MATHÉMATIQUES 1 ère ES/L TRIMESTRE 1 PROGRAMME 2011 (v2.3) Sylvie LAMY Agrégée de Mathématiques Diplômée de l École Polytechnique Les Cours Pi 42-44 rue du Fer à Moulin 75005 PARIS Tél. : 01 42 22 39 46 e-mail : lescourspi@cours-pi.com site web : http://www.cours-pi.com
Quelques indications pour votre année de 1 ère Vous disposez d un support de cours complet : prenez le temps de bien le lire, de le comprendre mais surtout de l assimiler. Vous disposez pour cela d exemples donnés dans le cours et d «exercices types» corrigés. Vous pouvez rester un peu plus longtemps sur une unité mais travaillez régulièrement. Conventions de lecture du cours Les encadrés droits correspondent à des définitions ou à des résultats importants qu il faut connaître. Par exemple : Une fonction numérique f permet d associer à tout élément x Les encadrés arrondis correspondent à des conseils méthodologiques. Par exemple : Méthode On commence par chercher s il existe un facteur commun (celui-ci doit apparaître Certains paragraphes sont précédés du signe. Ces paragraphes abordent des notions mathématiques transversales (comme les ensembles, la logique, l algorithmique) utiles pour l ensemble de la scolarité au lycée. Calculatrice et informatique Vous devez posséder pour l enseignement scientifique au lycée d une calculatrice graphique de type CASIO GRAPH 25+ ou CASIO GRAPH 35+. Il faut apprendre à vous en servir (mais à bon escient, comme il sera rappelé plus bas). Par ailleurs, vous devez également apprendre à utiliser un tableur comme Microsoft Office Excel (payant) ou Open Office Calc (gratuit à télécharger sur http://fr.openoffice.org/). Certains exercices seront faits de préférence en utilisant l un de ces logiciels (mais vous pourrez également utiliser la calculatrice). Les devoirs Les devoirs constituent le moyen d évaluer l acquisition de vos savoirs (Ai-je assimilé les notions correspondantes?) et de vos savoir-faire (Est-ce que je sais expliquer une démarche, justifier, conclure?). Pour cette raison : N appelez pas votre professeur si vous ne savez pas faire un exercice! Cela peut arriver, comme tout élève en classe, surtout au lycée! Mais si, après avoir reçu la correction, un exercice continue à vous poser problème, n hésitez pas à le faire! Même si vous avez obtenu une bonne note, lisez attentivement les remarques du professeur et le corrigé (la correction peut éventuellement proposer une autre méthode que celle que vous avez utilisée). Il est vivement recommandé d attendre le retour des devoirs antérieurs avant de faire le suivant : cela vous permettra d éviter de faire les mêmes erreurs et de profiter pleinement des remarques qui vous auront été faites. COURS PI MA 1 ES/L T1 (v2.3)
Voici maintenant quelques conseils pour composer vos devoirs Utilisez des copies doubles grand format (pour y insérer par la suite l énoncé et le corrigé). Présentez la copie correctement (Nom, Prénom, Classe, Matière, Numéro de devoir doivent figurer sur chaque copie pour éviter toute erreur ou perte). Laissez de l espace pour le correcteur. Faites les exercices dans l ordre. Si une question n est pas faite, il faut l indiquer sur la copie. Si la question est faite directement sur l énoncé, il faut également l indiquer. Faites attention à l orthographe! Justifiez vos réponses même si l énoncé ne le précise pas. Mettez en valeur vos résultats (ce n est pas au correcteur de chercher où sont les réponses!) et répondez dès que possible aux questions en faisant des phrases complètes. Un lecteur n ayant pas lu l énoncé doit pouvoir comprendre votre copie! Vérifiez la cohérence de vos résultats. Détaillez les calculs (remarque : on ne met pas d unités dans une ligne d opération, mais seulement dans la conclusion!). Un résultat «juste» en sciences physiques n est pas forcément juste en mathématiques! Évitez par conséquent d utiliser la calculatrice en mathématiques, lorsque l opération peut se faire sans son aide Les résultats doivent être exacts, sauf indication contraire. Pensez qu une calculatrice vous donnera toujours une valeur approchée de 1 3! Utilisez correctement les notations mathématiques : une mauvaise notation rend un raisonnement faux! Rappelez-vous que la présentation et la rédaction comptent dans les notes d examen. Alors, prenez de bonnes habitudes! Bon courage! COURS PI MA 1 ES/L T1 (v2.3)
Sommaire général Trimestre 1 UNITE 1. Pourcentages, le second degré 1. Pourcentages et évolutions 2. Le second degré UNITE 2. Fonctions 1. Généralités sur les fonctions 2. Fonctions usuelles 3. Résolution graphique d équations et d inéquations Trimestre 2 UNITE 3. Dérivation 1. Nombre dérivé, tangente en un point 2. Fonctions dérivées 3. Application de la dérivation UNITE 4. Suites 1. Généralités sur les suites 2. Représentation graphique d une suite 3. Suites arithmétiques 4. Suites géométriques Trimestre 3 UNITE 5. Statistiques, Probabilités(I) 1. Statistiques 2. Probabilités, variables aléatoires UNITE 6. Probabilités (II), échantillonnage 1. Loi de Bernouilli, loi binômiale 2. Fluctuations d une fréquence et prise de décision COURS PI MA 1 ES/L T1 (v2.3)
Sommaire du Trimestre 1 Unité 1. Pourcentages, généralités sur les fonctions... 1 1. Pourcentages et évolutions... 1 A) Pourcentage d une partie par rapport a un tout... 1 B) Pourcentage d évolution... 4 C) Évolutions successives et réciproques... 5 D) Indices... 7 2. Le second degré... Erreur! Signet non défini. A) Les formes du trinôme... Erreur! Signet non défini. B) Résolution de l équation ax 2 +bx+c=0... Erreur! Signet non défini. C) Factorisation d un polynôme du second degré... Erreur! Signet non défini. D) Signe d un polynôme du second degré... Erreur! Signet non défini. Éléments de logique (I)... Erreur! Signet non défini. Unité 2. Fonctions... Erreur! Signet non défini. 1. Généralités sur les fonctions... Erreur! Signet non défini. A) Notion de fonction... Erreur! Signet non défini. B) Extrema d une fonction... Erreur! Signet non défini. C) Sens de variation... Erreur! Signet non défini. D) Opérations sur les fonctions... Erreur! Signet non défini. 2. Fonctions usuelles... Erreur! Signet non défini. A) Fonctions linéaires et affines... Erreur! Signet non défini. B) Fonction carrée, fonctions polynômiales de degré 2... Erreur! Signet non défini. C) Fonction inverse, fonctions homographiques... Erreur! Signet non défini. D) Fonction cube... Erreur! Signet non défini. E) Fonction racine carrée... Erreur! Signet non défini. 3. Résolution graphique d équations et d inéquations... Erreur! Signet non défini. A) Résolution graphique et résolution algébrique... Erreur! Signet non défini. B) Résolution graphique d équations... Erreur! Signet non défini. C) Résolution graphique d inéquations... Erreur! Signet non défini. Algorithmique (I)... Erreur! Signet non défini. COURS PI MA 1 ES/L T1 (v2.3)
UNITE 1. POURCENTAGES, LE SECOND DEGRE 1. POURCENTAGES ET EVOLUTIONS A) POURCENTAGE D UNE PARTIE PAR RAPPORT A UN TOUT Soit A un ensemble contenant n A éléments inclus dans un ensemble E contenant n E éléments. La proportion du nombre d éléments de A à celui de E est le quotient : na p n Cette proportion est un nombre compris entre 0 et 1. Elle s exprime généralement sous forme d un pourcentage a: p p100 % a % ( a p 100) Le pourcentage de A par rapport à celui de E est a%. E Exemple 1 : Dans un lycée de 680 élèves, il y a 493 demi-pensionnaires. Quel est le pourcentage de demi-pensionnaires dans ce lycée? Parmi les demi-pensionnaires, 40% sont des filles. Quel est le pourcentage de filles demi-pensionnaires dans ce lycée? Réponse : E est l'ensemble des élèves, A est l'ensemble des demi-pensionnaires, B est l'ensemble demi-pensionnaires filles. na 493 p 0,725 soit a 0,725 100 72,5 ne 680 72,5% des élèves sont donc demi-pensionnaires. La proportion de filles demi-pensionnaires est : nb nb na p 40% 72,5% 0,4 0,725 0,29 29% ne na ne 29% des élèves sont donc des filles demi-pensionnaires. Exemple 2 : 24% des habitants d un village de 1500 habitants ont moins de 18 ans. Combien d habitants sont mineurs? Réponse : p 24% 0, 24 na pn E 0, 241500 360 360 habitants sont mineurs. Une proportion peut donc s exprimer avec un nombre décimal, une fraction ou un pourcentage. Exemple: 1 ;0,25;25% 4 correspondent à la même proportion. COURS PI MA 1 ES/L U2 (v2.3) 1
Exercices Exercice 1 Donner pour chaque expression la proportion en pourcentage que l on prend d une quantité si : a) On la divise par 4. b) On en prend la moitié. c) On en prend les trois quarts. d) On la multiplie par 1 5. e) On la multiple par 0,7. f) On en prend 12% de 30%. Exercice 2 Dans une entreprise de 500 salariés, il y a 34% de femmes. Combien l entreprise emploie-t-elle d hommes? Exercice 3 Saint-Martin dispose de deux bureaux de vote. Le candidat X a obtenu 312 voix dans le premier bureau où il y a eu 654 votants, et 513 voix dans le second où 989 personnes ont voté. Où a-t-il obtenu son meilleur score en pourcentage? Sera-t-il élu sachant qu il lui faut la majorité absolue? Exercice 4 Dans une classe, il y a 65% de filles dont 20% sont externes. Sachant que 30% des élèves de la classe sont externes, quel est le pourcentage de garçons qui sont externes? Exercice 5 Une boisson contient 15 % d alcool. On voudrait obtenir, à partir d un litre de cette boisson, un mélange ne contenant que 5 % d alcool. Quelle quantité d eau doit-on rajouter? Exercice 6 Voici quelques données démographiques (année 2000) : Hommes Femmes 48,7% 51,3% Hommes moins de 15 ans de 15 à 64 ans plus de 64 ans 20% 67% 13% Femmes moins de 15 ans de 15 à 64 ans plus de 64 ans 18% 64% 18% Remplissez le tableau suivant (on donnera les résultats en pourcentages de la population totale, au dixième près). Hommes Femmes Total moins de 15 ans de 15 à 64 ans plus de 64 ans Total COURS PI MA 1 ES/L U2 (v2.3) 2
Exercice 7 Les élèves de Terminale d un lycée étudient l anglais, l allemand ou l espagnol en première langue vivante. Parmi ces élèves : 45 % sont des garçons, 70 % étudient l anglais, 20 % des garçons étudient l allemand, 40 % de ceux qui étudient l anglais sont des garçons, il y a autant de garçons que de filles qui étudient l espagnol. Remplir le tableau suivant en pourcentages du nombre d élèves de Terminale (on a indiqué quelques données): Garçons Filles Total Anglais 70% Allemand Espagnol Total 45% 100% Exercice 8 Dans un village, 45 % des habitants ont un chat, et 32 % ont un chien. 1) Peut-on affirmer que 77 % des habitants ont un animal de compagnie (chien ou chat)? 2) Si 61 % des habitants ont un chien ou un chat, quel est le pourcentage d habitants ayant un chat et un chien? COURS PI MA 1 ES/L U2 (v2.3) 3
B) POURCENTAGE D EVOLUTION Une quantité évolue de la valeur Q 1 à la valeur Q 2. Le taux d évolution (ou la variation relative) de Q 1 à la valeur Q 2 vaut : Q Q Q 2 1 L évolution s exprime généralement sous forme d un pourcentage. 1 Q2 Q1 t Q1 % Le taux d évolution peut être positif ou négatif. Si le taux est positif on parle d augmentation. Si le taux est négatif on parle de diminution. Exemple : La population française est passée entre 2000 et 2010, de 58,8 à 62,8 millions d habitants. Quel est le taux d évolution en pourcentage? Réponse : 62,8 58,8 0,068 soit t 0,068 100 6,8 58,8 La population française a augmenté d environ 6,8%. Augmenter une quantité Q de t % revient à la multiplier par 1 t %. Q' Q(1 t%) Diminuer une quantité Q de t % revient à la multiplier par 1 t %. Q' Q(1 t%) 1 t % et 1 t % sont appelés coefficients multiplicateurs. Exemple 1 : Un objet coûte 350. Le commerçant fait une remise exceptionnelle de 20%. Quel est le prix après remise? Réponse : Q' 350(1 20%) 350(1 0, 2) 350 0,8 280 Le nouveau prix est donc 280. Exemple 2 : Un objet coûte 350 TTC. Quel est son prix HT (hors taxe) sachant que la TVA est de 19,6% (on applique la TVA au prix HT pour obtenir le prix TTC)? Réponse : 350 Q(1 19,6%) Q(1 0,196) Q 1,196 350 Q 292, 64 Le prix HT est donc 292,64. 1,196 Attention! Il ne faut pas diminuer le prix final de 19,6%! COURS PI MA 1 ES/L U2 (v2.3) 4
C) ÉVOLUTIONS SUCCESSIVES ET RECIPROQUES Une quantité Q subit successivement un taux d évolution de t 1 % puis de t 2 %. La quantité après ces deux évolutions vaut : Q' Q(1 t %)(1 t %) 1 2 Dans cette formule, les signes des taux peuvent être positifs ou négatifs. Les taux d évolution ne s ajoutent pas! Exemple : Un objet coûte 350. Il subit une première augmentation de 10%, puis une seconde de 20%. Calculez le taux d augmentation global et le prix final de l objet. Réponse : Le coefficient multiplicateur vaut : (1 10%)(1 20%) 1,1 1, 2 1,32 Ce coefficient correspond à une augmentation de 32% (et non de 10%+20%=30%!) Le nouveau prix est donc : 350 1,32 462. Une quantité évolue de la valeur Q 1 à la valeur Q 2 avec un taux t%. Le taux d évolution réciproque de t% appelé t %, permettant de passer de Q 2 à la Q 1 satisfait à la relation : (1 t%)(1 t'%) 1 Dans cette formule, les signes des taux peuvent être positifs ou négatifs. Les taux d évolution réciproques sont de signes contraires. Ils n ont jamais la même valeur! Démonstration : Q Q (1 t%) et Q Q (1 t '%) 2 1 1 2 d'où Q Q (1 t '%)(1 t%) 2 2 (1 t%)(1 t'%) 1 Exemple Un commerçant veut «offrir la TVA» à ses clients. Quel taux de remise doit-il appliquer aux prix TTC? (La TVA est de 19,6%.) Réponse : On cherche le taux réciproque à celui correspondant à l application de la TVA. 1 (1 19,6%)(1 t'%) 1 t '% 1 0,164 1,196 Le commerçant doit appliquer une remise de 16,4%. COURS PI MA 1 ES/L U2 (v2.3) 5
Exercices Exercice 9 Donner le coefficient multiplicateur correspondant à : a) Une augmentation de 5% b) Une réduction de 23% c) Une augmentation de 200% d) Une baisse de 50% Exercice 10 Compléter ces phrases sur les coefficients multiplicateurs. a) 1,01 correspond à une. de %. b) 2,5 correspond à une. de %. c) Diviser par 2 correspond à une. de %. d) 0,24 correspond à une. de %. Exercice 11 1) La population du monde est passée de 3 à 7 milliards en 40 ans. Quel est son pourcentage d augmentation? 2) Un magasin propose 4 paquets de gâteaux pour le prix de 3. Quelle est la réduction? 3) Le prix TTC d un congélateur est 350. Quel est son prix HT (la TVA est de 19,6%)? Exercice 12 Un article augmente de 15%, puis baisse de 5%. A-t-il augmenté de 10%, de plus de 10% ou de moins de 10%? Exercice 13 a) Deux hausses successives de 5% et 12% équivalent à une. de %. b) Deux baisses successives de 20% et 30% équivalent à une. de %. c) Une baisse de 10% suivie d une hausse de 20% équivalent à une. de %. Exercice 14 Le cours de la bourse a baissé de 20%. De combien doit-il augmenter pour retrouver son niveau initial? COURS PI MA 1 ES/L U2 (v2.3) 6
D) INDICES On étudie l évolution d une grandeur Q. A la valeur initiale Q 1, on associe un indice base 100 I1 100. Si Q 1 évolue avec un taux t% vers la valeur Q 2, l indice I 2 associé à la valeur Q 2 évolue avec le même taux. Q Q (1 t %) alors : I I 2 1 (1 t %) 100 t Si 2 1 Relation : Q2 I2 I2 soit : Q1 I 1 100 I 2 100 Q Q 2 1 L utilisation des indices permet d obtenir très rapidement des pourcentages d évolution. Exemple : On étudie l évolution de la population d un pays (en millions d habitants). On prend base 100 en 1900. (on applique la relation : année 1900 1950 2000 population 21,2 25,6 30,5 indice 100 121 144 I 2 2 ). Q 1 100 Q On voit que la population a augmenté de 44% entre 1900 et 2000. Exercice 15 Exercices Voici la production d un fabricant de cabanes de jardin. Année 1990 1995 2000 2005 2010 Production 2520 3610 3860 2760 2980 1) Construire le tableau d indices (base 100 en 1990). 2) Quel a été le taux d évolution de la production entre 1990 et 2010? Faire le Devoir U1D1 COURS PI MA 1 ES/L U2 (v2.3) 7