter le même nombre de carreaux de l autre côté de la droite. On fait de même pour un deuxième point. Il suffit alors de relier les deux points obtenus pour obtenir «le début» de la figure symétrique. (d 2 ) (d 1 ) On continue ainsi pour chaque petit segment. On obtient alors le contour de la figure. Il ne reste plus alors qu à la colorier. c) d) (d 3 ) (d 4 ) b) On applique la même méthode que celle utilisée dans le a), mais cette fois l axe n est pas vertical mais horizontal. c) On utilise également le quadrillage. On compte cette fois le nombre de diagonales de carreaux. (d 3 ) e) f) (d 5 ) d) On applique la même méthode que dans le c). e) f) On applique toujours la même méthode. La difficulté nouvelle dans ces deux derniers cas provient du fait que la figure et son symétrique «se mélangent». Pour plus de lisibilité, on n a pas colorié le symétrique (d 6 ) Cned, Mathématiques 6e,

33 c Séquence 5 Exercice 6 (d ) Le symétrique de la figure se superpose exactement à elle-même. On dit dans ce cas que la droite (d) est un axe de symétrie de la figure. Exercice 7 Jules a raison, Jade et Méline ont tort. On voit bien que cette figure n est pas symétrique par rapport à la droite (d). Par conséquent, la droite (d) n est pas un axe de symétrie de cette figure. (d) 134 Cned, mathématiques 6e, 2008

34 Séquence 5 c Séance 2 Ce que tu devais faire Les commentaires du professeur Exercice 8 (d) ' Tu viens dans cet exercice de découvrir ce qu est le symétrique d un point par rapport à une droite. C C' ' Ici, par exemple, est le symétrique du point par rapport à la droite (d) : c est le point qui se superpose à par pliage de la feuille le long de la droite (d). Il en est de même pour qui est le symétrique de par rapport à la droite (d) et de C qui est le symétrique de C par rapport à la droite (d). Exercice 9 1) (d) ' Pour construire le symétrique d un point à l aide d un quadrillage, il suffit de «compter les carreaux» : C ' C' (d) 5 carreaux 5 carreaux ' D D' C ' C' E E' D D' 2) Le symétrique E du point E par rapport à la droite (d) est E. De façon générale, chaque point situé sur la droite (d) est son propre symétrique. Exercice 10 1) D G' ' F' ' E (d) C C ' E' F G D' E E' On dit qu un point est son propre symétrique lorsque ce point et son symétrique sont D confondus (c est-à-dire qu ils sont «exactement au même endroit»). G' Ici, pour construire le symétrique d un point à l aide d un quadrillage, il suffit de «compter les diagonales de carreaux» : 1,5 fois la diagonale 1,5 fois la diagonale ' F' ' E C C ' E' F (d) G D' 2) Le symétrique du point D est G. Le symétrique du point G est D. Cned, Mathématiques 6e,

35 c Séquence 5 Exercice 11 1) Le segment [ ] et la droite (d) semblent perpendiculaires. Le segment [ ] et la droite (d) semblent également perpendiculaires. 2) D après la figure, il semble que : E = E et que F = F. a) (d) ' On place l équerre de la façon suivante pour tester si les droites ( ) et (d) semblent perpendiculaires. 3) La droite (d) semble être la médiatrice des segments [ ] et [ ]. ' On fait de même pour ( ) et (d). ' (d) ' On vérifie avec le compas que E et E semblent égales de la façon suivante. On fait de même pour F et F. Exercice 12 On applique la méthode vue précédemment. On utilise l équerre et le compas. Pour construire le point : (d) On trace la droite perpendiculaire à la droite (d) passant par. On prend le compas et on reporte la distance I à partir du point I comme cidessous. C (d) I C 136 Cned, mathématiques 6e, 2008

36 Séquence 5 c Exercice 13 (d 2 ) ' (d 1 ) ' On utilise à nouveau la méthode vue précédemment. Il fallait faire attention à bien lire la consigne : est le symétrique de par rapport à la droite (d 1 ). Il faut donc tracer la perpendiculaire à la droite (d 1 ) passant par puis prendre son compas. Il fallait ensuite construire, le symétrique du point par rapport à la droite (d 2 ). Exercice 14 C' K J I C J = J I = I CK = KC ' On applique à nouveau la même méthode C' pour obtenir les points, et C. Pourquoi n a-t-on pas codé sur la figure les I égalités de longueurs? H la réponse est simple, étudions un exemple J ci-contre. On a voulu coder l égalité des deux longueurs J et J. ' Quelqu un qui regarde la figure va certainement dire : d après la figure on a HJ = J. Ce qui ici est faux. En fait, comme le segment [J] est coupé par au moins un autre segment, on ne peut pas coder l égalité de longueur J = J. De fait, on ne peut coder aucune des trois égalités de longueur sur la figure. C ' ' Par contre, on peut toujours écrire sous la figure les trois égalités. Cned, Mathématiques 6e,

37 c Séquence 5 Séance 3 Ce que tu devais faire Exercice 15 1) 2) 3) Les points,, C et D semblent alignés. (d) ( ) ' (d') D' C' ' I C Les commentaires du professeur On applique la méthode de construction du symétrique d un point vue dans la séance précédente. On remarque ensuite que les symétriques des points de la droite (d) semblent alignés, c està-dire semblent être sur une même droite. Ce résultat est en fait toujours vrai. On admettra que le symétrique de la droite (d) est la droite (d ). D Exercice 16 ( ) ' Pour construire le symétrique d une droite, il suffit de tracer les symétriques de ses deux points : ici, on a tracé les symétriques et de et de. La droite symétrique de la droite () est ( ). (d') ( ) ' (d) On peut te demander de tracer le symétrique d une droite «quelconque» : pour cela, tu dois choisir deux points de cette droite et construire leurs symétriques. ttention! Il ne faut pas choisir les deux points aux extrémités du trait qui représente (d). Une droite est illimitée. 138 Cned, mathématiques 6e, 2008

38 Séquence 5 c Exercice 17 1) (d) ( ) (d') 2) (d) On applique dans les 3 cas la méthode décrite dans l exercice précédent. 1) 2) Ce cas est particulier car les droites (d) et (D) sont perpendiculaires : dans ce cas, la droite (d) et son symétrique sont confondus. On dit que la droite (d) est son propre symétrique. 3) (d') 3) Ce cas est lui aussi particulier car les droites (d) et (D) sont parallèles. Dans ce cas, la droite (d ) semble parallèle à la droite (d). (d) ( ) (d') Exercice 18 ( ) (d) (d') (Δ) Nous savons que chacun des points de la droite (D) est son propre symétrique par rapport à la droite (D). Donc le symétrique de par rapport à (D) est lui-même. Il ne nous suffit donc plus que de connaître un point de la droite (d) et son symétrique pour pouvoir tracer la droite (d ). Cned, Mathématiques 6e,

39 c Séquence 5 Exercice 19 1) C D E N F G G' ' F' K E' D' ' 1) On construit à l aide de l équerre et du compas les points,, C, D, E, F et G. On trace ensuite la droite ( ). Cette droite passe par les points, C, D, E, F et G. On le savait car les point, C, D, E, F et G sont sur la droite (d) et le symétrique d une droite est une droite. 2) C [] C [ ] D [] D [ ] E [] E [ ] F [] F [ ] G [] G [ ] 3) Si un point M est sur le segment [], alors son symétrique M semble être sur le segment [ ]. 4) Le point N semble être sur le segment []. Exercice 20 1) ' ' C 2) Il semble que : = CD = C D EF = E F. C' D E D' E' C' F' F ( ) 2) On remarque que parmi C, D, E, F et G, tous les point qui sont sur le segment [] ont pour symétrique un point du segment [ ]. De plus, les points qui ne sont pas sur [] ont pour symétrique un point qui n est pas sur [ ]. 3) Il fallait écrire que ce que nous avons constaté ci-dessus pour les points, D, E, F semblait vrai pour tout point du segment []. 4) Nous remarquons qu inversement, le symétrique de tout point du segment [ ] semble être sur le segment []. 1) Nous venons de voir que le symétrique d un segment est un segment. Pour construire le symétrique de chacun des trois segments, il suffit de commencer par construire le symétrique de chacune de ses extrémités. 2) On remarque que les longueurs d un segment et de son symétrique semblent être égales. Par la suite, nous admettrons que ceci est toujours vrai : un segment et son symétrique ont toujours la même longueur. 140 Cned, mathématiques 6e, 2008

40 Séquence 5 c Exercice 21 Méline et Jules ont raison ; Jade a tort. En mathématiques, si une propriété est dite vraie (par exemple :«deux segments de même longueur sont symétriques»), cela veut dire qu elle est toujours vraie. Ici, lorsqu on dit que cette propriété est fausse, on veut dire qu elle n est pas toujours vraie. Pour le démontrer, il suffit alors de trouver un exemple pour lequel la propriété n est pas vérifiée (on appelle cela un contre-exemple). Voici un contre-exemple : D [] et [CD] sont deux segments de même longueur. Supposons qu ils soient symétriques par rapport à une droite (D). Nous cherchons où peut se trouver cette droite. C Le symétrique du point est nécessairement une extrémité du segment [CD]. Il y a donc deux possibilités : D ou C. Si le symétrique du point était le point D : ( ) D La droite (D) est nécessairement la médiatrice du segment [D]. On voit bien alors que le point C n est pas le symétrique du point. Le symétrique du point n est donc pas le point D. C Si le symétrique du point était le point C : C D ( ) La droite (D) est nécessairement la médiatrice du segment [C]. On voit bien alors que le point D n est pas le symétrique du point. Le symétrique du point n est donc pas le point D. Conclusion : les deux cas envisagés mènent à quelque chose d impossible. Les segments [] et [CD] ne peuvent donc pas être symétriques par rapport à une droite. Cned, Mathématiques 6e,

41 c Séquence 5 Exercice 22 1) 2) ( ) I ' 1) On applique la méthode vue dans l exercice 20 pour tracer le symétrique du segment []. 2) On construit le point I, symétrique du point I à l aide de l équerre et du compas. I' ' 3) a) On sait que : I [] D après la propriété : Le symétrique du segment [] est le segment [ ]. On conclut : I [ ] b) Le symétrique du segment [I] est [ I ], donc : I = I. Le symétrique du segment [I] est [I ], donc : I = I. Or I est le milieu de [] donc : I = I. On a : I = I, I = I et I = I donc I = I. Comme I [ ] et que I = I, le point I est le milieu de [ ]. 3) a) On sait que le symétrique de tout point du segment [] est sur le segment [ ]. Comme I est sur [], le point I est donc sur le segment [ ]. b) Nous utilisons dans cette question la propriété suivante : «un segment et son symétrique ont la même longueur». 142 Cned, mathématiques 6e, 2008

42 Séquence 5 c Ce que tu devais faire Exercice 23 ' Séance 4 Les commentaires du professeur On ne peut pas construire le point car il «sort du petit bout de papier». ' (d) On voit que l on peut construire le symétrique du point. On peut donc construire le segment [ ], qui est en fait le symétrique du segment [] que l on ne peut pas construire. Comme ces deux segments ont la même longueur, il suffit donc de mesurer le segment [ ] pour trouver la mesure de []. On construit le symétrique de par rapport à (d). Le segment [] a pour symétrique par rapport à (d) le segment [ ]. Ce deux segments ont donc même longueur. On mesure le segment [ ]. [ ] mesure environ 4 cm donc [] mesure environ 4 cm. Exercice 24 ( ) ' E' D' ( ) D E C C' ' F' F M' L K ( ) K' L' E' M N O P Q U T S R U' T' S' N' O' P' R' Q' Cned, Mathématiques 6e,

43 c Séquence 5 Exercice 24 (suite) ( ) Z' X X' Z Y Y' Exercice 25 y' y x' ( ) x ' ' Le symétrique d une demi-droite est une demi-droite. x y y' x' t t' s' ' C C s Le symétrique d un angle est un angle de même mesure. 144 Cned, mathématiques 6e, 2008

44 Séquence 5 c Exercice 26 1) 1) 4) C D C O E F On construit successivement les six points,, C, D, E et F. On n a pas mis tous les codages la figure pour ne pas nuire à la lisiblité. 2) Les six points construits semblent tous être sur un même cercle. E' D' F' O' C' ' C ' 3) On utilise la propriété selon laquelle un segment et son symétrique ont la même longueur. 4) On trace le cercle de centre O qui passe par : il semble passer par, C, D, E et F. 5) 2) Les points,, C, D, E et F semblent appartenir à un même cercle. 3) O = O car les segments [O] et [O ] sont symétriques. 5) Conjecture : le symétrique du cercle C est le cercle C de centre O et de même rayon. Il semble donc que le symétrique d un cercle soit un cercle de même rayon. Nous allons admettre par la suite que ce résultat est toujours vrai, c est-à-dire que le symétrique d un cercle par rapport à une droite est toujours un cercle de même rayon. Cned, Mathématiques 6e,

45 c Séquence 5 Exercice 27 a) b) c) d) ( ) Les remarques du professeur : Il fallait reconnaître dans les cas a), b) et d) des demi-cercles. On a appliqué une propriété qui paraît naturelle : le symétrique d un demi-cercle est un demi-cercle. 146 Cned, mathématiques 6e, 2008

46 Séquence 5 c Ce que tu devais faire Exercice 28 Séance 5 Les commentaires du professeur Exercice 29 Nous venons donc de voir qu un : - carré possède 4 axes de symétrie - rectangle possède 2 axes de symétrie - triangle équilatéral possède 3 axes de symétrie. Le cas du disque (le dernier cas) est en fait compliqué : toute droite passant par le centre de ce disque est un axe de symétrie. Il y en a donc une infinité. Toute droite passant par le centre du disque est un axe de symétrie. Cned, Mathématiques 6e,

47 c Séquence 5 Exercice 30 1) 1) 4) (d) 2) Dans la séance 2, nous avons vu que dire que et étaient symétriques par rapport à la droite (d) revenait à dire que (d) était la médiatrice du segment [ ]. ' 2) (d) est la médiatrice de [ ] car est le symétrique du point par rapport à la droite (d). 3) Les axes de symétrie du segment [ ] sont la droite (d) et la droite ( ). Exercice 31 1) (d) I 2) C est lui-même car il est sur la droite (d). 3) C est le segment [I] car est le symétrique de et I est son propre symétrique. 4) I = I car le symétrique d un segment est un segment de même longueur. 5) J = J car J est son propre symétrique, d où [J] est le symétrique de [J]. 6) Tu viens de montrer que si M (d) alors : M = M. J 3) Chaque point de l axe de syméytrie est son propre symétrique. Par conséquent, par la symétrie axiale par rapport à la droite ( ), tout point du segment [ ] est son propre symétrique : le symétrique du segment [ ] par rapport à la droite ( ) est le segment [ ] lui-même. La droite ( ) est donc un axe de symétrie pour le segment [ ]. 2) Il fallait se rappeler que tout point de la droite (d) est son propre symétrique par rapport à la droite (d). 3) est le symétrique de I est le symétrique de lui-même Le segment [I] est donc le symétrique du segment [I]. 4) On utilise la propriété selon laquelle un segment et son symétrique ont la même longueur. 5) On effectue le même raisonnement que dans le 3) avec le point J : est le symétrique de J est le symétrique de lui-même Le segment [J] est donc le symétrique du segment [J]. Comme ces segments sont symétriques, ils ont donc même longueur. 6) On pourrait effectuer le même raisonnement que celui utilisé pour I et J avec tout point M de la médiatrice du segment []. On a donc toujours : M = M. 148 Cned, mathématiques 6e, 2008

48 Séquence 5 c Exercice 32 M 1) À vue d oeil, il semble que la droite (MN) soit la médiatrice du segment []. On utilise l équerre, et cette observation semble se confirmer. Toutefois, en l absence de démonstration, on ne peut pas en être certain. 1) La droite (MN) semble être la médiatrice du segment []. 2) Le point O semble être sur la droite (MN). 3) Conjecture : Si un point K est tel que K = K, alors K est sur la médiatrice du segment []. Exercice 33 Jules et Méline ont raison. Jade a tort. Si trois points K, et R sont tels que K = KR, on sait d après la propriété précédente que le point K peut être n importe quel point de la médiatrice de [R]. Jade a donc tort et Jules a raison. Méline a raison car cela veut aussi dire que le triangle KR est isocèle en K (par définition). Exercice 34 O N (d') 2) Pour construire le point O, on utilise le compas : on trace un arc de cercle de centre, puis avec le même écartement de compas un autre arc de cercle de centre. Ces deux arcs de cercles se coupent en O. Ce point semble être sur la droite (MN). 3) Ce qui semble être vrai pour le point O semble être vrai pour n importe quel point M situé à la même distance de et de (on dit aussi équidistant de et de ). En fait, on va admettre que ce résultat est toujours vrai, c est-à-dire que tout point M équidistant de et de est sur la médiatrice du segment []. Voici une figure afin de visualiser l énoncé de l exercice «trois points K, et R sont tels que K = KR». D K (d'') R C (d) E F Les remarques du professeur : Il suffit d appliquer la méthode expliquée précédemment. N oublie pas, une fois chaque construction réalisée, de nommer la médiatrice et de coder la figure. N oublie pas également que tu devras à partir de maintenant ne plus utiliser que cette méthode pour construire la médiatrice d un segment : c est la plus fiable et la plus précise. Cned, Mathématiques 6e,

49 c Séquence 5 Exercice 35 1) 2) 1) 2) On utilise la construction de la médiatrice au compas vue précédemment. I (d) C (d') 3) a) On sait que : la droite (d) est la médiatrice du segment []. Comme le point I est sur (d), on a : I = I. b) On sait que : la droite (d ) est la médiatrice du segment [C]. Comme le point I est sur (d ), on a : I = IC. c) Le cercle de centre I passant par semble passer également par et C. Comme I = I = IC (d après les questions a) et b)), les points, et C sont sur le cercle de centre I et de rayon I, c est-àdire le cercle de centre I passant par. 3) a) Tout point de la médiatrice du segment [] est équidistant de et de. I est sur cette médiatrice donc : I = I. b) I est également sur la médiatrice du segment [C], d où par un même raisonnement : I = IC. c) Comme I = I et I = IC, on a : I = I = IC. Les trois points, et C sont donc à la même distance du point I, c est-à-dire sur un même cercle de centre I, qui passe donc par, et C. 150 Cned, mathématiques 6e, 2008

50 Séquence 5 c Ce que tu devais faire Exercice 36 Séance 6 X 2 Les commentaires du professeur E 1) X 1 L ensemble des points équidistants de E et de F est la médiatrice du segment [EF]. 2) F 1) X est équidistant de E et de F donc X se trouve sur la médiatrice du segment [EF]. 2) X est à 2,5 cm de donc X se trouve sur le cercle de centre et de rayon 2,5 cm. 3) Il y a deux solutions au problème : X 1 et X 2. Ce sont les deux points d intersection de la médiatrice du segment [EF] et du cercle de centre et de rayon 2,5 cm. Exercice 37 L ensemble des points situés à 2,5 cm du point est le cercle de centre et de rayon 2,5 cm. 3) Les points qui sont à la fois équidistants de E et de F et situés à 2,5 cm de sont donc les points d intersection de la droite et du cercle tracés précédemment. M K L I C Cned, Mathématiques 6e,

51 c Séquence 5 1) K et L sont situés sur le même cercle de centre I donc on a : IK = IL. 2) Le triangle KLM est isocèle en M donc MK = ML. 3) Comme les longueurs IK et IL sont égales, le point I est donc sur la médiatrice du segment [KL]. Comme les longueurs MK et ML sont égales, le point M est donc sur la médiatrice du segment [KL]. La droite (IM) est donc la médiatrice du segment [KL]. Exercice 38 1) 2) 1) On utilise dans cette première question la définition du cercle de centre I. C est l ensemble de tous les points situés à une même distance de I. Comme K et L sont deux points de ce cercle, on a donc IK = IL. 2) On utilise ici la définition d un triangle isocèle en M. 3) On applique la propriété caractéristique de la médiatrice vue dans la séance précédente. Comme les points I et M sont sur la médiatrice du segment [KL], la droite (IM) est donc nécessairement cette médiatrice. Code-le sur la figure du corrigé ci-contre. Remarque : Pour prouver qu une droite (IM) est la médiatrice d un segment [KL], il suffit de prouver que I et M sont deux points de cette médiatrice, c est-à-dire que I et M sont équidistants de K et de L. I C J D 1) 2) 3) Par définition, la médiatrice d un segment est la droite qui le coupe perpendiculairement en son milieu. Si l on construit la médiatrice d un segment, on construit alors automatiquement le milieu de ce segment : c est le point d intersection de ce segment et de sa médiatrice. Ceci constitue donc une méthode géométrique permettant de construire le milieu de n importe quel segment. Dorénavant, tu devras toujours utiliser cette méthode lorsqu on te demandera de construire le milieu d un segment. 3) Pour construire le milieu J du segment [CD] à l aide du compas : On trace la médiatrice du segment [CD] à l aide du compas. Cette médiatrice coupe le segment [CD] en J. 152 Cned, mathématiques 6e, 2008

52 Séquence 5 c Exercice 39 1) 2) E 1) 2) I J On applique la méthode vue précédemment pour construire le milieu du segment [EF], puis le milieu du segment [EG]. 3) F G 3) La droite (IJ) semble parallèle à la droite (FG). Exercice 40 1) E C ' C 2) et doivent être symétriques par rapport à la droite (d). (d) est donc la médiatrice du segment [ ]. 3) E est donc sur la médiatrice du segment [ ]. On a donc E = E. Trace le cercle C de centre E et de rayon E. On a : C. 4) F est sur la médiatrice du segment [ ]. On a donc F = F. Trace le cercle C de centre F et de rayon F. On a : C. 5) Comme C et C, est le deuxième point d intersection de C et C. F (d) En fait, la droite (IJ) est parallèle à la droite (FG), et cela est vrai pour n importe quel triangle! (tu apprendras cela en 4e). 1) Nous avons placé «au hasard» les points E et F sur la droite (d). 2) Nous avons déjà vu plusieurs fois (c est un résultat que tu dois connaître) que : «et symétriques par rapport à la droite (d)» revient à dire que «la droite (d) est la médiatrice du segment [ ]». 3) 4) Nous savons également que tout point de la médiatrice du segment [ ] est équidistant de et de. Comme E et F sont sur cette médiatrice, on doit avoir : E = E et F = F. Comme E = E, le point est donc sur le cercle de centre E et de rayon E. On trace donc ce cercle. Comme F = F, le point est donc sur le cercle de centre F et de rayon F. On trace donc ce deuxième cercle. Le point est donc le deuxième point d intersection des deux cercles tracés. Ceci constitue donc une méthode pour tracer le symétrique d un point uniquement au compas, car pour construire le point, nous n avons utilisé que le compas (et même pas la règle non graduée!). Cned, Mathématiques 6e,

53 c Séquence 5 Exercice 41 1) 1) On utilise la méthode précédente pour construire dans un premier temps le point. E (d 2 ) (d 2 ) D C (d 1 ) On construit ensuite de la même façon les points C, D et E. (d 1 ) 2) Jade semble avoir raison. Méline semble avoir tort. Jules a tort. Il ignore qu on peut toujours tracer le symétrique d un point par rapport à une droite. Exercice 42 1) a) D après les codages de la figure, la droite (d) est perpendiculaire au segment [C] et passe par son milieu, c est donc sa médiatrice. Comme I est sur cette médiatrice, on a donc : I = IC. b) D après les codages de la figure, la droite (d ) est perpendiculaire au segment [C] et passe par son milieu, c est donc sa médiatrice. Comme I est également sur cette médiatrice, on a donc : I = IC. c) D après le 1- a) et le 1- b) on a : I = IC et I = IC. On a donc : I = I. 2) J est sur la médiatrice du segment [D] donc J = JD. J est également sur la médiatrice du segment [D] donc J = JD. Comme J = JD et J = JD, on a : J = J. 3) Comme I = I, I est sur la médiatrice du segment []. Comme J = J, J est sur la médiatrice du segment []. Les points I et J sont donc tous les deux sur la médiatrice du segment [], la droite (IJ) est donc la médiatrice du segment []. La droite (IJ) est perpendiculaire à []. 2) Les points et E semblent effectivement confondus. En fait, c est difficile à démontrer, mais on pourrait démontrer qu ils le sont effectivement. (d) C J I D (d') Dans ce type d exercice, pense à écrire des phrases courtes et précises. 154 Cned, mathématiques 6e, 2008

54 Séquence 5 c Séance 7 Ce que tu devais faire Les commentaires du professeur Exercice 43 F D G 0 axe C 1 axe H K J M E I 1 axe 0 axe 3 axes L N O Exercice 44 (d) Le triangle C est isoclèle en, on code donc sur la figure l égalité de longueurs = C. 1) La droite (d) semble passer exactement par le point. Pour en être sûr, nous allons le démontrer dans la réponse suivante. 2) I C 3) On utilise la propriété suivante : si un point est équidistant de deux points et C, alors il est sur la médiatrice du segment [C]. 4) Comme (d) est la médiatrice du segment [C], le point a pour symétrique le point C. 1) Elle semble passer par le point. 2) = C car le triangle C est isocèle en. 3) Comme = C, le point est sur la médiatrice du segment [C] donc sur la droite (d). 4) Le symétrique de par rapport à la droite (d) est C. Le symétrique de par rapport à la droite (d) est lui-même. Le symétrique de I par rapport à la droite (d) est lui-même. Le symétrique de l angle I est donc l angle CI. Comme un angle et son symétrique ont la même mesure, on a : I = CI. Par suite, (d) est la bissectrice de C. 5) De même, le symétrique de l angle C est l angle C. Comme un angle et son symétrique ont la même mesure, on a : C = C. On sait que tout point de (d) est son propre symétrique par rapport à la droite (d). C est donc le cas pour le point et le point I. Connaissant les symétriques respectifs des points, et I, nous connaissons donc l angle symétrique de l angle I. 5) On effectue le même raisonnement que dans la question précédente. Nous venons donc de démontrer dans cet exercice que dans un triangle isocèle, la médiatrice d un des côtés est axe de symétrie du triangle. Cned, Mathématiques 6e,

55 c Séquence 5 Exercice Pour tracer la figure, on commence par tracer un cercle C de centre O et de rayon 4 cm puis on place un point «au hasard» sur ce cercle. On utilise ensuite le rapporteur pour placer un point tel que O = cm C O 4 cm 40 C O 1) et sont deux points du cercle C de centre O, donc O = O. Comme O = O, le triangle O est isocèle en O. 2) Comme le triangle O est isocèle en O, on a : O = O. Comme O = 40, on a : O = 40. Exercice 46 1) 52 5,2 cm C Méline a raison, Jade et Jules ont tort. 2) 52 (d) C 1) On applique ici la définition du triangle isocèle. 2) On applique la propriété vue précédemment : si un triangle est isocèle, alors ses angles à la base sont égaux. Comme on connaît la mesure d un angle à la base, on va ainsi connaître la mesure de l autre. 1) 2) La construction n est pas immédiate : dans un premier temps, on peut commencer par tracer le côté [C] de 5,2 cm. On sait ensuite que le point est nécessairement sur la médiatrice du segment [C]. Traçons donc (d) la médiatrice du segment [C]. Nous savons que le point est tel que : C = 52. On prend donc un rapporteur et on trace une demi-droite [x) telle que : Cx = 52. Le point est le point d intersection de la droite (d) et de la demi-droite [x). 52 (d) (d) x C C 156 Cned, mathématiques 6e, 2008

56 Séquence 5 c Exercice 47 On n avait «pas le droit» de tracer le sommet puis de tracer la bissectrice. Il fallait donc réfléchir et penser à la propriété suivante : dans un triangle C isocèle en, la bissectrice de l angle C est aussi la médiatrice du côté [C]. (d) C On trace donc à l aide d un compas la médiatrice du côté [C], on obtient alors la droite recherchée. Exercice 48 1) y F x 1) Nous avons déja vu dans la séquence 3 comment construire cette figure. Il suffit de tracer un segment [DE] de 4,6 cm, puis, à l aide du rapporteur et de la règle, de tracer deux demi-droites [Dx) et [Ey) telles que les angles xde et yed mesurent D 4,6 cm E 2) Jules semble avoir raison. Méline et Jade ont tort. Exercice 49 Le point est sur le segment [C], on a donc : C = = 40 Je calcule EC : C = E + EC 180 = EC EC = = 40 Les deux angles ECet CE ont la même mesure : 40. Le triangle EC possède donc deux angles égaux, il est donc isocèle en E. 2) Il semble, en regardant la figure, que le triangle FDE est isocèle en F. En fait, nous allons par la suite admettre que lorsqu un triangle possède deux angles de même mesure, alors ce triangle est isocèle. Nous devons démontrer que le triangle EC est isocèle. Nous connaissons deux méthodes pour démontrer qu un triangle est isocèle : soit on démontre que deux de ses côtés ont même longueur. soit on démontre que deux de ses angles ont même mesure (d après la propriété que nous avons vue précédemment). Ici, nous n avons aucune information concernant les longueurs, nous allons donc utiliser la deuxième méthode. Pour cela, on peut utiliser la donnée : «est sur le segment [C]» pour déterminer l angle C puis en déduire l angle EC =. 40 On trouve alors : EC = 40 soit EC = EC Le triangle EC est donc isocèle en E. E C N oublie pas que pour rédiger ce type de démonstration, il faut faire des phrases claires et courtes! Cned, Mathématiques 6e,

57 c Séquence 5 Ce que tu devais faire Exercice 50 x Séance 8 Les commentaires du professeur 1) 2) On applique bien la consigne : on reproduit l angle par transparence puis on plie le papier calque de telle sorte que les deux demi-droites [Ox) et [Oy) coïncident exactement. On déplie le calque et on trace le «trait de pliage». y O 1) 2) 3) Le «trait de pliage» passe par le point O et partage l angle xoy en deux angles de même mesure. Ce «trait de pliage» représente donc la bissectrice de l angle xoy. Exercice 51 1) x 3) Ce trait de pliage, qui est en fait l axe de symétrie de cet angle, semble être sa bissectrice. Par la suite, nous admettrons le résultat que nous avons remarqué par l expérience, à savoir qu un angle a un seul axe de symétrie : sa bissectrice. Notons bien que nous appelons bissectrice une droite et non une demi-droite comme on l a vu dans la séquence 3. 1) On place un point «au hasard» sur la demi-droite [Ox). On prend ensuite la longueur O comme écartement de compas et on trace un arc de cercle de centre O qui coupe la demi-droite [Oy) en. On a ainsi O = O. x O y 2) On a O = O, le triangle O est donc isocèle en O. 3) La médiatrice du côté [] du triangle O isocèle en O est également la bissectrice de l angle O Exercice 52 t x O 2) 3) On applique la propriété vue dans la séance précédente : «dans un triangle isocèle, la médiatrice de la base est la bissectrice de l angle au sommet». Nous venons de découvrir une méthode permettant de tracer la bissectrice d un angle sans utiliser de rapporteur! D y E y Les remarques du professeur : On applique la méthode vue précédemment. s C 158 Cned, mathématiques 6e, 2008

58 Séquence 5 c Exercice 53 1) 2) G (d 2 ) (d 3 ) E 3) Les trois bissectrices semblent être concourantes. Les remarques du professeur : (d 1 ) F On a appliqué la méthode vue précédemment pour tracer chacune des trois bissectrices. Tu reverras en classe de quatrième que les trois bissectrices d un triangle sont toujours concourantes (On rappelle que des droites concourantes sont des droites qui se coupent en un même point). Cned, Mathématiques 6e,

59 c Séquence 5 Ce que tu devais faire Exercice 54 1) 2) 1 2 Séance 9 Les commentaires du professeur 3 C C C 1) Le triangle C est équilatéral donc il est isocèle en. Par suite : C = C. Trace sur la figure 1 l axe de symétrie passant par en rouge. On sait que cette droite est aussi la bissectrice de l angle C. 2) Le triangle C est équilatéral donc il est isocèle en. Par suite : C = C. Trace sur la figure 2 l axe de symétrie passant par en rouge. On sait que cette droite est aussi la bissectrice de l angle C. 3) Le triangle C est équilatéral donc il est isocèle en C. Trace sur la figure 3 l axe de symétrie passant par C en rouge. On sait que cette droite est aussi la bissectrice de l angle C. 4) D après le 1) et le 2), on a : C = C et C = C. Par conséquent : C = C = C. Les angles C, C et C du triangle équilatéral ont même mesure. Comme les trois bissectrices tracées ci-dessus partagent en deux angles égaux chacun des trois angles. Les six angles codés dans les figures 1, 2 et 3 ont tous la même mesure. 5) C 160 Cned, mathématiques 6e, 2008

60 Séquence 5 c Exercice 55 1) 2) 3) M 2) On trace à l aide d un compas et d une règle la médiatrice du segment [EF]. 3) Le point M doit être à la fois sur la droite (d) et vérifier l égalité EM = EF. Vérifier l égalité EM = EF signifie être à une distance EF du point E, c est-à-dire être sur le cercle de centre E et de rayon EF. On trace ce cercle. Le point M doit être à la fois sur la droite (d) et sur ce cercle, c est donc un des deux points d intersection (on a le choix!) du cercle et de la droite (d). E O F 4) On veut démontrer que les trois angles d un triangle ont la même mesure. On pense alors à utiliser la propriété : «si un triangle est équilatéral, alors ses trois angles ont la même mesure». (d) EM = EF Nous essayons donc de démontrer que le triangle EFM est équilatéral. Nous pourrons ensuite en déduire que ses trois angles ont la même mesure. 4) Le point M est sur la médiatrice du segment [EF] donc on a : ME = MF. Le point M est tel que EM = EF. On a donc : ME = EF = MF. Le triangle EMF est donc équilatéral. Les trois angles d un triangle équilatéral ont même mesure. On a donc : MEF = MFE = EMF Pour cela, étudions les longueurs de ses côtés : On a : ME = MF car le point M est sur la médiatrice du segment [EF]. On sait que EM = EF. On a donc ME = MF = EF. Le triangle EMF est donc équilatéral et ses trois angles ont donc la même mesure. Cned, Mathématiques 6e,

61 c Séquence 5 Exercice Je m évalue 1) Les deux figures ci-dessous semblent-elles symétriques par rapport à la droite (d)? (d) 1) Effectivement, les deux symboles euros semblent symétriques par rapport à la droite (d). Si tu n as pas bien répondu, reporte-toi à l exercice 1 de la séance 1 et à son corrigé pour reprendre la notion que tu n as pas comprise. oui non 2) Les deux figures ci-dessous sont-elles symétriques par rapport à la droite (d)? (d) 2) On voit bien que si on devait plier cette feuille le long de la droite (d), les deux symboles ne coïncideraient pas. Si tu n as pas bien répondu, reporte-toi à l exercice 1 de la séance 1 et à son corrigé. oui non 3) Dire que est le symétrique de par rapport à la droite (d) revient à dire que : et sont symétriques par rapport à la droite (d) (d) est la médiatrice du segment [ ] et sont sur la droite (d) est le symétrique de par rapport à la droite (d) 4) Le symétrique d un angle est : un angle un triangle un angle de mesure différente un angle de même mesure 5) Combien la figure ci-dessous a-t-elle d axes de symétrie? aucun 3) Seule la troisième réponse est fausse. Nous avons le symétrique d un point dans la séance 2 (en particulier dans le «Je retiens»). Si tu n as pas bien répondu, révise cette séance. 4) Le symétrique d un angle est un angle. On sait de plus que c est un angle de même mesure. Ce n est pas un triangle car les deux côtés d un angle sont des demi-droites (et non des segments). Si tu n as pas bien répondu, reporte-toi à la deuxième question de l exercice 25 de la séance 4 et au «Je retiens» qui suit. 5) La figure possède 6 axes de symétrie. Il fallait faire attention à ne pas en oublier et à ne pas compter plusieurs fois le même. Si tu ne comprends pas bien cette réponse, reporte-toi au début de la séance 5, en particulier aux exercices 28 et 29 ainsi qu à leurs corrigés ) Le point M est sur la médiatrice du segment [KL], on a donc : KM = KL KM = ML MK = ML LM = KL 6 6) Les deux égalités KM = ML et MK = ML sont en fait les mêmes puisque la longueur KM est la longueur MK. Les deux autres propositions sont fausses : KM et LM peuvent être beaucoup plus grandes que KL si l on choisit un point M sur la médiatrice du segment [KL] très très loin de K et de L. 162 Cned, mathématiques 6e, 2008

62 Séquence 5 c 7) On a LH = LR. Le point L est donc : sur le segment [HR] sur le cercle de centre H passant par R sur le cercle de centre R passant par H sur la médiatrice du segment [HR] 8) L axe de symétrie d un triangle FJI isocèle en F est : la bissectrice de l angle FIJ la bissectrice de l angle FJI la médiatrice du segment [IJ] la bissectrice de l angle IFJ 9) Le triangle HER possède deux angles égaux. Ce triangle est donc : rectangle en H rectangle isocèle équilatéral isocèle 10) Un angle admet un axe de symétrie qui est : parallèle à un de ses côtés perpendiculaire à un de ses côtés sa bissectrice confondu avec un de ses côtés 7) Si tu n as pas bien compris cette question, reporte-toi à l exercice 32 de la séance 5 ainsi qu au «Je retiens» qui suit. Une seule des quatre propositions est juste. Si tu n as pas bien répondu, révise le «Je retiens» qui suit l exercice 31. 8) Il ne fallait pas oublier la troisième proposition car dans un triangle isocèle, la bissectrice de l angle du sommet principal est également la médiatrice de la base. Si tu n as pas bien compris cette question, reporte-toi à l exercice 44 de la séance 7 ainsi qu à son corrigé et au «Je retiens» qui le suit. 9) C est une propriété que l on a admise et qu il faut connaître. Si tu rencontres des difficultés sur cette question, reporte-toi aux exercices 48 et 49, à leurs corrigés, et au «Je retiens» qui se trouve entre ces deux exercices. 10) Cette notion a été abordée dans l exercice 50 de la séance 8 et dans le «Je retiens» qui suit. Cned, Mathématiques 6e,

63 c Séquence 6 Ce que tu devais faire Je révise les acquis de l école 1) d) 2) b) 3) b) 4) b) 52 euros Exercice 1 a) Réponse : 7 albums b) Réponse : 7 fois SÉQUENCE 6 Séance 1 Les commentaires du professeur 1) Hugo veut partager équitablement ses 25 billes en quatre. Il effectue donc la division de 25 par 4. Il trouve : 25 = 4 x utrement dit : Hugo peut donner 6 billes à chacun de ses 4 amis et il lui en restera une. 2) Comme on l a vu dans la question précédente, il ne reste qu une seule bille à Hugo après son partage. 3) Les multiples de 5 sont les nombres qui s écrivent : 5 x 0 ; 5 x 1 ; 5 x 2 ; 5 x 3 ; 5 x 4 ;... (c est en fait «la table de 5»). Tous ces nombres se terminent soit par un 0, soit par un est le seul nombre de la liste à se terminer par un 0 ou un 5, c est donc le seul multiple de 5 présent parmi les propositions. 4) Cette question était un piège, il ne fallait pas faire de division! Le nouveau prix du baril de pétrole s obtient en effectuant : (50 + 5) - 3. On trouve 52 soit 52 euros. a) Il suffit de connaître la table de multiplication par 7. On a : 7 x 8 = 56. On peut également écrire : 7 = 56 : 8 Exercice 2 1) Les 11 premiers multiples de 7 sont : 7 x 0 ; 7 x 1 ; 7 x 2 ; 7 x 3 ; 7 x 4 ; 7 x 5 ; 7 x 6 ; 7 x 7 ; 7 x 8 ; 7 x 9 ; 7 x 10 soit 0 ; 7 ; 14 ; 21 ; 28 ; 35 ; 42 ; 49 ; 56 ; 63 ; 70. 2) 60 = (7 x 1) = (7 x 2) = (7 x 3) = (7 x 4) = (7 x 5) = (7 x 6) = (7 x 7) = ( 7 x 8 ) = (7 x 9) +... impossible! 60 = (7 x 10) +... impossible! 3) Réponse : 8 bouquets a) Il suffit encore de connaître la table de multiplication par 7. On a : 7 x 9 = 63. On peut également écrire : 7 = 63 : 9 2) Nous cherchons dans cette question à «approcher sans dépasser» le nombre 60 par un multiple de 7. Le multiple de 7 le plus proche de 60 et qui ne dépasse pas 60 est 7 x 8 soit 56. u delà de 7 x 8, c est-à-dire pour les multiples de 7 qui s écrivent 7 x 9 ; 7 x 10 ;...; les nombres obtenus sont plus grands que 60. On ne peut donc, en leur ajoutant un nombre, obtenir 60. Tu ne pouvais donc pas remplir les deux dernières lignes. 3) S il confectionne 8 bouquets, il ne restera que 4 roses. Il ne pourra plus alors confectionner de bouquet. La réponse est donc 8. C est le nombre que l on trouve dans l égalité : 60 = (7 x 8) + 4 Il fallait donc entourer cette égalité. 164 Cned, mathématiques 6e, 2008

64 Séquence 6 c Exercice 3 a) Combien va-t-il y avoir de groupes? 9 groupes 39 = (4 x 9) + 3 b) Combien de douzaines d huîtres peut constituer un pêcheur ayant pêché 90 huîtres? (une douzaine, c est douze huîtres) 7 douzaines d huîtres 90 = (7 x 12) + 6 c) Une entreprise fabrique des bougies. Elle les vend par paquets de 17. ujourd hui, elle en a produit 664. Combien peut-elle vendre de paquets de bougies? Utilise ta calculatrice! 39 paquets 664 = (17 x 39) + 1 Exercice 4 a) dividende = (diviseur x quotient euclidien) + reste où le reste est plus petit que le diviseur. b) 39 = (5 x 7) + 4 Son dividende est 39. c) Une division euclidienne a pour dividende 71, pour diviseur 9 et pour quotient euclidien 7. Complète : 71 = (9 x 7) + 8 Son reste est 8. Exercice 5 Le reste d une division euclidienne est un entier toujours plus petit que son diviseur. Comme le diviseur de la division euclidienne est 4, son reste est 0, 1, 2 ou 3. Exercice 6 1) Quel est le reste de la division euclidienne de 375 par 21? 18 2) a) 18 est-il le reste de la division euclidienne de 375 par 17? Non car 18 est plus grand que 17. b) On cherche le plus grand multiple de 17 «qui ne dépasse pas» 375. On trouve : 17 x 22 = 374. La division euclidienne de 375 par 17 se traduit donc par l égalité : 375 = (17 x 22) + 1 Le reste de cette division est 1. a) On cherche le plus grand multiple de 4 «qui ne dépasse pas 39». On cherche donc dans la table de 4 : 4 x 8 = 32 4 x 9 = 36 4 x 10 = est le plus grand multiple cherché. On a : 39 = (4 x 9) + 3. Il y aura donc 9 groupes de 4 enfants et il en restera 3. b) On cherche le plus grand multiple de 12 «qui ne dépasse pas 90». On cherche donc dans la table de 12 : 12 x 6 = x 7 = x 8 = est le plus grand multiple cherché. On a : 90 = (12 x 7) + 6. c) On cherche le plus grand multiple de 17 «qui ne dépasse pas 664» à l aide d une calculatrice. 17 x 38 = x 39 = x 40 = 680 On a : 664 = (17 x 39) + 1. a) Il suffisait de bien lire le «Je retiens» précédent pour trouver la réponse. b) On commence par remplir les pointillés par les nombres connus. On obtient :... = (5 x 7)+ 4. puis on fait : (5 x 7) + 4 = 39. c) On commence également par remplir les pointillés par les nombres connus. On obtient : 71 = (9 x 7) +... Le nombre qu il faut ajouter à 9 x 7 (c est-à-dire à 63) pour obtenir 71 est 8. Le reste est donc 8. Il faut absolument retenir que dans une division euclidienne, le reste est toujours plus petit que le diviseur. 1) L égalité : 375 = (21 x 17) + 18 traduit la division euclidienne de 375 par 21 car : 18 < 21 (le reste est inférieur au diviseur). 2) a) Comme 21 x 17 = 17 x 21, on peut donc écrire : 375 = (17 x 21) On se pose la question suivante : «cette égalité traduit-elle la division euclidienne de 375 par 17?» La réponse est NON car la reste d une division euclidienne doit être plus petit que le diviseur, ce qui n est pas le cas ici (18 n est pas plus petit que 17). b) On cherche à approcher 375 par un multiple de 17 «sans le dépasser». On sait que (17 x 21) + 18 = 375. On pense donc à calculer 17 x x 22 = x 23 = 391. Le plus grand multiple cherché est 374. On a : 375 = (17 x 22) + 1 Le reste de la division euclidienne de 375 par 17 est donc 1. Cned, Mathématiques 6e,

65 c Séquence 6 Exercice 7 a) Combien de costumes pourra-t-elle coudre? 32 Écris l égalité te permettant d obtenir ta réponse : 98 = (3 x 32) + 2 b) 9 8 Ludivine trouve 32 costumes Il restera alors 2 m de tissu a) On cherche les multiples de 3 «qui ne dépassent pas 98». On finit par trouver : 3 x 32 = 96 3 x 33 = 99 b) On pose la division. On se dit : c) La méthode qui consiste à poser la division euclidienne est la plus rapide et la plus efficace. «En 9, combien de fois 3?» 3 fois. 3 x 3 = 9, j écris 9 et j effectue 9-9. Je trouve 0. J abaisse le 8. «En 8, combien de fois 3?» 2 fois. 3 x 2 = 6, j écris 6 et j effectue 8-6. Je trouve 2. J arrête la division. Cette méthode est détaillée en début de la séance suivante. c) Dorénavant, tu devras poser les divisions euclidiennes plutôt que de chercher «les multiples de... qui ne dépassent pas...» : c est une bien meilleure méthode. 166 Cned, mathématiques 6e, 2008

66 Séquence 6 c Ce que tu devais faire Exercice 8 Séance 2 Les commentaires du professeur Les remarques du professeur : Il suffisait d appliquer la méthode vue précédemment. Exercice (31 x 23) + 13 = 726 (45 x 20) + 37 = x 309 = (19 x 162) + 17 = Les remarques du professeur : Il suffisait à nouveau d appliquer la méthode vue précédemment. Cette méthode est une méthode détaillée : on écrit les soustractions successives. Il va falloir progressivement apprendre dans ce chapitre à se passer de ces soustractions intermédiaires. Voici ci-dessous la dernière division posée et effectuée sans les soustractions successives : Cned, Mathématiques 6e,

67 c Séquence 6 Exercice 10 Pour effectuer une division euclidienne sans écrire les soustractions successives, on se dit : «dans 133, combien de fois 16?» 8 fois On calcule de tête (ou sur un cahier de brouillon) 8 fois 16. On trouve 128. On n écrit pas 128. On effectue On trouve (de tête ou sur un cahier de brouillon) 5. On écrit 5 sous le chiffre des unités de 133. On abaisse le 5. «dans 55, combien de fois 16?» 3 fois. On calcule 3 fois 16, on trouve 48. On effectue On trouve 7. On écrit 7 sous le chiffre des unités de 55. La division euclidienne est alors terminée. Exercice 11 1) (18 x 418) + 3 = (17 x 22) + 11 = 385 (29 x 276) + 11 = ) opération de Ludivine opération de Pauline opération de Léonie faux Les remarques du professeur : Comme (18 x 218) + 3 n est pas égal à (mais à 7 527), on sait que la division de Ludivine est fausse. Comme (17 x 22) + 11 n est pas égal à (mais à 385), on sait que la division de Pauline est également fausse. Comme (29 x 276) + 11 est égal à 8 015, on peut affirmer que le résultat de la division de Léonie a des chances d être juste. On vérifie quand même qu elle ne s est pas trompée dans les étapes intermédiaires. 168 Cned, mathématiques 6e, 2008

68 Séquence 6 c Exercice 12 a) a) On commence par chercher à remplir la première case bleue ci-dessous x 7 = 42. On cherche donc le chiffre tel que : = 4 Le nombre 4 est donc 46. Le chiffre est donc J abaisse le 9. La deuxième case bleue est donc un «En 49, combien de fois 7?» 7 fois = 0. Nous savons donc comment remplir les deux dernières cases. b) b) On commence par chercher à remplir les deux premières cases bleues ci-dessous On cherche, parmi les nombres 14 ; 24 ; 34 ; 44 ; 54 ; 64 ; 74 ; 74 et 94 ceux qui, lorsqu on leur enlève un multiple de 8, donnent pour résultat 4. Les multiples de 8 possibles sont 8 ; 16 ; 24 ; 32 ; 40 ; 48 ; 56 ; 64 et 72. On cherche donc un nombre de la liste du haut, on lui soustrait un nombre de la liste du bas, et l on doit obtenir 4. Il n y a qu une possibilité : le nombre de la liste du haut est 44 et celui de la liste du bas est 40 (c est 8 x 5) La suite est alors plus facile : on abaisse le 7. Dans 47, combien de fois 5? 9 fois. Il reste donc 2. Cned, Mathématiques 6e,

69 c Séquence 6 Ce que tu devais faire Exercice 13 On effectue la division euclidienne de 124 par Il y aura 17 équipes de 7 élèves et 5 remplaçants. Séance 3 Les commentaires du professeur On commence par écrire ce que l on fait : «on effectue la division euclidienne de 124 par 7». On pose et on effectue la division euclidienne. On vérifie la division euclidienne au brouillon : pour cela, on calcule (7 x 17) + 5 et on vérifie que l on trouve 124. On écrit une phrase de conclusion. ttention! Comme le reste de la division euclidienne de 124 par 7 n est pas 0, on ne peut pas écrire : 124 : 7 = 17 Exercice 14 On effectue la division euclidienne de par M. Ketch va faire 45 trajets pour transporter toutes les tomates. Lors de son dernier trajet, il va transporter 3 kg de tomates. Tu apprendras à bien utiliser ce symbole lors de la séquence «division décimale». On commence par écrire ce que l on fait : «on effectue la division euclidienne de par 28». On pose et on effectue la division euclidienne. On vérifie la division euclidienne au brouillon : pour cela, on calcule (28 x 44) + 3 et on vérifie que l on trouve On trouve pour quotient euclidien 44 et pour reste 3. Qu est-ce que cela veut-il dire? Quand M. Ketch a effectué 44 trajets, il lui reste 3 kg de tomates à transporter : il est donc obligé de faire un 45e trajet pour les trois derniers kilos. Il faut donc faire attention, car la réponse, c est-à-dire le nombre de trajets de M. Ketch, n est pas 44, mais 45. Exercice 15 On effectue la division euclidienne de par L entreprise peut constituer 763 packs d eau. Il ne restera aucune bouteille. Il ne reste plus qu à écrire les phrases de conclusion. On rédige ce type de problème toujours de la même façon : on écrit ce que l on fait, on pose l opération et on écrit la conclusion. N oublie pas de vérifier la division euclidienne au brouillon! 170 Cned, mathématiques 6e, 2008

70 Séquence 6 c Exercice 16 On effectue la division euclidienne de 922 par Louis devra acheter 12 CD audio vierges afin de graver tous ses morceaux de musique. Sur son dernier CD, il n y aura que 53 minutes de musique enregistrée. Exercice 17 Une semaine est constituée de 7 jours. Nous sommes un mercredi, donc dans 7 jours, dans 14 jours, dans 21 jours,..., nous serons encore un mercredi. Tous les multiples de 7 jours seront donc des mercredis. On pense à effectuer la division euclidienne de par 7 : On a donc : = (7 x 142) + 6 u bout de 7 x 142 jours, nous serons encore un mercredi. u bout de : (7 x 142) + 1 jours, nous serons un jeudi. (7 x 142) + 2 jours, nous serons un vendredi. (7 x 142) + 3 jours, nous serons un samedi. (7 x 142) + 4 jours, nous serons un dimanche. (7 x 142) + 5 jours, nous serons un lundi. (7 x 142) + 6 jours, nous serons un mardi. Si aujourd hui, nous sommes un mercredi, alors dans jours nous serons un mardi. Il faut faire attention et ne pas oublier que dans ce cas, la réponse n est pas 11 mais 12 car Louis aura besoin d un 12e CD, même si ce CD ne contient que 53 minutes de musique. On pense à expliquer le plus clairement possible son raisonnement. On pose et on effectue la division euclidienne de par 7. N oublie pas de vérifier la division euclidienne au brouillon! Ce qui nous intéresse, c est en fait le reste de la division euclidienne de par 7, soit 6. On finit par écrire une phrase de conclusion. Il existe bien d autres exercices de ce genre, comme par exemple le suivant : «Il est 13 h, quelle heure sera-t-il dans heures?» Pour trouver la réponse, on effectue la division euclidienne de par 24 (car il y a 24 h dans une journée). Cned, Mathématiques 6e,

71 c Séquence 6 Ce que tu devais faire Exercice 18 1) Séance 4 Les commentaires du professeur 1) On effectue la division euclidienne de 564 par 12. On trouve : 564 = (12 x 47) + 0. Le reste de la division euclidienne de 564 par 12 est 0. 2) 94 x 6 = et 6 sont deux diviseurs de ) a) b) Le diviseur de cette division euclidienne est 23. c) 23 n est pas un diviseur de 564 car le reste de la division euclidienne de 564 par 23 n est pas égal à 0 (il est égal à 12). Exercice 19 1) ) a) 102 est un multiple de 6. b) 31 est un diviseur de 713. c) 6 est un diviseur de 396 et 102. d) 66 est un diviseur de 396. e) 713 est un multiple de 23 et Le reste de cette division euclidienne est 0, autrement dit : 564 = 12 x 47. Cette égalité signifie que 564 est un multiple de 12 (elle signifie également que 564 est un multiple de 47). On dit également 564 est divisible par 12 ou encore 12 est un diviseur de ) c) Il faut bien faire la différence entre «être un diviseur d un nombre» et «être le diviseur d une division euclidienne». 1) On effectue les trois divisions euclidiennes demandées. 2) a) On sait d après le 1) que : 102 = 17 x est donc un multiple de 6. b) On sait d après le 1) que : 713 = 31 x est donc un multiple de 31. utrement dit : 31 est un diviseur de 713. c) On sait d après le 1) que : 396 = 6 x 66 et que : 102 = 6 x et 102 sont donc des multiples de 6. utrement dit : 6 est un diviseur de 396 et de 102. d) On sait d après le 1) que : 396 = 6 x est donc un multiple de 66. utrement dit : 66 est un diviseur de 396. e) On sait d après le 1) que : 713 = 31 x est donc un multiple de 23 et de Cned, mathématiques 6e, 2008

72 Séquence 6 c Corrigé 20 1) On sait que 12 = 6 x 2 et 54 = 6 x 9 donc 12 et 54 sont des multiples de 6. Comme = 6 x 1 111, est un multiple de Comme 45 = (6 x 7) + 3, 45 n est pas un multiple de 6. Comme 61 = (6 x 10) + 1, 61 n est pas un multiple de 6. 2) On sait que 56 = 7 x 8 donc 56 est divisible par Comme 56 = (9 x 6) + 2, 56 n est pas divisible par 9. On a : 56 = 2 x 28 donc 56 est divisible par est plus petit que 112, il ne peut donc pas être divisible par ) Comme 57 = (7 x 8) + 1, 7 n est pas un diviseur de 57. On sait que 63 = 7 x 9 donc 7 est un diviseur de Comme 707 = (7 x 101) + 1, 7 est un diviseur de 707. Comme 73 = (7 x 10) + 3, 7 n est pas un diviseur de 73. Comme 140 = 7 x 20, 7 est un diviseur de ) Pour voir si est un multiple de 6, on peut bien sûr effectuer la division euclidienne de par 6 : Cependant, ce n est pas la meilleure méthode. On peut voir immédiatement qu un entier qui s écrit uniquement avec des 6 est un multiple de 6 : = 6 x De même, il faut voir immédiatement que : 555 = 5 x = 3 x = 9 x ) Un nombre ne peut pas être divisible par un nombre plus grand que lui. 56 ne peut donc pas être divisible par 112. Par contre 112 est divisible par 56 car 112 = 56 x 2. 3) Remarque générale : Dans ce type d exercice (lorsqu il faut essayer de trouver si un nombre est un diviseur d un autre ou si un nombre «est divisible par un autre» ou encore si un nombre est un multiple d un autre) : on cherche d abord à utiliser les tables de multiplications. ensuite, si l on n a pas pu répondre à l aide des tables, on pose une division euclidienne (on est alors sûr de trouver la réponse). Il faut apprendre à voir sans faire de division, que : 707 = 7 x 101 De même, il faut voir sans faire de division que : = 6 x = 7 x Cned, Mathématiques 6e,

73 c Séquence 6 Corrigé 21 1) a) 12 x 0 = 0 12 x 1 = x 2 = x 3 = x 4 = x 5 = x 6 = x 7 = x 8 = x 9 = x 10 = 120 Les onze premiers multiples de 12 sont donc : 0 ; 12 ; 24 ; 36 ; 48 ; 60 ; 72 ; 84 ; 96 ; 108 ; 120. b) Il suffit d ajouter 12 : = 12 ; = 24 ; = 36 ; = 48 ; On compte de 17 en 17 en partant de 0 : 0, 17, 34, 51, 68, 85, 102, 119, 136, 153, 170, 187. Les multiples de 17 compris entre 101 et 174 sont 102, 119, 136, 153 et 170. Exercice 22 1) 0, 6, 12, 18, 24, 30, 36, 42, 48, 54, 60, 66, 72, 78, 84. 2) 0, 15, 30, 45, 60, 75, 90, 105, 120, ) C est le plus petit des nombres présents dans les deux listes (sans prendre en compte 0) : c est donc est le plus petit multiple commun à 6 et 15 différent de 0. 1) a) Les multiples de 12 sont les nombres de la forme : 12 x 0 ; 12 x 1 ; 12 x 2 ; 12 x 3 ;... Il ne faut jamais oublier 0 : c est bien un multiple de 12 car : 12 x 0 = 0. b) c) On utilise la remarque faite précédemment : pour passer d un multiple de 17 au suivant, il suffit d ajouter 17. On commence par 0, car 0 est un multiple de 17. On ajoute 17, puis encore 17,... pour obtenir les multiples successifs de 17. On peut s arrêter à 187 car on recherche les multiples compris entre 101 et 174. Il ne reste plus qu à repérer les multiples compris entre 101 et 174 parmi ceux écrits. 1) 2) 3- On dit qu un entier est multiple commun à 6 et 15 lorsque c est à la fois un multiple de 6 et un multiple de Cned, mathématiques 6e, 2008

74 Séquence 6 c Ce que tu devais faire Exercice 23 1) 970 se termine par un est donc divisible par 2. Il ne lui restera pas de chocolat. 2) 970 se termine par un est donc divisible par 5. Il ne lui restera pas de chocolat. Séance 5 Exercice ; 144 ; 120 ; ; et sont divisibles par ; 120 ; et sont divisibles par 5. Exercice 25 Voici les 6 entiers de trois chiffres que l on peut former avec les chiffres 4, 9 et 8 : 498 ; 489 ; 894 ; 849 ; 948 ; 984 Parmi ces nombres, seuls 498 ; 894 ; 948 et 984 sont divisibles par 2. Exercice 26 Les entiers de 3 chiffres sont dans l ordre décroissant : 999, 998, 997, 996, 995,... Un entier est divisible par 5 s il se termine par 0 ou par 5. Le plus grand entier de 3 chiffres divisible par 5 est donc 995. Exercice 27 Le nombre 31 est divisible par 2 et par 5, il se termine donc par 0. Ce nombre s écrit donc 310, et le symbole peut être remplacé par n importe quel chiffre 1, 2,..., 9. Il y a donc 9 valeurs possibles : ; ; ; ; ; ; ; ; Les commentaires du professeur On pouvait répondre aux deux questions en effectuant des divisions euclidiennes. Il est plus rapide toutefois d'utiliser les règles vues au CM2 permettant de reconnaître les multiples de 2 et les multiples de 5. On applique les règles vues précédemment : un nombre est divisible par 2 s il se termine par 0, 2, 4, 6 ou 8. un nombre est divisible par 5 s il se termine par un 0 ou par un 5. On cherche dans un permier temps tous les nombres de trois chiffres que l on peut former avec 4, 9 et 8. On cherche ensuite parmi ces nombres ceux qui se terminent par un 0, un 2, un 4, un 6 ou un 8. On commence dans un premier temps par repérer les entiers de trois chiffres les plus grands. Ensuite, on cherche parmi ces entiers ceux qui sont divisibles par 5, c est-à-dire ceux qui se terminent par un 0 ou un 5. On commence par rappeler que pair signifie «divisible par 2». Lorsqu on cherche des entiers à la fois divisibles par 2 et par 5, on commence : - par chercher ceux qui sont divisibles par 5. - on cherche ensuite parmi les nombres trouvés ceux qui sont de plus divisibles par est divisible par 5, donc 31 ne peut se terminer que par un 0 ou un 5. Comme 31 est pair, il ne peut se terminer par un 5. Il se termine donc par un 0. (On pouvait également faire la recherche dans l ordre inverse). Cned, Mathématiques 6e,

75 c Séquence 6 Exercice 28 1) Peut-on partager 100 bonbons, 600 bonbons, bonbons en quatre parts égales? Ces trois divisions ont pour reste 0. On peut donc partager en quatre parts égales 100 bonbons, 600 bonbons et bonbons. 2) a) maury partage alors le paquet de 600 bonbons en quatre parts égales. Combien met-il de bonbons dans chaque part? 150 maury partage ensuite le paquet de 36 bonbons en quatre parts égales. Combien met-il de bonbons de plus dans chaque part? 9 maury peut-il partager en quatre parts égales les 636 bonbons? Oui, il fera quatre parts de 159 bonbons. b) = = 4 x 325 ; 48 = 4 x bonbons se partagent donc en 4 parts égales de soit 337 bonbons. 618 = = 4 x n est pas divisible par 4. On n arrive pas à partager 618 bonbons en quatre parts égales. c) Un entier est divisible par 4 si le nombre formé par ses deux derniers chiffres est divisible par 4. 1) Il n est pas nécessaire de faire une division pour voir qu on peut partager 600 bonbons et bonbons en 4 parts égales : on peut le déduire de l égalité : 100 = 4 x 25 En effet : 600 = 100 x 6 donc : 600 = (4 x 25) x 6 = 4 x (25 x 6) = 100 x 13 donc : = (4 x 25) x 13 = 4 x (25 x 13) Cette méthode met en évidence que tout multiple de 100 est un multiple de 4. 2) a) On a vu dans le 1- que 600 = 4 x 150. On sait que 36 = 4 x = 159. Chaque part est donc constituée de 159 bonbons. b) L idée d maury est de décomposer en 1300 (on sait que c est un multiple de 4) plus 48 (on sait également que c est un multiple de 4). On place alors 325 bonbons dans chaque part puis on ajoute dans chaque part 12 bonbons. Il y a donc 337 bonbons dans chaque part : est donc divisible par 4. On essaie de faire pareil avec 618 ; 600 est bien un multiple de 4, mais 18 ne l est pas. Il n est donc pas possible de partager 618 bonbons en 4 parts égales. c) On va dorénavant admettre cette règle : «un entier est divisible par 4 si le nombre formé par ses deux chiffres est divisible par 4». 176 Cned, mathématiques 6e, 2008

76 Séquence 6 c Exercice 29 1) 34 n est pas divisible par 4 donc n est pas divisible par est divisible par 4 donc est divisible par est divisible par 4 donc est divisible par n est pas divisible par 4 donc n est pas divisible par est divisible par 4 donc 756 est divisible par n est pas divisible par 4 donc n est pas divisible par 4. 2) Tous les entiers de la liste qui sont divisibles par 4 sont pairs. Exercice 30 L affirmation est fausse! Donnons un contre-exemple : 6 est divisible par 2 mais n est pas divisible par 4. 1) On applique le critère de divisibilité par 4. 2) De façon générale, tout entier divisible par 4 est pair. En effet, s il est divisible par 4, il s écrit 4 x, où est un entier. Comme 4 = 2 x 2, ce nombre s écrit 2 x 2 x. Ce nombre est bien de la forme 2 multiplié par un entier, il est donc pair. L affirmation est fausse. Par contre, l affirmation suivante est vraie : «Si un entier est divisible par 4, alors il est divisible par 2». Exercice 31 On ne peut pas. 46 n est pas divisible par 4. Par conséquent, ne l est pas non plus. Exercice 32 a) On cherche le chiffre manquant tel que 79 6 soit divisible par 4, c est-à-dire tel que 6 soit divisible par 4. Les seuls nombres de la forme 6 divisibles par 4 sont : 16 ; 36 ; 56 ; 76 ; 96. insi, représente 1 ou 3 ou 5 ou 7 ou 9. b) 4 3 n est jamais divisible par 4 car il n est pas divisible par 2. On ne peut pas trouver de chiffre répondant à la question. Exercice est divisible par 4 et par 5 uniquement si le nombre est divisible par 4 et s il se termine par un 0 ou un 5. S il s écrit 5, il ne peut pas être divisible par 4. S il s écrit 0, il n est divisible par 4 que s il est égal à : 00 ; 20 ; 40 ; 60 ; 80. Le nombres de la forme 17 répondant à la question sont : ; ; ; ; Il suffit d appliquer le critère de divisibilité par 4! a) On applique le critère de divisibilité par 4 au nombre b) On a vu dans l exercice 29 que tout nombre divisible par 4 est nécessairement divisible par 2. Il se termine donc nécessairement par 0, 2, 4, 6 ou 8. Comme le nombre 4 3 ne se termine par aucun de ces chiffres, ce nombre ne peut pas être divisible par 4. On cherche un nombre à la fois divisible par 4 et par 5. On peut commencer à chercher un nombre de la forme 17 divisible par 5. On cherche ensuite parmi les nombres trouvés ceux qui de plus sont divisibles par 4. Cned, Mathématiques 6e,

77 c Séquence 6 Ce que tu devais faire Exercice 34 1) Séance 6 Les commentaires du professeur ; 783 ; et sont divisibles par et 683 ne sont pas divisibles par 3. 2) nombre Est-il divisible par 3? Somme des «chiffres» du nombre La somme des «chiffres» est-elle divisible par 3? 801 oui = 9 oui 532 non = 10 non 783 oui = 18 oui 683 non = 17 non oui = 21 oui oui = 27 oui 3) Un entier est divisible par 3 si la somme de ses chiffres est divisible par 3. Exercice = est divisible par 3 donc est divisible par = 12 On applique le critère de divisibilité par 3 : 12 est divisible par 3 donc est divisible par = est divisible par 3 donc est divisible par = n est pas divisible par 3 donc 541 n est pas divisible par = est divisible par 3 donc est divisible par 3. on calcule la somme des chiffres de chacun des nombres et on regarde si chacune de ces sommes est divisible par Cned, mathématiques 6e, 2008

78 Séquence 6 c Exercice 36 a) Les entiers de la forme 1 1 sont divisibles par 3 quand le nombre soit + 2 est divisible par 3. On applique le critère de divisibilité par 3. Si = 0 alors + 2 = 2 Si = 1 alors + 2 = 3. Or 3 est divisible par 3 Si = 2 alors + 2 = 4 Si = 3 alors + 2 = 5 Si = 4 alors + 2 = 6. Or 6 est divisible par 3 Si = 5 alors + 2 = 7 Si = 6 alors + 2 = 8 Si = 7 alors + 2 = 9. Or 9 est divisible par 3 Si = 8 alors + 2 = 10 Si = 9 alors + 2 = 11 Les entiers cherchés sont donc 111 ; 141 et 171. b) Les entiers de la forme 1 23 divisibles par 2 se terminent par 0, 2, 4, 6 ou 8. Ce sont donc : ; ; ; ; Parmi ces nombres, cherchons ceux qui sont de plus divisibles par 3 : On applique le critère de divisibilité par 2. On applique ensuite le critère de divisibilité par 3 aux nombres trouvés afin de déterminer les entiers à la fois divisibles par 2 et par = 6. 6 est divisible par 3 donc est divisible par = 8. 8 n est pas divisible par 3 donc n est pas divisible par = n est pas divisible par 3 donc n est pas divisible par = est divisible par 3 donc est divisible par = n est pas divisible par 3 donc n est pas divisible par 3. Conclusion : les seuls entiers de la forme 1 23 à la fois divisibles par 2 et par 3 sont et Cned, Mathématiques 6e,

79 c Séquence 6 Exercice 37 Les entiers de la forme 1 sont divisibles par 4 quand le nombre 1 est divisible par 4. Les seuls nombres de la forme 1 divisibles par 4 sont 12 et 16. Les entiers de la forme 1 divisibles par 4 s écrivent 12 ou 16. Cherchons parmi les nombres de la forme 12 ceux qui sont divisibles par 3 : 12 est divisible par 3 si est divisible par 3, c est-àdire si + 3 est divisible par 3. Si = 1 alors + 3 = 4 Si = 2 alors + 3 = 5 Si = 3 alors + 3 = 6. 6 est divisible par 3 Si = 4 alors + 3 = 7 Si = 5 alors + 3 = 8 Si = 6 alors + 3 = 9. 9 est divisible par 3 Si = 7 alors + 3 = 10 Si = 8 alors + 3 = 11 Si = 9 alors + 3 = est divisible par 3 Les entiers de la forme 12 divisibles par 3 sont : 312 ; 612 et 912. Cherchons parmi les nombres de la forme 16 ceux qui sont de plus divisibles par 3 : 16 est divisible par 3 si est divisible par 3, c est-àdire si + 7 est divisible par 3. Si = 1 alors + 7 = 8 Si = 2 alors + 7 = 9. 9 est divisible par 3 Si = 3 alors + 7 = 10 Si = 4 alors + 7 = 11 Si = 5 alors + 7 = est divisible par 3 Si = 6 alors + 7 = 13 Si = 7 alors + 7 = 14 Si = 8 alors + 7 = est divisible par 3 Si = 9 alors + 7 = 16 Les entiers de la forme 16 divisibles par 3 sont : 216 ; 516 et 816. Conclusion : Les entiers de la forme 1 divisibles par 3 et 4 sont 312 ; 612 ; 912 ; 216 ; 516 et 816. Première étape : on cherche les entiers de la forme 1 divisibles par 4. On utilise le critère de divisibilité par 4. On trouve deux formes possibles pour le nombre : 12 ou 16. Deuxième étape : on cherche parmi les entiers de la forme 12 ceux qui sont divisibles par 3. On utilise le critère de divisibilité par 3. Troisième étape : on cherche parmi les entiers de la forme 16 ceux qui sont divisibles par 3. On utilise le critère de divisibilité par 3. Conclusion : on rassemble les résultats trouvés dans les étapes 2 et Cned, mathématiques 6e, 2008

80 Séquence 6 c Exercice 38 1) ; 747 et sont divisibles par ; 593 ; ne sont pas divisibles par 9. 2) nombre Est-il divisible par 9? Somme des «chiffres» du nombre La somme des «chiffres» est-elle divisible par 9? 504 oui = 9 oui 732 non = 12 non 747 oui = 18 oui 593 non = 17 non non = 22 non oui = 27 oui 3) Un entier est divisible par 9 si la somme de ses chiffres est divisible par 9. Cned, Mathématiques 6e,

81 c Séquence 6 Exercice 39 1) a) = est divisible par 9 donc est divisible par = n est pas divisible par 9 donc n est pas divisible par 9. On applique le critère de divisibilité par 9 : on calcule la somme des chiffres de tous les nombres et on regarde si chacune de ces sommes est divisible par = 9 9 est divisible par 9 donc est divisible par = n est pas divisible par 9 donc n est pas divisible par = n est pas divisible par 9 donc n est pas divisible par = est divisible par 9 donc est divisible par 9. b) La somme des chiffres de est est divisible par 3 donc est divisible par 3. La somme des chiffres de est n est pas divisible par 3 donc n est pas divisible par 3. La somme des chiffres de est 9. 9 est divisible par 3 donc est divisible par 3. On applique le critère de divisibilité par 3 : on calcule la somme des chiffres de tous les nombres et on regarde si chacune de ces sommes est divisible par 3. La somme des chiffres de est n est pas divisible par 3 donc n est pas divisible par 3. La somme des chiffres de est est divisible par 3 donc est divisible par 3. La somme des chiffres de est est divisible par 3 donc est divisible par 3. 2) Les entiers de la liste qui sont divisibles par 9 sont divisibles par De façon générale, tout entier divisible par 9 est divisible par 3. En effet, s il est divisible par 9, il s écrit 9 x (où est un entier). Comme 9 = 3 x 3, ce nombre s écrit 3 x 3 x. Il est donc de la forme «3 multiplié par un entier». C est donc un multiple de Cned, mathématiques 6e, 2008

82 Séquence 6 c Exercice 40 Cette affirmation est fausse! Voici un contre-exemple : 6. 6 est divisible par 3 (car 6 = 3 x 2) mais 6 n est pas divisible par 9. Exercice 41 Voici les nombres entiers de trois chiffres rangés par ordre croissant : 100 ; 101 ; 102 ; 103 ; 104 ; 105 ; 106 ; 107 ; 108 ;... On cherche parmi ces nombres le plus petit divisible par 9, c està-dire le plus petit dont la somme des chiffres est divisible par 9 : c est 108. Exercice 42 On cherche un nombre de la forme divisible par 5. Il est donc de la forme 5 ou 0. Comme le chiffre des dizaines est le triple de celui des unités, le chiffre des unités ne peut pas être 5 (le chiffre des dizaines ne peut pas être 15 puisque 15 n est pas un chiffre). Le nombre cherché est donc de la forme 0. Le chiffre des dizaines est donc 3x0 soit 0. Le nombre cherché est donc de la forme 00. Enfin, ce nombre est divisible par 9. La somme de ses chiffres est. Comme elle est divisible par 9, le chiffre est donc 9. Le code du coffre fort est 900. L affirmation proposée est fausse. Par contre, l affirmation suivante est vraie «Si un nombre est divisible par 9, alors il est divisible par 3». On commence par dresser le début de la liste des plus petit nombres s écrivant avec trois chiffres. On cherche ensuite parmi ces nombres le plus petit nombre divisible par 9, c est-à-dire dont la somme des chiffres est divisible par 9. Pour résoudre ce type de problème, n oublie pas de rédiger ta réponse, c est-à-dire d écrire des phrases claires (et de préférence courtes) pour expliquer ce que tu fais. Cned, Mathématiques 6e,

83 c Séquence 6 Ce que tu devais faire Séance 7 Les commentaires du professeur Exercice 43 Combien y a-t-il de secondes dans 1 heure? heure est constituée de 60 minutes constituées chacune de 60 secondes. 60 x 60 = Il y a donc secondes dans une heure. Exercice 44 Un jour est constitué de 24 heures. Par conséquent : 3 jours = 3 x 24 heures = 72 heures insi : 3 jours 8 heures = 80 heures L équipe de sauveteurs a mis 80 heures pour retrouver les deux alpinistes. Exercice 45 On applique le «JE RETIENS» vu précédemment de la façon suivante : 4 h 17 min = 257 min 24 min 15 s = s 4 h 17 min = (4 x 60 min) + 17 min = 257 min 6 h 13 min 9 s = s 24 min 15 s = (24 x 60 s) + 15 s = s 3 j 5 h = 77 h 6 h 13 min 9 s = (6 x 60 min) + 13 min + 9 s 6 h 13 min 9 s = 373 min + 9 s 6 h 13 min 9 s = (373 x 60 s) + 9 s = s Exercice 46 1 h 51 min = 60 min + 51 min = 111 min Chaque invité disposera de 37 minutes durant l émission. 3 j 5 h = (3 x 24 h) + 5 h = 77 h On souhaite diviser le temps total par 3, puisque les trois invités doivent avoir le même temps de parole. Pour diviser la durée 1 h 51 min, on est obligé de la convertir en minutes. On utilise alors l égalité 1 h = 60 min comme dans l exercice précédent. On trouve 111 min. On effectue ensuite la division euclidienne de 111 par 3. On trouve 37 comme quotient euclidien et 0 comme reste. 184 Cned, mathématiques 6e, 2008

84 Séquence 6 c Exercice 47 a) 182 s = (3 x 60 s) + 2 s = 3 min 2 s 397 s = (6 x 60 s) + 37 s = 6 min 37 s b) 998 min = (16 x 60 min) + 38 min 998 min = 16 h 38 min 695 min = (11 x 60 min) + 35 min 695 min = 11 h 35 min a) Lorsque les calculs sont simples, on peut les faire en ligne. Il faut juste bien avoir en tête les premiers multiples de 60 : 60 ; 120 ; 180 ; 240 ; 300 ; 360 ; 420 ; 480 Il est facile de convertir 182 s en minutes et secondes : on pense au plus grand mutiple de 60 qui ne dépasse pas 182. C est 180. Comme 180 secondes représentent 3 minutes, 182 secondes représentent 3 min 2 s. Tu peux, si tu as des difficultés avec cette méthode, effectuer la division euclidienne de 182 On fait de même pour b) Exercice 48 On effectue la somme de 6 min 52 s, 5 min 49 s et 7 min 57 s. 6 min 52 s + 5 min 49 s + 7 min 57 s 18 min 158 s Convertissons 158 s en minutes et en secondes : Dans les deux cas, comme les nombres 998 et 695 sont grands, il était plus facile d effectuer une division euclidienne par 60. Pour connaître la durée totale des trois morceaux à enregistrer, on effectue la somme des trois durées 6 min 52 s, 5 min 49 s et 7 min 57 s. On a vu dans la séance 8 de la séquence 2 comment ajouter des durées. N hésite pas à t y reporter! 158 s = (2 x 60 s) + 38 s 158 s = 2 min 38 s 6 min 52 s + 5 min 49 s + 7 min 57 s = 18 min + 2 min 38 s 6 min 52 s + 5 min 49 s + 7 min 57 s = 20 min 38 s On ne pourra pas enregistrer les trois chansons sur le CD. Comme la durée totale des trois morceaux à enregistrer dépasse 20 minutes, on ne peut pas enregistrer les trois chansons sur le CD. Cned, Mathématiques 6e,

85 c Séquence 6 Exercice 49 Clémence mettrait 15 x 13 minutes pour parcourir 15 km. Clémence mettrait donc 195 minutes pour parcourir 15 km. 1 5 x Convertissons 195 minutes en heures et en minutes : 195 min = (3 x 60 min) + 15 min 195 min = 3 h 15 min Clémence mettrait 3 h 15 min pour parcourir 15 km. Exercice 50 Un jour est constitué de 24 heures. Cherchons combien il y a de fois 24 heures dans 678 heures : On effectue une multiplication pour déterminer le temps que mettrait Clémence pour parcourir 15 km. On trouve 195 minutes. Il ne reste plus qu à convertir ce temps en heures et en minutes. Pour cela, on utilise une division euclidienne. Remarque : comme cette conversion était facile, tu pouvais faire ce calcul de tête et ne pas poser la division. Dans ce cas, tu devais quand même écrire les calculs suivants : 195 min = (3 x 60 min) + 15 min = 3 h 15 min. On procède comme précédemment. 678 h = (28 x 24 h) + 6 h 678 h = 28 j 6 h Exercice 51 a) Cherchons combien il y a de minutes dans s s = (164 x 60 s) + 52 s donc s = 164 min 52 s Cherchons combien il y a d heures dans 164 min : 164 min = (2 x 60 min) + 44 min donc : 164 min = 2 h 44 min Conclusion : s = 2 h 44 min 52 s b) Cherchons combien il y a de minutes dans s : On procède comme précédemment s = (146 x 60 s) + 2 s donc s = 146 min 2 s Cherchons combien il y a d heures dans 146 min : 146 min = (2 x 60 min) + 26 min donc : 146 min = 2 h 26 min Conclusion : s = 2 h 26 min 2 s 186 Cned, mathématiques 6e, 2008

86 Séquence 6 c Ce que tu devais faire Séance 8 Exercice 52 Dès que Mélanie a enfilé 7 perles, 14 perles, 21 perles elle enfile de nouveau une perle verte. utrement dit, chaque fois que le nombre de perles enfilées est un multiple de 7, Mélanie enfile une perle verte. fin de connaître combien de groupements comprenant une perle verte, deux perles jaunes, une perle rouge et 3 perles jaunes ont été enfilées, j effectue la division euclidienne de 109 par = (15 x 7) + 4 Une fois enfilées, les 15 x 7 premières perles, Mélanie enfile quatre perles : une verte puis deux jaunes puis une rouge. insi, la perle numéro (15 x 7) + 4 (c est-à-dire la 109e) est rouge. La 109e perle est donc rouge. Exercice 53 Je calcule à partir de combien de passages de bus je vais pouvoir monter. Pour cela, j effectue la division euclidienne de 112 par Le trois premiers bus prendront les 111 premières personnes devant moi, je prendrais donc le 4e bus. Le 4e bus passera donc dans 4 x 23 min soit 92 minutes. 92 min = (1 x 60 min) + 32 min 92 min = 1 h 32 min Je vais attendre 1 h 32 min avant de partir. Les commentaires du professeur Pense à bien rédiger les réponses de ce type de problème. Il faut écrire ce que tu fais à l aide de phrases courtes et claires. Pense également à poser et à effectuer les opérations losque tu effectues des calculs qui sont difficiles à effectuer en ligne. Ici, il fallait voir que tous les multiples de 7 perles, Mélanie enfile une nouvelle perle et donc «le cycle se reproduit». On pense alors à affectuer une division euclidienne du nombre de perles par 7. Comme un bus contient au maximum 37 personnes et qu il y a 112 personnes à passer, on cherche le nombre de bus avant de pouvoir monter en effectuant la division euclidienne de 112 par 37. On fait attention : Les trois premiers bus pourront contenir 3 x 37 soit 111 personnes. Il faudra donc prendre le bus suivant, c est-à-dire le 4e. Ensuite, comme le bus passe toutes les 23 minutes, il suffit de multiplier 4 par 23. On trouve 92 min que l on convertit directement en 1 h 32 min. Le calcul est simple : il n y a pas lieu de poser une division euclidienne. Cned, Mathématiques 6e,