Responsable : J.Roussel Objectif Ce TP est une initiation à l analyse de Fourier. Nous verrons notamment comment une analyse spectrale permet de remonter à la courbe de réponse d un filtre électrique. Prérequis Lire «L approche expérimentale». Revoir le cours d électricité (régime sinusoïdal). 5.1 Aspects théoriques 5.1.1 Analyse de Fourier Supposons un signal temporel périodique y(t) de période T. On a donc y(t) = y(t + T ) t Toute l information du signal se trouve dans un motif de durée T qui se répète f = 1 /T fois en une seconde. f désigne la fréquence du signal. Le théorème de Fourier énonce sous certaines conditions mathématiques que l on supposera valides ici qu un signal périodique de fréquence f se décompose en une somme infinie de sinus et cosinus de fréquence f, 2f, 3f, etc. Formellement on a y(t) = a 0 + a n cos(2πnft) + b n sin(2πnft) = a 0 + c n cos(2πnft + ϕ n ) (5.1) Il s agit de la décomposition de Fourier d un signal périodique. a 0 et c n sont les coefficients de fourier et dépendent de la forme du signal. Le coefficient a 0 représente la valeur moyenne du signal y(t) : a 0 = 1 T T 0 y(t) dt 37
c n est le coefficient de l harmonique de rang n et s obtient à l aide des intégrales suivantes : b n = 2 T y(t) sin(2πnf t) dt c n = a 2 n + b 2 n avec T 0 a n = 2 T y(t) cos(2πnf t) dt T 0 Spectre d un signal La façon la plus classique de représenter un signal temporel est de tracer le graphe de y(t). Une autre consiste à représenter les coefficients de la décomposition en fonction de la fréquence f n = n f. On obtient alors une représentation spectrale. Le spectre d un signal périodique est discret puisque les coefficients ne sont définis que pour des fréquences particulières (f n = nf). Par exemple, on montre qu un signal carré d amplitude crête-à-crête 2A se décompose en série de Fourier comme suit : y(t) = 4A [sin(2πft) + 1 π 3 sin(2π(3f)t) + 1 5 sin(2π(5f)t) + 1 ] 7 sin(2π(7f)t) +... On obtient donc des harmoniques impaires et les coefficients varient en 1/n. A y 4A π c k T t (a) Représentation temporelle. f (Hz) f 3f 5f 7f (b) Représentation spectrale Figure 5.1: Signal carré et son spectre. Théorème de Parseval Pour un signal périodique décomposable en série de Fourier, on a l égalité : y(t) 2 = a 2 0 + 1 c 2 n (5.2) 2 où y(t) 2 désigne la moyenne temporelle du signal au carré (en électricité cette grandeur est la valeur efficace au carré). 38
5.1 Aspects théoriques 5.1.2 Notion de filtrage Lorsque l on étudie la réponse fréquentielle d un circuit, on branche une source alternative entre deux points d un circuit (l entrée du circuit) et on observe la réponse du circuit en mesurant une grandeur électrique en sortie du circuit. On forme alors un quadripôle. u e Entrée i e Quadripôle Sortie i s u s En régime sinusoïdal, toutes les grandeurs oscillent de façon sinusoïdale à la même fréquence. En notation complexe, les tensions d entrée et de sortie s écrivent u e (t) = U e e i2πft et u s (t) = U s e i2πft avec i 2 = 1 On mesure la réponse sortie/entrée en calculant le gain complexe en tension H(f) = u s(t) u e (t) = U s U e Ce nombre complexe donne une information à la fois sur le gain G (rapport des amplitudes) et sur le déphasage sortie/entrée : G = H = U s U e et φ = arg H On obtient la courbe de réponse du quadripôle en traçant G en fonction de la fréquence f. Suivant l allure de G(f) on donne un nom au quadripôle (cf. figure) Gain G f Passe-Bas Passe-Haut Passe-Bande Coupe-Bande Figure 5.2: Les différents types de filtre Ainsi, lorsque le signal d entrée est périodique mais non sinusoïdal, chaque harmonique étant différemment atténuée et déphasée, on obtient à la sortie, un signal de même fréquence mais de forme différente. L analyse harmonique des signaux en entrée et en sortie permet d obtenir une information sur la réponse fréquentielle du filtre. En effet, si la tension d entrée s écrit u e (t) = a 0 + c n, e cos(2πnft + ϕ n ) 39
alors chaque harmonique est, en sortie, atténuée et déphasée : u s (t) = G(0) a 0 + G(f n ) c n,e cos(2πnft + ϕ n + φ(f n )) Il est donc possible de remonter à la réponse fréquentielle du filtre à partir des coefficients de Fourier des signaux en entrée et en sortie puisque c n,s = G(f n ) c n,e (5.3) 5.2 Manipulation 5.2.1 Étude du signal carré L objectif est d analyser le signal carré à l aide de l outil FFT d un oscilloscope numérique. 1. Branchez la sortie 50Ω du GBF sur la voie 1 (CH1) de l oscilloscope. 2. Fixez la fréquence à f = 500 Hz et choisir un signal carré 3. Faites en sorte que l amplitude crête à crête ne dépasse pas 10 V (bouton Level). 4. Appuyez sur CH1 pour faire apparaître le menu de la voie 1 : choisir le couplage AC 5. On élimine le bruit électrique aléatoire par une opération de moyenne. Dans le panneau Menu, appuyez sur Acquire Acquisition Average et ajustez à la valeur 256. 6. L oscilloscope peut calculer en temps réel le spectre du signal. Appuyez sur Math FFT puis placez Windows sur Hamming et Scale sur Vrms. L oscilloscope donne le spectre avec en ordonnée la tension efficace c n eff = c n / 2. 7. On obtient le spectre du signal. Pour mesurer les fréquences et les coefficients des harmoniques on utilise les curseurs. Pressez CURSOR Mode et sélectionnez Manual. Pressez Type pour sélectionner X ou Y Pressez Source pour sélectionner FFT. Déplacer les curseurs pour faire vos mesures. Mesures Dans un premier temps, collectez les fréquences f n des harmoniques et vérifiez qu elles sont bien multiples impaires d une fréquence fondamentale qu on déterminera. Ensuite collectez les coefficients de Fourier pour les 6 premières harmoniques. Vérifiez que les c n eff suivent la loi c n eff = 4A 1 2π n 40
5.2 Manipulation Déterminez A puis vérifiez la loi de Parseval. Éteignez maintenant le GBF et l oscilloscope! 5.2.2 Réponse fréquentielle d un filtre passe-bande CH1 L, r CH2 C GBF u e (t) u s (t) Entrée Sortie 1. Réalisez le montage RLC décrit ci-dessus. Demandez à l enseignant responsable de vérifier le montage. Ne rien allumer avant cette vérification! 2. Envoyez la tension de sortie (aux bornes de C) sur la voie 2 de l oscilloscope et la tension d entrée sur la voie 1. 3. Alimentez le circuit avec un signal GBF impulsionnel (il suffit de débloquer le bouton SYMMETRY et de le tourner à gauche) de fréquence 300 Hz et d amplitude crête à crête V pp 5 V. Attention : vérifiez qu il n y a pas de tension de décalage en entrée et placez vous en mode AC sur les deux voies. Mesures Collectez dans un tableau les fréquences et les coefficients de Fourier du signal d entrée et de sortie. Dans regressi, calculez le gain G(f n ) = c n,s /c n,e pour chaque fréquence et tracez G en fonction de la fréquence. On montre que le gain de ce filtre s écrit { 1 a = 4π G(f) = avec (1 2 L C af 2 ) 2 + (bf) 2 b = 2π r C à l aide d une modélisation, trouvez les valeurs de a et b qui s ajustent le mieux à vos mesures. Confrontez vos résultats aux valeurs théoriques. Matériel : un ordinateur portable ; un oscilloscope numérique RIGOL DS 1102E ; un GBF ; une bobine L = 79 mh, r = 226 Ω ; un condensateur C = 453 nf. 41