Plan du cours Cours de raitement Du Signal - ransformées discrètes 1 guillaume.hiet@rennes.supelec.fr ESACA 17 octobre 2007 2 3 Guillaume HIE Cours de raitement Du Signal - ransformées discrètes 1/38 Guillaume HIE Cours de raitement Du Signal - ransformées discrètes 2/38 Introduction ransformée de Fourier d un signal numérique Problématique Mesurer le spectre d un signal continu x (t) à partir de la suite d échantillons du signal échantilloné x [n] Observation finie approximation de F (x (t)) Hypothèses Choix de la fréquence d échantillonage respecte Shannon : f e > 2.B Effet du bloqueur négligé (échantillonage parfait). Erreur liée à la quantification négligée. Guillaume HIE Cours de raitement Du Signal - ransformées discrètes 3/38 F(x[n]) : Remarques X num (ν) = n=+ n= x [n] e j.2π.ν.n Conditions d existence liées à la convergence de la série Fonction complexe périodique de période unité Lien avec le signal analogique échantilloné : changement variable ν = f f e Inadapté aux calculs numériques intérêt théorique Guillaume HIE Cours de raitement Du Signal - ransformées discrètes 4/38
Relation entre FD et spectre de x (t) ransformée de Fourier Discrète FD d ordre : k [0, 1] 1 X [k] = n=0 x[n]e j.2π.k.n = nombre d échantillons utilisés dans le calcul. Si = 2 q algorithme rapide (Fast Fourier ransform) ransformée de Fourier Discrète Inverse x [n] = 1 1 X [k]e j.2.π.k.n k=0 Discrétisation de la ransformée de Fourier La FD peut être vue comme une discrétisation (échantillonnage) sur une période [0, f e ] de la transformée de Fourier du signal numérique observé sur une durée τ =. e : ( ) k X [k] = X num/f, k [0, 1] Spectre discret adapté aux traitements numériques Caractérisation spectrale Spectre discret caractérisation d un signal périodique Guillaume HIE Cours de raitement Du Signal - ransformées discrètes 5/38 Guillaume HIE Cours de raitement Du Signal - ransformées discrètes 6/38 Dualité emps/fréquence Relation entre FD et spectre de x (t) FD et FR : Dualité temps - Fréquence #!t=1/fe emps Périodisation du signal numérique On peut définir : x [n] = p Z x [n p.], n Z x est la séquence obtenue par périodisation de x [n] Application de la FD Périodisation de X : Fréquence X = p Z X [k p.], k Z!t=1/Fe=#/!f=1/# Fe!f=1/#=Fe/ Discrétisation de X num/f (f ) : X = X num/f ( k ), k Z La résolution (!t) dans le domaine temporel est l inverse de l étendue de la FD dans le domaine fréquentiel (0-Fe). Guillaume HIE Cours de raitement Du Signal - ransformées discrètes 7/38 Guillaume HIE Cours de raitement Du Signal - ransformées discrètes 8/38 De même, la résolution (!f) dans le domaine fréquentiel est l inverse de l étendue dans le domaine temporel( 0 - ").
Relation entre FD et spectre de x (t) Autre définition de la FD Lien entre x [n] et X [k] : Bilan 1 X [k] = x [n].e j.2.π.k.n, k Z x [n] = 1 n=0 1 X [k].e j.2.π.k.n, n Z n=0 Liens entre x, x, F et DF... (cf poly p. 59) Linéarité : FD(α.x[n] + β.y[n] = α.fd(x[n]) + β.fd(y[n]) Conjugaison : FD(x[n]) = X [ k] Décalage temporel : FD(x[n + n 0 ]) = X [k].e j.2.π.n 0 Décalage fréquentiel : FD 1 (X (k k 0 )) = x[n].e j.2.π.k 0 Symétries : si x[n] R Re(X [k]) = Re(X [ k]) Im(X [k]) = Im(X [ k]) X [k] = X [ k] lecture spectre sur zone utile [0, fe 2 ] [0, 2 ] Guillaume HIE Cours de raitement Du Signal - ransformées discrètes 9/38 Guillaume HIE Cours de raitement Du Signal - ransformées discrètes 10/38 Décalage circulaire Décalage circulaire d une séquence (modulo ) : Convolution circulaire x [ n p ] = x [n p] (u v) [1] = 1 p=0 u [p] v [ 1 p ] = (ũ ṽ) [1] (u v) [n] FD X [k].y [k] x [n].y [n] FD (X Y ) [k] FF = algorithme de calcul des FD de rang = 2 q. Utilisation du principe diviser pour mieux régner : limiter le nombre d opérations (additions, multiplications). Algorithme de COOLEY-UKEY strictement équivalent à la définition de la FD. Description de la méthode On pose : avec 1 X [k] = x [n].w k.n, 0 k 1 n=0 2.π j. W = e Guillaume HIE Cours de raitement Du Signal - ransformées discrètes 11/38 Guillaume HIE Cours de raitement Du Signal - ransformées discrètes 12/38
Relation de récurrence Partitionnement de x [k] en a [p] = x[2.p] et b [p] = x[2.p + 1], 0 p 2 1 Calcul de X en fonction de A /2 et B /2 : Papillon FF d ordre 2 Schéma algorithmique de FD d ordre 8 X [k] = A /2 [k] + W k.b /2 [k], 0 k 1 Utilisation de la périodicité A /2 et B /2 sont périodiques de période 2 W k+ 2 = W k X [k] = A /2 [k] + W k.b /2 [k], 0 k [ 2 1 X 2 + k] = A /2 [k] W k.b /2 [k], 0 k 2 1 Guillaume HIE Cours de raitement Du Signal - ransformées discrètes 13/38 Guillaume HIE Cours de raitement Du Signal - ransformées discrètes 14/38 Détermination de l entrelacement Décomposition de l indice de la séquence ordonnée : q 1 ( ) n = m j.2 j = 2. m q 1.2 q 2+...+m 1 + m 0 j=0 m 0 détermine la première partition. De même, chaque bit détermine les partitions successives Décomposition de l indice de la séquence entrelacée : q 1 i = m 0.2 q 1 + m 1.2 q 2 +... + m q 1 2 0 = m q 1 j.2 j Renversement de l ordre des bits. j=0 Influence sur le temps de calcul FF 1 multiplication et 2 additions complexes par papillon 2 papillons par étape de récurrence q = log 2 () étapes de récurrence Bilan : 2.log 2 () multiplications et.log 2 () additions FD directe 2 multiplications complexes. ( 1) additions complexes Facteur de réduction du nombre de multiplications : R = 2. Log 2 () Guillaume HIE Cours de raitement Du Signal - ransformées discrètes 15/38 Guillaume HIE Cours de raitement Du Signal - ransformées discrètes 16/38
Problématique umérisation multiplication par une fonction porte (domaine fréquentiel) Distorsion spectrale (convolution par un sinus cardinal) : raie lobe principal (2/) lobes secondaires Substitution de la fenêtre porte par d autres fenêtres pour améliorer la lisibilité du spectre w [n] = 0, n / [0, 1] x w [n] = x [n].w [n] X w [k] = X [k] W [k] Performance/critères de choix Largeur de la fenêtre résolution fréquentielle (pouvoir séparateur) Remontée des lobes secondaires résolution en amplitude (pouvoir de détection) Remarques outes les fenêtres (sauf la fenêtre rectangulaire) modifient l allure temporelle du signal. Fenêtre idéale : largeur de lobe principale nulle et pas de lobe secondaire Pas de solution miracle choix en fonction des caractéristiques du signal Guillaume HIE Cours de raitement Du Signal - ransformées discrètes 17/38 Guillaume HIE Cours de raitement Du Signal - ransformées discrètes 18/38 Guillaume HIE Cours de raitement Du Signal - ransformées discrètes 19/38 Guillaume HIE Cours de raitement Du Signal - ransformées discrètes 20/38
Fenêtre rectangulaire Fenêtre rectangulaire w (t) = 1 Largeur de lobe principal : 2 Rapport d atténuation : 30dB Résolution fréquentielle moyenne Mauvaise résolution en amplitude 2 cas d utilisations typiques : Analyse des signaux périodiques de fréquence connue choix de L Signaux d excitation (chocs...) Guillaume HIE Cours de raitement Du Signal - ransformées discrètes 21/38 Guillaume HIE Cours de raitement Du Signal - ransformées discrètes 22/38 Fenêtre triangulaire Fenêtre triangulaire w (t) = 1 t 2 2 Largeur de lobe principal : 4 Rapport d atténuation : 61dB Résolution fréquentielle moyenne Résolution en amplitude moyenne Peu de cas d utilisations Guillaume HIE Cours de raitement Du Signal - ransformées discrètes 23/38 Guillaume HIE Cours de raitement Du Signal - ransformées discrètes 24/38
Fenêtre hanning Fenêtre hanning ( ) 2.π.t w (t) = 1 cos Largeur de lobe principal : 4 Rapport d atténuation : 73dB Bonne résolution fréquentielle Bonne résolution en amplitude Cas d utilisations typiques : Fenêtre par défaut lorsque la fréquence des signaux n est pas parfaitement connue Analyse spectrale : utilisation du recouvrement Guillaume HIE Cours de raitement Du Signal - ransformées discrètes 25/38 Guillaume HIE Cours de raitement Du Signal - ransformées discrètes 26/38 Fenêtre hanning avec recouvrement Fenêtre hanning Aquisition de plusieurs blocs successifs avec recouvrement. raitement de chaque bloc par une fenêtre hanning simple. Durée d acquisition : = [(1 Ch). (K 1) + 1].. e Faible distorsion Faible remontée des lobes secondaires Chevauchement judicieux : 50%, 67%... Utilisation en analyse spectrale : traitement des signaux aléatoires Guillaume HIE Cours de raitement Du Signal - ransformées discrètes 27/38 Guillaume HIE Cours de raitement Du Signal - ransformées discrètes 28/38
Fenêtre hamming Fenêtre hamming ( ) 2.π.t w (t) = 0, 54 0, 46cos Largeur de lobe principal : 4 Rapport d atténuation : 93dB Bonne résolution fréquentielle Bonne résolution en amplitude (meilleur que hanning pour des fréquences voisines) Cas d utilisations typiques : même utilisation que hanning surtout pour séparer des fréquences proches Guillaume HIE Cours de raitement Du Signal - ransformées discrètes 29/38 Guillaume HIE Cours de raitement Du Signal - ransformées discrètes 30/38 Fenêtre de Blackman Fenêtre Blackman ( ) ( ) 2.π.t 4.π.t w (t) = 0, 42 0, 5cos + 0, 08.cos Largeur de lobe principal : 6 Rapport d atténuation : 134dB Résolution fréquentielle moyenne rès bonne résolution en amplitude Cas d utilisations typiques : Compensation du pouvoir de séparation par la durée d aquisition Détection d harmoniques de faible amplitude Guillaume HIE Cours de raitement Du Signal - ransformées discrètes 31/38 Guillaume HIE Cours de raitement Du Signal - ransformées discrètes 32/38
Fenêtre Flat-top Fenêtre Flat-top ( ) 2.π.t w (t) = 1 1, 93.cos +1, 29.cos Largeur de lobe principal : 10 Rapport d atténuation : 155dB ( 4.π.t ) 0, 388.cos Résolution fréquentielle moyenne (largeur du lobe principal) Excellente résolution en amplitude Utilisation pour étalonnage de capteur... ( 6.π.t ) +0, 0322.cos Guillaume HIE Cours de raitement Du Signal - ransformées discrètes 33/38 Guillaume HIE Cours de raitement Du Signal - ransformées discrètes 34/38 Fenêtre de Kaiser-Bessel Fenêtre Kaiser-Bessel ( ) ( ) ( ) 2.π.t 4.π.t 6.π.t w (t) = 1 1, 24.cos +1, 244.cos 0, 0305.cos Largeur de lobe principal : 8 Rapport d atténuation : 110dB Résolution fréquentielle moyenne (largeur du lobe principal) Bonne résolution en amplitude (meilleure que hanning..) Bon compromis Utilisation en analyse de machines tournantes Guillaume HIE Cours de raitement Du Signal - ransformées discrètes 35/38 Guillaume HIE Cours de raitement Du Signal - ransformées discrètes 36/38
Fenêtre exponentielle Fenêtre exponentielle w (t) = e δ.(t t 0) Largeur de lobe principal : 4 Rapport d atténuation : 26dB Utilisation pour étude des signaux pseudo-périodiques et à décroissance lente. Guillaume HIE Cours de raitement Du Signal - ransformées discrètes 37/38 Guillaume HIE Cours de raitement Du Signal - ransformées discrètes 38/38